Diagrama de Blocos - Sistemas de Controle e Funções de Transferência

Sumário 4 Diagrama de Blocos 2 41 Introdução 2 42 Representações básicas 3 421 Sistemas em Série 3 422 Sistemas em Paralelo 4 423 Sistemas em Realimentação 4 424 Exemplos 5 43 Álgebra de blocos 8 431 Sistemas em Paralelo 8 432 Sistemas em Realimentação 9 433 Sistemas em Somatório 10 434 Resumo 11 435 Exemplos 13 44 Exemplos Resolvidos 19 45 Exercícios Propostos 28 46 Respostas 33 47 Prova Remota 20201 35 Diagrama de Blocos Diagrama de blocos é uma forma de visualização das interações entre os blocos ou funções de transferência que formam um sistema de controle Por exemplo Figura 4 1 Exemplo de diagrama de blocos No sistema acima Rs é a entrada e Cs é a saída representando os sinais de excitação e resposta enquanto Ms Gs e Hs são as funções de transferência que compõe o diagrama de blocos Esta é uma configuração típica de sistemas de controle em que Gs é a função de transferência ou processo a ser controlado Hs é o sensor de medida e Ms é o sistema de controle A análise do diagrama de blocos é uma forma de encontrar um sistema resultante facilitando a interpretação do sistema de controle O resultado do diagrama de blocos em geral é uma função de transferência denominada de Função de Transferência de M alha F echada por exemplo Ms contendo todos os blocos pertencentes ao sistema de controle Como exemplo o diagrama de blocos acima possui a seguinte função de transferência de malha fechada C s Rs T s M s G s 1M s G s Hs Introdução Para iniciar o processo de entendimento partese de uma função de transferência definida por Cs Rs Gs CsGsRs Onde Gs é a Função de transferência Rs é a entrada e Cs é a saída Na representação em diagrama de blocos a entrada e a saída são re presentadas por linhas enquanto as funções de transferência são representadas por blocos então Figura 4 2 Representação de uma função de transferência em diagrama de blocos O objetivo será sempre encontrar uma forma geral para os blocos chamada de Função de Transferência em Malha Fechada com apenas um numerador e um d enominador que represente todo o diagrama de blocos Portanto passar de representação de blocos para função de transferência Na representação em Diagrama de Blocos o fluxo dos sinais é dado pela direção das setas que representam os sinais e os blocos representam as funções de transferência Para encontrar a solução devese obedecer às seguintes regras básicas Iniciar em sinais e terminar em sinais Todo o diagrama de ve ser representado Representações básicas As representações básicas sã o as formações mais fáceis e simples de serem encontradas são representadas por sistemas em série sistemas em paralelo e sistemas em realimentação Deve ser observado que a diferença entre um sistema em paralelo e em realimentação é a direção das setas Em geral o fluxo representado por setas vai da esquerda para a direita O s paralelos são posicionados em cima e as realimentações em baixo mas pode haver variações com o objetivo de evitar o cruzamento de linhas Para resolver as equações deve m se aplicar as seguintes regras práticas As equações devem acompanhar o fluxo ou sentido das linhas ou setas que são os sinais Devese sempre iniciar em sinais e terminar em sinais portanto devese sempre iniciar em uma linha e terminar em uma linha passando ou não por blocos que são as funções de transferência Sistemas em Série São caracterizados por a saída de um bloco ser a entrada do próximo Supondo Us Xs G s e Cs Us Hs Nestas duas funções de transferência o sinal Us é a saída de Gs e a entrada de Hs A ssim Cs HsUs como Us GsXs Então Cs HsGsXs Cs Xs GsHs Figura 4 3 Blocos em Série Álgebra de Blocos Sistemas em Paralelo Sistemas em paralelo s ão c aracterizado s quando a entrada do diagrama for a mesma para mais de um bloco Como exemplo o bserve que a soma pode ser negativa para qualquer um dos blocos Supondo U 1 s Xs G s e U 2 s Xs H s e C s U 1 s U 2 s Nestas duas funções de transferência o sinal Xs é a entrada de Gs e de Hs Então Cs GsXs HsXs Gs HsXs Cs Xs GsHs Figura 4 4 Blocos em Paralelo Álgebra de blocos Sistemas em Realimentação Neste caso ocorre um laço onde a saída é somada com a entrada formando o laço de realimentação Na figura abaixo a realimentação é unitária representada apenas por uma linha A origem do nome Malha Fechada vem da presença do laço de realimentação Considerando o sistema abaixo Figura 4 5 Blocos em Realimentação Para encontrar a Função de Transferência de Malha Fechada podese introduzir um nome para os sinais que não possuem nome como o que ocorre após o somador para o sinal que entra no bloco Gs que será denominado de Es conforme figura abaixo Figura 4 6 Blocos em Realimentação Para resolver o sistema em realimentação proceder da seguinte forma Cs Gs Es I Es Rs Cs II Substituindo II em I Cs GsRs Cs 1 GsCs GsRs Cs Rs Gs 1Gs Exemplos Exemplo 42 1 Sistema de controle com realimentação utilizando sensor de erro Hs Encontrar CsRs Figura 4 7 Blocos No diagrama de blocos acima Es foi adicionado para realizar o fechamento da malha Portanto temse que Cs GsMs Es I Es Rs HsCs II Substituindo II em I Cs MsGsRs HsCs 1 MsGsHsCs MsGsRs Cs Rs MsGs 1MsGsHs Exemplo 42 2 Encontrar CsRs Figura 4 8 Blocos No diagrama de blocos acima Es Xs e Us foram adicionados para realizar o fechamento da malha Portanto temse que Cs Fs Xs Us I Us Gs Xs II Xs Ms Es III Es Rs Hs Us IV Substituindo III e II em I Cs FsMs Es GsMs Es Cs MsFs Gs Es V Substituindo III e II em IV Es Rs HsGs Xs Rs HsGsMs Es 1 H s G s M s E s R s E s R s 1M s G s H s VI Substituindo VI em V Cs Rs Ms GsFs 1MsGsHs As equações para resolver o diagrama de blocos dependem do conhecimento da solução do diagrama pois apenas são necessárias as equações V e VI Dica Nomes dos sinais podem ser adicionados para facilitar a solução Em geral após um somador é um bom lugar para dar um nome Exemplo 42 3 Simplificar o diagrama abaixo ou encontrar CsRs O primeiro passo para a solução é a colocação de nomes de sinais em pontos estratégicos para ajudar a solução como por exemplo Es e Xs adicionados abaixo Figura 4 9 Etapa inicial Solução por equações a solução a seguir depende da capacidade de cada um em resolver este tipo de problema as equações abaixo são sugeridas para demonstrar as possibilidades não significando que seja a forma mais fácil de resolver Cs G 2 G 3 Xs I Xs G 1 Es H 2 Cs II Es Rs Cs H 1 G 2 Xs III Substituindo II em I para eliminar Xs Cs G 2 G 3 G 1 Es H 2 Cs 1 H 2 G 2 G 3 Cs G 1 G 2 G 3 Es IV Substituindo II em III para eliminar Xs Es Rs Cs H 1 G 2 G 1 Es H 2 Cs 1 H 1 G 1 G 2 Es Rs 1 H 1 H 2 G 2 Cs V Substituindo V em IV para eliminar Es 1 H 2 G 2 G 3 Cs G 1 G 2 G 3 Rs 1 H 1 H 2 G 2 Cs 1 H 1 G 1 G 2 Rearranjando 1 H 2 G 2 G 3 1 H 1 G 1 G 2 G 1 G 2 G 3 1 H 1 H 2 G 2 Cs G 1 G 2 G 3 Rs Chegando a Cs Rs G 1 G 2 G 3 1 H 1 G 1 G 2 H 2 G 2 G 3 G 1 G 2 G 3 Álgebra de blocos A álgebra de blocos é uma forma alternativa de solução e é baseada nas soluções através das equações Mas aqui realizados através da movimentação de blocos utilizando as formas previamente estabelecidas Observe que as movimentações abaixo não são as únicas possíveis mas são as mais encontradas na prática da solução Sistemas em Paralelo Considerando o sistema abaixo observe que C s F s G s M s E s Figura 4 10 Álgebra de Blocos Paralelo original Para o sistema abaixo Cs Fs Gs 1 GsMsEs Fs GsMsEs Figura 4 11 Álgebra de Blocos Paralelo avanço Saltar Bloco à Direita Para o sistema abaixo C s F s M s E s G s M s E s F s G s M s E s Figura 4 12 Álgebra de Blocos Paralelo recuo Saltar Bloco à Esquerda Portanto todas as representações são iguais Sistemas em Realimentação Considerando o sistema abaixo observe que CsGs M s 1 M s F s Rs M s G s 1 M s F s Rs Figura 4 13 Álgebra de Blocos Realimentação original Considerando o sistema abaixo Cs MsGs 1MsGs Fs Gs Rs MsGs 1MsFs Rs Figura 4 14 Álgebra de Blocos Realimentação avanço Saltar Bloco à Direita Considerando o sistema abaixo Cs 1 1MsFs MsGsRs MsGs 1MsFs Rs Figura 4 15 Álgebra de Blocos Realimentação recuo Saltar Bloco à Esquerda Portanto todas as representações são iguais Sistemas em Somatório Considerando o sistema abaixo observe que Cs Rs GsMs 1 MsFs Figura 4 16 Álgebra de Blocos Sistema em somatório original Considerando o sistema abaixo Cs Rs GsMs 1 GsMs Fs Gs GsMs 1 MsFs Figura 4 17 Álgebra de Blocos Sistema em somatório Entrada Considerando o sistema abaixo Cs Rs GsMs 1 1 MsFs GsMs 1 MsFs Figura 4 18 Álgebra de Blocos Sistema em somatório Saída Resumo Tabela de Álgebra de Blocos Mudança Sistema Original Sistema Equivalente Sistema em Série Sistema em Paralelo Sistema com Realimentação Negativa Deslocamento de ponto de soma Deslocamento entre pontos de soma Deslocamento de ponto de realimentação Exemplo s Exemplo 43 1 Simplificar o diagrama de blocos abaixo para encontrar CsRs Figura 4 19 Blocos exemplo 03 Original Solução 1 Resolvendo aplicando Paralelo Avanço na entrada de Fs Figura 4 20 Blocos exemplo 03 Movendo Paralelo Etapa 1 Agora observase que a realimentação e o paralelo estão separados então Figura 4 21 Blocos exemplo 03 Movendo Paralelo Etapa 2 Desta forma Cs Rs MsGs 1MsGsHs FsGs Gs Ms GsFs 1MsGsHs Solução 2 Agora resolvendo através da Realimentação Recuo Figura 4 22 Blocos exemplo 03 Movendo Realimentação Etapa 1 Figura 4 23 Blocos exemplo 03 Movendo Realimentação Etapa 2 Desta forma Cs Rs MsGs 1MsGsHs FsGs Ms GsFs 1MsGsHs Exemplo 43 2 Simplificar o diagrama abaixo para encontrar CsRs Figura 4 24 Diagrama Inicial Solução 1 Solução por álgebra de blocos assim como mencionado acima não é única e pode ser feita de diversas formas Movendo G1 s para dentro do somador Figura 4 25 Etapa 1 Resolvendo a realimentação Figura 4 26 Etapa 2 Multiplicando por G3s e resolvendo a realimentação Figura 4 27 Etapa 3 Simplificando e resolvendo a última realimentação Figura 4 28 Etapa 4 Resultando em Cs Rs G 1 G 2 G 3 1 H 1 G 1 G 2 H 2 G 2 G 3 1 G 1 G 2 G 3 1 H 1 G 1 G 2 H 2 G 2 G 3 G 1 G 2 G 3 1 H 1 G 1 G 2 H 2 G 2 G 3 G 1 G 2 G 3 Solução 2 Solução por álgebra de blocos Figura 4 29 Diagrama Inicial Movendo H2s para dentro de G3s Figura 4 30 Diagrama Inicial Movimentação 1 Resolvendo a realimentação negativa de G2s com H2sG3s Resolvendo a realimentação positiva de G1s com G2 s 1H2 s G3 s G 2s e H1s em série com G3s Para facilitar as contas devese simplificar a função de transferência abaixo G1 s G 2 1H2 s G3 s G2s 1 G1 s G 2 1H2 s G3 s G2s H1s G3 s G1 s G2 s G3s 1H2 s G2s G3 s G1 s G2 s H1s Cuja solução final para a realimentação negativa C s Rs T s G1 s G2 s G3 s 1H2 s G2s G3 s G1 s G2 s H1 s 1 G1 s G2 s G3 s 1H2 s G2s G3 s G1 s G2 s H1 s G1 s G2 s G3 s 1H2 s G2s G3 s G1 s G2 s H1 s G1 s G2 s G3 s Solução 3 Solução por álgebra de blocos depende da capacidade de abstração de quem está resolvendo Figura 4 31 Diagrama Inicial Se for realizada a movimentação da entrada de H1s para sair de Cs e entrar o bloco G1s no somador da saída de H2s Observe que agora os termos em realimentação estão em paralelo entre si sendo assim podem ser agrupados conforme Cujo resultado é dado por C s R s T s G1G2G3 1 1 H1 G3 H2 G1 G1G2G3 G1G2G3 1G1G2G3 G1G3H1G1H2G3 G1G3 Simplificando C s Rs Ts G1G2G3 1G2G1G3H1G1H2G3 Exemplos Resolvidos Exemplo 44 1 Simplificar o diagrama abaixo para encontrar CsRs Figura 4 32 Blocos do exemplo 2 Solução 1 Solução por equações Figura 4 33 Etapa inicial Um possível sistema de equações para resolver o diagrama de blocos anterior é C s P s G s U s Bs Us I U s D s E s PsGsHs Us II E s R s PsMs Us III Substituindo III em II U s D s R s P s M s U s PsGsHs Us 1P s M s D s PsGsHs Us RsDs U s R s Ds 1P s M s D s P s G s Hs IV Substituindo IV em I Cs PsGsDsRs 1 P sMsDs P sGsHs BsDsRs 1 P sMsDs P sGsHs Cs R s PsGsDs 1P sMsDs P sGsHs BsDs 1P sMsDs P sGsHs Cs R s Ds P s G s B s 1P s M s D s P sGsHs Portanto C s R s D s P s G s Bs 1Ps M s D s G s Hs Solução 2 Á lgebra de blocos como dito anteriormente pode ser feita de maneiras variadas A seguir temse uma dessas muitas maneiras Figura 4 34 Blocos do exemplo 2 Movendo Hs para fora de Ds Figura 4 35 Etapa 1 Avançando Ms para direita de Gs Figura 4 36 Etapa 2 Avançando Bs Figura 4 37 Etapa 3 Simplificando o primeiro somatório Figura 4 38 Etapa 4 Resolvendo a realimentação e o paralelo Figura 4 39 Etapa 5 Simplificando Cs Rs DsPsGs P s G s B s 1 P s G s H s P s M s D s P s G s Portanto C s R s D s P s G s B s 1P s G s H s M s Ds Exemplo 44 2 Encontrar a função de transferência CsRs do diagrama abaixo Figura 4 40 Blocos do exemplo 3 O diagrama de blocos apresentado é mais facilmente resolvido através da álgebra de blocos Simplificando os paralelos Figura 4 41 Etapa 1 Avança n do o paralelo Figura 4 42 Etapa 2 Resolvendo o paralelo Figura 4 43 Etapa 3 Resolvendo a realimentação unitária da direita Figura 4 44 Etapa 4 Movendo a realimentação G1s para a direita Figura 4 45 Etapa 5 Simplificando as realimentações Figura 4 46 Etapa 6 Portanto C s R s G 5 G 6 G 2 G 3 G 6 G 3 G 4 1 G 6 G 1 G 1 G 6 G 5 G 6 G 7 G 2 G 3 G 6 G 7 G 3 G 4 C s G 6 Xs I X s G 5 U s C s G 3 G 4 Es II U s G 2 G 3 Es III E s R s G 1 U s G 7 C s IV Substituindo II em I C s G 6 G 5 U s C s G 3 G 4 E s 1 G 6 C s G 5 G 6 U s G 3 G 4 G 6 E s V Substituindo III em V 1 G 6 C s G 2 G 3 G 5 G 6 E s G 3 G 4 G 6 E s 1 G 6 C s G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 E s VI Substituindo III em IV E s R s G 1 G 2 G 3 E s G 7 C s 1 G 1 G 2 G 3 E s R s G 7 C s VII Substituindo VII em VI 1 G 6 C s G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 R s G 7 Cs 1 G 1 G 2 G 3 1 G 1 G 2 G 3 1 G 6 C s G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 R s G 7 C s 1 G 1 G 2 G 3 1 G 6 G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 G 7 C s G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 R s Chegando a C s Rs G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 1 G 1 G 2 G 3 1 G 6 G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 G 7 Exemplo 44 3 Simplificar o diagrama a seguir para encontrar CsRs Figura 4 47 Blocos do exemplo 4 Solução por equações Figura 4 48 Etapa Inicial Sistema de equações E s R s HsCs I U s G 1 s E s G 4 sCs II C s G 3 s E s G 2 s Us III Substituindo I em II U s G 1 R s HC s G 4 Cs IV Substituindo IV e I em III C s R s HC s G 3 G 2 G 1 R s HC s G 4 Cs 1H G 3 G 1 G 2 H G 2 G 4 C s G 3 G 1 G 2 Rs Portanto C s R s G 1 G 2 G 3 1H G 1 G 2 G 3 G 2 G 4 Exemplo 44 4 Encontrar CsRs Exemplo 44 5 Encontrar CsRs Exercícios Propostos 1 Simplifique o diagrama de blocos da figura abaixo 2 Simplifique o diagrama de blocos da figura abaixo Obtenha a função de transferência relacionando Cs e Rs 3 Simplifique o diagrama de blocos da figura abaixo e então obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs 4 Obtenha as funções de transferência CsRs e CsDs do sistema indicado na figura abaixo C s G p D s G 1 U s U s G c E s G f R s E s R s HC s U s G c R s HC s G f R s U s G c G f R s H G c C s C s G p D s G 1 G c G f R s H G c C s 1H G 1 G c G p C s G p D s G 1 G p G c G f R s C s G p 1H G 1 G c G p D s G 1 G p G c G f 1H G 1 G c G p R s 5 A figura abaixo mostra um sistema com duas entradas e duas saídas Determine C 1 sR 1 s C 1 sR 2 s C 2 sR 1 s e C 2 sR 2 s Ao determinar as saídas correspondentes a R 1 s considere R 2 s 0 e viceversa 6 Simplifique o diagrama de blocos mostrado na figura abaixo e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs 7 Simplifique o diagrama de blocos exposto na figura abaixo e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs 8 Simplifique o diagrama de blocos mostrado na figura abaixo e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs 9 A figura abaixo mostra um sistema de malha fechada com uma entrada de referência e um distúrbio de entrada Obtenha a expressão para a saída Cs quando tanto as entradas de referência como a de distúrbio estiverem presentes 10 Obtenha as funções de transferência CsRs e CsDs do sistema apresentado na figura abaixo Simplifique o diagrama de blocos a seguir e determine a função de transferência CsRs Encontrar a função de transferência CsRs para o diagrama de blocos seguinte Determine a função de transferência CsRs do sistema seguir Para o diagrama de blocos que se segue simplifiqueo e determine CsRs Respostas 1 C s R s H1G 1G H 2 2 C s R s G 1 G 2 G 2 1 3 C s R s G 1 G 2 G 3 G 4 1 G 1 G 2 H 1 1 G 3 G 4 H 2 G 2 G 3 H 3 4 C s G p 1H G 1 G c G p D s G 1 G p G c G f 1H G 1 G c G p R s 5 C 1 s R 1 s G 1 1 G 1 G 2 G 3 G 4 C 1 s R 2 s G 1 G 3 G 4 G 1 G 2 G 3 G 4 1 C 2 s R 1 s G 1 G 2 G 4 G 1 G 2 G 3 G 4 1 C 2 s R 2 s G 4 1 G 1 G 2 G 3 G 4 6 C s R s G1 G 2 1 G 1 G 2 G 3 G 4 7 C s R s 1 G 1 G 2 1 H 1 H 2 G 2 8 C s R s G 1 G 3 G 2 H 1 1 G 2 H 2 G 3 G 2 H 1 H 3 G 1 9 C s G c G p 1 G c G p R s D s 1 G c G p 10 C s R s G 2 G 3 1 G 1 G 2 H 1 G c G 1 G 2 G 3 H 2 G c G 1 D s R s C s D s G 2 G 3 1 G 1 G 2 H 1 G c G 1 G 2 G 3 H 2 G c G 1 R s D s 1 11 Cs Rs G1 s G7 s G3 s G4 s 1G1 s G2 s 1G6 s G7 s G1 s G5 s G7 s G8 s G3 s G4 s 12 Cs Rs G1 s G2 s G3 s 1G1 s G2 s G3 s H1 s G1 s H2 s G2 s H3 s G1 s G2 s H4 s G2 s G3 s 13 C s R s G1 s G5 s 1G1 s G5 s G8 s G1 s G2 s G1 s G3 s G5 s G6 s G7 s G4 s 14 C s R s G5 s G6 s G2 s G3 s G4 s G6 s 1G1 s G2 s G1 s G3 s 1G6 s G6 s G7 s G4 s G2 s G5 s G3 s G5 s Prova Remota 20201 Para os diagramas de blocos abaixo encontrar os sistemas em malha fechada definidos por CsRs Observação Pelo menos um deles deve ser resolvido por álgebra de blocos e pelo menos um deles deve ser resolvido por equações Diagrama 1 C s Rs GD P1 BP 1G 1G 1FP Diagrama 2 C s RS D 1HGP FGPB 1P HGMD Diagrama 3 C s R s H MF GB 1 AQF GH 213 213