Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - Resposta Transitória e Permanente

Sumário 5 Resposta de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo 2 51 Resposta Transitória e Resposta em Regime Permanente 2 511 Valor Final 3 512 Erro de regime estacionário 4 513 Resposta de sistemas de 1ª ordem 5 514 Traçando sistemas de 1ª Ordem padrão 8 515 Aplicação em sistemas de medida 8 516 Exemplos 9 52 Resposta de sistemas de 2ª ordem 10 521 Caso 1 Sistema sem amortecimento ζ 0 10 522 Caso 2 Sistema subamortecido 0ζ1 11 523 Caso 3 Sistema criticamente amortecido ζ 1 13 524 Caso 4 Sistema superamortecido ζ 1 14 525 Curiosidades de sistemas de 2ª Ordem 15 526 Sistemas de 2ª ordem com fator de amortecimento ζ 1 18 527 Exemplos 19 53 Resposta de sistemas de ordem superior 20 54 Dominância de polos 21 55 Efeitos da adição de polos e zeros na resposta 22 551 Efeito da Adição de Zeros 22 552 Efeito da Adição de Polos 23 56 Polos com o Matlab 24 57 Importância do estudo dos polos 25 58 Exercícios de Revisão 25 59 Exercícios Propostos 26 510 Respostas 29 Resposta de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Sistemas LTI são sistema Lineares com P arâmetros Invariantes no Tempo do Inglês Linear Time Invariant O objetivo deste capítulo é apresentar as características básicas das respostas típicas de sistemas isto é verificar a influência na resposta de um sistema físico da entrada dos zeros e dos polos que são os que apresentam maior influência Resposta Transitória e Resposta em Regime Permanente Supondo o seguinte sistema G s Y s U s 25 s 2 s25 25 s 1 2 2 25 1 4 25 s 1 2 2 99 4 25 s 1 2 2 3 11 2 2 Observe que os polos deste sistema são dados por s 12 1 2 j 3 11 2 Resposta yt ao degrau unitário ut y t 1 e 1 2 t cos 3 11 2 t 11 33 sin 3 11 2 t pt 0 Neste caso observase que uma parte da resposta permanece e uma parte da resposta desaparece com o tempo A parte que desaparece com o tempo é chamada de R esposta T ransitória e a parte que permanece de R esposta em R egime P ermanente ou R esposta E stacionária A resposta em regime permanente não pr ecisa ser constante com o tempo P or exemplo calculando a resposta yt para uma entrada u t sin 15 t y t 200 1609 sin 15t 15 1609 cos 15t 5 17699 e 1 2 t 33 cos 3 11 2 t 401 11 sin 3 11 2 t pt 0 Curiosidade Pegando a Função de transferência e fazendo sj15 G j15 25 j15 2 j15 25 25 225 j15 25 25 j15200 25200j15 200j15 200j15 5000j375 40225 200j15 1609 Com o passar do tempo a exponencia l negativa elimina pa rte da resposta em ambos os casos sobrando apenas a parte referente à entrada As respostas são apresentadas na figura abaixo Figura 5 1 Exemplos de respostas para comparar a resposta T ransitória e Permanente Comentário Observe que a resposta transitória é fortemente influenciada pelos polos enquanto a resposta em regime permanente tem a presença apenas da entrada No final do capítulo haverá um item específico para a influência dos polos em função da resposta transitória Valor Final O valor final é obtido através do teorema do valor final lim t c t lim s0 sC s se lim t c t existir Onde ct representa a resposta do sistema Para garantir que ct exista o sistema deve ser classificado com Assintoticamente Estável que significa que todos os polos devem possuir parte real menor que zero e que a entrada não possua termos que oscilam O valor final está relacionado ao valor final na forma de uma constante Resposta em regime permanente ou resposta estacionária está associada à conduta do sistema quando o tempo tender ao infinito Exemplo Calcular o valor final da função de transferência abaixo para uma entrada tipo degrau unitário utilizando o teorema do valor final Gs Ys Us 25 s 2 s25 lim t y t lim s0 sY s lim s0 sG s U s lim s0 s 25 s 2 s25 1 s 1 Calcular o valor final para uma entrada u t sin 15t lim t y t lim s0 sY s lim s0 sG s U s lim s0 s 25 s 2 s25 15 s 2 15 2 0 Como se observa em ambos os casos teve um valor numérico para o cálculo do valor final utilizando Laplace entretanto ele só existe para o caso da entrada degrau unitário Comentário Quando é utilizad a uma entrada degrau unitário o valor final pode ser facilmente encontrado fazendo s 0 na função de transferência pois como observado no exemplo acima lim t y t lim s0 sY s lim s0 sG s U s lim s0 s 25 s 2 s25 1 s lim s0 25 s 2 s25 1 Erro de regime estacionário Erro de regime estacionário ou erro de regime permanente é definido pela diferença entre a entrada aplicada e o valor final Supondo que a resposta seja ct e a entrada rt então lim t rt ct lim s 0 s Rs Cs lim s 0 s 1 Cs Rs Rs lim s 0 s 1 Gs Rs Onde Gs é função de transferência que correlaciona a entrada Rs com a saída Cs Exemplo 5 1 Calcular o erro estacionário para a função de transferência abaixo para uma entrada degrau unitário Gs Ys Us 25 s 2 s25 Solução lim t ut yt lim s 0 s Us Ys lim s 0 s 1 Ys Us Us lim s 0 s 1 Gs Us Substituindo os valores lim s 0 s 1 G s U s lim s 0 s 1 25 s 2 s25 1 s 0 Resposta de sistemas de 1ª ordem Representação padrão da função de transferência de sistemas de 1ª ordem Hs K τs1 e θs Onde K é o ganho τ é a Constante de Tempo θ é o atraso de transporte A Constante de Tempo e o ganho podem ser observados utilizando a resposta ao degrau unitário assumindo que o atraso de transporte é zero Então Cs K τs1 1 s K 1 s τ τs1 K 1 s 1 s 1 τ Assim a transformada inversa de Laplace fica c t K 1 e t τ para t 0 Fazendo o tempo t igual à constante de tempo isto é calculando a resposta de cτ cτK 1 e τ τ K 1 e 1 K0632 Isto significa que a constante de tempo pode ser definida para um sistema sem atraso de transporte como o tempo necessário para q ue a resposta do sistema alcance 632 da resposta em regime permanent e Observe que para este caso a resposta em regime permanente é o valor final dado por K para uma entrada degrau unitário Quanto menor a constante de tempo mais rápido o sistema responde Outra característica importante da curva de resposta de um sistema de 1ª ordem padrão é que a inclinação da linha tangente em t 0 é K τ uma vez que d dt ct t0 K τ e t τ t0 K τ Além disso para a resposta ao degrau sem atraso de transporte quando t 1τ c1τ K0 632 t 2τ c2τ K0 865 t 3τ c3τ K0 950 t 4τ c4τ K0 982 t 5τ c5τ K0 993 Figura 5 2 Resposta de um sistema de 1ª ordem padrão para uma entrada degrau unitário Resposta à rampa unitária da função de transferência de 1ª ordem padrão sem atraso de transporte e assumindo K 1 C s 1 τs1 1 s² 1 s² τ s τ 2 τs1 1 s 2 τ s τ s 1 τ Cuja transformada inversa de Laplace c t tττ e t τ pt 0 Verificando a diferença entre a entrada rampa unitária e a resposta ct e t r t c t ttττ e t τ τ1 e t τ Erro de regime estacionário ou erro de regime permanente é calculado como lim t et lim t r t c t lim t τ 1 e t τ τ Significando que após a estabilização da resposta a diferença entre a rampa unitária e a resposta do sistema de 1ª ordem padrão sem atraso de transporte e com ganho K 1 é exatamente a constante de tempo Figura 5 3 Resposta de um sistema de 1ª ordem padrão para uma entrada rampa unitária Resposta a o impulso unitário C s K τs1 K τ 1 s1τ Então c t K τ e tτ O atraso de transporte θ simplesmente é um atras o imposto à resposta do sistema E ntão assumindo a seguinte função de transferência para o sistema de 1ª ordem padrão H 1 s K τs1 e H 2 s K τs1 e θs As d uas resposta s ao degrau unit ário são apresentada s na figura abaixo Observe que a única diferença é a presença do atraso de transporte Figura 5 4 Influê ncia do atraso de transporte na resposta c 1 tK 1 e t τ para t 0 c 2 tK 1 e t θ τ para t θ Outra representação para c 2 t é dada utilizando o degrau unitário defasado do atraso de transporte c 2 tK 1 e t θ τ 1 t θ para t 0 Traçando sistemas de 1ª Ordem padrão Traçando sistemas de 1ª ordem no M atlab G a s 75 3s2 e G b s 75 3s2 e 3s G b s 75 3s2 e 3s 375 15s1 e 3s Sistema sem atraso Ga tf 7 5 3 2 Sistema com Atraso Gb tf 7 5 3 2 iodelay 3 Resposta ao degrau unitário F igure step GaGb legend Sem Atraso Com Atraso Figura 5 5 Resposta de sistemas de 1ª ordem com o Matalb Aplicação em sistemas de medida Curiosidade Basicamente um sensor de medida pode ser representado por um sistema de 1ª ordem Sendo assim sabendose da influência da constante de tempo para o sistema de 1ª ordem o sistema de medida acompanhará as variações da entrada se sua constante de tempo for rápida o suficiente o mas se for relativamente lenta em relação às variações da entrada o sistema de 1ª ordem responderá como a média do sinal de entrada Como exemplo assume se uma entrada r t 2 sin t e dois sistema de 1ª ordem conforme H 1 s 1 01s1 e H 2 s 1 20s1 a Sistema H 1 b Sistema H 2 Figura 5 6 Efeitos da constante de tempo em sistemas de 1ª ordem Observase que uma constante de tempo de 01 segundo foi suficiente para acompanhar a entrada mas para a constante de tempo de 20 segundos a resposta foi em torno da média Exemplos Exemplo 5 2 Determinar as constantes básicas do sistema de 1ª ordem definido abaixo e determinar a sua resposta à entrada degrau 3 Hs 5 4s7 e 2s Solução Para resolver este problema a função de transferência acima deve ser comparada com uma função de transferência de 1ª ordem padrão assim Hs 5 4s7 e 2s Forma padrão Hs 5 7 4 7 s1 e 2s Assim Ganho K 57 Constante de tempo τ 47 segundos Atraso de transporte θ 2 segundos A resposta ao degrau 3 ct 15 7 1 e t 2 47 1 t 2 para t 0 Figura 5 7 Resposta temporal do exercício resolvido 1 Resposta de sistemas de 2ª ordem Sistema de 2ª Ordem padrão é definido por Gs K ω n 2 s 2 2ζ ω n s ω n 2 Onde K é o ganho ζ é o fator de amortecimento ω n é frequência natural em rads Como o atraso de transporte apenas desloca no tempo a resposta ele não será considerado neste caso As influê ncias principais vê m do fator de amortecimento e da frequência natural que altera os polos do sistema A s an á lises abaixo serão feitas utilizando o degrau unitário Caso 1 Sistema sem amortecimento ζ 0 Função de Transferência Gs K ω n 2 s 2 ω n 2 Polos puramente imaginários s 12 j ω n com j 1 Resposta ao degrau unitário C s K ω n 2 s 2 ω n 2 1 s K 1 s s s 2 ω n 2 c t K 1 cos ω n t pt 0 Característica da resposta Sistema oscila continuamente com frequência ω n Influência da frequência natural Assumindo os sistemas abaixo observe que K2 mas frequência natural ω n 5 rads e ω n 10 rads G 1 s 50 s 2 25 e G 2 s 200 s 2 100 Figura 5 8 Sistemas de 2ª ordem sem amortecimento Caso 2 Sistema subamortecido 0ζ1 Função de Transferência Gs K ω n 2 s 2 2ζ ω n s ω n 2 Polos complexos conjugados s 12 ζ ω n j ω d com ω d ω n 1 ζ 2 Sendo ω d a frequência natural amortecida em rads Resposta ao degrau unitário C s K ω n 2 s 2 2ζ ω n s ω n 2 1 s K 1 s s2ζ ω n s 2 2ζ ω n s ω n 2 K 1 s s2ζ ω n sζ ω n 2 ω n 2 1 ζ 2 K 1 s s2ζ ω n sζ ω n 2 ω d 2 Rearranjando C s K 1 s sζ ω n sζ ω n 2 ω d 2 ζ ω n ω d ω d sζ ω n 2 ω d 2 K 1 s sζ ω n sζ ω n 2 ω d 2 ζ ω n ω n 1 ζ 2 ω d sζ ω n 2 ω d 2 Cuja transformada inversa de Laplace é dada por c t K 1 e ζ ω n t cos ω d t ζ 1 ζ 2 sin ω d t para t0 Que pode também ser escrita como ctK 1 e ζ ω n t 1 ζ 2 sin ω d tt g 1 1 ζ 2 ζ para t0 Para se chegar nesta forma aplicase a seguinte relação trigonométrica a sin ω tb cos ω t a 2 b 2 sin ωtϕ onde tan ϕ b a Assim para amplitude e fase 1 2 ζ 1 ζ 2 2 1 1 ζ 2 e tan ϕ 1 ζ 1 ζ 2 1 ζ 2 ζ Característica da resposta Sistema oscila com frequência natural amortecida ω d que é a parte imaginária dos polos e a oscilação decai com a exponencial que é a parte real dos polos Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos e a oscilação é a parte imaginária dos polos Além disso a parte real dos polos é responsável pelo sinal da exponencial se for positiva as oscilações aumentarão com o tempo e se for negativa as oscilações diminuirão com o tempo Influê ncia do fator de amortecimento Assumindo os sistemas abaixo observe que K 2 e ω n 5 rads mas os fatores de amortecimento são 01 e 05 G 3 s 50 s 2 s25 e G 4 s 50 s 2 5s25 Figura 5 9 Influê ncia do amortecimento em sistemas de 2ª ordem Influê ncia da frequência natural Assumindo os sistemas abaixo observe que K 2 e fatores de amortecimento iguais a 0 2 5 mas frequência natural ω n 5 rads e ω n 10 rads G 5 s 50 s 2 25s25 e G 6 s 200 s 2 5s100 Figura 5 10 Influê ncia da frequência natural em sistemas de 2ª ordem Caso 3 Sistema criticamente amortecido ζ 1 Função de Transferência Gs K ω n 2 s 2 2 ω n s ω n 2 K ω n 2 s ω n 2 Polos reais e iguais s 12 ω n Resposta ao degrau unitário Cs K ω n 2 s ω n 2 1 s K 1 s 1 s ω n ω n s ω n 2 Cuja transformada inversa de Laplace é dada por c t K 1 e ω n t ω n e ω n t t K11 ω n t e ω n t para t 0 Característica da resposta Sistema não oscila Perceba que a resposta geral é a mesma para dois sistemas de 1ª ordem cuja entrada de um seja a saída do outro chamado de sistemas em série Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos Além disso a parte real dos polos é respon sável pelo sinal da exponencial se for positiva a resposta aumentar á com o tempo e se for negativa a reposta diminuir á com o tempo Influê ncia da frequência natural Assumindo os sistemas abaixo observe que K 2 e fatores de amortecimento iguais a 1 mas frequência natural ω n 5 rads e ω n 10 rads G 7 s 50 s 2 10s25 e G 8 s 200 s 2 20s100 Figura 5 11 Influência da frequência natural para sistemas e 2ª ordem Caso 4 Sistema superamortecido ζ 1 Função de Transferência Gs K ω n 2 s 2 2ζ ω n s ω n 2 K ω n 2 s s 1 s s 2 Polos reais negativos e diferentes s 12 ζ ζ 2 1 ω n Resposta ao degrau unitário Cs K ω n 2 s s 1 s s 2 1 s K 1 s ω n 2 s 1 ζ 2 1 1 s s 1 ω n 2 s 2 ζ 2 1 1 s s 2 Cuja transformada inversa de Laplace é dada por c t K 1 ω n s 1 2 ζ 2 1 e s 1 t ω n s 2 2 ζ 2 1 e s 2 t K 1 ω n 2 ζ 2 1 e s 1 t s 1 e s 2 t s 2 Característica da resposta Sistema não oscila Perceba que a resposta geral é a mesma para dois sistemas de 1ª ordem cuja entrada de um seja a saída do outro chamado de sistemas em série Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos Além disso a parte real dos polos é respon sável pelo sinal da exponencial se for positiva a resposta aumentará com o tempo e se for negativa a reposta diminuirá com o tempo Influê ncia d o fator de amortecimento Assumindo os sistemas abaixo observe que K 2 e frequência s naturais ω n 5 rads mas fatores de amortecimento 2 e 3 G 9 s 50 s 2 20s25 e G 10 s 50 s 2 30s25 Figura 5 12 Influê ncia do fator de amortecimento em sistemas de 2 ª ordem Curiosidades de sistemas de 2ª Ordem Fenômeno de Ressonância Resposta de um sistema de 2ª ordem padrão sem amortecimento a uma entrada senoidal com as mesmas frequências Isto é conhecido como ressonância G s C s R s 9 s 2 9 com rt sin 3t Então C s 9 s 2 9 3 s 2 9 AsB s 2 9 C s 2 DsE s 2 9 2 1 2 3 s 2 9 3 2 s 2 9 s 2 9 2 Observase que A D 0 fazendo B 32 C 32 E 272 Então para proceder com a transformada inversa de Laplace devese observar a propriedade L tft d ds Fs Então L sin ωt ω s 2 ω 2 e L t sin ωt 2ωs s 2 ω 2 2 E L cos ωt s s 2 ω 2 e L t cos ωt s 2 ω 2 s 2 ω 2 2 Calculando a transformada de Laplace de 1 2 L sin 3t 3 2 L t cos 3t 1 2 3 s 2 9 3 2 s 2 9 s 2 9 2 27 s 2 9 2 Então ct 1 2 sin 3t 3 2 t cos 3t para t 0 Is s o significa que as oscilações irão aumentar continuamente até o infinito Casos a partir do Caso 2 Sistema subamortecido 0 ζ 1 Função de Transferência Gs K ω n 2 s 2 2ζ ω n s ω n 2 Polos complexos conjugados s 12 ζ ω n j ω d com ω d ω n 1 ζ 2 Sendo ω d a frequência natural amortecida em rads Resposta ao degrau unitário ctK 1 e ζ ω n t cos ω d t ζ 1 ζ 2 sin ω d t para t 0 Fazendo ζ 0 Caso 1 ω d ω n 1 ζ 2 ζ0 ω d ω n s 12 ζ ω n j ω d ζ 0 s 12 j ω n c t K 1 e ζ ω n t cos ω d t ζ 1 ζ 2 sin ω d t ζ 0 c t K 1 cos ω n t p t 0 Fazendo ζ 1 Caso 3 ω d ω n 1 ζ 2 ζ1 ω d 0 s 12 ζ ω n j ω d ζ 1 s 12 ω n c tK 1 e ω n t cos 0t 1 1 1 2 sin 0t para t 0 Como ambos o seno e a raiz quadrada tenderão para zero é necessário aplicar LH ô pital mas na forma expandida para o c á lculo assim lim ζ 1 ζ 1 ζ 2 sin ω n 1 ζ 2 t l H ô pital lim ζ 1 sin ω n 1 ζ 2 t ζ 2 ω n t cos ω n 1 ζ 2 t 1 ζ 2 ζ 1 ζ 2 ω n t Então ctK 1 e ω n t 1 ω n t para t 0 Fazendo ζ 1 Caso 4 ω d ω n 1 ζ 2 ζ1 ω d j ω n ζ 2 1 j ω f s 12 ζ ω n j ω d ζ1 s 12 ζ ω n ω n ζ 2 1 ζ ω n ω f c tK 1 e ζ ω n t cos j ω f t ζ j ζ 2 1 sin j ω f t para t 0 Através da f ó rmula de Euler para senos e cossenos cos θ e jθ e jθ 2 e sin θ e jθ e jθ 2j Aplicando na resposta cos j ω f t e ω f t e ω f t 2 cos h ω f t sin j ω f t e ω f t e ω f t 2j j sin h ω f t Substituindo na resposta ctK 1 e ζ ω n t e ω f t e ω f t 2 ζ ω n j ω f e ω f t e ω f t 2j Rearranjando os termos ctK 1 e ζ ω n t 2 ω f ω f e ω f t e ω f t ζ ω n e ω f t e ω f t c tK 1 e ζ ω n t 2 ω f ζ ω n ω f e ω f t ζ ω n ω f e ω f t Substituindo os polos c t K 1 e ζ ω n t 2 ω f s 2 e ω f t s 1 e ω f t K 1 1 2 ω f s 2 e ω f t e ζ ω n t s 1 e ω f t e ζ ω n t K 1 1 2 ω f s 2 e ζ ω n ω f t s 1 e ζ ω n ω f t K 1 1 2 ω n ζ 2 1 s 2 e s 1 t s 1 e s 2 t Dividindo pelas raízes ctK 1 s 1 s 2 2 ω n ζ 2 1 e s 1 t s 1 e s 2 t s 2 Expandindo as raízes ctK 1 ω n 2 ζ 2 1 e s 1 t s 1 e s 2 t s 2 para t 0 Sistemas de 2ª ordem com fator de amortecimento ζ1 Neste caso o sistema de 2ª ordem pode ser representado por dois sistemas de 1ª ordem em série por exemplo Gs 100 s 2 25s100 Sendo que ω n 10 rads e ζ125 contudo observe que Gs 100 s 2 25s100 1 02s1 1 005s1 Neste caso foi possível representar o sistema de 2ª ordem superamortecido por dois sistemas de 1ª ordem em série Exemplo s Exemplo 5 3 Para as funções de transferência abaixo determinar os parâmetros de uma função de transferência padrão de 2ª ordem G 1 s 5 3 s 2 4s7 G 2 s 2s5 3 s 2 4s7 G 3 s s 2 2s5 3 s 2 4s7 Observe que todas as funções de transferência possuem o mesmo denominador assim comparando com uma função de transferência de 2ª ordem padrão G 1 s 5 3 s 2 4s7 Forma padrão G 1 s 53 s 2 43s73 Assim Ganho K 57 Frequência natural ω n 7 3 rads Fator de amortecimento ζ 2 3 3 7 Entretanto para as formas de G 2 s e G 3 s não são formas padrão Para verificar a influência dos zeros na função de transferência de uma função não padrão é apresentado a resposta ao degrau unitário na figura abaixo Figura 5 13 Resposta temporal do exercício resolvido 2 Curiosidade s Teorema do valor final lim t c t lim s 0 sC s lim s 0 s G 123 s 1 s 5 7 Observe que todas apresentam valor final Teorema do valor inicial lim t 0 ct lim s sCs lim s s G 3 s 1 s 1 3 Observe que apenas a G 3 s apresenta valor inicial diferente de zero Uma forma alternativa de encontrar o valor do ganho k para um sistema qualquer é através da equação K c c 0 r r 0 Onde os valores de c c0 r e r0 são dados pelos gráficos de resposta ct e entrada rt Resposta de sistemas de ordem superior De modo geral pode ser observado que a resposta do sistema depende da entrada e do tipo de polos Polos complexos conjugados fazem o sistema oscilar polos puramente reais geram apenas exponenciais Assim em sistemas de ordem superior isto é 3ª ordem 4ª ordem etc a resposta geral será uma composição de exponenciais puras e te r mos com exponenciais multiplicando termos oscilantes Como exemplo supondo o sistema abaixo Gs 5 s1 2 s 2 3s5 Aplicando uma entrada degrau unitário a resposta fica c t 1 5 4 e t 1 4 e 3 4 t cos 31 4 t 17 31 31 sin 31 4 t p t 0 C omparando o denominador da função de transferência com um denominador de 2ª ordem padrão 2 s 2 3s5 s 2 3 2 s 5 2 s 2 2ζ ω n s ω n 2 Assim ω n 5 2 rad s ζ 3 4 2 5 ω d 31 4 rads e s 12 3 4 j 31 4 Observando assim a existência da influência dos polos complexos conjugados na resposta assim como do polo puramente real Outro exemplo é dado por Hs 36 s 2 3s9 s 2 4 Cujos polos são s 12 3 2 j 3 3 2 e s 34 j2 Aplicando uma entrada degrau unitário a resposta fica c t 1 9 61 5 cos 2 t 6 sin 2 t 16 61 e 3 2 t cos 3 3 2 t 3 6 sin 3 3 2 t p t0 Neste caso está presente na resposta tanto a frequência natural amortecida proveniente do polo complexo conjugado quanto d a frequência natural da resposta proveniente dos polos puramente imaginários Assim como previsto anteriormente a oscilação proveniente do polo com amortecimento será eliminada com o passar do tempo enquanto a oscilação proveniente do polo sem amortecimento continuará indefinidamente Dominância de polos Em sistemas com múltiplos polos pode ocorrer dominância de um conjunto de polos sobre outro conjunto de polos os polos que têm maior influência na resposta são os chamados polos dominantes Por exemplo considerando dois sistemas G 1 s 69 s6 s 2 06s9 e G 2 s 06 900 s06 s 2 6s900 Observe que os polos de G 1 s G 2 s são dados por Para G 1 s s 1 60 e s 23 03j0298 Para G 2 s s 1 06 e s 23 30j2980 Observase que os polos foram escolhidos para que a parte real fosse 5 x maior entre as funções de transferência aplicando uma entrada degrau unitário obtêmse as respostas abaixo Figura 5 14 Resposta de sistema de ordem superior Observase que quem determina a dinâmica da resposta de G 1 s são os polos complexos conjugados e o que determina a dinâmica da resposta de G 2 s é o polo puramente real Assim podese dizer que quem determina a dinâmica das funções de transferência são os polos dominantes são os polos que apresentam o menor valor real absoluto Efeitos da adição de polos e zeros na resposta De maneira geral a interpreta ção d as influências da adição de polos e zeros na resposta do sistema pode ser feita através da localização dos polos e zeros adicionados em relação os polos e zeros originais Por exemplo assumindo uma função de transferência Gs na forma G 1 s 25 s 2 5s25 Cujo polo está posicionado em s 12 25j433 Comentário Aqui é apresentado apenas os casos em que os polos e zeros possuem parte real negativa e são da forma puramente real Efeito da Adição de Zeros Adicionando um zero conforme abaixo G 1 s 50 s 2 5s25 e G 2 s 125 s4 s 2 5s25 e G 3 25 s2 s 2 5s25 Obtémse a resposta ao degrau unitário abaixo Observase que à medida que o zero adicionado tem o seu módulo diminuído o sistema responde mais rápido porém a amplitude oscilação também aumenta Por outro lado se o zero apresentar um valor negativo grande ele praticamente não influencia na resposta Figura 5 15 Efeito da adição de zero Efeito da Adição de Polos Adicionando um polo conforme abaixo G 1 s 50 s 2 5s25 e G 2 s 200 s 2 5s25 s4 e G 3 1 00 s 2 5s25 s 2 Obtémse a resposta ao degrau unitário abaixo Observase que à medida que o polo adicionado tem o seu módulo diminuído o sistema responde mais lentamente e a amplitude oscilação também diminui Nos estremos temse a relação de dominância dos polos já apresentada anteriormente Figura 5 16 Efeito da adição de polos Polos com o Matlab Curiosidade Os cálculos dos polos podem feitos utilizando o programa Matlab G s 10 s 2 24s9 s2 10 s 3 44 s 2 138s18 Cá lculo d os polos utilizando comando damp clear all apaga todas as variáveis close all fecha todas as janelas gráficas clc apaga a tela do matlab Define a função de transferência Gs G tf 10 1 44 138 18 Retirada das informações dos polos dampG Pole Damping Frequency Time Constant rad seconds seconds 200e00 100e00 200e00 500e01 120e00 275e00i 400e01 300e00 833e01 120e00 275e00i 400e01 300e00 833e01 Para o polo puramente real apareceu uma frequência natural e um fator de amortecimento que estão associados a polos complexos conjugados Porém assumindo a forma de um polo complexo conjugado s 12 ζ ω n j ω d ζ ω n j ω n 1 ζ 2 Para o polo complexo conjugado ser um polo puramente real é necessário o seu fator de amortecimento se ja igual a unidade para eliminar a parte imaginária assim sua frequência natural será igual à parte real 2ζ ω n j ω n 1 ζ 2 ζ1 e ω n 2 rads Para o polo complexo conjugado apresentar uma constante de tempo comparase as exponenciais provenientes da resposta ao degrau unitário de um sistema de 1ª ordem padrão com um sistema de 2ª ordem padrão conforme c t K 1 e t τ ctK 1 e ζ ω n t cos ω d t ζ 1 ζ 2 sin ω d t Assim e t τ e ζ ω n t τ 1 ζ ω n A frequência natural e fator de amortecimento são extraídos dos polos complexos conjugados observando que o módulo do polo é a frequência natural conforme s 12 ζ ω n j ω d ζ ω n j ω n 1 ζ 2 ζ ω n 2 ω n 1 ζ 2 2 ω n O fator de amortecimento é dado pela comparação entre as partes reais do polo Importância do estudo dos polos Na mecânica em geral o estudo dos polos é considerado um dos mais importantes estudos a serem feitos tanto em sistemas de controle quanto em sistemas sem controle pois os polos são associados à resposta transitória isto é toda vez que haver alteração na entrada o sistema apresentará resposta transitória Por exemplo para o sistema abaixo aplicase um degrau no instante t 0 e mais um degrau no instante t 10 segundos G s 25 s 2 25s25 Figura 5 17 Efeito de polos na resposta transitória Como observado a resposta transitória aparece em cada aplicação da entrada Exercícios de Revisão Para a de transferência abaixo H s 7 3s5 e 2s Determinar a Constante de tempo τ Ganho estático K e atraso de transporte θ Traçar a resposta ao degrau de amplitude 4 indicando no gráfico os parâmetros da função de transferência Para a de transferência abaixo G s 40 5 s 2 3s50 Determinar a frequência natural ω n Fator de Amortecimento ζ e Ganho estático K Calcular o Valor Final para uma entrada degrau de amplitude 3 Exercícios Propostos Qual a Função de transferência para as respostas abaixo a b Para a resposta ao degrau abaixo sabendose que a entrada aplicada foi um degrau de amplitude 2 pedese Determinar a função de transferência de 1ª ordem padrão Com a função de transferência acima trace o gráfico da resposta ao degrau de amplitude 3 apontando os principais fatores no gráfico Desenhar a resposta ao degrau unitário das seguintes Funções de transferência abaixo a Gs 7 5s1 e 3s b Gs 2 3s1 e 5s Determinar as funções de transferência padrão para Função de transferência de 1ª ordem padrão com constante de tempo 5s atraso de transporte 4s e resposta em regime permanente yt 07 para uma entrada rt degrau de amplitude 2 Função de transferência de 2ª ordem padrão com frequência natural n 10 rads fator de amortecimento 07 atraso de transporte 4s e resposta em regime permanente yt 18 para uma entrada rt degrau unitário Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98 da resposta a uma entrada em degrau Suponha que o termômetro seja um sistema de primeira ordem sem atraso de transporte e com ganho unitário D etermine a constante de tempo Se o termômetro for imerso em um banho cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10min qual será o erro apresentado pelo termômetro Dica a entrada não é tipo degrau Considerando o sistema apresentado na figura abaixo determine os valores de K e k de modo que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento ζ igual a 07 e uma frequência natural não amortecida ω n de 4 rads Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s K sJsB Discuta os efeitos que as variações de K e B produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária Esboce as curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos médios e elevados de K supondo que B seja constante Respostas 1 a C s R s 5 4s1 e 3s b C s R s 3 5s1 e 3s 2 a C s R s 3 3s1 e 2s b Resposta ao degrau 3 3 a b 4 a C s R s 035 5s1 e 4s b C s R s 180 s 2 14s100 e 4s 5 a Constante de tempo τ15337s b Erro apresentado para temperatura com taxa de 10Cmin e t 2556 6 K16 k0225 7 Um aumento em K diminui o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária e um aumento em B aumenta o erro uma vez que este é sempre BK para a função de transferência de malha aberta Gs dada 213 213