Calculo-de-Areas-Volumes-e-Integrais-Duplas-Resolucao-de-Problemas

Calcule a área da região limitada pelos gráficos de y 2x2 2x y 4 e y 0 Desenhe a região R e a descreva como tipo I e tipo II identificando cada tipo Depois utilize uma das integrais para calcular Poste a solução na sala de entrega Dica Olhe a definição no slide da seção 152 Calcule a integral dupla R 3x2 dA onde R é a região limitada pelos gráficos y x12 e y x 3 18920 187 189 18710 127 Nenhuma das alternativas Uma carga elétrica está distribuída em uma região retangular R xy ℝ 0 x 3 0 y 4 Encontre a carga total em R se a densidade de carga em um ponto xy de R medida em coulombs por metro quadrado é σxy x2 4y3 Dica Olhe a definição no slide da seção 154 804 coulombs 91 coulombs 300 coulombs 265 coulombs Para as integrais iteradas abaixo desenhe a região de integração R e reescreva a integral invertendo os limites de integração Não é necessário calcular a integral ₀¹ ₓ¹ fxy dy dx Poste a solução na sala de entrega Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido abaixo do parabolóide z x² y² e restrito ao disco ou acima do disco x² y² 25 que está no plano Oxy a 2500π b 625π c 3125π d 1250π e 2083π Use integração dupla para calcular o volume do sólido que está no primeiro octante abaixo da superfície z 16 x² y² dentro do cilindro x² y² 9 e fora do cilindro x² y² 1 Faça o esboço da região R usada para determinar os limites de integração Encontre a massa de uma lâmina que ocupa uma região D e tem uma função densidade dada por ρxy 3 sendo D limitada pela parábola x y² e a linha y x 2 Selecione a resposta correta 272 32 2 27 Nenhuma das anteriores Primeiro temos que encontrar a interseção das curvas 𝑦 2𝑥2 𝑒 2𝑥 𝑦 4 Substituindo y na segunda equação 2𝑥 2𝑥2 4 2𝑥2 2𝑥 4 0 𝑥2 𝑥 2 0 𝑥 2𝑥 1 0 Portanto 𝑥 2 𝑜𝑢 𝑥 1 Tipo I R 2 𝑥 1 e 2𝑥2 𝑦 4 2𝑥 𝐴 𝑑𝑦𝑑𝑥 42𝑥 2𝑥2 1 2 Tipo II R 0 𝑦 8 e 𝑦 2 𝑥 4𝑦 2 𝐴 𝑑𝑥𝑑𝑦 4𝑦 2 𝑦 2 8 0 𝐴 𝑑𝑦𝑑𝑥 42𝑥 2𝑥2 1 2 Primeiro vamos resolver a integral interna em relação a y 𝑑𝑦 42𝑥 2𝑥2 𝑦2𝑥2 42𝑥 4 2𝑥 2𝑥2 4 2𝑥 2𝑥2 Agora vamos substituir essa integral resolvida na integral externa em relação a x 𝐴 4 2𝑥 2𝑥2𝑑𝑥 1 2 Para resolver essa integral em relação a x vamos expandir os termos 𝐴 4𝑑𝑥 1 2 2𝑥𝑑𝑥 1 2 2𝑥2𝑑𝑥 1 2 𝐴 4𝑥2 1 𝑥22 1 2 3 𝑥32 1 𝐴 41 42 12 22 2 3 13 23 𝐴 4 8 1 4 2 3 1 8 𝐴 12 3 2 39 𝐴 12 3 6 𝐴 9 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 Portanto a área da região R é igual a 9 unidades de área Para encontrar a interseção das curvas 𝑦 𝑥 12 e 𝑦 𝑥 3 igualamos as duas equações e resolvemos para x 𝑥 12 𝑥 3 Expandindo e simplificando 𝑥2 2𝑥 1 𝑥 3 Movendo todos os termos para o lado esquerdo 𝑥2 2𝑥 𝑥 1 3 0 Agora podemos simplificar e resolver a equação 𝑥2 𝑥 2 0 Neste caso 𝑎 1 𝑏 1 𝑒 𝑐 2 Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara temos 𝑥 1 12 4 1 2 2 1 𝑥 1 1 8 2 𝑥 1 9 2 Portanto as soluções para a equação são 𝑥1 1 3 2 2 𝑥2 1 3 2 1 Descrevendo R como tipo I R 1 𝑥 2 e 𝑥 12 𝑦 𝑥 3 𝐴 3𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥3 𝑥12 2 1 Para resolver a integral dupla dada vamos primeiro calcular a integral interna em relação a y e em seguida calcular a integral externa em relação a x Vamos começar com a integral interna 3𝑥2𝑑𝑦 𝑥3 𝑥12 Integrando em relação a y obtemos 3𝑥2𝑦𝑥12 𝑥3 Agora vamos substituir os limites de integração 3𝑥2𝑥 3 3𝑥2𝑥 12 3𝑥3 9𝑥2 3𝑥2𝑥2 2𝑥 1 3𝑥3 9𝑥2 3𝑥4 6𝑥3 3𝑥2 3𝑥4 3𝑥3 6𝑥2 Agora podemos prosseguir com a integral externa em relação a x 𝐴 3𝑥4 3𝑥3 6𝑥2 𝑑𝑥 2 1 3𝑥5 5 3𝑥4 4 2𝑥3 1 2 Substituindo os limites de integração 𝐴 325 5 324 4 223 315 5 314 4 213 𝐴 96 5 48 4 16 3 5 3 4 2 O denominador comum é 20 384 20 240 20 320 20 13 20 384 240 320 20 13 20 384 240 320 13 20 384 240 333 20 144 333 20 189 20 Portanto a expressão fornecida resulta em 189 20 Podemos então descrever a região como tipo II Ou seja R 0 𝑦 1 E para achar a variação de x vamos considerar que y variava entre as funções 𝑦 𝑥 e 𝑦 1 ou seja 𝑥 𝑦 Logo 0 𝑥 𝑦 E 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦 0 1 0 Em coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 A equação do parabolóide em coordenadas polares é 𝑧 𝑟2 O domínio de integração corresponde ao disco 𝑥2 𝑦2 25 em coordenadas polares que é definido como 0 r 5 O volume do sólido pode ser calculado pela integral dupla da função 𝑧 𝑟2 sobre o domínio polar 𝑉 𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Agora vamos calcular o volume manualmente 𝑉 𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Para realizar a integração vamos primeiro integrar em relação a r e em seguida em relação a θ Integrando em relação a r 𝑟3𝑑𝑟 1 4 𝑟4 0 5 5 0 Substituindo o limite inferior e superior de r 1 4 54 1 4 04 625 4 Agora vamos integrar em relação a θ 625 4 𝑑𝜃 625 4 𝜃 0 2𝜋 2𝜋 0 Substituindo o limite inferior e superior de θ de 0 a 2π 625 4 𝜃 625 4 𝜃 625 4 2𝜋 3125𝜋 Portanto o volume do sólido é igual a 3125π unidades cúbicas Temos essa região Temos que 𝑚 𝜌𝑥 𝑥 𝑑𝐴 Podemos escrever a região D como tipo II neste caso D 𝑦2 𝑥 𝑦 2 E a variação de y pode ser encontrada achando a interseção das curvas 𝑦2 𝑦 2 𝑦2 𝑦 2 0 Daí temos que 1 𝑦 2 Ou seja 𝑚 3 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦2 𝑦2 2 1 27 2 Para calcular o volume do sólido especificado podemos usar o método das coordenadas cilíndricas e a teoria da integração dupla Nesse método o volume é calculado pela integral de uma função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 sobre a região D onde D é a projeção da região do sólido no plano 𝑥𝑦 A região de integração é um anel no plano 𝑥𝑦 entre os círculos de raio 1 e raio 3 devido às equações dos cilindros O limite superior para z é dado pela equação da paraboloide 𝑧 16 𝑥² 𝑦² que em coordenadas cilíndricas se torna 𝑧 16 𝑟² onde 𝑟² 𝑥² 𝑦² Então o volume V pode ser dado como 𝑉 𝑧 𝑑𝐴 𝐷 Onde 𝑧 16 𝑟² e 𝑑𝐴 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 em coordenadas cilíndricas Como o sólido está no primeiro octante o limite para θ é de 0 𝑎 𝜋 2 e os limites para 𝑟 são de 1 a 3 Portanto temos 𝑉 16 𝑟² 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 3 1 𝜋 2 0 16𝑟 𝑟3 3 1 3 𝜋 2 0 𝑑𝜃 48 27 3 16 1 3 𝑑𝜃 𝜋 2 0 68 3 𝑑𝜃 𝜋 2 0 68𝜃 3 0 𝜋 2 68 3 𝜋 2 34𝜋 3 A carga total em uma região é a integral da densidade de carga sobre essa região No seu caso a carga total Q na região R será o resultado da seguinte integral dupla 𝑄 𝜎𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Sendo 𝜎𝑥 𝑦 𝑥² 4𝑦³ a densidade de carga A região R é um retângulo 𝑐𝑜𝑚 0 𝑥 3 0 𝑦 4 Portanto a integral se estende desses limites Então temos 𝑄 𝑥² 4𝑦³ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 0 3 0 𝑥2𝑦 𝑦40 4 3 0 𝑑𝑥 4𝑥² 256 3 0 𝑑𝑥 4 3𝑥3 256𝑥 0 3 4 327 2563 4 30 2560 36 768 804 Coulombs Portanto a carga total na região R é de 804 Coulombs