Cálculo 3 - Integrais

Avaliação T3 Nomes Data 31052024 LEIA COM ATENÇÃO AS INSTRUÇÕES A SEGUIR Este trabalho poderá ser realizado individualmente ou em duplas Questões sem desenvolvimento serão consideradas erradas A resolução das questões deverá ser feita a mão NÃO SERÁ aceito trabalho digitalizado impresso ou escrito em mesas digitalizadoras sendo o trabalho ANULADO nesses casos As respostas deverão estar a caneta A resolução dessa avaliação deverá ser entregue presencialmente na aula do dia 06062024 Q1 10 Calcule a integral 2𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 2 1 2 0 Q2 20 Calcule a integral 𝑥𝑦 1𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 0 2 1 Q3 10 Inverta a ordem de integração da integral 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦1 𝑦1 0 1 Não é necessário calculála Q4 20 Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado acima pelo cone 𝑧 9 𝑥2 𝑦2 e abaixo pelo plano xy Q5 20 Use coordenadas polares para calcular 1 𝑥2 𝑦2𝑑𝐴 𝑅 onde R é a região entre os círculos 𝑥2 𝑦2 1 e 𝑥2 𝑦2 4 Q6 20 Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo cilindro parabólico 𝑧 𝑦2 e os planos x 3 e z 4 BOM TRABALHO Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Escola Politécnica Cálculo III Professor Iuri Jauris Cálculo III Q1 0 2 0 2 2x xy dy dx 0 2 0 2 2x xy dy dx 0 2 2xy xy²20 2 dx 0 2 2x2 x2²2 2x1 x122 dx 0 2 x2 dx x²4 0 2 224 1 Q2 0 1 0 2 xy1 x² dx dy 0 2 y 0 1 2 x dx1 x² dy Para resolver a integral em x vamos fazer a substituição y 1 x² dudx 2x du x dx 2 2u1 1 0² 1 e u2 1 2² 5 Logo 0 1 0 2 xy1 x² dx dy 0 2 y 1 5 du 2u dy 0 2 y lnu1 5 dy 0 2 y ln5 ln1 dy ln5 ln1 ln51 ou ln1 0 ln5 y²2 0 2 ln52 22 12 3ln54 Q3 Temos que 1 y 0 e y1 x y1 x yg1 Pela analize gráfica e pelos da dos fornecidos temos que 0 x 1 e x² 1 y x 1 pois y 1 x y x 1 y1 x y 1 x² y x² 1 0 2π 32 24 12 14 dθ 0 2π 6 24 14 dθ 6 14 θ 0 2π 24 1 2π 23π2 Q6 O primeiro octante é formado pelos pontos xyz R³ tais que x 0 y 0 e z 0 Considera fxy 4 e gxy y² então V Dfxy gxy dA Além disso 0 x 3 Já y estará entre 0 e a interseção de f e g y² 4 y 2 pois y 0 Portanto V 0 3 0 2 4 y² dy dx 0 3 4y y³3 0 2 dx 0 3 42 2³3 dx 3 8 43 x 0 3 20 33 20 Portanto po 1x1xdxdy 0x1xdydx Q4 Sejam fxygx2y2 a função relativa ao cone e gxy0 a função relativa ao plano O volume do sólido é dado por VD fxygxy dA0 gx2y2 dA Vamos utilizar coodenadas polaresx rcosθ y rsenθ gx2y2 grcosθ2rsenθ2gr2cos²θsen²θ gr² gr pitágoras Logo 0r3 e 0θ2π Portanto V 0 2π 0 3 grrdrdθ dA em coordenadas polares 0 2π 0 3 gr r2drdθ 0 2π gr²2 r33 0 3 dθ 0 2π g322 333 dθ 0 2π 7292 243 dθ 7292 4862 2π 243π Pitágoras Q5 Temos em coordenadas polares que x2 y2 r2 então R 1x2 y2 dA R 1r² dA rR 1r²rdrdθ elemento de área dA em Assim precisamos determinar os limites de integração coorden das x2 y2 1 r² 1 r 1 e x2 y2 4 r² 4 r 2 polares Além disso 0 θ 2π Portanto Lo r 0 sempre R 1x2 y2 dA 0 2π 1 2 r r3rdrdθ 0 2π r²2 r44 1 2 dθ