Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial - Funções, Quádricas e Curvas

Seja fxyz 11x2 4y3z2xy Calcule f344 0096827 0094466 1629630 12255000 23565534 Seja fxy 3x4 y5 Determine fy xy fy xy 12x3 y5 fy xy 15x4 y4 fy xy 60x3 y4 fy xy 60x4 y5 fy xy 58x4 y5 Identifique a superfície quádricas definida por 3y2 x2 6z2 0 Elipsoide Cone Eliptico Paraboloid Eliptico Paraboloide hiperbolico Esfera Identifique a curva de interseção da superfície z 4x2 3y2 com o plano z 2 Circulo Elipse Parabola Hiperbole Reta Identifique a curva de interseção da superfície 4x2 20y2 z2 1 com o plano y 2 Circulo Elipse Parabola Hiperbole Não existe interseção Seja fxy 4x3 y3 Calcule a inclinação da superfície z fxy na direção y no ponto 11 13 12 3 432 6 A curva de nível de z 5x2 3y2 quando z 8 é um círculo de raio 4 uma elipse um círculo de raio 16 um ponto uma hipérbole 1 x2 8y2 z2 30 x 1 1 8y2 z2 30 8y2 z2 29 elipsoide circular 2 4x2 20y2 z2 1 y 2 4x2 2022 z2 1 4x2 z2 79 não temos interseção 3 z zxy sin2xy cos2xy 24xy 2y 4x cos2xy zx zx d2 2x2y verdadeiro 5 z zxy e2x7y9 Região da cadeia zxxy e2x7y9 22xy 2x e2x7y9 7 2x7y9 6 3y2 x2 6z2 0 x2 2 z2 2 y2 2 a sqrt3 b sqrt2 c sqrt2 cone elíptico 7 zxy 3 x2 y5 zyxy 324 5 y4 zyxy 15 x2 y4 8 zxyz 11x2 2y2 2xy z344 11 32 2 42 42 23 4 z344 0094465649 9 z 4x2 3y2 z 2 2 4x2 3y2 x2 11c 21 y2 3 13121 temos uma elipse x h2 a2 y k2 b2 1 10 zxy 4xy x3 y4 zx 4y 4x2 zx 4x 4y3 zyx 4 zxx 12x2 zxx 12y2 11 negativo negativo 12 zxy 4x3 y3 z zxy ponto 11 gradz v gradz 12x2 3y2 gradz11 12 3 v 0101 01 a inclinação é então 123 01 3 fxy 3y y3 2x2 x4 para encontrar os pontos onde os gradientes de fxy é igual a zero 7x 4x3 0 7y 3 3y2 0 y 1 então os pontos críticos são 01 e 01 para determinar a natureza desses pontos críticos podemos aplicar o teste da segunda derivada Hz zxx zxy zyx zyy zxx 12x2 zxy 0 zyx 0 zyy 6x no ponto crítico 01 temos zxx01 0 zxy01 0 zyx01 6 Hz01 0 0 0 6 no ponto 01 zxx01 0 zxy01 0 zyx01 6 Hz01 0 0 0 6 Temos um ponto mínimo local em 01 e ponto de sela em 01 3 k 3x y3 2x2 x4 para k 0 para k 2 14 Z 5x2 3y2 Z 8 8 5x2 3y2 x285 y283 1 elipse 15 Z 4x2 3y2 z 2 2 4x2 3y2 4x2 3y2 2 x22 y243 12 parabola Considere a função fxy 3y y3 2x2 x4 1 Determine e classifique todos os pontos críticos pelo teste da derivada segunda utilizando somente a lei da função Detalhe as contas e justifique todos os passos 2 Esboce o gráfico usando um software sugestão Geogebra e verifique se sua resposta faz sentido De um print no gráfico e anexe na sua resolução 3 Faça um esboçoaproximado das curvas de nível desta função utilizando as informações dos itens 1 e 2 e qualquer outra técnica deste curso Determine os sinais de fx e fy respectivamente negativo negativo negativo positivo positivo negativo positivo positivo Seja fxy e2x7 y9 Determine fxxy fxxy 14 x6 y9 e2x7 y9 fxxy 18 x7 y8 e2x7 y9 fxxy 126 x6 y8 e2x7 y9 fxxy 126 x7 y9 e2x7 y9 fxxy 124 x7 y9 e2x7 y9 Considere a função abaixo fxy 4xy x4 y4 fxx00 Escolher fyx00 Escolher fyy11 Escolher Diga se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa fxy ²f xy Verdadeiro Falso Seja fxy 4x³ y³ Calcule a inclinação da superfície z fxy na direção y no ponto 11 13 12 3 432 6 Seja fxy sen4xy Determine fyxy fyxy 4xcos4xy fyxy 4ycos4xy fyxy 4cos4xy fyxy 4ysen4xy fyxy 4xsen4xy Identifique a curva de interseção da superfície x2 8y2 z2 30 com o plano x 1 Circulo Elipse Parabola Hiperbole Reta