Cálculo-Diferencial-e-Integral-Exercícios-Resolvidos-e-Gabarito

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por Vxyz 8x2 7xy 7xyz Encontre a taxa de variação do potencial no ponto 111 na direção do vetor v 7i 10j 8k 096 15099 14569856 44 20 Calcule a integral dupla R 15x2 y3 25x4 dA onde R xy R 0 x 1 0 y 4 300 350 310 370 330 Encontre a área da região sob o gráfico de x2 2x 4 no intervalo 12 a 3 b 12 c 12 d 3 Calcule a integral ₀⁹ 6 6y y² dy a 84 b 94 c 54 d 34 e 74 Calcule a integral iterada e assinale a alternativa correta ₁³ y³ 10xy dx dy 80 110 85 100 90 20 pontos Próximo a uma bóia a profundidade de um lago com coordenadas x y é z 200 002x² 0001y³ onde x y e z são em metros Um pescador que está em um barco parte do ponto 80 60 em direção à bóia que está no ponto 0 0 A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover Justifique Anexe o arquivo com o desenvolvimento da questão no campo abaixo Encontre a taxa de variação máxima de fxy xy2 y no ponto 21 Em que direção esta taxa ocorre 852 1 92 852 2 72 292 1 92 292 1 52 Nenhuma das alternativas Encontre o gradiente da função fxyz z7 e2xy ze2xy 2z6 y xz6y 7z5 ex2y 7xzy x2z2y 2 zexy zy xz2y 7 ex2y 2xzy x2z7y 1 ze2xy 2zy xzy 2 Calcule a integral x2 x3 2 dx a 23 x3 232 b 29 x3 212 C c 29 x3 232 C d 29 x3 232 C e 19 x3 212 C Calcule a integral x² x³ 2 dx a 23x³ 2³² b 29x³ 2¹² C c 29x³ 2³² C d 29x³ 2³² C e 19x³ 2¹² C Solução Defina u x³ 2 Então du 3x² dx du3 x² dx Então x² x³ 2 dx u du3 13 u¹² du 13 u12112 1 C 13 u³²32 C 29 x³ 2³² C Resposta final d 29x³ 2³² C Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por Vxyz 8x² 7xy 7xyz Encontre a taxa de variação do potencial no ponto 111 na direção do vetor v 7i 10j 8k 096 15099 14569856 44 20 Solução Calculando as derivadas parciais de Vxyz fxxyz x 8x² 7xy 7xyz 16x 7y 7yz Vyxyz y 8x² 7xy 7xyz 7x 7xz Vzxyz z 8x² 7xy 7xyz 7xy Assim obtemos que o gradiente de Vxyz é dado por Vxyz 16x 7y 7yz 7x 7xz 7xy Aplicando o vetor gradiente no ponto 111 obtemos V111 161 71 711 71 711 711 30 14 7 Agora precisamos obter um versor de v 7108 Para tal fazemos u vv 71087² 10² 8² 1213 7108 Então o valor da taxa de variação procurada é obtido pelo produto escalar DuV V1 1 1u 30147 1 2137108 1 213 307141078 Então DuV 1 21314 096 Resposta final Opção 1 096 3 Calcule a integral dupla R 15x² y³ 25x⁴ dA onde R xy ℝ 0 x 1 0 y 4 300 350 310 370 330 Solução Como a região de integração se apresenta com intervalos bem definidos inserilos na integral iterada e resolvêla diretamente R 15x² y³ 25x⁴ dA ₀⁴ ₀¹ 15x² y³ 25x⁴ dx dy ₀⁴ 153 x³ y³ 255 x⁵ ₀¹ dy ₀⁴ 5 x³ y³ 5 x⁵ ₀¹ dy ₀⁴ 5 1³ y³ 5 1⁵ dy ₀⁴ 5 y³ 5 dy 54 y⁴ 5 y ₀⁴ 544⁴ 54 320 20 300 Resposta final Opção 1 300 Questão 4 Encontre a área da região sob o gráfico de x2 2x 4 no intervalo 1 2 a 3 b 12 c 12 d 3 Solução A área de fx x2 2x 4 no intervalo 1 2 pode ser calculada pelo valor da integral de fx neste intervalo Ou seja A from 1 to 2 fx dx from 1 to 2 x2 2x 4 dx x33 x2 4x from 1 to 2 233 22 42 133 12 41 83 4 8 13 1 4 12 ua Resposta final c 12 Questão 5 Calcule a integral from 0 to 9 6 6y y2 dy a 84 b 94 c 54 d 34 e 74 Solução Calculando a integral dos termos polinomiais dados obtemos from 0 to 9 6 6y y2 dy 6y 3y2 y33 from 0 to 9 69 392 933 54 243 243 54 Resposta final c 54 Questão 6 Calcule a integral iterada e assinale a alternativa correta from 1 to 3 from y to 3 10xy dx dy a 80 b 110 c 85 d 100 e 90 Solução Mais uma vez resolvendo a integral iterada sem necessidade da aplicação de técnicas de substituições ou integração por partes from 1 to 3 from y to 3 10xy dx dy from 1 to 3 5y from y to 3 2x dx dy from 1 to 3 5y x2y3 dy from 1 to 3 5y 32 y2 dy from 1 to 3 45y 5y3 dy 45y22 5y44 from 1 to 3 45322 5344 45122 5144 4052 4054 452 54 80 Resposta final Opção 1 80 Questão 7 Encontre o gradiente da função fxyz z7 e2xy ze2xy 2 z6 y xz6 y 7 z5 ex2 y 7 x z y x2 z 2y 2 zex y z y xz 2y 7 ex2 y 2 x z y x2 z 7 y 1 ze2x y 2 z y xz y 2 Solução Para encontrar o vetor gradiente inicialmente calculamos as derivadas parciais de fxyz Como a função dada é composta aplicaremos a regra da cadeia Para tal defina uxy 2xy Temos então que fx xyz x z7 eu dudx z7 e2xy2y 2 y z7 e2x y fy xyz y z7 eu dudy z7 e2x y x y x z7 y e2x y fz xyz z z7 eu 7 z6 e2x y Assim obtemos que o gradiente de fxyz é dado por fxyz 2y z7 e2xy x z7 y e2xy 7 z6 e2xy z e2xy 2y z6 x z6 y 7 z5 Resposta final Opção 1 z e2xy 2 z6 y x z6 y 7 z5 Questão 8 Encontre a taxa de variação máxima de fxy x y2 y no ponto 21 Em que direção esta taxa ocorre 852 1 92 852 2 72 292 1 92 292 1 52 Nenhuma das alternativas Solução Novamente calcularemos inicialmente as derivadas parciais de fxy fx xy x x y2 y y2 fy xyz y x y2 y x2 1 2y Assim obtemos que o gradiente de fxy é dado por fxy y2 x2 1 2y Aplicando o vetor gradiente no ponto 21 obtemos f21 12 22 1 21 1 9 2 Então o valor da taxa de variação máxima é dado por Dufmax f21 12 922 1 814 854 852 Resposta final Opção 1 852 1 92 20 pontos Próximo a uma bóia a profundidade de um lago com coordenadas xy é z200002x20001y3 onde x y e z são em metros Um pescador que está em um barco parte do ponto 8060 em direção à bóia que está no ponto 00 A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover Justifique Anexe o arquivo com o desenvolvimento da questão no campo abaixo Solução Como o pescador parte de um ponto A8060 em direção ao ponto B00 basta encontrar a taxa de variação de zxy no ponto 8060 na direção do vetor vAB assim saberemos através do sinal do valor desta taxa se a água está ficando mais profunda ou mais rasa Nesta perspectiva Calculamos as derivadas parciais de zxy zxxyx200002x20001y3004x zyxyy200002x20001y30003y2 Assim obtemos que o gradiente de zxy é dado por zxy004x0003y2 Aplicando o vetor gradiente no ponto 8060 obtemos z806000480000360232108 Agora precisamos obter o vetor v e um versor deste vetor Encontrando v vABBA0080608060 Encontrando um versor de v uvv806080260280601000080601004535 Agora podemos encontrar o valor da taxa de variação procurada através do produto escalar Duz8060z8060u321084535324510835256648 Então Duz8060392 m 0 Resposta final Como a taxa de variação obtida é positiva no ponto de interesse é positiva significa que a profundidade está aumentando ou seja a água sob o barco está ficando mais profunda