Estudos Orientados de Controles e Servomecanismos

1 Número 25 Agosto 2014 Estudos Orientados de Controles e Servomecanismos 2ª edição Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estes Estudos Orientados têm o objetivo de complementar o material apresentado no Roteiro da disciplina disponível na Sala Virtual nas Notas de Aula volumes 1 2 3 4 e anexos httpwwwmaxwellvracpucriobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq168951 httpwwwmaxwellvracpucriobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq169011 httpwwwmaxwellvracpucriobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq174141 httpwwwmaxwellvracpucriobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq174201 e httpwwwmaxwellvracpucriobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq232631 e no Livro de Controles e Servomecanismos httpwwwmaxwellvracpuc riobrlivrosLIVROSERVOMECindexServomecanismoshtml da Coleção Livros Interativos de Engenharia Elétrica httpwwwmaxwellvracpucriobrlivrosindexhtml Eles apresentam exercícios mais complexos para serem resolvidos e servirem de uma ferramenta de estudo durante o período letivo como parte das atividades a serem realizadas a distância Muitos deles são baseados em dígitos das matrículas dos alunos de tal forma que quando dois ou mais alunos estudarem juntos estarão resolvendo problemas distintos Lembre que a mudança de parâmetros altera o comportamento dos sistemas 3 Estudo Orientado 1 Revisão de Sinais Sistemas Número de matrícula Este Estudo Orientado é voltado a uma recapitulação de conceitos básicos dos SLITTC aprendidos em Sinais e Sistemas e a uma recapitulação do uso do MATLAB também estudado na disciplina mencionada Problema Um sistema linear e no tempo invariante bastante conhecido é o circuito de 2a ordem RLC série Ele é exaustivamente estudado na disciplina de Circuitos Elétricos Neste estudo orientado ele terá a função de ilustrar o uso do MATLAB e o estabelecimento de comparação com as soluções analíticas Considere o circuito representado pela figura a seguir No circuito dois elementos já foram determinados valem F 10 C e H L 10 Faça o valor do resistor igual ao sétimo dígito de sua matrícula com a unidade de k Considere que a saída a ser medida é a tensão no resistor e que as análises serão feitas no domínio do tempo Inicialmente calcule analiticamente as funções dos itens a seguir a A resposta impulsional b A resposta ao degrau unitário c A resposta à função 50t sen vt 300 Agora utilize o MATLAB para determinar as mesmas funções e compare os resultados d Utilize o MATLAB para determinar a resposta impulsional e Utilize o MATLAB para determinar a resposta ao degrau unitário f Utilize o MATLAB para determinar a resposta à função 50t sen vt 300 A seguir serão exercitadas algumas propriedades dos SLITTC e decomposiçãocomposição de funções g Sem fazer contas usando somente as propriedades determine a resposta do circuito quando a entrada for t 2 u 10 vt 1 h Sem fazer contas usando somente as propriedades determine a resposta do circuito quando a entrada for do intervalo fora 0 5 t 0 10 vt 1o dígito 2o dígito 3o dígito 4o dígito 5o dígito 6o dígito 7o dígito DV 4 Estudo Orientado 2 Variáveis de Estado Modelos Número de matrícula Este Estudo Orientado é voltado à representação de um SLITTC através de variáveis de estado Ele é o primeiro de um conjunto que guiará o estudo dos SLIT utilizando o controle moderno Por ser o primeiro ele tem por foco a descrição de um SLITTC através de variáveis de estado utilizando conjuntos de variáveis de estado distintas Apresentação do sistema O motor DC como os demais motores eletromecânicos é um transdutor que converte energia elétrica em energia mecânica sendo as variáveis associadas a esta última rotacionais Existe o correspondente ao motor DC porém com as variáveis de movimento lineares é o atuador DC linear Considerese que um condutor conduzindo uma corrente iat é colocado em um campo magnético de fluxo O torque que se desenvolve relacionase com a corrente e com o fluxo através da seguinte expressão i t K Tt a 1 onde K é uma constante de proporcionalidade À medida que o condutor se desloca no campo magnético uma tensão aparece em seus terminais é a força contraeletromotriz induzida A relação entre a força contraeletromotriz induzida e a velocidade com que o condutor corta o campo magnético é K t V t V b 2 onde Vbt é a forçacontraletromotriz induzida t é a velocidade e KV é uma constante de proporcionalidade Estas duas expressões 1 e 2 representam a base da modelagem dos motores DC O motor a ser analisado nesta prova é de fluxo constante podendo este fluxo ser produzido por um ímã permanente ou por uma corrente constante passando por um enrolamento indutor de campo A figura a seguir representa de forma esquemática o modelo de um motor DC excitado por armadura Figura 1 Modelo esquemático de um motor DC excitado por armadura 1o dígito 2o dígito 3o dígito 4o dígito 5o dígito 6o dígito 7o dígito DV 5 Na figura 1 fi t é a corrente constante que gera o fluxo também constante uat é a excitação de armadura que é a variável de controle do motor iat é a corrente que flui na armadura em decorrência da excitação variável uat Ra é a resistência do enrolamento de armadura La é a indutância da armudura Vbt é a força contraeletromotirz induzida que aparece nos terminais da armadura t é a posição angular do eixo do motor d t dt t é a velocidade angular do eixo do motor Tt é o torque desenvolvido pelo eixo do motor f é a força de atrito que atua sobre o eixo J é a inércia do eixo e de sua carga A armadura é o rotor parte móvel O campo é o estator parte fixa As equações que regem o motor são O fluxo entre o estator e o rotor é proporcional à corrente de campo f f f f K i K i t t 3 O torque desenvolvido pelo eixo do motor é proporcional ao fluxo e à corrente de armadura i t K i t K Tt T a a 4 A equação da malha da armadura é V t dt diat L R i t u t b a a a a 5 A equação que relaciona força contraeletromotriz induzida com velocidade angular do eixo do motor é dt K d t K t t K V t b b V b 6 A expressão que relaciona torque com velocidade angular é 2 2 dt t J d dt f d t Tt 7 Como mencionado anteriormente o motor DC será utilizado para controlar a posição de uma válvula que permitirá a passagem de maior ou menor quantidade de um fluido A relação entre a posição do eixo do motor e a quantidade de volume do fluido é vt t dt dvt 8 Na expressão 8 é uma constante de proporcionalidade entre a posição do eixo e a taxa de variação do volume de líquido e vt é o volume de líquido Este conjunto de variáveis e de suas relações compõe o modelo que será usado para estudar o motor DC no controle do volume de líquido Definamse as variáveis de entrada e de saída a serem usadas u t ut a 9 6 vt yt 10 Valores dos parâmetros a serem usados Nas expressões anteriores várias constantes foram apresentadas A elas serão atribuídos valores numéricos sem qualquer relação com a realidade para fins de cálculos das soluções Utilize os dígitos da matrícula daquele que preencheu como aluno 1 nulo não dígito o primeiro vezes Ra 10 nulo não dígito La o segundo nulo não dígito o terceiro vezes f 01 nulo não dígito o quarto vezes 10 J nulo não dígito o primeiro vezes KT 05 nulo não dígito o segundo vezes Kb 01 nulo não dígito o terceiro Observe que a escolha dos parâmetros não obedece qualquer significado físico Os números assim usados servem somente para gerar modelos diferentes para os alunos poderem estudar juntos e comparar diferentes situações Problema no 1 Examine as expressões apresentadas e as simplifique até chegar a expressões que não possam mais ser simplificadas Depois de chegar a elas determine a ordem do modelo de estado que você pretende encontrar justifique esta afirmativa Problema no 2 Defina as variáveis de estado físicas e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais Verifique se a resposta deste problema está coerente com a ordem esperada do problema no 1 Problema no 3 Agora resolva novamente o problema no 2 utilizando as mesmas variáveis de estado porém na ordem inversa de definição Compare o novo modelo obtido com o do problema anterior o que você pode observar Problema no 4 Agora resolva novamente o problema no 2 utilizando as variáveis de estado multiplicadas pelos valores de seus índices ou seja a primeira variável é a mesma do problema no 2 a segunda é duas vezes a segunda do problema no 2 e assim sucessivamente Observe que as variáveis não terão sentido físico como no problema no 2 Compare o novo modelo obtido com o do problema anterior o que você pode observar 7 Estudo Orientado 3 Variáveis de Estado Modelos Este Estudo Orientado é uma continuação do anterior mas para resolvêlo é necessário que você já tenha estudado a relação entre o modelo por variáveis de estado e a função de transferência Se você ainda não o fez use os livros recomendados ou as Notas de Aula Volume 1 que podem ser encontradas em httpwwwmaxwellvracpuc riobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq168951 O foco deste Estudo Orientado é mostrar através de um exemplo que ainda que haja duas ou mais representações com variáveis de estado distintas a função de transferência é única Problema no 1 Determine a função de transferência do sistema a partir do modelo obtido no problema no 2 do Estudo Orientado anterior Problema no 2 Determine os pólos da função de transferência do problema no 1 deste Estudo Orientado e os autovalores da matriz de estado do problema no 2 do Estudo Orientado anterior e confira que são iguais Problema no 3 Determine a função de transferência do sistema a partir do modelo obtido no problema no 3 do Estudo Orientado anterior Problema no 4 Determine os pólos da função de transferência do problema no 3 deste estudo e os autovalores da matriz de estado do problema no 3 do Estudo Orientado anterior e confira que são iguais Problema no 5 Determine a função de transferência do sistema a partir do modelo obtido no problema no 4 do Estudo Orientado anterior Problema no 6 Determine os pólos da função de transferência do problema no 5 deste Estudo Orientado e os autovalores da matriz de estado do problema no 4 do Estudo Orientado anterior e confira que são iguais Problema no 7 Compare as funções de transferência obtidas nos problemas no 1 no 3 e no 5 deste Estudo Orientado O que você pode concluir 8 Estudo Orientado 4 Variáveis de Estado Controlabilidade Este Estudo Orientado é em parte uma continuação do anterior mas para resolvêlo é necessário que você já tenha estudado os aspectos teóricos da Controlabilidade Uma observação importante é que o motor DC está sendo usado como exemplo de um SLITTC para estudar os diferentes conceitos e métodos associados à parte inicial da disciplina Porém este estudo contempla também outros tipos de sistemas Problema no 1 Considere a equação de estado determinada no problema no 2 do Estudo Orientado 2 e determine se o sistema é controlável Se não for determine o seu índice de controlabilidade Problema no 2 Utilize uma transformação de similaridade e detemine a equação de estado do problema anterior com a matriz de estado na forma diagonal Determine se o sistema é controlável e se não for o seu índice de controlabilidade Problema no 3 Examine a função de transferência obtida em um dos problemas do Estudo Orinteado 3 e verifique se há cancelamento de pólos com zeros Não há O que você pode inferir sobre isto Problema no 4 Considere o SLITTD representado por x0 uk 3 2 1 xk 07 0 0 0 06 0 0 0 05 xk 1 k 1 x 1 2 yk Determine a Se o sistema é controlável b A função de transferência do sistema Problema no 5 Considere o SLITTD representado por x0 uk 3 2 1 xk 07 0 0 0 05 0 0 0 05 xk 1 k 1 x 1 2 yk 9 Determine a Se o sistema é controlável b A função de transferência do sistema Problema no 6 Considere o SLITTD representado por x0 uk 3 2 1 xk 05 0 0 0 05 0 0 0 05 xk 1 k 1 x 1 2 yk Determine a Se o sistema é controlável b A função de transferência do sistema 10 Estudo Orientado 5 Variáveis de Estado Observabilidade Este Estudo Orientado é em parte uma continuação dos anteriores mas para resolvêlo é necessário que você já tenha estudado os aspectos teóricos da Observabilidade Uma observação importante é que o motor DC está sendo usado como exemplo de um SLITTC para estudar os diferentes conceitos e métodos associados à parte inicial da disciplina Porém este estudo contempla também outros tipos de sistemas Problema no 1 Considere a equação de estado determinada no problema no 2 do Estudo Orientado 2 e determine se o sistema é observável Se não for determine o seu índice de controlabilidade Problema no 2 Aproveite o resultado do problema no 2 estado do Estudo Orientado 4 e determine se o sistema é observável e se não for o seu índice de observabilidade Problema no 3 Examine a função de transferência obtida em um dos problemas do Estudo Orinteado 3 e verifique se há cancelamento de pólos com zeros Não há O que você pode inferir sobre isto Problema no 4 Considere o SLITTD representado por x0 uk 3 2 1 xk 07 0 0 0 06 0 0 0 05 xk 1 k 1 x 1 2 yk Determine a Se o sistema é observável b A função de transferência do sistema Problema no 5 Considere o SLITTD representado por x0 uk 3 2 1 xk 07 0 0 0 05 0 0 0 05 xk 1 k 1 x 1 2 yk Determine 11 a Se o sistema é controlável b A função de transferência do sistema Problema no 6 Considere o SLITTD representado por x0 uk 3 2 1 xk 05 0 0 0 05 0 0 0 05 xk 1 k 1 x 1 2 yk Determine a Se o sistema é controlável b A função de transferência do sistema 12 Estudo Orientado 6 Controlabilidade e Observabilidade Número de matrícula Apresentação do primeira parte sistemas a tempo discreto Inicialmente você criará um filtro digital IIR Infinite Impulse Response um sistema a tempo discreto com resposta impulsional de duração infinita As regras de criação são Será linear e invariante Inicialmente será controlável e observável Inicialmente será modelado por uma equação dinâmica na segunda forma canônica controlável Crie o filtro através de seu modelo de estado na segunda forma canônica controlável como Ordem 4 Autovalores da matriz A escolhidos em função do número de matrícula do aluno 1 como Primeiro autovalor primeiro dígito não nulo do número de matrícula dividido por 10 Segundo autovalor primeiro dígito após o primeiro dígito não nulo do número de matrícula dividido por 10 Terceiro autovalor segundo dígito após o primeiro dígito não nulo do número de matrícula pode ser zero dividido por 10 Quarto autovalor último dígito do número de matrícula dividido por 10 O vetor de saída é 4 3 2 1 c c c c c No qual de matrícula do número dígito c1 último Os demais dígitos são nulos O termo de conexão direta entradasaída é nulo Problema no 1 Com as especificações anteriores resolva os seguintes itens a Escreva a equação dinâmica pedida Considere as condições iniciais nulas b A partir da equação dinâmica determine a função de transferência c Desenhe o diagrama de pólos e zeros no plano complexo d Determine se este modelo é observável Após a solução do problema no 1 multiplique a função de transferência nele determinada pelo fator 2 z 2 z Observe que ao fazer esta operação a função de transferência não será modificada no que diz respeito aos seus efeitos visto que o fator vale 1 Ela se tornará não mínima pois se o engenheiro quiser poderá simplificar as raízes comuns entre o numerador e o denominador No caso não será feita a simplificação para resolver o problema no 2 Com esta nova função ordem 5 resolva o problema no 2 a seguir 1o dígito 2o dígito 3o dígito 4o dígito 5o dígito 6o dígito 7o dígito DV 13 Problema no 2 Para a função de transferência em ordem 5 determine a A nova equação dinâmica na segunda forma canônica controlável b Se ela é observável Problema no 3 Para a função de transferência em ordem 5 determine a A nova equação dinâmica na segunda forma canônica observável b Se ela é controlável Problema no 4 Determine a resposta impulsional do sistema original ordem 4 e verifique se ela tende a zero com o tempo tendendo a infinito Problema no 5 Determine a resposta impulsional do sistema modificado ordem 5 e verifique se ela tende a zero com o tempo tendendo a infinito Ela é igual ou diferente da resposta do sistema original ordem 4 Porque Apresentação da Segunda Parte Sistemas a Tempo Contínuo A segunda parte será relacionada a um sistema a tempo contínuo obtido por uma Transformação Bilinear do sistema a tempo discreto original Existe um método que permite transformar funções de transferências de sistemas a tempo contínuo em funções de transferência dos correspondentes sistemas a tempo discreto e viceversa Este método é conhecido como Transformação Bilinear A Transformação Bilinear funciona da seguinte maneira Quando é conhecida a função de transferência do sistema a tempo contínuo a substituição é 1 z 1 z s Quando é conhecida a função de transferência do sistema a tempo discreto a substituição é s 1 s 1 z Problema no 6 Utilize a Transformação Bilinear para obter a função de transferência do sistema a tempo contínuo equivalente ao do problema ordem 4 é a função de transferência obtida no problema no 1 Examine se há compatibilidade de ordem no resultado obtido 14 Problema no 7 Determine a resposta impulsional do novo sistema a tempo contínuo e verifique se ela tende a zero com o tempo tendendo a infinito Problema no 8 Sem resolver o polinômio do denominador da função de transferência obtida no problema no 6 desenhe o seu diagrama de pólos e zeros 15 Estudo Orientado 7 Controlabilidade e Observabilidade Este estudo orientado é sobre controlabilidade e observabilidade porém é voltado ao estudo destas duas propriedades quando o modelo por variáveis de estado está escrito na Forma Canônica de Jordan Como na determinação das propriedades no caso dos SLIT o que importa são das matrizes de parâmetros somente elas serão apresentadas no enunciado deste estudo Seja inicialmente a matriz de estado do SLIT 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 5 4 4 4 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Problema no 1 Examinando a matriz de estado determine a A dimensão do espaço de estado deste sistema b O número de subsistemas SS que este sistema possui c O número de blocos de Jordan em cada um deles d O número mínimo de entradas condição necessária para que o sistema seja controlável e Com a resposta dp item d os números de linhas e de colunas da matriz de entrada f O número mínimo de saídas condição necessária para que o sistema seja observável g Com a resposta dp item f os números de linhas e de colunas da matriz de saída Seja agora uma proposta de matriz de entrada do SLIT Ela está escrita com as dimensões já fixadas 15 x 5 porém os seus elementos são apresentados literalmente 16 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b B 155 154 153 152 151 145 144 143 142 141 135 134 133 132 131 125 124 123 122 121 115 114 113 112 111 105 104 103 102 101 95 94 93 92 91 85 84 83 82 81 75 74 73 72 71 65 64 63 62 61 55 54 53 52 51 45 44 43 42 41 35 34 33 32 31 23 24 23 22 21 15 14 13 12 11 Problema no 2 Considerando a matriz de entrada proposta em conjunto com a matriz de estado determine a Se as dimensões propostas para a matriz de entrada atendem às especificações estabelecidas no problema no 1 b Se a resposta do item a for sim determine as condiçãoões sobre a matriz de entrada de tal forma que o sistema seja controlável c Diga se uma eou as duas dimensões poderiam ser modificadas e a chance de o sistema ser controlável ser mantida d Diga qual ou quais e para que valores poderiam ir Seja agora uma proposta de saída do SLIT Ela está escrita com as dimensões já fixadas 4 x 15 porém os seus elementos são apresentados literalmente c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C 415 414 413 412 411 410 49 48 47 46 45 44 43 42 41 315 314 313 312 311 310 39 38 37 36 35 34 33 32 31 215 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 115 114 113 112 111 110 19 18 17 16 15 14 13 12 11 Problema no 3 Considerando a matriz de saída proposta em conjunto com a matriz de estado determine a Se as dimensões propostas para a matriz de saída atendem às especificações estabelecidas no problema no 1 b Se a resposta do item a for sim determine as condiçãoões sobre a matriz de saída de tal forma que o sistema seja observável c Diga se uma eou as duas dimensões poderiam ser modificadas e a chance de o sistema ser observável ser mantida d Diga qual ou quais e para que valores poderiam ir 17 Estudo Orientado 8 Estabilidade Aspectos Conceituais Este estudo orientado tem o objetivo de fixar os conceitos de Estabilidade Assintótica AE Estabilidade no Sentido de Liapunov ESL BIBOEstabilidade e realização mínima a Forma Canônica de Jordan é também focada nele Alguns dos itens poderão ser resolvidos teoricamente e deverão confirmados pelo MATLAB Outros devido ao volume de contas deverão ser resolvidos somente através do MATLAB Problema Considere um sistema linear tempo invariante monovariável e a tempo discreto representado pela equação dinâmica a seguir xk 10 0 2 3 1 yk x x0 uk 0 2 5 1 05 xt 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 1 08 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 1 05 1 xk 0 A parte inicial do trabalho é voltada à análise da Forma Canônica de Jordan Determine a Quantos subsistemas o sistema tem identificandoos Justifique b Quais os subsistemas controláveis Justifique c Quais os subsistemas observáveis Justifique d Se este sistema corresponde a uma realização mínima Justifique e Caso este sistema não corresponda a uma realização mínima a ordem da realização mínima Justifique Esta segunda parte do trabalho é voltada à análise das diferentes estabilidades Determine f Por inspeção se o sistema é AE Justifique g Por inspeção se o sistema é ESL Justifique h Usando o MATLAB calcule a resposta impulsional do vetor de estado e confirme as análises feitas por inspeção dos itens anteriores i Usando o MATLAB calcule a função de transferência j Verifique se a ordem da função de transferência corresponde à prevista no item e k Usando o MATLAB calcule os pólos da função de transferência l Verifique se o sistema é BIBOEstável m Usando o MATLAB calcule a resposta impulsional da saída e verifique se o sistema é BIBO Estável 18 Estudo Orientado 9 Estabilidade Métodos Numéricos Este estudo orientado tem o objetivo de fixar os conceitos de Estabilidade dos SLIT quando determinada através dos métodos numéricos A parte inicial dele foca o Método de Routh para a determinação de Polinômios de Hurwitz Este método é usado para a determinação com respeito ao SPAE O estudo orientado tem uma parte que deve ser feita por inspeção as condições necessárias e outra no MATLAB as condições suficientes Um dos problemas servirá para introduzir o Método da Transformação Bilinear E um terceiro mostrará o uso do Método de RH quando há um parâmetro da determinar A segunda parte é voltada ao Método de Jury para a determinação da localização de raízes de polinômios com respeito ao círculo de raio unitário centrado na origem do plano complexo Ainda que sejam métodos aplicáveis a quaisquer polinômios percebese no caso da área de Controles e Servomecanismos que o primeiro método é útil para o estudo da Estabilidade dos SLITTC enquanto o segundo é para os SLITTD Problema no 1 Considere os polinômios a seguir e aplique o Método de RH para cada um deles separando as soluções em análise das condições necessárias e das suficientes a 32 s 48 s s3 24 12 6 s s 3 s Ps 2 4 5 6 b 160 s 272 s s3 138 33 8 s Ps s 2 4 5 Problema no 2 Os polinômios a seguir são de denominadores de funções de transferência de SLITTD O objetivo é determinar se todas as raízes dos mesmos estão dentro do círculo de raio unitário do Plano Complexo Z sem usar o Método de Jury a 07z 012 z Pz 2 b 05z z z3 15 Pz 2 É óbvio que as raízes podem ser calculadas analiticamente mas o importante é aprender o método Transformação Bilinear Existe um método que permite transformar funções de transferências de sistemas a tempo contínuo em funções de transferência dos correspondentes sistemas a tempo discreto e viceversa Este método é conhecido como Transformação Bilinear A Transformação Bilinear funciona da seguinte maneira Quando é conhecida a função de transferência do sistema a tempo contínuo a substituição é 1 z 1 z s Quando é conhecida a função de transferência do sistema a tempo discreto a substituição é s 1 s 1 z 19 Problema no 3 Considere um motor DC controlado por armadura que será usado para controlar a posição angular do seu eixo A sua função de transferência é dada por 3s 2s s 2 Hs 2 3 Para tirar o pólo da origem é fechada uma malha de realimentação estática um ganho K Após a aplicação da malha de realimentação a função de transferência se torna 2K 3 s 2 s s 2 s H 2 3 f Utilize o Método de RH para determinar a faixa de valores de K que torna o sistema realimentado BIBOestável Problema no 4 Um sistema a tempo discreto é modelado no domínio da freqüência pela função de transferência que segue 01782 z 1073 z 036 16z z z 1 Hz 2 3 4 Determine a Se o sistema é BIBOestável utilizando o Critério de Jury b Caso o sistema não seja BIBOestável realimenteo com uma relaimentação estática K negativa e utilize o Critério de Jury para tentar encontrar os limites de K que tornam o sistema BiBOestável Problema no 5 Um sistema a tempo discreto é modelado no domínio do tempo pela equação dinâmica que segue xk 0 0 1 2 0 yk x x0 uk 1 0 0 0 0 xt 089 0 016 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 xk 0 Determine utilizando o Critério de Jury se o sistema é Assintoticamente estável Problema no 6 Repita o problema 4 usando a Transformação Bilinear e o Método de RH Problema no 7 Repita o problema 5 usando a Transformação Bilinear e o Método de RH 20 Estudo Orientado 10 Estabilidade Critério de Nyquist Este estudo orientado é uma continuação do estudo da estabilidade porém abordando um dos dois métodos gráficos que são estudados na disciplina Por sua natureza ele é voltado à BIBOestabilidade dos SLITTC O Critério de Nyquist foi publicado por Harry Nyquist em 1932 Até hoje ele é utilizado e é disponível no MATLAB Em alguns dos problemas que seguem é recomendado que você use o MATLAB porém não esqueça que o Caminho de Nyquist é orientado no sentido horário e não no antihorário como visto em aula e está nas Notas de Aula Volume 3 Há esta divergência em diferentes livros Problema no 1 Resolva o exemplo 2 das Notas de Aula Volume 3 utilizando o MATLAB Compare os resultados Problema no 2 Este problema é uma variante do exemplo 2 das Notas de Aula Volume 3 A modificação é a introdução de um novo pólo na função Hs como a seguir 0 b 0 a b as s 1 Hs 0 s K K Gs Lembrese que Hs é o processo ou planta e Gs é a malha de realimentação Resolva o problema a Analiticamente utilizando os passos estudados b Utilizando o MATLAB c Compare os resultados Problema no 3 Resolva o exemplo 3 das Notas de Aula Volume 3 utilizando o MATLAB Compare os resultados Problema no 4 Este problema é uma variante do exemplo 3 das Notas de Aula Volume 3 A modificação é a introdução de um par de pólos na função Hs o que leva Fs a se tornar a função a seguir 9 1s ss K s 1 Gs Hs Fs 2 Resolva o problema a Analiticamente utilizando os passos estudados Observe que dará um bom trabalho pois o Caminho de Nyquist terá 3 desvios ainda que dois sejam simétricos com respeito ao eixo horizontal b Utilizando o MATLAB c Compare os resultados 21 Estudo Orientado 11 Estabilidade Método do Lugar das Raízes Este estudo orientado é uma continuação do estudos anteriores relacionados à estabilidade porém abordando o segundo dos dois métodos gráficos que são estudados na disciplina Ele tem sido usado na determinação da BIBOestabilidade dos SLITTC que foram os primeiros a serem abordados nas disicplinas relacionadas a controles Como o método desenha trajetórias de raízes no Plano Complexo quando um parâmetro varia ele pode ser usado para raízes que devem estar no SPAE ou para as que devem estar no Círculo de Raio Unitário Centrado na Origem Problema no 1 Resolva o exemplo 2 do capítulo do Critério de Nyquist das Notas de Aula Volume 3 em duas partes distintas a Fazendo o traçado do Método do Lugar das Ráizes com lápis e papel b Utilizando o MATLAB c Compare os resultados dos itens a e b d Compare os resultados com os obtidos na resolução pelo Critério de Nyquist Problema no 2 Este problema é uma variante do exemplo 2 do capítulo do Critério de Nyquist das Notas de Aula Volume 3 A modificação é a introdução de um novo pólo na função Hs como a seguir 0 b 0 a b as s 1 Hs 0 s K K Gs Lembrese que Hs é o processo ou planta e Gs é a malha de realimentação Resolva o problema a Fazendo o traçado do Método do Lugar das Raízes com papel e lápis b Utilizando o MATLAB c Compare os resultados dos itens a e b d Compare os resultados com os obtidos na resolução pelo Critério de Nyquist Problema no 3 Resolva o exemplo 3 do capítulo do Critério de Nyquist das Notas de Aula Volume 3 em duas partes distintas a Fazendo o traçado do Método do Lugar das Ráizes com lápis e papel b Utilizando o MATLAB c Compare os resultados dos itens a e b d Compare os resultados com os obtidos na resolução pelo Critério de Nyquist Problema no 4 Este problema é uma variante do exemplo 3 do capítulo do Critério de Nyquist das Notas de Aula Volume 3 A modificação é a introdução de um par de pólos na função Hs o que leva Fs a se tornar a função a seguir 9 1s ss K s 1 Gs Hs Fs 2 Resolva o problema 22 a Fazendo o traçado do Método do Lugar das Ráizes com lápis e papel b Utilizando o MATLAB c Compare os resultados dos itens a e b d Compare os resultados com os obtidos na resolução pelo Critério de Nyquist