Funcao de Producao Cobb-Douglas e Derivadas Parciais - Exercicios Resolvidos

Como a produção por unidade de trabalho é PL a hipótese ii diz PL α PL para alguma constante α Se mantivermos K constante K K0 então essa equação diferencial parcial se transforma na equação diferencial ordinária dPdL α PL Se resolvermos essa equação diferencial separável pelos métodos da Seção 93 veja também o Exercício 85 obteremos PL K0 C1K0Lα Observe que escrevemos a constante C1 como função de K0 porque ela pode depender do valor de K0 Analogamente a hipótese iii diz que PK β PK e podemos resolver essa equação diferencial obtendo PL0 K C2L0Kβ Comparando as Equações 7 e 8 temos PL K bLαKβ onde b é uma constante independente de L e K A hipótese i mostra que α 0 e β 0 Observe que pela Equação 9 se o trabalho e o capital são ambos aumentados por um fator m temos PmL mK bmLαmKβ mαβLαKβ mαβPL K Se α β 1 então PmL mK mPL K o que significa que a produção também é aumentada pelo fator m Essa é a razão pela qual Cobb e Douglas supuseram que α β 1 portanto PL K bLαK1α Essa é a função de produção de CobbDouglas discutida na Seção 141 Exercícios A temperatura T em C de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x da latitude y e do tempo t de modo que podemos escrever T fx y t Vamos obter o tempo em horas a partir do início de janeiro 1 a Qual o significado das derivadas parciais Tx Ty e Tt b Honolulu tem longitude de 158 W e latitude de 21 N Suponha que às 9 horas em 1 de janeiro esteja ventando para noroeste uma brisa quente de forma que a Oeste e a Sul o ar esteja quente e a Norte e Leste o ar esteja mais frio Você esperaria que fx 158 21 9 fy 158 21 9 e ft 158 21 9 fossem positivos ou negativos Explique 2 No início desta seção discutimos a função I fT H onde I era o humidex T a temperatura e H a umidade relativa Utilize a Tabela 1 para estimar fT 34 75 e fH 34 75 Quais são as interpretações práticas desses valores 3 O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T e a velocidade do vento v Portanto podemos escrever W fT v A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 141 É necessário usar um sistema de computação algébrica Velocidade do vento kmh T v 20 30 40 50 60 70 10 18 20 21 22 23 23 15 24 26 27 29 30 30 20 30 33 34 35 36 37 25 37 39 41 42 43 44 a Estime os valores de fT 15 30 e ft 15 30 Quais são as interpretações práticas desses valores b Em geral o que se pode dizer sobre o sinal de WT e Wv c Qual parece ser o valor do seguinte limite lim Wv v 4 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade Os valores da função h f v t são apresentados na seguinte tabela Duração horas v t 5 10 15 20 30 40 50 20 06 06 06 06 06 06 06 30 12 13 15 15 15 16 16 40 15 22 24 25 27 28 28 60 28 40 49 52 55 58 59 80 43 64 77 86 95 101 102 100 58 89 110 122 138 147 153 120 74 113 144 166 190 205 211 a Qual o significado das derivadas parciais hv e ht b Estime os valores de ft 80 15 e ft 80 15 Quais são as interpretações práticas desses valores c Qual parece ser o valor do seguinte limite lim ht t 58 Determine os sinais das derivadas parciais da função f cujo gráfico está mostrado 5 a fx 1 2 b fy 1 2 6 a fx 1 2 b fy 1 2 7 a fx 1 2 b fy 1 2 8 a fxy 1 2 b fxy 1 2 9 As seguintes superfícies rotuladas a b e c são gráficos de uma função f e de suas derivadas parciais fx e fy Identifique cada superfície e dê razões para sua escolha 10 Um mapa de contorno de uma função f é apresentado Utilize o para estimar fx 2 1 e fy 2 1 11 Se fx y 16 4x2 y2 determine fx 1 2 e fy 1 2 e interprete esses números como inclinações Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador 12 Se fx y 4 x2 4y2 determine fx 1 0 e fy 1 0 e interprete esses números como inclinações Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador 1314 Determine fx e fy e faça os gráficos fx e fy com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles 13 fx y x2y3 14 fx y y1 x2y2 9 As seguintes superfícies rotuladas a b e c são gráficos de uma função f e de suas derivadas parciais fx e fy Identifique cada superfície e dê razões para sua escolha imagem 3D de gráfico imagem 3D de gráfico imagem 3D de gráfico 10 Um mapa de contorno de uma função f é apresentado Utilize o para estimar fx 2 1 e fy 2 1 imagem de gráfico de contorno 11 Se fx y 16 4x2 y2 determine fx 1 2 e fy 1 2 e interprete esses números como inclinações Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador 12 Se fx y 4 x2 4y2 determine fx 1 0 e fy 1 0 e interprete esses números como inclinações Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador 1314 Determine fx e fy e faça os gráficos fx e fy com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles 5 a fx 1 2 b fy 1 2 6 a fx 1 2 b fy 1 2 7 a fx 1 2 b fy 1 2 8 a fxy 1 2 b fxy 1 2 Questão 5 Note que fazendo um corte no plano 𝑦 2 vemos que o valor de 𝑓 está crescendo com 𝑥 no ponto 𝑥 1 Assim temos 𝑓𝑥12 0 Questão 6 Note que fazendo um corte no plano 𝑦 2 vemos que o valor de 𝑓 está diminuindo com 𝑥 no ponto 𝑥 1 Assim temos 𝑓𝑥12 0 1540 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função 15 fx y y4 5xy3 16 fx y x2y 3y4 17 fx t t2ex 18 fx t 3x 4t 19 z lnx t2 20 z x sen xy 21 fx y xy 22 fx t x ln t 23 fx y et cos πx 24 z tg xy 25 z 2x 3y10 26 fx t arctgxt 27 w sen α cos β 28 fx y xy 29 Fx y 0y cos et dt 30 Fα β βα t3 1 dt 31 fx y z x3yz2 2yz 32 fx y z xy2 exz 33 w lnx 2y 3z 34 w y tg x 2z 35 u xy sen1yz 36 u xyz 37 hx y z t x2y coszt 38 φx y z t αx βy2γz δy2 39 u x12 x22 xn2 40 u senx1 2x2 nxn 4144 Determine as derivadas parciais indicadas 41 Rs t test Rt 0 1 42 fx y y sen1xy fy 1 12 43 fx y z ln1 x2 y2 z21 x2 y2 z2 fy 1 2 2 44 fx y z xyz fz e 1 0 4546 Use a definição de derivadas parciais como limites 4 para encontrar fxx y e fyx y 45 fx y xy2 x3y 46 fx y xx y2 4750 Use a derivação implícita para encontrar zx e zy 47 x2 2y2 3z2 1 48 x2 y2 z2 2z 4 49 ez xyz 50 yz x ln y z2 5152 Determine zx e zy 51 a z fx gy b z fx y 52 a z fxgy b z fxy c z fxy 5358 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem 53 fx y x2y 2x3y2 54 fx y lnax by 55 z y2x 3y 56 T e2τ cos θ 57 v sens2 t2 58 w 1 uw2 5962 Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida isto é uxy uyx 59 u x4y3 y4 60 u exy sen y 61 u cos x2y 62 u lnx 2y 6370 Determine as derivadas parcialis indicadas 63 fx y x4y2 x3y fxxx fyxx 64 fx y sen2x 5y fyxy 65 fx y z eyz2 fyyz 66 g r s t er senst grst 67 W u v2 3Wu2 v 68 V lnr s2 t3 3Vr s t 69 u eθ sen θ 3ur2 θ 70 z u v w 3zu v w 71 Se fx y z xy2z3 arcsen x z determine fxyy Dica Qual ordem de diferenciação é a mais fácil 72 Se gx y z 1 xz 1 xy determine gxyz Dica Use uma ordem de diferenciação diferente para cada termo 73 Use a tabela de valores de fx y para estimar os valores de fx 3 2 fy3 22 e fxy 3 2 y x 18 20 22 25 125 102 93 30 181 175 159 35 200 224 261 74 As curvas de nível são mostradas para uma função f Determine se as seguintes derivadas parciais são positivas ou negativas no ponto P a fx b fy c fxx d fxy e fyy 75 Verifique se a função u ea2k2t sen kx é solução da equação de condução do calor ut α2uxx 76 Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace uxx uyy 0 a u x2 y2 b u x2 y2 c u x3 3xy2 d u ln x2 y2 Questão 18 A função é dada por 𝑓 3𝑥 4𝑡 Assim temos 𝑓 𝑥 𝑥 3𝑥 4𝑡 1 23𝑥 4𝑡 𝑥 3𝑥 4𝑡 1 23𝑥 4𝑡 𝑥 3𝑥 1 23𝑥 4𝑡 3 32 3𝑥 4𝑡 𝑓 𝑡 𝑡 3𝑥 4𝑡 1 23𝑥 4𝑡 𝑡 3𝑥 4𝑡 1 23𝑥 4𝑡 𝑡 4𝑡 1 23𝑥 4𝑡 4 2 3𝑥 4𝑡 Questão 20 A função é dada por 𝑧 𝑥 sin𝑥𝑦 Assim temos 𝑧 𝑥 𝑥 𝑥 sin𝑥𝑦 𝑥 𝑥 sin𝑥𝑦 𝑥 𝑥 sin𝑥𝑦 1 sin𝑥𝑦 𝑥 cos𝑥𝑦 𝑥 𝑥𝑦 sin𝑥𝑦 𝑥𝑦 cos𝑥𝑦 𝑥 𝑥 sin𝑥𝑦 𝑥𝑦 cos𝑥𝑦 𝑧 𝑦 𝑦 𝑥 sin𝑥𝑦 𝑦 𝑥 sin𝑥𝑦 𝑥 𝑦 sin𝑥𝑦 0 sin𝑥𝑦 𝑥 cos𝑥𝑦 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2 cos𝑥𝑦 𝑦 𝑦 𝑥2 cos𝑥𝑦 Questão 25 A função é dada por 𝑧 2𝑥 3𝑦10 Assim temos 𝑧 𝑥 𝑥 2𝑥 3𝑦10 102𝑥 3𝑦9 𝑥 2𝑥 3𝑦 102𝑥 3𝑦9 𝑥 2𝑥 102𝑥 3𝑦9 2 202𝑥 3𝑦9 𝑧 𝑦 𝑦 2𝑥 3𝑦10 102𝑥 3𝑦9 𝑦 2𝑥 3𝑦 102𝑥 3𝑦9 𝑦 3𝑦 102𝑥 3𝑦9 3 302𝑥 3𝑦9 Questão 32 A função é dada por 𝑓 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑧 Assim temos 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑧 𝑦2 𝑥 𝑥𝑒𝑥𝑧 𝑦2𝑥 𝑥 𝑒𝑥𝑧 𝑦2 𝑥 𝑥𝑒𝑥𝑧 𝑦2𝑥𝑒𝑥𝑧 𝑥 𝑥𝑦 𝑦21𝑒𝑥𝑧 𝑦3𝑥𝑒𝑥𝑧 𝑥 𝑥 𝑦2𝑒𝑥𝑧 𝑦3𝑥𝑒𝑥𝑧 𝑦2𝑒𝑥𝑧 𝑓 𝑦 𝑦 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑧 𝑥𝑒𝑥𝑧 𝑦 𝑦2 𝑥𝑒𝑥𝑧2𝑦 2𝑥𝑦𝑒𝑥𝑧 𝑓 𝑧 𝑧 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑧 𝑥𝑦2 𝑧 𝑒𝑥𝑧 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑧 𝑧 𝑥𝑧 𝑥2𝑦2𝑒𝑥𝑧 𝑧 𝑧 𝑥2𝑦2𝑒𝑥𝑧 Questão 36 A função é dada por 𝑢 𝑥𝑦𝑧 Assim temos 𝑢 𝑥 𝑥 𝑥𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧1 𝑢 𝑦 𝑦 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧 ln 𝑥 𝑦 𝑦𝑧 1 𝑧 𝑥𝑦𝑧 ln 𝑥 𝑦 𝑦 1 𝑧 𝑥𝑦𝑧 ln 𝑥 𝑢 𝑧 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧 ln 𝑥 𝑧 𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧𝑦 ln 𝑥 𝑧 1 𝑧 𝑥𝑦𝑧𝑦 ln 𝑥 1 𝑧2 𝑥𝑦𝑧𝑦 𝑧2 ln 𝑥 Questão 37 A função é dada por ℎ 𝑥2𝑦 cos 𝑧 𝑡 Assim temos ℎ 𝑥 𝑥 𝑥2𝑦 cos 𝑧 𝑡 𝑦 cos 𝑧 𝑡 𝑥 𝑥2 2𝑥𝑦 cos 𝑧 𝑡 ℎ 𝑦 𝑦 𝑥2𝑦 cos 𝑧 𝑡 𝑥2 cos 𝑧 𝑡 𝑦 𝑦 𝑥2 cos 𝑧 𝑡 ℎ 𝑧 𝑧 𝑥2𝑦 cos 𝑧 𝑡 𝑥2𝑦 𝑧 cos 𝑧 𝑡 𝑥2𝑦 sin𝑧 𝑡 𝑧 𝑧 𝑡 𝑥2𝑦 𝑡 sin 𝑧 𝑡 𝑧 𝑧 𝑥2𝑦 𝑡 sin𝑧 𝑡 ℎ 𝑡 𝑡 𝑥2𝑦 cos 𝑧 𝑡 𝑥2𝑦 𝑡 cos 𝑧 𝑡 𝑥2𝑦 sin𝑧 𝑡 𝑡 𝑧 𝑡 𝑥2𝑦𝑧 sin𝑧 𝑡 𝑡 1 𝑡 𝑥2𝑦𝑧 sin𝑧 𝑡 1 𝑡2 𝑥2𝑦𝑧 𝑡2 sin𝑧 𝑡 Questão 5 Note que fazendo um corte no plano y2 vemos que o valor de f está crescendo com x no ponto x1 Assim temos f x 120 Questão 6 Note que fazendo um corte no plano y2 vemos que o valor de f está diminuindo com x no ponto x1 Assim temos f x 120 Questão 18 A função é dada por f 3 x4t Assim temos f x x 3 x4t 1 23 x4t x 3 x4 t 1 23 x4t x 3 x 1 23 x4t 3 32 3 x4 t f t t 3 x4 t 1 23 x4t t 3 x4 t 1 23 x4t t 4t 1 23 x4t 4 2 3 x4 t Questão 20 A função é dada por zx sin xy Assim temos z x x xsin xy x x sin xy x x sin xy 1sin xy x cosxy x xy sin xy x y cos xy x x sin xy xy cos xy z y y x sin xy y x sin xy x y sin xy 0sin xy xcos xy y xy x 2cos xy y y x 2cos xy Questão 25 A função é dada por z2 x3 y 10 Assim temos z x x 2 x3 y 10 10 2x3 y 9 x 2 x3 y 10 2x3 y 9 x 2 x 10 2x3 y 9 2 20 2x3 y 9 z y y 2x3 y 10 10 2x3 y 9 y 2 x3 y 10 2x3 y 9 y 3 y 10 2x3 y 9 3 30 2x3 y 9 Questão 32 A função é dada por f x y 2e xz Assim temos f x x x y 2e xz y 2 x x e xz y 2x x e xz y 2 x x e xz y 2x e xz x xy y 21 e xz y 3x e xz x x y 2e xz y 3x e xz y 2e xz f y y x y 2e xz x e xz y y 2 x e xz 2 y 2 x y e xz f z z x y 2e xz x y 2 z e xz x y 2e xz z xz x 2 y 2e xz z z x 2 y 2e xz Questão 36 A função é dada por ux yz Assim temos u x x x yz y z x y z 1 u y y x y z x yz ln x y y z 1 z x yzln x y y 1 z x yzln x u z z x y z x yz ln x z y z x yz y ln x z 1 z x yz y ln x 1 z 2 x y z y z 2 ln x Questão 37 A função é dada por hx 2 y cos z t Assim temos h x xx 2 y cos z t y cos z t x x 2 2 x y cos z t h y yx 2 y cos z t x 2cos z t y y x 2cos z t h z zx 2 y cos z t x 2 y zcos z t x 2 y sin z t z z t x 2 y t sin z t z z x 2 y t sin z t h t t x 2 y cos z t x 2 y t cos z t x 2 y sin z t t z t x 2 y zsin z t t 1 t x 2 yz sin z t 1 t 2 x 2 yz t 2 sin z t