Notas de Aula de Sinais e Sistemas - Volume 2

1 Número 16 Abril 2012 Notas de Aula de Sinais e Sistemas Volume 2 Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estas notas de aula têm o objetivo de complementar o material apresentado nos livros de referência da disciplina ENG 1400 Sinais e Sistemas bem como de servir de guia à ordem na qual os tópicos serão ministrados Elas também contêm referências e direcionamentos a outros materiais educacionais em formatos não textuais que estão disponíveis no Sistema Maxwell httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr Estes materiais são o Livro Interativo de Sinais e Sistemas httpwwwmaxwelllambdaelepuc riobrlivrosphp os Objetos Educacionais em Engenharia Eletrica httpwwwmaxwelllambdaelepucriobrseriesphptipBuscadadosnrseqser5 e materiais disponíveis em outros repositórios e que estão classificados no ambiente integrador Elétrica Online httpwwwmaxwelllambdaelepucriobreletricaonline Os tópicos destas notas cobrem assuntos referentes à classificação de sinais e sistemas aos sinais e sistemas no tempo discreto às Transformadas de Laplace Z e de Fourier e às Séries de Fourier As notas são apresentadas em três volumes para que os arquivos não excedam 15 MB Foram dedicados e criteriosos revisores destas notas Arthur de Freitas dos Santos Engenharia Elétrica Bernard Pereira de Oliveira Engenharia Elétrica Eduardo Oest Moreira Engenharia de Controle e Automação Felipe de Albuquerque Mello Pereira Engenharia Elétrica e Jan Krueger Siqueira Engenharia Elétrica que foram alunos da disciplina e estagiários do LAMBDA Laboratório de Automação de Museus Bibliotecas Digitais e Arquivos do Departamento de Engenharia Elétrica tendo trabalhado no projeto dos Livros Interativos de Engenharia Elétrica Foi também um criterioso e dedicado revisor Eduardo Costa da Silva Engenharia Elétrica que foi aluno da disciplina 3 SUMÁRIO Volume 1 01 Introdução Sinais e Sistemas 02 Equações a diferenças finitas Volume 2 03 Transformada Z 04 Transformada de Laplace Volume 3 05 Séries de Fourier 06 Transformadas de Fourier 4 Capítulo 3 TRANSFORMADA Z I Finalidade da Transformada Z A Transformada Z é uma operação matemática que é realizada sobre uma seqüência de números para que a mesma passe a ser representada em função da variável complexa z Esta transformada é a contrapartida que existe no tempo discreto à Transformada de Laplace utilizada no tempo contínuo A Transformada de Laplace é o objeto do próximo capítulo destas notas A Transformada Z serve para representar sinais no domínio da freqüência quando passam a ser escritos em função da variável complexa z Ela é utilizada em sistemas de controle a tempo discreto filtragem digital sistemas de telecomunicações digitais e processamento digital de sinais Serve também como técnica de solução de equações a diferenças finitas tal como a Transformada de Laplace o é para resolver equações diferenciais A Transformada Z guarda relação com a Transformada de Fourier dos sinais a tempo discreto que é expressa em função de uma variável da freqüência que é contínua e com a Transformada Discreta de Fourier dos sinais a tempo discreto que é expressa em função de uma variável de freqüência que é discreta Estas relações serão examinadas quando as Transformadas de Fourier forem tratadas II Definição da Transformada Z Considerese a seqüência de números xk 1 xk xk x1 x0 xk 1 A Transformada Z da referida seqüência é uma série infinita na variável z que se obtém ao computar z x3 z x2 z x1 z x0 z xk xk Xz 3 2 1 0 0 k k Z 2a A expressão 2a é chamada de Transformada Z Direta ou normalmente de Transformada Z O símbolo Z designa o operador que representa a aplicação da Transformada Z sobre uma função do tempo discreto Como no caso da Transformada de Laplace utilizase em geral a letra minúscula para designar a função no tempo e a maiúscula para a Transformada Z os argumentos são respectivamente k e z A série representada em 2a pode ser analisada e compreendida sob dois enfoques diferentes São eles O primeiro deles é o que considera que a série infinita que define a Transformada Z é uma função de z e assim a valores numéricos de z correspondem valores numéricos de Xz Para a completa compreensão sob este enfoque tornase necessário que para cada Transformada Z se estabeleçam as condições de convergência da série A outra possibilidade de interpretação é aquela que considera a definição sob seu aspecto formal e z somente como um símbolo a ser manipulado Esta alternativa é análoga àquela com a qual se lida com polinômios somandoos multiplicandoos e executando outras operações matemáticas sem porém haver preocupação com a determinação do valor numérico Ainda sob este aspecto quando há necessidade de determinar a expressão da série sob sua forma compacta tornase necessário analisar as condições de convergência da mesma como no caso anterior A Transformada Z apresentada na expressão 2a é chamada de Transformada Z de um Lado ou Unilateral porque considera o somatório para k 0 visto que a seqüência em consideração começa em k 0 e existe à direita do eixo vertical Para sinais que existem para valores negativos e positivos de k a expressão da Transformada Z tem o somatório entre e neste caso é chamada de Transformada Z de Dois Lados ou Bilateral 5 Sinais que são nulos antes do tempo k 0 são chamados de causais e os que são nulos depois do tempo k 0 de anticausais Aqueles que possuem valores não nulos dos dois lados da origem são chamados de não causais Uma vez conhecida uma Transformada Z é possível determinar a função do tempo que deu origem à Transformada A determinação de xk a partir de Xz é feita através da Transformada Z Inversa A Transformada Z Inversa é C k 1 1 dz z Xz 1j2 Xz xk Z 2b Onde a integral é em um contorno fechado que contenha todas as singularidades do integrando e que seja percorrido no sentido antihorário Em muitas situações tornase necessário determinar a Transformada Z Inversa para que se possa passar de uma expressão em função da variável z para a correspondente função no tempo discreto k As seções mais adiante apresentarão duas maneiras de efetuar a passagem de sinais representados no domínio da freqüência para os correspondentes no domínio do tempo Ao par de funções xke Xz designase par Transformada Z xk Xz 3 A expressão 3 relaciona a função e sua Transformada Z como apresentadas individualmente nas expressões 2b e 2a que são respectivamente a Transformada Z Inversa e a Transformada Z Nas aplicações da Transformada Z que são consideradas no âmbito das disciplinas de engenharia a Transformada Z Inversa é calculada sem o uso de 2b Este cálculo é apresentado mais adiante neste capítulo Definição 1 Par Transformada Z Seja uma seqüência xk no tempo discreto k O par Transformada Z é definido pela Transformada Z Transformada Direta z x3 z x2 z x1 z x0 z xk xk Xz 3 2 1 0 0 k k Z 2a E pela Transformada Z Inversa C k 1 1 dz z Xz 1j2 Xz xk Z 2b Cuja relação pode ser representada por xk Xz 3 A uma seqüência corresponde uma única transformada e viceversa esta relação é simbolizada na expressão 3 A variável de transformação z é uma variável complexa Assim pode ser representada sob sua forma polar r ej z 4 Quando se examinam as condições de convergência da série 2a as mesmas são impostas sobre o valor do raio r já que a magnitude de ej é a unidade Exemplos de tais condições são apresentadas nas próximas seções 6 As condições de convergência são indispensáveis quando é necessário que a Transformada Z de uma função seja representada sob forma fechada para poder ser manipulada Observese que a manipulação da série infinita não permite executar operações com as Transformadas Z das funções em consideração Materiais Adicionais Números complexos são necessários para o estudo das Transformadas Z assim como dos tópicos que a seguem Caso você ainda tenha alguma dificuldade em entender e executar operações com números complexos utilize os seguintes materiais disponibilizados no Maxwell 1 objeto educacional Números Complexos Parte 1 httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2235822358HTM 2 objeto educacional Números Complexos Parte 2 httpwwwmaxwelllambdaelepuc riobr2235922359HTM 3 Caderno de Exercícios httpwwwmaxwelllambdaelepuc riobracessoConteudophpnrseqoco66514 e 4 Caderno de Laboratórios de Sinais e Sistemas httpwwwmaxwelllambdaelepucriobracessoConteudophpnrseqoco22450 Neles existem apresentações sobre números complexos bem como exercícios para você praticar III Algumas Trasnformadas Z Esta seção apresenta a determinação das Transformadas Z de algumas funções muito utilizadas nas diferentes aplicações A Transformada Z do Impulso Unitário Considerese a função impulso unitário aplicado em um instante genérico e a sua particularização para o caso de aplicação na origem como definidas no primeiro capítulo destas notas k 0 1 k k 5a 0 k 0 0 1 k k 5b Os cálculos da Transformadas Z das duas funções seguem 1 Impulso unitário aplicado na origem Apliquese 2a à expressão 5b para obter 1 0 z 0 z 0 z 1 z k z k z 3 2 1 0 0 k k Z 6 Observese que a Transformada Z do impulso unitário aplicado na origem é a unidade e não há qualquer dependência com a variável complexa z Este resultado não é surpreendente pois o mesmo ocorre com a Transformada de Laplace e a Transformadas de Fourier do impulso unitário no tempo contínuo aplicado na origem e com a Transformada de Fourier do impulso unitário no tempo discreto aplicado na origem 2 Impulso unitário aplicado fora da origem Apliquese 2a à expressão 5a para obter 1 1 1 1 z 0 z z 0 z z 0 z z k k 0 0 k k 1 0 Z 7a 7 Que pode ser escrita em função da Transformada Z do impulso unitário aplicado na origem como z z Z k 7b Assim constatase que a Transformada Z do impulso unitário aplicado fora da origem é igual à Transformada Z do impulso unitário aplicado na origem porém com um fator de multiplicação que é função do número de intervalos de tempo que o impulso foi deslocado da origem Neste caso a Trasnformada Z passa a depender da variável complexa z Novamente este resultado não é surpreendente visto que o mesmo ocorre no caso a tempo contínuo com a Transformada de Laplace e com a Transforma de Fourier e no caso discreto com a Transformada de Fourier quando as transformadas passam a depender da variável da respectiva transformada B Transformada Z do Degrau Unitário Considerese a função degrau unitário aplicado em um instante genérico e a sua particularização para o caso de aplicação na origem como definidas no primeiro capítulo destas notas k 0 1 k u 1k 8a 0 k 0 0 1 k u 1k 8b Os cálculos da Transformadas Z das duas funções seguem 1 Degrau unitário aplicado na origem Apliquese 2a à expressão 8b para obter z 1 1 z 1 1 1 z 1 z 1 z 1 z z k u k u z U 3 2 1 0 0 k k 1 1 1 Z 9 A expressão 9 é uma série infinita na variável z e converge somente quando 1 z 1 z 1 10 Caso a condição 10 que é a região de convergência não se verifique a Transformada Z do degrau unitário aplicado na origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir 1 1 z z z z 1 1 1 z U 1 11 2 Degrau unitário aplicado fora da origem Apliquese 2a à expressão 8a para obter 1z 1 z 0 z 0 z 0 z 0 z z k u k u 1 1 2 1 0 0 k k 1 1 Z 2 1 2 1 1 z z 1 1 z 1 1 z 1z 1 1z 1z 1z 1 z k Z u 12 A expressão 12 é uma série infinita na variável z e converge somente quando 8 1 z 1 z 1 10 Observese que a expressão entre colchetes em 12 é a Transformada Z do degrau unitário aplicado na origem Caso a condição 10 que é a região de convergência não se verifique a Transformada Z do degrau unitário aplicado fora da origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir 1 z 1 z z z z z 1 1 1 z z U k u 1 1 Z 13 Não é surpreendente que a região de convergência seja a mesma nos dois casos visto que as séries infinitas são as mesmas há somente z a diferenciar 9 de 12 Como um último comentário ressaltase que a Transformada Z da função degrau unitário aplicada fora da origem é igual à Transformada Z da função degrau unitário aplicada na origem porém com um fator de multiplicação que é função do número de intervalos de tempo que a função foi deslocada da origem C Transformada Z da Função Geométrica Considerese a função geométrica aplicada em um instante genérico e a sua particularização para o caso de aplicação na origem como definidas no primeiro capítulo destas notas k 0 k a fk k 14a k 0 0 0 k a fk k 14b Os cálculos da Transformadas Z das duas funções seguem 1 Função geométrica aplicada na origem Apliquese 2a à expressão 14b para obter z a 1 z 1 a a z a z a z a z z fk fk Fz 3 3 2 2 1 1 0 0 0 k k Z 15 A expressão 15 é uma série infinita na variável z e converge somente quando 1 z a z a 16 Caso a condição 16 que é a região de convergência não se verifique a Transformada Z da função geométrica aplicada na origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir a a z z z z a 1 1 fk Fz Z 17 No capítulo 1 mostrouse que um degrau unitário é uma função geométrica com a 1 Se em 17 fizerse a 1 obtémse 11 que é a Transformada Z do degrau unitário Percebese pois que é mantida a relação do domínio do tempo como era de se esperar 2 Função geométrica aplicada fora da origem Apliquese 2a à expressão 14a para obter 9 a z a z 0 z 0 z 0 z 0 z z fk fk 1 1 0 1 2 1 0 0 k k Z 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 z z a 1 z 1 a z a z a a z a z a z a z Z fk 18 A expressão 18 é uma série infinita na variável z e converge somente quando 1 z a z a 16 Observese que a expressão entre colchetes em 18 é a Transformada Z da função geométrica aplicada na origem Caso a condição 16 que é a região de convergência não se verifique a Transformada Z da função geométrica aplicada fora da origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir a z a z z z z z a 1 1 Fz z fk Z 19 Como no caso do degrau unitário não é surpreendente que a região de convergência seja a mesma nos dois casos visto que as séries infinitas são as mesmas há somente z a diferenciar 15 de 18 Como um último comentário ressaltase que a Transformada Z da função geométrica aplicada fora da origem é igual à Transformada Z da função geométrica aplicada na origem porém com um fator de multiplicação que é função do número de intervalos de tempo que a função geométrica foi deslocada da origem Materiais Adicionais Muitas expressões fechadas ou seja expressões analíticas da Transformada Z dependem da determinação de uma Região de Convergência para a variável complexa z Caso não sejam determinadas as regiões de convergência as Transformadas Z não podem ser calculadas Este é o caso das Transformadas Z do degrau unitário e da função geométrica É importante conhecer e entender estes conceitos As referências usadas nas disciplinas de Cálculo podem ser usadas para revisão Um alternativa de rápida referência é o Wolfram World of Mathematics Você encontra a convergência de sequências em Convergent Sequences httpmathworldwolframcomConvergentSequencehtml e a convergência de séries em Convergent Series httpmathworldwolframcomConvergentSerieshtml IVTransformadas Z Sob a Forma Racional Polinomial Diversas Transformadas Z utilizadas nas diferentes áreas se apresentam sob a forma de uma relação entre dois polinômios na variável z A forma genérica de tais relações é n 1 n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 1 m 0 a z a a z z a b z b b z z b Xz 20a onde z R n m i j a b j i A expressão 20a pode ser escrita em uma forma alternativa 10 Dz Xz Nz 20b Este última forma deixa bem clara a origem do nome É racional por ser uma função dada pela razão entre duas entidades matemáticas e é polinomial porque estas são polinômios em z Nz é o polinômio do numerador e Dz é o do denominador Os coeficientes dos polinômios são sempre reais no escopo desta disciplina pois estão em consideração modelos de sistemas do mundo real As funções racionais polinomiais possuem polinômios em z no numerador e no denominador Os polinômios são respectivamente de graus m e n Existem 3 possibilidades de relações entre m e n m n nesta situação a função racional polinomial é dita imprópria m n nesta situação a função racional polinomial é dita própria m n nesta situação a função racional polinomial é dita estritamente própria Examinandose as expressões das Transformadas Z determinadas na seção anterior podese concluir que elas são racionais polinomiais no caso do impulso unitário na origem são 2 polinômios de grau nulo o que gera uma constante Uma função racional polinomial cujos polinômios do numerador e do denominador não possuem raízes comuns é dita irredutível em caso contrário é chamada de redutível Suponhase que a função está na forma irredutível Neste caso existirão m raízes do polinômio do numerador que levarão a função Xz a zero n raízes do polinômio do denominador que levarão a função Xz a infinito Estas raízes recebem respectivamente os nomes de zeros e pólos Definição 2 Pólos e Zeros Zeros de Xz são as m raízes 1m zjj do polinômio do numerador que levam tanto o polinômio Nz quanto a função Xz a zero Pólos de Xz são as n raízes 1n pi i do polinômio do denominador que levam o polinômio Dz a zero e a função Xz a infinito Uma informação importante a respeito de uma função racional polinomial é o seu grau Definição 3 Grau de Uma Função Racional Polinomial O grau de uma função racional polinomial é o grau de seu polinômio do denominador quando ela estiver na forma reduzida Como estão sendo tratados casos em que os coeficientes são reais há as seguintes possibilidades para os valores dos pólos e zeros Reais simples ou múltiplos Complexos conjugados simples ou múltiplos Em geral a função racional polinomial é escrita sob a forma normalizada ie quando o coeficiente do termo de grau mais alto do denominador é a unidade Assim ela assume a forma n 1 n 1 n 1 n m 1 m 1 m 1 m 0 a z a a z z b z b b z z b Xz 21a Observese que os coeficientes de 20a e de 21a ainda que tenham sido usados os mesmo símbolos possuem valores numéricos diferentes 11 Como um polinômio pode ser fatorado nas suas raízes há uma forma alternativa para 21a Ela é n 2 1 m 1 m 1 m 1 m 0 z p z p p z b z b b z z b Xz 21b Esta última maneira de escrever a função racional polinomial é importante porque é usada no cálculo da Transformada Z Inversa Caso a função não estivesse normalizada o coeficiente 0 a multiplicaria o denominador de 21b Tudo o que foi apresentado sobre funções racionais polinomiais vale para o estudo da Transformada de Laplace somente a variável será diferente Materiais Adicionais Para compreender bem as funções racionais polinomiais os pólos e os zeros é necessário o conhecimento do plano complexo para representar números complexos Duas referências são o objeto educacional Números Complexos Parte 1 httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2235822358HTM e o material da Clark University intitulado Daves Short Course on Complex Numbers httpwwwclarkuedudjoycecomplex Há também o objeto educacional específico sobre funções racionais polinomiais Funções Racionais Polinomiais httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2262222622HTM V Algumas Propriedades da Trasnformada Z A Transformada Z assim como a Transformada de Laplace e as Transformadas de Fourier possui propriedades que facilitam a sua manipulação Esta seção apresenta as propriedades mais importantes da Transformada Z sendo que algumas provas são deixadas aos alunos como exercícios Multiplicação por constante Seja um par Transfomada Z representado por 3 e aqui repetido por conveniência xk Xz 3 Em 3 a seqüência é a mesma de 1 e aqui repetida por conveniência 1 xk xk x1 x0 xk 1 Definase uma nova seqüência xk yk 22 onde é uma constante A Transformada Z de yk é Xz Yz 23 Soma ponderada de seqüências Linearidade Sejam dois pares Transfomada Z X z x k 1 1 24a X z x k 2 2 24b 12 Definase uma nova função x k x k yk 2 2 1 1 25 A Transformada Z de yk é X z X z Yz 2 2 1 1 26 Como no caso anterior os coeficientes de multiplicação são constantes Deslocamento de seqüência à direita Seja uma seqüência qualquer xk dada por 0 k 0 0 k qualquer xk 27 Com ela definase uma nova seqüência k 0 0 k xk xk yk 28 A Transformada Z de yk é Xz Yz z 29 Deslocamento de seqüência à esquerda sem perda de informação Seja uma seqüência qualquer xk dada por 0 k 0 0 k qualquer xk 27 Com ela definase uma nova seqüência k 0 0 k xk xk yk 30 A razão pela qual este deslocamento é dito sem perda de infromação é porque quando é feito o deslocamento à esquerda o novo sinal não começa em zero mas começa no tempo Assim todas as suas amostras são mantidas no novo sinal A Transformada Z de yk é Xz Yz z 31 Deslocamento de seqüência à esquerda com perda de informação Seja uma seqüência qualquer xk dada por 0 k 0 0 k qualquer xk 27 Com ela definase uma nova seqüência 13 0 k 0 0 0 k xk xk yk 32 A razão pela qual este deslocamento é dito com perda de infromação é porque quando é feito o deslocamento à esquerda o novo sinal começa em zero Assim todas as suas amostras que ficariam à esquerda da origem são suprimidas e se perde a informação nelas contidas A Transformada Z de yk é x1 z x 1 z Xz z x0 z Yz 1 33 Convolução de duas seqüências no tempo Sejam dois pares Transfomada Z X z x k 1 1 24a X z x k 2 2 24b Definase uma nova função k 0 r 2 1 k 0 r 2 1 2 1 x k r x r x r x k r x k x k yk 34 A Transformada Z de yk é X z X z Yz 2 1 35 Teorema do Valor Inicial TVI Seja uma seqüência qualquer xk dada por 0 k 0 0 k qualquer xk 27 E seja o seu par Transformada Z xk Xz 3 Sendo conhecida a Transformada Z podese obter o valor da amostra x0 em função da mesma através da expressão lim Xz x0 z 36 A expressão 36 é válida caso o limite exista Exemplo 1 Considerese a Transformada Z do degrau unitário na origem 1 1 z z z z U 1 Apliquese o Teorema do Valor Inicial 14 1 z lim z 1 z z z lim lim U 0 u z z 1 z 1 O resultado é o esperado Exemplo 2 Considerese a Transformada Z da função geométrica na origem a a z z z fk Fz Z Apliquese o Teorema do Valor Inicial 1 z lim z a z z lim Fz lim 0 f z z z O resultado é o esperado Teorema do Valor Final TVF Seja uma seqüência qualquer xk dada por 0 k 0 0 k qualquer xk 27 E seja o seu par Transformada Z xk Xz 3 Sendo conhecida a Transformada Z podese obter o valor da amostra x em função da mesma através da expressão Xz 1 limz x z 1 37 A expressão 37 só é valida se todos os pólos de 1 Xz z estiverem dentro do círculo unitário com a única exceção de um único pólo na unidade este é cancelado pelo termo dentro dos parênteses Exemplo 3 Considerese a Transformada Z do degrau unitário na origem 1 1 z z z z U 1 Apliquese o Teorema do Valor Final 1 lim z 1 z z 1 z lim z U 1 lim z u 1 z 1 z 1 1 z 1 O resultado é o esperado Exemplo 4 Considerese a Transformada Z da função geométrica na origem 15 a a z z z fk Fz Z Apliquese o Teorema do Valor Final 0 a 1 1 lim 0 a z z 1 1 Fz lim z z 1 z lim f 1 z 1 z O resultado é o esperado Reversão no tempo Seja um par Transfomada Z representado por 3 e aqui repetido por conveniência xk Xz 3 Em 3 a seqüência é a mesma de 1 e aqui repetida por conveniência 1 xk xk x1 x0 xk 1 Definase uma nova seqüência yk xk 38 Esta última função é a original rebatida sobre o eixo vertical ou sua imagem de espelho ou a função revertida A Transformada Z de yk é Yz X z1 39 Escalonamento no tempo expansão Seja um par Transfomada Z representado por 3 e aqui repetido por conveniência xk Xz 3 Em 3 a seqüência é a mesma de 1 e aqui repetida por conveniência 1 xk xk x1 x0 xk 1 Definase uma nova seqüência xk yk contrário caso 0 de múltiplo e k Z 40 Esta última função é a original interpolada de zeros A Transformada Z de yk é Yz X z 41 Observando a reversão no tempo percebese que ela pode ser obtida a partir do escalonamento no tempo desde que 1 Estas são as mais importantes propriedades da Transformada Z 16 Materiais Adicionais Algumas das operações com sinais que foram utilizadas para determinar as correspondentes Transformadas Z podem ser revisadas nos seguintes materiais disponibilizados no Maxwell 1 objeto educacional Convolução Discreta httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2185121851HTM e 2 objeto educacional Sinais e Suas Operações httpwwwmaxwelllambdaelepuc riobr2285721857HTM Neles existem pequenos simuladores para você visualizar as operações VIA Transformada Z Inversa e a Sua Determinação Ao ser definida a Transformada Z da seqüência xk foi também associada a ela a Transformada Z Inversa Ambas compõem o par da Transformada Z dado por 3 Elas são dadas pelas expressões 2a e 2b aqui repetidas por conveniência 0 k z k xk xk Xz Z 2a C k 1 1 dz z Xz 1j2 Xz xk Z 2b Em muitas situações tornase necessário determinar a Transformada Z Inversa para que se possa passar de uma expressão em função da variável z para a correspondente função no tempo discreto k As subseções que seguem apresentam duas maneiras de efetuar a passagem de sinais representados no domínio da freqüência para os correspondentes no domínio do tempo Integral de Cauchy para as funções racionais Quando são consideradas funções racionais a integral em 2b pode ser computada através do Teorema de Cauchy para os Resíduos de acordo com a expressão a seguir zi z n 1 i k 1 z Xz Res xk 42 onde 1 n i zi são as raízes do polinômio do denominador os pólos da função racional polinomial Xz Redução a funções cujas Transformadas Z Inversas sejam conhecidas Este é o método mais usado quando desejase determinar a Transformada Z Inversa de funções racionais polinomiais O método consiste em expandir a função racional polinomial em uma soma de funções cujas Transformadas Z sejam conhecidas é uma soma de várias funções racionais polinomiais de ordens 1 e 2 Por esta razão ele é chamado de Método da Expansão em Frações Parciais Uma vez obtida a soma das funções oriundas da expansão recorrese à tabela para determinar as Transformadas Z Inversas de cada uma delas Ressaltase que a Transformada Z é uma operação linear como visto nas propriedades Assim a Transformada Z Inversa da soma é a soma das Inversas Seja Xz a Transformada Z da qual se quer determinar a inversa Esta função é racional e portanto pode ser escrita sob as formas apresentadas anteriormente 21ab e aqui reescritas para adequar ao desenvolvimento que segue n 1 n 1 n 1 n m 1 m 1 m 1 m 0 a z a a z z z z z Xz 43a 17 n 2 1 m 1 m 1 m 1 m 0 z p z p p z z z z Xz 43b Como visto anteriormente há 3 possibilidades para a relação entre m e n que levam a função a ser imprópria própria ou estritamente própria Como o caso mais geral é que a função seja imprópria este é o que será desenvolvido Assim suponhase que m n Com esta suposição é possível dividir o numerador pelo denominado para obter n 1 n 1 n 1 n n 1 n 2 n 2 1 n mn n1 m n1 m 1 n m 0 a z a a z z b z b b z 1 z b z z z Xz 44a n 2 1 n 1 n 2 n 2 1 n mn n1 m n1 m 1 n m 0 z p z p p z b z b b z 1 z b z z z Xz 44b Observese que 44ab possuem dois segmentos bem distintos O primeiro é a soma ponderada de potências positivas de z e o segundo é uma função racional polinomial estritamente própria de grau n Designese n 2 1 n 1 n 2 n 2 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 2 n 2 1 n z p z p p z b z b b z 1 z b a z a a z z b z b b z 1 z b z XP 45 Ou seja XPz é a parcela estritamente própria de Xz Podese então escrever XPz z z z Xz mn n1 m n1 m 1 n m 0 46 Logo XPz z z z Xz xk m n n1 m n1 m 1 n m 0 1 1 Z Z 47 Como a Transformada Z é uma operação linear podese escrever XPz z z z xk 1 m n n 1 m n 1 m 1 n m 0 1 Z Z 48 XPz k 1 k 1 n m k n m k xk 1 mn mn1 1 0 Z 49 Resta então determinar a última parcela de 49 p1 z p2 z pn z bn bn 1 z b2 zn 2 1 zn 1 b z XP 1 1 Z Z 50 Como visto anteriormente os pólos podem ser reais simples ou múltiplos ou complexos conjugados Examinemse 3 casos Pólos reais e simples Nesta situação a expressão 48 pode ser reescrita como n n 2 2 1 1 1 1 p z A p z A p z A XPz Z Z 51 18 Considerandose a expressão da Transformada Z da função geométrica e a propriedade do deslocamento à direita podese escrever 1 k u p A 1 k u p A 1 k u p A z XP 1 1 k n n 1 1 k 2 2 1 1 k 1 1 1 Z 52 Para que 51 e 52 sejam determinadas é necessário calcular as constantes 1 n i Ai Há duas possibilidades para o cálculo das mesmas A primeira é em 51 reduzir o lado direito da expressão ao mesmo denominador e depois comparar o numerador que resulta com o numerador de 50 igualando os termos de mesmas potências de z para determinar os coeficientes desconhecidos A segunda é utilizar um resultado derivado do Teorema de Cauchy para os Resíduos que fornece a expressão n 1 i p XPz z A pi i z i 53 Com o cálculo de 53 obtémse os coeficientes para a expansão contida em 51 e 52 Pólos reais e repetidos Suponhase que o ésimo pólo seja repetitivo e sua multiplicidade seja r Ou seja existem r pólos de mesmo valor numérico e real São eles r 1 2 1 p p p p 54 Na expressão 50 havendo pólos distintos calculase o conjunto de coeficentes correspondentes a eles com a expressão 53 Porém a expansão em frações fica significativamente modificada para as parcelas correspondentes aos pólos repetitivos deixando as raízes repetidas para o final da expansão a equação 51 se torna r r 1 r 1 r 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 p z B p z B p z B p z B p z A p z A p z A XP z Z Z 55 Em 55 o número total de parcelas continua sendo n já que esta é a ordem da função Assim pode se escrever que r 1 n 56 As Transformadas Z Inversas das 1 parcelas são funções geométricas o mesmo ocorre com a ésima parcela As demais serão diferentes por possuírem potências da expressão no denominador Da bibliografia se obtém 2 k u k 1p B p z B 1 2 k 2 2 2 1 Z 57a 3 k u p 2 k 1k 2 B p z B 1 3 k 3 3 3 1 Z 57b Assim podese escrever 1 k u p B 1 k u p A 1 k u p A z XP 1 1 k 1 1 1 k 2 2 1 1 k 1 1 Z1 3 k u k 1k 2p B 2 k u k 1p B 1 3 k 3 1 2 k 2 58 1 r k u 2p k 1k 1k r B 1 r 1 k r 19 A expressão para determinar os coeficientes relativos aos pólos repetitivos é p z j r XPz p z j r dz j r d j r 1 B 59 Par de pólos complexos conjugados É importante lembrar que no âmbito da disciplina as funções racionais polinomiais são formadas por polinômios cujos coeficientes são reais Por esta razão quando os polinômios possuírem raízes complexas estas ocorrerão aos pares conjugados Assim os pólos que são as raízes do poilinômio do denominador só podem ocorrer em pares conjugados Suponhase que o par de pólos complexos conjugados seja representado em sua forma já fatorada pela expressão 60 Esta expressão no caso geral pode ser uma das parcelas de uma função racional polinomal mais complexa j z N j z N j j z z N XP z 2 1 1 1 1 Z Z Z 60 Os coeficientes 1 N e 2 N são calculados pela expressão 53 Demonstrase facilmente que eles são complexos conjugados Assim após a expansão a expressão 60 se modifica para j z j j z j z XP 1 1 Z Z 61 Escrevamse os complexos em suas formas polares 1 j 1 e r j 1 j 1 e r j 62ab 2 j 2 e r j 2 j 2 e r j 62ab Os números complexos em 62ab são os coeficientes dos numeradores e os em 63ab são os pólos Com a substituição dos mesmos em 61 se obtém 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 r e j z ej r r ej z ej r XPz Z Z 63 A Transformada Z Inversa de 64 determinada utilizando a Transformada da Função Geométrica e a propriedade do deslocamento é dada por 65 1 k u r e r e r e r e z XP 1 1 k j 2 2 j 1 1 1 k 2 j 2 1 j 1 1 Z 65 1 k u e r r e e r r e z XP 1 1 j 2k 1 k 2 j 1 1 1 j 2k 1 k 2 1 j 1 1 Z 66 1 k u e e e e r r z XP 1 1 j 2k j 1 1 j 2k j 1 1 k 2 1 1 Z 67 1 k u r r z XP 1 2k 1 j 1 2k 1 j 1 1 k 2 1 1 e e Z 68 20 1 k u r r z XP 1 2k 1 j 1 2k 1 j 1 1 k 2 1 1 e e Z 69 1 k u r 2 r z XP 1 1 2 1 k 2 1 1 1 k cos Z 70 Observase em 70 a existência de 2 termos distintos O primeiro é uma função geométrica cuja natureza depende do valor de r2 O outro é uma sinusóide de freqüência 2 e fase 1 Com esta análise encerrase o cálculo da Transformada Z Inversa através da expansão em frações parciais cujas Transformadas Z sejam conhecidas Passase então ao último tópico do estudo das Transformadas Z VII A Transformada Z e as Equações a Diferenças Finitas A Transformada Z é uma ferramenta útil para a solução das Equações a Diferenças Finitas Desta aplicação derivase o conceito de função de transferência que é de fundamental importância na modelagem na análise e na síntese de sistemas lineares Este conceito e sua importância existem no caso dos sistemas a tempo contínuo das Equações Diferenciais e da correspondente função de transferência Seja uma EDF com condições iniciais nulas uk 2 b b uk 1 uk b yk n a 1 yk n a yk 2 a yk 1 a yk 2 1 0 n n 1 2 1 uk m k b 1 uk m b m m 1 71a b uk j k 0 yk i i a k y m 0 j j n 1 i 71b 0 y n y 1 y 2 Os parâmetros e funções de 71ab foram definidos no capítulo 2 destas notas Apliquese a Transformada Z à expressão 71b para se obter m 0 j j j n 1 i i i Uz b z Yz a z Yz 72 m 0 j j j n 1 i i i Uz z b Yz a z 1 73 U z a z 1 z b Y z n 1 i i i m 0 j j j 74 A expressão 74 tem algumas características que devem se ressaltadas Ela é uma função racional polinomial em z que está escrita em potências negativas Ela contém a Transformada Z da entrada e da saída respectivamente Uz e Yz Utilizando uma das formas de determinar a Transforma Z Inversa é possível obter yk a partir de 74 21 Porém a característica mais importante a ser observada é que a relação Uz e Yz é uma função racional polinomial que depende somente da equação Esta característica fica bastante óbvia quando a expressão é reescrita como a z 1 z b U z Y z n 1 i i i m 0 j j j 75 Observandose 65 percebese que seu lado esquerdo contém somente variáveis e o direito parâmetros e operadores Assim podese afirmar que a relação entre a Transformada Z da saída e a da entrada independe das funções dependendo somente da EDF A expressão 67 define a função de transferência associada à EDF Definição 4 Função de Transferência A função de transferência associada à EDF 63ab é a relação entre a Transformada Z da saída e a Transformada Z da entrada representada por 67 quando a entrada é aplicada sobre a EDF com condições iniciais nulas a z 1 z b Uz Y z Hz n 1 i i i m 0 j j j 75 O símbolo mais comumente usado para representar a função de transferência é Hz Supondose que a EDF representa um sistema a tempo discreto as condições iniciais nulas significam que não há energiainformação armazenada nos elementos armazenadores no instante de aplicação da entrada Como estão em consideração sistemas causais a função racional polinomial Hz pode ser própria ou estritamente própria Suponhase que a função seja própria e multipliquese o numerador e o denominador por n z a z a a z a z z b z b b z b z z b a z z z b Uz Y z Hz n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 n 2 n 2 1 n 1 n 0 n 1 i i n i n n 0 j j n j 76 A expressão 75 permite também escrever uma outra relação Hz Yz Uz 77 Suponhase agora que a entrada a ser aplicada sobre o sistema modelado pela EDF é um impulso unitário na origem e que o sistema está relaxado Relembrese que a Transformada Z do impulso unitário na origem é um e que no domínio do tempo as resposta a ser obtida é a resposta impulsional Assim podese escrever que Hz Yz 1 Uz 78 Determinando a Transformada Z Inversa de 78 podese escrever 22 Hz hk Z1 79 Que permite escrever hk z H Z 80 Aplicando a Transformada Z Inversa à expressão 80 se obtém Hz Uz Yz 1 1 Z Z 81 Como a Transformada Z Inversa de um produto de Transformadas Z de duas funções é a convolução das mesmas no domínio do tempo podese obter k 0 r k 0 r hk r ur uk r hr hk uk yk 82 Que é igual à expressão 34 da propriedade da Transformada Z da convolução de duas funções no tempo Assim a Transformada Z é uma das maneiras de calcular a resposta devida a uma resposta qualquer VIII Referências 01 Alan V Oppenheim and Alan S Willsky with Hamid Nawab Signals Systems 2ª edição PrenticeHall USA 1997 02 Alan V Oppenheim and Ronald W Schafer Discretetime Signam Processing 1ª edição PrenticeHall USA 1989 23 Capítulo 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE I Introdução Este capítulo tem muito em comum com o anterior Como no caso da Transforma Z a Transformada de Laplace é uma operação matemática que é realizada sobre uma função no caso do tempo contínuo t R para que passe a ser representada em função de uma variável complexa que é a variável s A Transformada de Laplace serve para representar sinais no domínio da freqüência quando passam a ser escritos em função da variável complexa s Ela é utilizada em sistemas de controle a tempo contínuo filtragem analógica sistemas de telecomunicações analógicos e análise de circuitos elétricos Serve também como técnica de solução de equações difernciais tal como a Transformada de Z o é para resolver equações a diferenças finitas A Transformada de Laplace guarda relação com a Transformada de Fourier dos sinais a tempo contínuo Esta relação será examinada quando a Transformada de Fourier dos sinais a tempo contínuo for tratada II Definição da Transformada de Laplace Considerese a função de tempo contínuo xt R 0 t t xt 1 A Transformada de Laplace de xt é a função na variável complexa s que se obtém ao expressar dt e xt xt Xs 0 st L 2a Como no caso da Transformada Z utilizase em geral a letra minúscula para designar a função no tempo e a maiúscula para a Transformada de Laplace os argumentos são respectivamente t e s A Transformada de Laplace apresentada na expressão 2a é chamada de Transformada de Laplace de um Lado ou Unilateral porque considera a intregal para t 0 visto que a função no domínio do tempo em consideração começa em t 0 e existe à direita do eixo vertical Para sinais que existem para valores negativos e positivos de t a expressão da Transformada de Laplace tem a intergral entre e neste caso é chamada de Transformada de Laplace de Dois Lados ou Bilateral Como no caso a tempo discreto já que esta é uma definição geral sinais que são nulos antes do tempo t 0 são chamados de causais e os que são nulos depois do tempo t 0 de anticausais Aqueles que possuem valores não nulos dos dois lados da origem são chamados de não causais Uma vez conhecida uma Transformada de Laplace é possível determinar a função do tempo que deu origem à Transformada A determinação de xt a partir de Xs é feita através da Transformada de Laplace Inversa A Transformada de Laplace Inversa é ds e Xs 2j 1 xt j 0 j 0 st 2b O cômputo da integral em 2b requer conhecimento de variáveis complexas e seus processos de integração fugindo do escopo da disciplina Existe porém uma característica da Transformada de Laplace que permite que a inversa seja calculada de maneira simples tal como no caso da Transformada Z visto anteriormente Ao par de funções xte Xs designase par Transformada de Laplace 24 xt Xs 3 A expressão 3 relaciona a função e sua Transformada de Laplace como apresentadas individualmente nas expressões 2b e 2a que são respectivamente a Transformada de Laplace Inversa e a Transformada de Laplace Nas aplicações da Transformada de Laplace que são consideradas no âmbito das disciplinas de engenharia a Transformada de Laplace Inversa é calculada sem o uso de 2b Este cálculo é apresentado mais adiante neste capítulo Definição 1 Par Transformada de Laplace Seja uma função xt no tempo contínuo t O par Transformada de Laplace é definido pela Transformada de Laplace Transformada Direta dt e xt xt Xs 0 st L 2a E pela Transformada de Laplace Inversa Xs xt j 0 j 0 st 1 ds e Xs 2j 1 L 2b Cuja relação pode ser representada por xt Xs 3 A uma função corresponde uma única transformada e viceversa esta relação é simbolizada na expressão 3 A variável de transformação s é uma variável complexa representada em sua forma cartesiana j s 4 A variável s como a variável z é complexa A primeira é representada na forma cartesina e a segunda na polar por facilidade de manipulação das expressões Quando se examinam as condições de convergência da intergal 2a as mesmas são impostas sobre o sinal da parte real já que a magnitude de ej é a unidade Exemplos de tais condições são apresentadas nas próximas seções Materiais Adicionais Números complexos são necessários para o estudo das Transformadas de Laplace assim como dos tópicos que a seguem Caso você ainda tenha alguma dificuldade em entender e executar operações com números complexos utilize os seguintes materiais disponibilizados no Maxwell 1 objeto educacional Números Complexos Parte 1 httpwwwmaxwelllambdaelepuc riobr2235822358HTM 2 objeto educacional Números Complexos Parte 2 httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2235922359HTM 3 Caderno de Exercícios httpwwwmaxwelllambdaelepucriobracessoConteudophpnrseqoco66514 e 4 Caderno de Laboratórios de Sinais e Sistemas httpwwwmaxwelllambdaelepuc riobracessoConteudophpnrseqoco22450 Neles existem apresentações sobre números complexos bem como exercícios para você praticar 25 III Algumas Transformadas de Laplace Esta seção apresenta a determinação das Transformadas de Laplace de algumas funções muito utilizadas nas diferentes aplicações A Transformada de Laplace do Impulso Unitário Considerese a função impulso unitário aplicado em um instante genérico e a sua particularização para o caso de aplicação na origem como definidas no primeiro capítulo destas notas 1 dt t t t 0 t 5a 1 dt t 0 t 0 t 0 t 5b Os cálculos da Transformadas de Laplace das duas funções seguem 1 Impulso unitário aplicado na origem Apliquese 2a à expressão 5b para obter 1 dt t e t s 0 st L 6 Observese que a Transformada de Laplace do impulso unitário aplicado na origem é a unidade e não há qualquer dependência com a variável complexa s Este resultado foi o mesmo encontrado quando foi calculada a Transformada Z quando foi comentado que este fato ocorreria 2 Impulso unitário aplicado fora da origem Apliquese 2a à expressão 5a para obter 1 e dt e t t s 0 st L 7a Que pode ser escrita em função da Transformada de Laplace do impulso unitário aplicado na origem como s es L t 7b Assim constatase que a Transformada de Laplace do impulso unitário aplicado fora da origem é igual à Transformada de Laplace do impulso unitário aplicado na origem porém com um fator de multiplicação que é função do intervalo de tempo que o impulso foi deslocado da origem Neste caso a Trasnformada de Laplace passa a depender da variável complexa s Novamente este resultado não é surpreendente visto que o mesmo ocorreu na determinação da Transformada Z no capítulo anterior 26 B Transformada de Laplace do Degrau Unitário Considerese a função degrau unitário aplicado em um instante genérico e a sua particularização para o caso de aplicação na origem como definidas no primeiro capítulo destas notas t 0 1 t u 1t 8a 0 t 0 0 1 t u 1t 8b Os cálculos da Transformadas de Laplace das duas funções seguem 1 Degrau unitário aplicado na origem Apliquese 2a à expressão 8b para obter s dt e dt e t e t u u s U 0 st 0 st 0 st 1 1 1 L 9 A expressão 9 tem em seu numerador uma integral cujo limite superior só não será infinito quando 0 10 Caso a condição 10 que é a região de convergência não se verifique a Transformada de Laplace do degrau unitário aplicado na origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir s 0 1 U 1s 11 2 Degrau unitário aplicado fora da origem Apliquese 2a à expressão 8a para obter s e dt e e t u t u 0 st s 0 st 1 1 L 12 A expressão 9 tem em seu numerador uma integral cujo limite superior só não será infinito quando 0 10 Observese que a fração na expressão 12 é a Transformada de Laplace do degrau unitário aplicado na origem Caso a condição 10 que é a região de convergência não se verifique a Transformada de Laplace do degrau unitário aplicado fora da origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir s 0 1 e t u s 1 L 13 Não é surpreendente que a região de convergência seja a mesma nos dois casos visto que as integrais são as mesmas há somente es a diferenciar 9 de 12 Como um último comentário ressaltase que a Transformada de Laplace da função degrau unitário aplicada fora da origem é igual à Transformada de Laplace da função degrau unitário aplicada na origem porém com um fator de multiplicação que é função do intervalo de tempo que a função foi deslocada da origem 27 C Transformada de Laplace da Função Exponencial Considerese a função exponencial aplicada em um instante genérico e a sua particularização para o caso de aplicação na origem como definidas no primeiro capítulo destas notas t 0 t e ft at 14a 0 t 0 0 t e ft at 14b Os cálculos da Transformadas de Laplace das duas funções seguem 1 Função exponencial aplicada na origem Apliquese 2a à expressão 14b para obter s a dt e dt e e dt e ft ft e Fs 0 at s 0 s at 0 st at 0 st L 15 A expressão 15 tem em seu numerador uma integral cujo limite superior só não será infinito quando a 16 Caso a condição 16 que é a região de convergência não se verifique a Transformada de Laplace da função exponencial aplicada na origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir a a s 1 Fs 17 No capítulo 1 mostrouse que um degrau unitário é uma função exponencial com a 0 Se em 17 fizerse a 0 obtémse 11 que é a Transformada de Laplace do degrau unitário Percebese pois que é mantida a relação do domínio do tempo como era de se esperar 2 Função exponencial aplicada fora da origem Apliquese 2a à expressão 14a para obter s a e dt e e dt e e dt e e ft ft 0 s at s 0 s at s 0 st at 0 st L 18 A expressão 18 tem em seu numerador uma integral cujo limite superior só não será infinito quando a 16 Caso a condição 16 que é a região de convergência não se verifique a Transformada de Laplace da função exponencial aplicada na origem não pode ser representada pela forma analítica a seguir a a s 1 e s U s 1 19 Como no caso do degrau unitário não é surpreendente que a região de convergência seja a mesma nos dois casos visto que as exponenciais são as mesmas há somente es a diferenciar 15 de 18 Como um último comentário ressaltase que a Transformada de Laplace da função exponencial aplicada fora da origem é igual à Transformada de Laplace da função exponencial aplicada na origem porém com um fator de multiplicação que é função do intervalo de tempo que a função exponencial foi deslocada da origem 28 Materiais Adicionais Muitas expressões fechadas ou seja expressões analíticas da Transformada de Laplace dependem da determinação de uma Região de Convergência para a variável complexa s Caso não sejam determinadas as regiões de convergência as Transformadas de Laplace não podem ser calculadas Este é o caso das Transformadas de Laplace do degrau unitário e da função exponencial É importante conhecer e entender estes conceitos Utilize o material usado nas disciplinas de Cálculo para os revisar Um alternativa de rápida referência é a apresentação da University of Michigan Dearborn disponível httpwwwgooglecomurlsatrctjqesrcssourcewebcd10sqi2ved0CGkQFjAJurl http3A2F2Fwww personalenginumdumichedu2Fsawad2Fmatlab2Fmathreview2Fpowerpoint2F62calcl aplaceppseiGd87U jeIeqd0AHPzICIDAusgAFQjCNHH47s5TDrRjQY7O0XK5jZC49Abvmbv63934634ddmQcadr ja D Transformadas de Laplace das Funções Sinusoidais Consideremse as funções seno e cosseno das quais serão determinadas as respectivas Transformadas de Laplace 1 Função seno t t u sen ft 1 20 A maneira simples de determinar a Transformada de Laplace da função seno é representandoa pela correspondente fórmula de Euler e aplicando da definição da Transformada de Laplace O resultado é 2 2 s Fs 21 2 Função cosseno t t u cos ft 1 22 A maneira simples de determinar a Transformada de Laplace da função cosseno é como no caso do seno representandoa pela correspondente fórmula de Euler e aplicando da definição da Transformada de Laplace O resultado é 2 2 s s Fs 23 Observase uma grande semelhança entre 22 e 23 pois ambas possuem o mesmo denominador Isto é fácil de aceitar tendo em vista a semelhança que existe entre as duas funções no domínio do tempo IVTransformadas de Laplace Sob a Forma Racional Polinomial Esta seção é absolutamente análoga à correspondente na Transformada Z Diversas Transformadas de Laplace utilizadas nas diferentes áreas se apresentam sob a forma de uma relação entre dois polinômios na variável s A forma genérica de tais relações é 29 n 1 n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 1 m 0 a s a a s s a b s b b s s b Xs 24a onde z R n m i j a b j i A expressão 24a pode ser escrita em uma forma alternativa Ds Xs Ns 24b Este última forma deixa bem clara a origem do nome É racional por ser uma função dada pela razão entre duas entidades matemáticas e é polinomial porque estas são polinômios em s Ns é o polinômio do numerador e Ds é o do denominador Os coeficientes dos polinômios são sempre reais no escopo desta disciplina pois estão em consideração modelos de sistemas do mundo real As funções racionais polinomiais possuem polinômios em s no numerador e no denominador Os polinômios são respectivamente de graus m e n Existem 3 possibilidades de relações entre m e n m n nesta situação a função racional polinomial é dita imprópria m n nesta situação a função racional polinomial é dita própria m n nesta situação a função racional polinomial é dita estritamente própria Examinandose as expressões das Transformadas de Laplace determinadas na seção anterior podese concluir que elas são racionais polinomiais no caso do impulso unitário na origem são 2 polinômios de grau nulo o que gera uma constante Uma função racional polinomial cujos polinômios do numerador e do denominador não possuem raízes comuns é dita irredutível em caso contrário é chamada de redutível Suponhase que a função está na forma irredutível Neste caso existirão m raízes do polinômio do numerador que levarão a função Xs a zero n raízes do polinômio do denominador que levarão a função Xs a infinito Estas raízes recebem respectivamente os nomes de zeros e pólos Definição 2 Pólos e Zeros Zeros de Xs são as m raízes 1m zjj do polinômio do numerador que levam tanto o polinômio Ns quanto a função Xs a zero Pólos de Xs são as n raízes 1n pi i do polinômio do denominador que levam o polinômio Ds a zero e a função Xs a infinito Uma informação importante a respeito de uma função racional polinomial é o seu grau Definição 3 Grau de Uma Função Racional Polinomial O grau de uma função racional polinomial é o grau de seu polinômio do denominador quando ela estiver na forma reduzida Como estão sendo tratados casos em que os coeficientes são reais há as seguintes possibilidades para os valores dos pólos e zeros Reais simples ou múltiplos Complexos conjugados simples ou múltiplos 30 Em geral a função racional polinomial é escrita sob a forma normalizada ie quando o coeficiente do termo de grau mais alto do denominador é a unidade Assim ela assume a forma n 1 n 1 n 1 n m 1 m 1 m 1 m 0 a s a a s s b s b b s s b Xs 25a Observese que os coeficientes de 24a e de 25a ainda que tenham sido usados os mesmo símbolos possuem valores numéricos diferentes Como um polinômio pode ser fatorado nas suas raízes há uma forma alternativa para 25a Ela é n 2 1 m 1 m 1 m 1 m 0 s p s p p s b s b b s s b Xs 25b Esta última maneira de escrever a função racional polinomial é importante porque é usada no cálculo da Transformada de Laplace Inversa Caso a função não estivesse normalizada o coeficiente 0 a multiplicaria o denominador de 25b Tudo o que foi apresentado sobre funções racionais polinomiais já foi visto no estudo da Transformada Z somente a variável era diferente Materiais Adicionais Para compreender bem as funções racionais polinomiais os pólos e os zeros é necessário o conhecimento do plano complexo para representar números complexos Duas referências são o objeto educacional Números Complexos Parte 1 httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2235822358HTM e o material da Clark University intitulado Daves Short Course on Complex Numbers httpwwwclarkuedudjoycecomplex Há também o objeto educacional específico sobre funções racionais polinomiais Funções Racionais Polinomiais httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2262222622HTM V Algumas Propriedades da Transformada de Laplace A Transformada de Laplace assim como a Transformada Z e as Transformadas de Fourier possui propriedades que facilitam a sua manipulação Esta seção apresenta as propriedades mais importantes da Transformada de Laplace sendo que algumas provas são deixadas aos alunos como exercícios Multiplicação por constante Seja um par Transfomada de Laplace representado por 3 e aqui repetido por conveniência xt Xs 3 Em 3 a função é a mesma de 1 e aqui repetida por conveniência R 0 t t xt 1 Definase uma nova função xt yt 26 onde é uma constante A Transformada de Laplace de yt é 31 Xs Ys 27 Soma ponderada de funçõess Linearidade Sejam dois pares Transfomada de Laplace X s x t 1 1 28a X s x t 2 2 28b Definase uma nova função x t x t yt 2 2 1 1 29 A Transformada de Laplace de yt é X s X s Ys 2 2 1 1 30 Como no caso anterior os coeficientes de multiplicação são constantes Deslocamento de função à direita Seja uma função qualquer xt dada por 0 t 0 0 qualquer t xt 31 Com ela definase uma nova função t 0 0 t xt xt yt 32 A Transformada de Laplace de yt é Xs e Ys s 33 Convolução de duas seqüências no tempo Sejam dois pares Transfomada de Laplace X s x t 1 1 28a X s x t 2 2 28b Definase uma nova função t d x x t t x d x t x t x t yt 0 2 1 0 2 1 2 1 34 A Transformada de Laplace de yt é X s X s Ys 2 1 35 Observase que este resultado é o mesmo obtido para a Transformada Z de duas seqüências que são convoluídas no domínio do tempo 32 Teorema do Valor Inicial TVI Seja uma função qualquer xt dada por 0 t 0 0 qualquer t xt 31 E seja o seu par Transformada da Laplace xt Xs 3 Sendo conhecida a Transformada de Laplace podese obter o valor da função no tempo zero x0 em função da mesma através da expressão lim s Xs x0 s 36 A expressão 36 é válida caso o limite exista Teorema do Valor Final TVF Seja uma função qualquer xt dada por 0 t 0 0 qualquer t xt 37 E seja o seu par Transformada da Laplace xt Xs 3 Sendo conhecida a Transformada de Laplace podese obter o valor da função no tempo zero x0 em função da mesma através da expressão lim s Xs x 0 s 38 A expressão 38 é válida caso o limite exista Para que ele exista é necessário que todos os pólos da função racional polinomial tenham parte real negativa Escalonamento no tempo Seja um par Transfomada de Laplace representado por 3 e aqui repetido por conveniência xt Xs 3 Definase uma nova função yt xta 39 Esta última função é a a original rebatida sobre o eixo vertical ou sua imagem de espelho ou a função revertida A Transformada de Laplace de yt é Ys aX as 40 Estas são as mais importantes propriedades da Transformada de Laplace Derivação Seja um par Transfomada de Laplace representado por 3 e aqui repetido por conveniência 33 xt Xs 3 Definase uma nova função dt yt dxt 41 A Transformada de Laplace de yt é x0 Ys sX s 42 Para a derivação quando forem derivadas de ordens superiores vale a regra da cadeia Integração Seja um par Transfomada de Laplace representado por 3 e aqui repetido por conveniência xt Xs 3 Definase uma nova função t x d yt 0 43 A Transformada de Laplace de yt é s X s Ys 1 44 Para a integração quando forem integrais de ordens superiores vale a regra da cadeia Material Adicional Algumas das operações com sinais que foram utilizadas para determinar as correspondentes Transformadas de Laplace podem ser revisadas no objeto educacional Sinais e Suas Operações httpwwwmaxwelllambdaelepucriobr2285721857HTM Nele existem pequenos simuladores para você visualizar as operações IXA Transformada de Laplace Inversa e a Sua Determinação Ao ser definida a Transformada de Laplace da função xt foi também associada a ela a Transformada de Laplace Inversa Ambas compõem o par da Transformada de Laplace dado por 3 Elas são dadas pelas expressões 2a e 2b aqui repetidas por conveniência dt e xt xt Xs 0 st L 2a E pela Transformada de Laplace Inversa ds e Xs 2j 1 xt j 0 j 0 st 2b Em muitas situações tornase necessário determinar a Transformada de Laplace Inversa para que se possa passar de uma expressão em função da variável s para a correspondente função no tempo 34 contínuo t A subseção que segue apresenta uma maneira de efetuar a passagem de um sinal representado no domínio da freqüência para o correspondente no domínio do tempo Redução a funções cujas Transformadas de Laplace Inversas sejam conhecidas Este é o método mais usado quando desejase determinar a Transformada de Laplace Inversa de funções racionais polinomiais O método consiste em expandir a função racional polinomial em uma soma de funções cujas Transformadas de Laplace sejam conhecidas é uma soma de várias funções racionais polinomiais de ordens 1 e 2 Por esta razão ele é chamado de Método da Expansão em Frações Parciais Uma vez obtida a soma das funções oriundas da expansão recorrese à tabela para determinar as Transformadas de Laplace Inversas de cada uma delas Ressaltase que a Transformada de Laplace é uma operação linear como visto nas propriedades Assim a Transformada de Laplace Inversa da soma é a soma das Inversas Seja Xs a Transformada de Laplace da qual se quer determinar a inversa Esta função é racional e portanto pode ser escrita sob as formas apresentadas anteriormente 25ab e aqui reescritas para adequar ao desenvolvimento que segue n 1 n 1 n 1 n m 1 m 1 m 1 m 0 a s a a s s s s s Xs 45a n 2 1 m 1 m 1 m 1 m 0 s p s p p s s s s Xs 45b Como visto anteriormente há 3 possibilidades para a relação entre m e n que levam a função a ser imprópria própria ou estritamente própria Como o caso mais geral é que a função seja imprópria este é o que será desenvolvido Assim suponhase que m n Com esta suposição é possível dividir o numerador pelo denominado para obter n 1 n 1 n 1 n n 1 n 2 n 2 1 n mn n1 m n1 m 1 n m 0 a s a a s s b s b b s 1 s b s s s Xs 46a n 2 1 n 1 n 2 n 2 1 n mn n1 m n1 m 1 n m 0 s p s p p s b s b b s 1 s b s s s Xs 46b Observese que 46ab possuem dois segmentos bem distintos O primeiro é a soma ponderada de potências positivas de s e o segundo é uma função racional polinomial estritamente própria de grau n Designese n 2 1 n 1 n 2 n 2 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 2 n 2 1 n s p s p p s b s b b s 1 s b a s a a s s b s b b s 1 s b s XP 47 Ou seja XPs é a parcela estritamente própria de Xs Podese então escrever XPs s s s Xs mn n1 m n1 m 1 n m 0 48 Logo XPs s s s Xs xt m n n 1 m n 1 m 1 n m 0 1 1 L L 49 Como a Transformada de Laplace é uma operação linear podese escrever 35 XPs s s s xt 1 m n n 1 m n 1 m 1 n m 0 1 L L 50 XPs t dt t d dt t d dt t d xt 1 mn mn1 n 1 m n1 m 1 n m n m 0 L 51 Resta então determinar a última parcela de 51 n 2 1 n 1 n 2 n 2 1 n 1 s p s p p s b s b b s 1 s b s XP L 52 Como visto anteriormente os pólos podem ser reais simples ou múltiplos ou complexos conjugados Examinemse 3 casos Pólos reais e simples Nesta situação a expressão 52 pode ser reescrita como n n 2 2 1 1 1 1 p s A p s A p s A XPs L L 53 Considerandose a expressão da Transformada de Laplace da função exponencial podese escrever t u A e t u A e t u A e s XP 1 nt p n 1 2t p 2 1 1t p 1 1 L 54 Para que 53 e 54 sejam determinadas é necessário calcular as constantes 1 n i Ai Há duas possibilidades para o cálculo das mesmas A primeira é em 53 reduzir o lado direito da expressão ao mesmo denominador e depois comparar o numerador que resulta com o numerador de 52 igualando os termos de mesmas potências de s para determinar os coeficientes desconhecidos A segunda é utilizar um resultado derivado do Teorema de Cauchy para os Resíduos que fornece a expressão n 1 i p XPs s A pi i s i 55 Com o cálculo de 55 obtémse os coeficientes para a expansão contida em 53 e 54 Pólos reais e repetidos Suponhase que o ésimo pólo seja repetitivo e sua multiplicidade seja r Ou seja existem r pólos de mesmo valor numérico e real São eles r 1 2 1 p p p p 56 Na expressão 47 havendo pólos distintos calculase o conjunto de coeficentes correspondentes a eles com a expressão 53 Porém a expansão em frações fica significativamente modificada para as parcelas correspondentes aos pólos repetitivos deixando as raízes repetidas para o final da expansão a equação 53 se torna r r 1 r 1 r 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 p s B p s B p s B p s B p s A p s A p s A XPs L L 57 Em 57 o número total de parcelas continua sendo n já que esta é a ordem da função Assim pode se escrever que r 1 n 58 36 As Transformadas de Laplace Inversas das 1 parcelas são funções exponenciais o mesmo ocorre com a ésima parcela As demais serão diferentes por possuírem potências da expressão no denominador Da bibliografia se obtém t u t e B p s B 1 t p 2 2 2 1 L 59a t u e t B p s B 1 p t 2 3 3 3 1 L 59b Assim podese escrever t u B e t u A e t u A e s XP 1 t p 1 1 2t p 2 1 1t p 1 L 1 t u tr 1 e B t u e t B t u t e B 1 t p r 1 p t 2 3 1 t p 2 60 A expressão para determinar os coeficientes relativos aos pólos repetitivos é p s j r XPs p s j r ds j r d j r 1 B 61 Par de pólos complexos conjugados É importante lembrar que no âmbito da disciplina as funções racionais polinomiais são formadas por polinômios cujos coeficientes são reais Por esta razão quando os polinômios possuírem raízes complexas estas ocorrerão aos pares conjugados Assim os pólos que são as raízes do poilinômio do denominador só podem ocorrer em pares conjugados Suponhase que o par de pólos complexos conjugados seja representado em sua forma já fatorada pela expressão 62 Esta expressão no caso geral pode ser uma das parcelas de uma função racional polinomal mais complexa j s N j s N j j s s N s XP 2 1 1 1 1 L L L 62 Os coeficientes 1 N e 2 N são calculados pela expressão 55 Demonstrase facilmente que eles são complexos conjugados Assim após a expansão a expressão 62 se modifica para j s j j s j s XP 1 1 L L 63 Escrevamse os complexos dos numeradores em suas formas polares 1 j 1 e r j j 1 1 e r j 64ab Os números complexos em 64ab são os coeficientes dos numeradores Com a substituição dos mesmos em 63 se obtém 37 j s j 1 e r j s j e r XP s 1 1 1 1 1 L L 65 A Transformada de Laplace Inversa de 65 determinada utilizando a Transformada da Função Exponencial é dada por 66 t u e te r e e te r e s XP 1 j t j 1 1 j t 1 j 1 1 L 66 t u e e e e s XP 1 j t j 1 j t j 1 t 1 1 r e L 67 t u s XP 1 1 t 1 1 cos t r e L 68 Observase em 68 a existência de 2 termos distintos O primeiro é uma função exponencial cuja natureza depende do valor de O outro é uma sinusóide de freqüência e fase 1 Com esta análise encerrase o cálculo da Transformada de Laplace Inversa através da expansão em frações parciais cujas Transformadas de Laplace sejam conhecidas Passase então ao último tópico do estudo das Transformadas de Laplace X A Transformada de Laplace e as Equações a Diferenciais A Transformada da Laplace é uma ferramenta útil para a solução das Equações a Diferenciais Desta aplicação derivase o conceito de função de transferência que é de fundamental importância na modelagem na análise e na síntese de sistemas lineares Este conceito e sua importância existem no caso dos sistemas a tempo discreto Equações a Diferenças Finitas e da correspondente função de transferência Seja uma EDO Equação Diferencial Ordinária com condições iniciais nulas dt ut d b dt ut b d dt d ut b yt a dt dyt a dt yt d a dt yt d a dt yt d 2 n 2 n 2 1 n 1 n 1 n n 0 n n 1 2 n 2 n 2 1 n 1 n 1 n n ut k 0 b dt dut b n n 1 69a Que pode ser escrita sob forma compacta como dt ut d b dt yt d i a n 0 j j n j n j n 0 i i n i n 69b As condições iniciais para qualquer uma das formas são 1 n 0 t 1 n n1 1 0 t 0 y dt yt d y dt dyt y y0 Quando for para calcular a função de transferência as condições iniciais se tornam nulas logo 0 dt yt d dt dyt y0 0 t 1 n 1 n 0 t 38 Os parâmetros e funções de 69a b foram definidos no capítulo 2 destas notas A equaçãp está escrita com a máxima derivada da função de entrada igual à de saída porque estão em consideração sistemas causais Ela poderia ser inferior mas não superior Apliquese a Transformada de Laplace à expressão 69b para se obter n 0 j j n j n 0 i i n i Us b s Ys a s 70 Us b s Ys s a n 0 j j n j n 0 i i n i 71 U s s a n s b Y s n i i n i 0 j j n j 0 72 A expressão 72 tem algumas características que devem se ressaltadas Ela é uma função racional polinomial em s Ela contém a Transformada de Laplace da entrada e da saída respectivamente Us e Ys Utilizando uma das formas de determinar a Transforma de Laplace Inversa é possível obter yt a partir de 72 Porém a característica mais importante a ser observada é que a relação Us e Ys é uma função racional polinomial que depende somente da equação A expressão 72 pode ser reescrita como s a n s b U s Y s n 0 i i i 0 j j j 66 Observandose 66 percebese que seu lado esquerdo contém somente variáveis e o direito parâmetros e operadores Assim podese afirmar que a relação entre a Transformada de Laplace da saída e a da entrada independe das funções dependendo somente da EDO A expressão 66 define a função de transferência associada à EDO Definição 4 Função de Transferência A função de transferência associada à EDO 69 é a relação entre a Transformada de Laplace da saída e a Transformada de Laplace da entrada representada por 66 quando a entrada é aplicada sobre a EDO com condições iniciais nulas s a n s b Us Y s Hs n 0 i i i 0 j j j 66 O símbolo mais comumente usado para representar a função de transferência é Hs 39 Supondose que a EDO representa um sistema a tempo contínuo as condições iniciais nulas significam que não há energiainformação armazenada nos elementos armazenadores no instante de aplicação da entrada Como estão em consideração sistemas causais a função racional polinomial Hs pode ser própria ou estritamente própria Suponhase que a função seja própria a s a a s a s s b s b b s b s s b s a n s b Us Y s Hs n 1 n 2 n 2 1 n 1 n n 1 n 2 n 2 1 n 1 n 0 n 0 i i i 0 j j j 67 A expressão 67 permite também escrever uma outra relação Hs Ys Us 68 Suponhase agora que a entrada a ser aplicada sobre o sistema modelado pela EDO é um impulso unitário na origem e que o sistema está relaxado Relembrese que a Transformada de Laplace do impulso unitário na origem é um e que no domínio do tempo as resposta a ser obtida é a resposta impulsional Assim podese escrever que Hs Ys 1 Us 69 Determinando a Transformada de Laplace Inversa de 69 podese escrever Hs ht L1 70 Que permite escrever ht s H L 71 Aplicando a Transformada de Laplace Inversa à expressão 71 se obtém Hs Us Ys 1 1 L L 72 Como a Transformada de Laplace Inversa de um produto de Transformadas de Laplace de duas funções é a convolução das mesmas no domínio do tempo podese obter t d h ut t u d ht ht ut yt 0 0 73 Que é igual à expressão 34 da propriedade da Transformada de Laplace da convolução de duas funções no tempo Assim a Transformada de Laplace é uma das maneiras de calcular a resposta devida a uma resposta qualquer XIReferências 01 Alan V Oppenheim and Alan S Willsky with Hamid Nawab Signals Systems 2ª edição PrenticeHall USA 1997