Exercícios Resolvidos - Modelagem Matemática e Aplicações

Figura 1 Diagrama do exercício 2 A solução para isso é dada por 1Qt dQdt 376 lnQt 376 t C Qt e376 t C Então tomamos Qt e376 t C pois não faz sentido uma quantidade negativa de sal Sabemos que Q0 36 ou seja 36 eC logo Qt 36 e376 t b O tempo necessário para que a metade do sal saia do tanque Solução Queremos t tal que Qt 18 Resolvendo 36 e376 t 18 obtemos t 763 ln 12 3 Uma torta com temperatura desconhecida é colocada em um freezer com uma temperatura constante de 20C Se após 20 minutos a temperatura da torta for de 10C e após 40 minutos for de 5C calcule a temperatura inicial da torta Solução Pela lei do resfriamento de Newton sabemos que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e à do ambiente Ou seja dTdt kT 20 lnT 20 kt C T 20 ekt C Esperase que a torta tenha temperatura maior do que 20C então consideramos apenas T 20 ekt C isto é T ekt C 20 É dito que T20 10 e T40 5 Montamos o sistema 10 e20k C 20 5 e40k C 20 A resolução desse sistema nos dá k 120 ln 2 e C ln 60 ou seja Tt 602t20 20 Então a temperatura inicial da torta é T0 40C 4 A pesca sempre foi um elemento importante para a sobrevivência de muitos tipos de peixes Com o desenvolvimento de materiais sofisticados e muitas vezes predatórios a população de peixes diminuiu muito até mesmo causando o perigo de extinção de algumas espécies Atualmente existem leis internacionais que definem a maneira como a pesca deve ser efetuada impondo controle sobre o tamanho das redes tamanho das malhas e período de aprisionamento Os modelos matemáticos podem ser utilizados para se medir o efeito de tais controles e estabelecer em que condições o peixe pode ser capturado O peso pt de cada espécie é dado pela equação dpdt α p23 β p a qual estabelece que o aumento do peso de um peixe é proporcional à área de sua superfície α é a constante do anabolismo representando a taxa de síntese de massa por unidade de superfície da espécie β é a constante de catabolismo representando a taxa de diminuição da massa por unidade de massa a Resolva a equação Vamos supor que a população inicial é insignificante p0 0 Solução Organizemos a EDO p βp α p23 Observe que essa EDO não é linear porém podemos aplicar Bernoulli Veja p23 p β p13 α Então tomamos z p13 de modo que 3 z β z α z β3 z α3 Essa EDO é linear O fator de integração é dado por ut eβ3 dt eβ t3 C ou seja tomamos ut eβ t3 Então z e consequentemente p é calculada zt 1ut ut qt dt αβ C eβ t3 pt13 αβ C eβ t3 pt αβ C eβ t33 O fato de que p0 0 implica em 0 αβ C3 isto é C αβ Finalmente pt αβ αβ eβ t33 Comentário Observe que pt 0 também é uma solução da EDO pois teremos 0 0 Isso não contradiz o Teorema da Existência e Unicidade pois é possível mostrar que p não satisfaz a condição de Lipschitz Porém claro isso não era esperado no exercício b Encontre os pontos de equilíbrio e faça um gráfico do comportamento das soluções Solução Os pontos de equilíbrio acontecem quando a derivada é zero Isso é dpdt 0 pt 0 ou pt αβ3 Vejamos o gráfico para uma solução particular α 2 β 1 Figura 2 Solução particular com α 2 β 1 Geogebra c Calcule pt Solução Como calculado em a a solução geral é dada por pt αβ Ceβt33 d O resultado obtido em c confere com o obtido em b Solução Totalmente Observe que a função converge para αβ3 independentemente do valor de C C na verdade controla o ponto inicial