Notas de Aula de Controles e Servomecanismos - Volume 1

1 Número 01 Fevereiro 2011 Notas de Aula de Controles e Servomecanismos Volume 1 Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estas notas de aula têm o objetivo de complementar o material apresentado nos livros de referência da disciplina ENG 1417 Controles e Servomecanismos bem como de servir de guia à ordem na qual os tópicos serão ministrados Elas cobrem assuntos referentes às técnicas clássicas de controle e também aqueles referentes ao controle moderno Considerando que cada vez mais há implementação de controle através de circuitos digitais é apresentada a parte referente a sistemas a tempo discreto As notas são apresentadas em quatro volumes para que os arquivos não excedam 15 MB Há um volume anexo contendo três artigos sobre assuntos complementares que foram desenvolvidos pelos alunos da turma citada no último parágrafo Foram dedicados e criteriosos revisores destas notas os alunos de graduação Bernard Pereira de Oliveira Engenharia Elétrica e Eduardo Oest Moreira Engenharia de Controle e Automação estagiários do LAMBDA Laboratório de Automação de Museus Bibliotecas Digitais e Arquivos do Departamento de Engenharia Elétrica que trabalham no projeto dos Livros Interativos de Engenharia Elétrica Uma grande contribuição às notas foi dada pela turma de ENG1417 Controles e Servomecanismos em 20141 Os alunos críticos e contributivos deram sugestões e resolveram vários exemplos no MATLAB A turma era composta por Alexandre Sheng Hsien Su Bruna dos Guaranys Martins Camila Schuina Neves Carlos Adalberto Samayoa Frederico Kos Botelho Isabela Cunha Maia Nobre Marcelo Maceira de Almeida Neves Roberto Bandeira de Mello M da Silva e Stella Salim Gouvea Roberto Bandeira de Mello M da Silva monitor da disciplina em 20142 resolveu os exemplos do Critério de Nyquist utilizando o MATLAB 3 SUMÁRIO Volume 1 01 Introdução Controles e Servomecanismos 02 Os sistemas lineares e os modelos por variáveis de estado 03 Sistemas compostos 04 Propriedades dos sistemas Volume 2 05 Controlabilidade 06 Observabilidade 07 Estabilidade Volume 3 08 Raízes de polinômios 09 Método de Nyquist 10 Método do Lugar das Raízes Volume 4 11 Realimentação de estado aplicada ao problema do controle modal 12 Observador de Luenberger 13 Especificações no domínio do tempo técnicas clássicas 14 Especificações no domínio da freqüência técnicas clássicas 15 Controle PID Volume de Anexos 16 Obtenção de equações dinâmicas em formas canônicas a partir da função de transferência 17 Método do Lugar das Raízes para dois parâmetros variáveis 18 Rastreamento de uma referência 4 Capítulo 1 INTRODUÇÃO CONTROLES E SERVOMECANISMOS I Conhecimentos Passados e a Atual Disciplina Nas disciplinas de Sinais Sistemas os conceitos de sinais nos tempos contínuo e discreto de sistemas com suas classificações e seus modelos e a solução para diferentes tipos de funções de excitação foram aprendidas Deste passado recente são imprescindíveis os conceitos e as habilidades de manipulação de equações diferenciais equações a diferenças finitas Transformadas de Laplace e Z Princípio da Superposição funções de transferência e respostas a funções especiais Este conhecimento adquirido é a base para os estudos de Controles e Servomecanismos Nesta área serão estendidos deles bem como introduzidos novos conceitos e métodos de solução Uma grande diferença frente às disciplinas passadas é o estudo de maneiras de interferir no sistema de tal forma que ele se comporte de acordo com algum tipo de especificação Este primeiro capítulo fará a ponte entre os conhecimentos passados e os da disciplina de Controles e Servomecanismos através dos modelos dos sistemas II Modelos dos Sistemas Os sistemas são representados através de modelos matemáticos e gráficos estes últimos utilizando desenhos de componentes e diagramas de conexões Um mesmo sistema pode ter mais de um modelo dependendo da metodologia de estudo em consideração Existem modelos matemáticos que representam somente as relações entre os sinais de entrada e de saída tanto nos domínios do tempo como da freqüência enquanto outros utilizam também variáveis internas Nas disciplinas anteriores os modelos estudados foram somente aqueles que relacionam entradas e saídas Em CS os modelos com variáveis internas serão introduzidos A Relações ou Modelos EntradaSaída As relações entradasaída são aquelas que examinam somente estes dois conjuntos de variáveis e suas relações sem considerar o que se passa internamente nos sistemas Ou seja não há descrição das relações entre as variáveis internas do sistema Um exemplo de tal situação é um circuito elétrico que tenha inúmeros elementos e no qual examinese somente a fonte e a variável de saída sem levar em consideração as correntes e tensões nos demais elementos Uma representação comum para a relação sinal de entrada sistema e sinal de saída é a da figura 1 Figura 1 Relação sinal de entrada sistema e sinal de saída Na figura 1 p u R é a variável ou sinal de entrada também chamada excitação ou controle dependendo do contexto de uso do sistema q y R é a variável ou sinal de saída também chamada simplesmente de saída indica que o argumento pode ser t R ou k Z dependendo do sistema em consideração Sistema u y 5 Existem alguns componentes de sistemas chamados de conversores nos quais os sinais de entrada e de saída possuem naturezas diferentes Quando a entrada é um sinal no tempo contínuo e a saída um no tempo discreto o componente é chamado de conversor AD Caso a relação seja ao contrário ou seja entrada discreta e saída contínua o componente é chamado de conversor DA Os conversores AD e DA são muito usados em sistemas de controle Do ponto de vista matemático u é a variável independente e y é a dependente ambas são funções do tempo seja ele contínuo ou discreto Existe uma grande variedade de sistemas no que diz respeito à natureza e à estrutura e também diferentes tipos de relações entre as variáveis de entrada e de saída Por esta razão são utilizadas classificações dos sistemas quanto a alguns atributos São usadas várias taxonomias para classificar os sistemas Estes assuntos já foram estudados Quando as relações entre entrada e saída se estabelecem no domínio do tempo utilizamse equações diferenciais quando os sistemas forem a tempo contínuo ou a diferenças finitas caso dos sistemas a tempo discreto B Relações ou Modelos com Variáveis Internas As relações ou modelos com variáveis internas utilizam além das funções de entrada e de saída outras variáveis que existem internamente no sistema Voltando ao exemplo do circuito seria o caso de além de examinar as variáveis de excitação e de saída examinar também outras correntes e tensões existentes nos elementos do circuito Existe uma área do estudo dos sistemas baseada no uso das variáveis internas além das de entrada e de saída É a chamada Teoria de Estado e as variáveis internas são as variáveis de estado Esta área possui métodos de obtenção dos modelos equações maneiras de solucionálas formas de analisálas para determinar as propriedades dos sistemas e técnicas para modificar o comportamento dos mesmos A parte inicial da disciplina será voltada ao estudo dos sistemas lineares através de variáveis de estado Ressaltase que nas disciplinas anteriores foram também estudados somente sistemas lineares III Considerações Finais Ainda na parte inicial da disciplina serão introduzidas as propriedades de Controlabilidade Observabilidade e Estabilidade A estabilidade será também estudada a partir das relações entrada saída 6 Capítulo 2 OS SISTEMAS LINEARES E OS MODELOS POR VARIÁVEIS DE ESTADO I Objetivo O objetivo deste capítulo é apresentar os modelos por variáveis de estado e a aplicação dos mesmos aos sistemas lineares Serão abordadas as definições as técnicas de modelagem as correspondências com os modelos entradasaída no domínio da freqüência e as diferentes soluções Tanto sistemas a tempo contínuo quanto discreto serão estudados II Apresentação das Variáveis Como mencionado no capítulo anterior os modelos por variáveis de estado utilizam variáveis internas do sistema chamadas de variáveis de estado além das de entrada e de saída presentes nas representações entradasaída Esta metodologia de estudo dos sistemas é também chamada de Análise em Espaço de Estado ou Técnica de Espaço de Estado Considerese a representação comum para a relação sinal de entrada sistema e sinal de saída na da figura 1 Esta representação foi apresentada no capítulo anterior Figura 1 Relação entradasaída sinal de entrada sistema e sinal de saída Na figura 1 p u R é a variável ou sinal de entrada também chamada excitação ou controle dependendo do contexto de uso do sistema q y R é a variável ou sinal de saída também chamada simplesmente de saída indica que o argumento pode ser t R ou k Z dependendo do sistema em consideração Quando se passam a considerar as variáveis internas modelase tanto o esquema gráfico como o modelo matemático de maneira diferente Passase à situação da figura 2 Figura 2 Relação com variáveis internas sinal de entrada sistema variável interna e sinal de saída Na figura 2 p u R é a variável ou sinal de entrada também chamada excitação ou controle dependendo do contexto de uso do sistema n x R é a variável de estado ou vetor de estado também chamada simplesmente de variável interna Sistema u y Sistema x u y 7 q y R é a variável ou sinal de saída também chamada simplesmente de saída indica que o argumento pode ser t R ou k Z dependendo do sistema em consideração Nas figuras 1 e 2 representamse as variáveis entrada saída e estado sublinhadas para indicar que são vetores Definamse as variáveis p p 3 2 1 u u u u u R n n 3 2 1 x x x x x R q q 3 2 1 y y y y y R 1abc onde Z p n q As 3 variáveis foram definidas sob forma vetorial para indicar que podem existir vários elementos em cada uma A título de exemplo um circuito que tivesse 3 fontes de alimentação teria seu vetor de entrada de dimensão 3 Surgem então designações alternativas p u R é o vetor de entrada sendo cada um de seus elementos uma entrada do sistema q y R é o vetor de saída sendo cada um de seus elementos uma saída do sistema n x R é o vetor de estado sendo cada um de seus elementos uma variável de estado do sistema Os modelos que trabalham com variáveis internas possuem então as 3 variáveis 1abc Quando houver somente uma entrada a seta correspondente será fina O mesmo ocorrerá com a saída Neste caso não serão vetores de entrada eou de saída mas escalares A técnica de espaço de estado ao contrário da descrição entradasaída permite conhecer a evolução de variáveis internas do sistema que não aparecem de maneira explícita na saída Ela é interessante também por permitir a definição de algumas propriedades que enfocam o funcionamento dos sistemas de maneira mais completa propiciando uma melhor análise do comportamento dos mesmos Atualmente variáveis de estado têm sido usadas também em métodos de síntese como por exemplo de filtros digitais A idéia associada às variáveis de estado é facilmente compreendida por quem já tendo trabalhado com equações diferenciais eou com equações a diferenças finitas tem conhecimento que a solução destes tipos de equação depende de Conhecimento da excitação que atua sobre a equação ou seja a sua entrada ou variável independente Conhecimento de um conjunto de informações que traduzem para o instante arbitrado como inicial a memória do funcionamento passado do sistema do ponto de vista matemático são as condições iniciais IC O nome condições iniciais advém do fato de as mesmas estarem associadas ao instante inicial de funcionamento a partir do qual se aplica a excitação Observese que existe um número de peças de informação que é tal que se o número de peças de informação conhecidas for inferior a ele o problema não poderá ser resolvido Em contrapartida se existirem mais informações do que este número as informações adicionais serão redundantes Assim como estas informações caracterizam o funcionamento passado com respeito a um instante arbitrariamente chamado de inicial caracterizam também com respeito a qualquer instante ao qual se queira referir todo o funcionamento passado 8 Suponhase que seja ou uma referência móvel de uma das variáveis tempo contínuo ou discreto Podemos a cada instante ou caracterizar um conjunto de peças de informação cujo conhecimento substitui todo o conhecimento do funcionamento passado podendo a entrada e a saída ser consideradas somente daquele instante em diante uma vez que tais informações sejam conhecidas Como este ou é variável a cada instante existe tal conjunto que completamente caracteriza o funcionamento do sistema até aquele instante Este conjunto de informações é chamado de estado do sistema e cada uma das peças é chamada de variável de estado Assim uma definição informal permite escrever Definição 1 Estado de um Sistema É o conjunto de informações sobre um sistema que conhecidas a cada instante permite substituir todo o conhecimento do funcionamento passado O estado caracteriza todo o conhecimento sobre o sistema em um dado instante Cada uma das informações é chamada de variável de estado As condições iniciais são as variáveis de estado em um dado instante por isso o seu conhecimento e o da entrada permite resolver a saída a partir do instante inicial Quando se usam equações diferenciais ou a diferenças ainda que as condições iniciais sejam necessárias só uma variável é descrita todo o tempo III Equação Dinâmica A Técnica de Espaço de Estado tem uma forma específica de estruturar as relações matemáticas entre as três variáveis Esta forma é padrão A representação por variáveis de estado utiliza as já mencionadas variáveis internas variáveis de estado além das de entrada e de saída As variáveis são vetores de funções do tempo discreto ou contínuo A representação por variáveis de estado é chamada de Equação Dinâmica Definição 2 Equação Dinâmica A Equação Dinâmica é um conjunto de duas equações que por sua vez são conjuntos de equações Cada uma delas é chamada de equação por poder ser escrita como única sob forma vetorial São elas Equação de Estado é um conjunto de n equações diferenciais no caso do tempo contínuo ou a diferenças finitas no caso do tempo discreto de primeira ordem e causais que relacionam a evolução das n variáveis de estado aos seus valores presentes e aos valores das p entradas Um conjunto de n condições iniciais precisa ser associado a esta equação sendo uma para cada equação diferencial ou a diferenças finitas Equação de Saída é um conjunto de q equações algébricas relacionando os valores presentes das n variáveis de estado e das p entradas aos valores presentes das q saídas Sendo as equações que compõem este conjunto algébricas não são necessárias condições iniciais Ainda que os casos discreto e contínuo sejam conceitualmente análogos as equações são diferentes pela natureza das variáveis envolvidas É importante ressaltar que em um caso as variáveis são funções do tempo contínuo t R enquanto no outro o são do tempo discreto k Z Por esta razão no caso contínuo as equações do conjunto de estado são diferenciais e no caso discreto são a diferenças finitas Desta forma as duas equações dinâmicas serão apresentadas separadamente A Equação Dinâmica para Sistemas a Tempo Contínuo Para sistemas a tempo contínuo a equação dinâmica é composta por dois conjuntos de equações A equação de estado é um conjunto de n equações diferenciais de 1a ordem Cada equação deste sistema expressa a derivada primeira de cada uma das n variáveis de estado em função das n 9 variáveis de estado das p variáveis de entrada e do próprio tempo t As relações entre as variáveis envolvidas podem ser de qualquer natureza A equação de saída é um conjunto de q equações algébricas que expressam o valor instantâneo no instante genérico t de cada uma das q variáveis de saída em função das n variáveis de estado das p variáveis de entrada e do próprio tempo t Como a equação de saída é instantânea não estão associadas a ela condições iniciais enquanto à equação de estado está associado um vetor de n condições iniciais Ressaltese que como são n equações de primeira ordem são necessárias n condições iniciais uma para cada componente do vetor de estado A equação dinâmica de um sistema a tempo contínuo é 0 0 x xt ut t xt f dt dxt 2a g xt ut t yt 2b Nas expressões 2ab f e g são funções vetoriais ou seja são funções que podem ser diferentes a cada linha significando que cada linha apresenta uma relação distinta entre as variáveis As funções podem ser lineares ou não lineares variantes ou invariantes no tempo etc Quando o sistema em consideração for linear as relações entre as variáveis serão lineares logo a equação dinâmica se torna um conjunto de duas equações vetoriais lineares 0 0 x Bt ut xt t xt A dt dxt 3a Dt ut Ct xt yt 3b Nas expressões 3ab há total separação de funções e de parâmetros As funções estão nos vetores de estado e de entrada enquanto os parâmetros estão nas matrizes Os vetores foram definidos em 1abc As matrizes que contêm os coeficientes das combinações lineares entre os elementos dos vetores são n n x At R R é a matriz de estado e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos dos estados na taxa de variação de cada um deles p n x Bt R R é a matriz de entrada e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos das entradas na taxa de variação de cada uma das variáveis de estado n q x Ct R R é a matriz de saída e expressa a contribuição de cada uma das variáveis de estado na composição de cada uma das variáveis de saída p q x Dt R R é a matriz de conexão direta entradasaída e expressa a contribuição dos valores instantâneos de cada uma das variáveis de entrada na composição de cada uma das variáveis de saída As expressões 3ab são lineares mas seus coeficientes de combinação são funções do tempo podendo assim representar sistemas lineares variantes no tempo Quando as relações entre as variáveis de um sistema não variarem com o tempo ou seja quando o sistema linear for invariante no tempo as equações e matrizes se modificam para x0 B ut x0 xt A dt dxt 4a D ut C xt yt 4b n n x A R R é a matriz de estado e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos dos estados na taxa de variação de cada um deles 10 p n x B R R é a matriz de entrada e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos das entradas na taxa de variação de cada uma das variáveis de estado n q x C R R é a matriz de saída e expressa a contribuição de cada uma das variáveis de estado na composição de cada uma das variáveis de saída p q x D R R é a matriz de conexão direta entradasaída e expressa a contribuição dos valores instantâneos de cada uma das variáveis de entrada na composição de cada uma das variáveis de saída Ou seja as matrizes de parâmetros passam a ter elementos que são reais constantes e não funções do tempo As dimensões e os nomes não são alterados por esta particularização O que é alterado é o fato de as matrizes deixarem de ser funções do parâmetro tempo Observese que foi também alterada a condição inicial da equação de estado tendo o tempo de referência sido modificado para t 0 ao invés de um instante inicial genérico 0 t Isto se deve ao fato de sendo o sistema invariante no tempo seus parâmetros não se alterarem com t Assim qualquer que seja o tempo de aplicação da excitação ela encontrará sempre o mesmo modelo o que não ocorre em um sistema variante no tempo no qual uma mesma entrada aplicada em instantes diferentes encontra o sistema com parâmetros diferentes implicando em relações diferentes entre as variáveis Um comentário é importante no que diz respeito à natureza dos pares 2ab 3ab e 4ab A equação de estado relaciona a entrada com a evolução do estado do sistema Ela é responsável por modelar o comportamento do estado e como ele é influenciado por seu valor instantâneo através da matriz de estado pelo valor instantâneo da entrada através da matriz de entrada e pelo tempo Já a equação de saída relaciona a variável de saída com o valor do estado e da entrada no mesmo tempo O estado deve ser resolvido através da equação de estado para poder ser usado na de saída Exemplo 1 Este exemplo tem o objetivo de mostrar como se determina e a qual forma da equação dinâmica de um circuito RLC série bastante conhecido Suponhase que a saída é a tensão no capacitor Escrevase inicialmente a Lei de Kirchhoff para a malha tdt i c 1 dt L dit Rit vt Observese que a equação dinâmica não aceita a existência de integrais somente derivadas e combinações lineares Além do mais a expressão da malha se derivada para eliminar a integral será uma equação diferencial de segunda ordem enquanto a equação de estado é um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem Assim será necessário decompor a equação diferencial de segunda ordem em duas de primeira ordem Isto se dará através da definição das variáveis de estado Aqui já cabe uma observação teórica interessante A ordem da equação diferencial é determinada pelo número de elementos armazenadores de energia independentes No caso há um indutor e um capacitor Ao fazerse a decomposição como a equação original é de ordem 2 só pode ser decomposta 11 em duas de ordem 1 Logo o número de equações no sistema da equação de estado é 2 o número de elementos armazenadores independentes Examinemse as relações entre as variáveis elétricas nos elementos Inicialmente a relação entre o fluxo magnético e a corrente no indutor t L it Sabese que a derivada do fluxo é igual à diferença de potencial nos terminais do indutor logo pode se escrever dt dit L dt L it d dt d t vL t Observese que esta última equação relaciona a derivada de uma das variáveis elétricas corrente com outra variável elétrica tensão no indutor Ela tem a natureza de uma equação das que compõem uma equação de estado Examinese agora a relação entre carga no capacitor e corrente it dt QCt dt dQ t i t C Expressão importante 1 Esta equação relaciona também uma variável elétrica corrente com a derivada de outra carga no capacitor servindo ao propósito de ser uma equação de estado Porém as duas equações não estabelecem a relação existente na malha Para tal é necessário que se use a equação de Kirchhoff Esta equação possui a integral da corrente que pode ser expressa em função da tensão no capacitor t Q C 1 dt L dit Rit vt C Expressão importante 2 Nesta última equação há somente uma derivada e ela é de primeira ordem Logo a equação atende a especificação de ser uma equação de estado desde que uma das variáveis seja corrente e a outra carga Definamse então as variáveis de estado Q t x1t C e i t x2t Substituindose as variáveis de estado na expressão importante 1 se obtém t x dt t dx 2 1 Expressão importante 3 Lembrando que a entrada é a fonte de tensão e substituindose as variáveis de estado na expressão importante 2 se obtém t x C 1 dt L dx t Rx t ut 1 2 2 Expressão importante 4 A expressão importante 3 já está na forma final de uma equação de estado mas a 4 precisa algumas alterações dt L dx t t x C 1 Rx t ut 2 1 2 dt dx t t x LC 1 t x L R t u L 1 2 1 2 Assim as duas equações estão na forma final de equações de estado 12 t x dt t dx 2 1 t u L 1 t x LC 1 t x L R dt t dx 1 2 2 Definase o vetor de estado t i t Q t x x t xt C 2 1 Empilhando as duas equações para obter a forma matricial chegase à expressão t u L 1 0 t x t x L R LC 1 1 0 t u L 1 t x LC 1 t x L R t x dt xt d 2 1 1 2 2 t u L 1 0 t x L R LC 1 1 0 dt xt d Falta o vetor de condições iniciais 0 i 0 Q 0 x x 0 x0 C 2 1 Deve ser determinada a equação de saída Sabese que a saída é a tensão no capacitor Logo v t yt C Porém a tensão no capacitor não é uma variável de estado A variável de estado é carga A relação entre carga e tensão no capacitor é conhecida e pode ser escrita t x C 1 t Q C 1 v t yt 1 C C A partir da última expressão podese chegar à equação de saída no formato definido x t 0 C 1 yt 1 Assim temse a equação dinâmica que representa o circuito com a saída escolhida 0 i Q 0 t x0 u L 1 0 t x L R LC 1 1 0 dt dxt C xt 0 C 1 yt A partir desta expressão podese observar que n 2 1 q p 13 L R LC 1 1 0 A L 1 0 b 0 C 1 c d 0 No caso deste exemplo como só há uma entrada uma só fonte e uma saída só se mede a tensão no capacitor as matrizes de entrada e de saída degeneram para vetores coluna e linha respectivamente A matriz de conexão direta entradasaída degenerou para escalar só que é nula Exemplo 2 Considere um sistema linear e invariante no tempo cujo modelo matemático seja a equação diferencial ordinária linear e com coeficientes constantes a seguir b ut yt a dt dyt a dt d yt a dt yt d 0 3 2 2 2 1 3 3 0 y0 1 t 0 dt dyt 2 0 t 2 2 dt d yt Observese que neste caso não há informação sobre as variáveis físicas Assim as definições serão puramente matemáticas yt x1t Expressão importante 1 dt t dx dt dyt x t 1 2 Expressão importante 2 dt t dx dt d yt x t 2 2 2 3 Expressão importante 3 Algumas observações A expressão importante 1 é a própria equação de saída ainda não escrita na forma de matrizes e vetores As expressões importantes 2 e 3 são duas equações de estado As 3 variáveis de estado foram definidas Não há qualquer relação que caracterize o sistema em questão visto que as relações são somente oriundas de uma regra de definição de cadeia Não há expressão que represente a derivada da 3a variável de estado A equação diferencial quando tiver as variáveis de estado nela substituídas fornecerá a relação que falta b ut a x t a x t x t a dt t dx 0 3 1 2 2 3 1 3 b ut a x t a x t x t a dt t dx 0 1 3 2 2 1 3 3 Expressão importante 4 As expressões importantes 2 3 e 4 são agrupadas para gerar a equação de estado 14 t u b 0 0 t x a a a 1 0 0 0 1 0 dt xt d 0 1 2 3 As condições iniciais são 0 y0 x10 1 0 t 2 dt dyt x 0 2 0 t 2 2 3 dt d yt x 0 Assim o vetor de condições iniciais é 2 1 0 x0 A equação de saída é 0 xt 1 0 yt Logo a equação dinâmica completa é 2 1 0 0 1 2 3 t x0 u b 0 0 t x a a a 1 0 0 0 1 0 dt dxt 0 xt 1 0 yt Os dois exemplos serviram para ilustrar duas maneiras distintas de obter a equação dinâmica A primeira utilizando variáveis físicas para definir as variáveis de estado e a segunda utilizando uma definição puramente matemática B Equação Dinâmica para Sistemas a Tempo Discreto Como mencionado anteriormente do ponto de vista conceitual as equações dinâmicas são iguais nos casos contínuo e discreto A grande diferença está na natureza da equação de estado visto que derivadas com respeito ao tempo não existem para as seqüências no tempo discreto Neste caso a equação dinâmica passa a ser a diferenças finitas Assim para sistemas a tempo discreto a equação dinâmica é composta por dois conjuntos de equações A equação de estado é um conjunto de n equações a diferenças finitas de 1a ordem Cada equação deste sistema expressa uma das n variáveis de estado no instante k1 em função das n variáveis de estado no instante k das p variáveis de entrada no instante k e do próprio tempo k As relações entre as variáveis envolvidas podem ser de qualquer natureza A equação de saída é um conjunto de q equações algébricas que expressam o valor instantâneo no instante genérico k de cada uma das q variáveis de saída em função das n variáveis de estado das q variáveis de entrada e do próprio tempo k Como a equação de saída é instantânea não estão associadas a ela condições iniciais enquanto à equação de estado está associado um vetor de n condições iniciais Como são n equações a diferenças finitas de primeira ordem há uma condição inicial para cada uma delas ou seja para cada variável de estado A equação dinâmica de um sistema a tempo discreto é 0 0 x f xk uk k xk 1 xk 5a 15 g xk uk k yk 5b Nas expressões 5ab f e g são funções vetoriais ou seja são funções que podem ser diferentes a cada linha significando que cada linha apresenta uma relação distinta entre as variáveis As funções podem ser lineares ou não lineares variantes ou invariantes no tempo etc Quando o sistema em consideração for linear as relações entre as variáveis serão lineares logo a equação dinâmica se torna um conjunto de duas equações vetoriais lineares 0 0 x Bk uk xk Ak xk 1 xk 6a Dk uk Ck xk yk 6b Nas expressões 6ab há total separação de funções e de parâmetros As funções estão nos vetores de estado e de entrada enquanto os parâmetros estão nas matrizes Os vetores foram definidos em 1abc As matrizes que contêm os coeficientes das combinações lineares entre os elementos dos vetores são n n x Ak R R é a matriz de estado e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos dos estados ao valor no instante seguinte de cada um deles p n x Bk R R é a matriz de entrada e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos das entradas ao valor no instante seguinte de cada uma das variáveis de estado n q x Ck R R é a matriz de saída e expressa a contribuição de cada uma das variáveis de estado na composição de cada uma das variáveis de saída p q x Dk R R é a matriz de conexão direta entradasaída e expressa a contribuição dos valores instantâneos de cada uma das variáveis de entrada na composição de cada uma das variáveis de saída As expressões 6ab são lineares mas seus coeficientes de combinação são funções do tempo podendo assim representar sistemas lineares variantes no tempo Quando as relações entre as variáveis de um sistema não variarem com o tempo ou seja quando o sistema linear for invariante no tempo as equações e matrizes se modificam para x0 B uk x0 A xk 1 xk 7a D uk C xk yk 7b n n x A R R é a matriz de estado e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos dos estados ao valor no instante seguinte de cada um deles p n x B R R é a matriz de entrada e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos das entradas ao valor no instante seguinte de cada uma das variáveis de estado n q x C R R é a matriz de saída e expressa a contribuição de cada uma das variáveis de estado na composição de cada uma das variáveis de saída p q x D R R é a matriz de conexão direta entradasaída e expressa a contribuição dos valores instantâneos de cada uma das variáveis de entrada na composição de cada uma das variáveis de saída Ou seja as matrizes de parâmetros passam a ter elementos que são reais constantes e não funções do tempo As dimensões e os nomes não são alterados por esta particularização O que é alterado é o fato de as matrizes deixarem de ser funções do parâmetro tempo Observese que foi também alterada a condição inicial da equação de estado tendo o tempo de referência sido modificado para k 0 ao invés de um instante inicial genérico k0 Isto se deve ao fato de sendo o sistema invariante no tempo seus parâmetros não se alterarem com k Assim qualquer que seja o tempo de aplicação da excitação ela encontrará sempre o mesmo modelo o que não ocorre em um sistema variante no tempo no qual 16 uma mesma entrada aplicada em instantes diferentes encontra o sistema com parâmetros diferentes implicando em relações diferentes entre as variáveis O comentário feito a respeito da equação dinâmica dos sistemas a tempo contínuo vale neste caso para os pares 5ab 6ab e 7ab Exemplo 3 Existe um país no qual há uma alta inflação Para evitar perdas decorrentes da existência de inflação os cidadãos têm o hábito de investir o dinheiro que lhes está disponível Neste país existe um sistema de investimento composto por dois bancos O primeiro é o Banco Seguro SA que tem probabilidade quase nula de falir Por esta segurança cobra o preço de oferecer uma taxa de juros de 01 ao mês aditiva à taxa de inflação O segundo é o Banco de Risco SA que tem probabilidade de falir mais alta do que a do Banco Seguro SA Em contrapartida este banco oferece uma taxa de juros de 10 aditiva à taxa de inflação Um cidadão deste país interessado em usufruir as vantagens que o sistema de investimentos disponível lhe oferece mas desejando manter uma margem de segurança que lhe permita não perder o dinheiro que economiza de seu salário resolve investir baseado nos seguintes princípios Não perder qualquer percentual do dinheiro que economiza por mês Não querer que suas economias desvalorizem com a inflação Obter o maior rendimento possível Esperando atender aos princípios ele adota a seguinte política de investimentos 1 O dinheiro que ele economiza a cada mês por deixar de gastar uma parte de seu salário investe no Banco Seguro SA 2 Ao final de cada mês ele retira do Banco Seguro SA o montante referente aos juros para depositá lo no Banco de Risco SA A parcela correspondente ao dinheiro economizado mais a correspondente correção monetária ele deixa investida no Banco Seguro SA Supondo que o valor que interessa observar saída seja o total de dinheiro que o investidor possui em um dado instante de tempo modelase este sistema através de suas variáveis de estado Inicialmente escolhemse as variáveis referentes ao Banco Seguro SA São elas 1 y1k quantidade de dinheiro em depósito no último dia de um mês genérico y1k quantidade de dinheiro em depósito no último dia do mês anterior ao genérico 1 u1k quantidade de dinheiro movimentado retirado ou depositado no último dia de um mês genérico única data possível de movimentar o investimento A seguir escolhemse as variáveis referentes ao Banco de Risco SA São elas 1 y2k quantidade de dinheiro em depósito no último dia de um mês genérico y2k quantidade de dinheiro em depósito no último dia do mês anterior ao genérico 1 u2k quantidade de dinheiro movimentado retirado ou depositado no último dia de um mês genérico única data possível de movimentar o investimento Como existe inflação o sistema financeiro aplica uma taxa de correção monetária para compensar os seus efeitos A inflação varia de um mês para o outro assim a taxa de correção monetária é uma função do tempo no caso do mês em questão Este exemplo tem 2 características interessantes A primeira é que o sistema é variante no tempo devido a suas características de operação e a segunda é que o intervalo entre 2 contagens consecutivas do contador k é 1 mês Seja 17 ak taxa de correção monetária do mês k para o mês subseqüente Observese que a taxa será maior do que 1 quando houver inflação e igual a 1 quando esta não existir Podese agora modelar as equações para cada um dos bancos 0 1 1 1 1 k 1 y u k 0001y k ak 1 y k k0 1 y u k 01 y k ak 1 y k 2 2 2 2 Nas duas equações as entradas foram definidas como entradas específicas de cada uma delas ainda não foi definida a entrada que vem do meio externo As duas equações são bastante semelhantes na forma sendo a diferença óbvia a taxa de juros Porém existe uma enorme diferença no que diz respeito às entradas Na primeira equação 1 u1k representa toda a movimentação na conta no dia em consideração assim ela deve ser modelada como a expressão a seguir y k 0001 1 uk 1 u k 1 1 Na expressão anterior 1 uk é a quantidade de dinheiro que o cidadão consegue juntar de seu salário Já a segunda parcela representa o juro do investimento no Banco Seguro SA e é o valor retirado para depositar no Banco de Risco SA A entrada de dinheiro no Banco de Risco SA é toda oriunda dos juros auferidos no Banco Seguro SA Não há entrada direta de dinheiro do salário economizado Logo esta entrada é dada pela expressão a seguir y k 0001 1 u k 1 2 Substituindo as 2 últimas expressões naquelas que modelam os 2 bancos se obtém k0 y k y 1 0001 uk 0001y k ak 1 y k 1 1 1 1 k0 y k y 0001 01 y k ak 1 y k 2 1 2 2 As 2 equações podem ser reescritas como k0 1 y uk ak y k 1 y k 1 1 1 k0 y1k y 0001 01 y k ak 1 y k 2 2 2 As duas últimas equações não estão conformes com o formato da equação dinâmica observese o argumento da entrada da primeira equação é igual ao mais alto de 1 y1k No formato da equação de estado o da variável de entrada deve ser em k Passase pois à definição das variáveis de estado de tal forma a eliminar o problema Seja a primeira variável de estado uk y k x k 1 1 Com esta definição podese escrever uk x k y1k 1 Expressão importante 1 1 uk 1 y k 1 x k 1 1 Expressão importante 2 Reescrevase a equação de 1 y1k 18 k0 ak y k y 1 1 uk y k 1 1 1 Na expressão anterior substituamse as expressões importantes 1 e 2 u k0 k0 uk x ak x k 1 x k 1 1 1 0 1 1 1 u k k0 x 1 ak x k ak uk x k Expressão importante 3 A expressão recém obtida está na forma de uma equação de estado Examinese a equação de 1 y2k e percebese que ela está no formato correto Logo podese definir a segunda variável de estado como x k y k 2 2 Substituindo as variáveis anteriores na equação de 1 y2k se obtém k0 uk y x k 0001 01 x k ak 1 x k 2 1 2 2 k0 y uk 0001 01 x k ak x k 0001 1 x k 2 2 1 2 Expressão importante 4 A última expressão obtida está na forma de uma equação de estado Resta obter a equação de saída A saída foi definida como a quantidade total de dinheiro do investidor logo a soma do que possui nos dois bancos uk x k x k y k y k yk 2 1 2 1 Expressão importante 5 As expressões importantes 3 4 e 5 formam o conjunto de equações de estado 0 0 1 1 1 u k k x 1 ak x k ak uk x k k0 y uk 0001 01 x k ak x k 0001 1 x k 2 2 1 2 uk x k x k y k y k yk 2 1 2 1 As equações de estado podem então ser escritas sob forma matricial 0 0 u k x k uk 0001 ak k x 01 ak 0001 0 ak 1 xk uk 1 1 xk yk O par de equações anteriores é o modelo de estado que descreve o sistema Observase que ele á variante no tempo porque 2 de seus elementos de parâmetros Ak e bk possuem elementos que são funções do tempo Isto acontece porque a taxa de correção monetária varia com o tempo por ser função da taxa de inflação Esta equação é interessante pois também mostra a existência de conexão direta entradasaída Isto acontece porque a saída é o valor total dos recursos que o cidadão tem no investimento assim no momento que ele faz um depósito ou retira dinheiro isto se reflete no total Supondo que não existisse inflação e conseqüentemente não houvesse correção monetária estão o coeficiente ak se tornaria unitário e a equação evoluiria para u0 x0 uk 0001 1 k x 11 0001 0 1 1 xk uk 1 1 xk yk Nesta última equação dinâmica passouse a origem do tempo para k 0 pois o sistema considerado é invariante no tempo 19 C Comentários Como foi visto até o item anterior as equações dinâmicas são modelos no domínio do tempo Elas se baseiam em equações diferenciais sistemas a tempo contínuo e equações a diferenças finitas sistemas a tempo discreto Acontece que a representação do sistema no domínio da freqüência é comum e necessária para vários tipos de aplicações Quando sistemas lineares e invariantes no tempo estiverem em consideração as funções de transferência são muito utilizadas como se observa no estudo de circuitos elétricos e de filtragem A próxima subseção é dedicada ao estudo da relação entre as equações dinâmicas dos sistemas lineares e invariantes e as suas funções representações no domínio da freqüência IV Relação Entre Equação Dinâmica e o Modelo EntradaSaída no Domínio da Freqüência Os assuntos estudados nas disciplinas de Sinais Sistemas e Circuitos Elétricos definiram e utilizaram as funções de transferência para sistemas lineares e invariantes tanto no tempo contínuo como no discreto O que estes sistemas tinham em comum além da linearidade e da invariância no tempo era o fato de serem monovariáveis ou seja tinham somente uma entrada e uma saída Eles podiam ser representados por uma figura análoga à figura 1 porém com as setas de entrada e de saída estreitas representando variáveis escalares e não vetoriais Ou seja a figura para estes sistemas é a 3 Figura 3 Relação sinal de entrada sistema e sinal de saída em sistema monovariável Estes sistemas quando representados através de suas variáveis de estado possuem as seguintes funções u é a função escalar de entrada representando a única excitação do sistema y é a função escalar de saída representado a única variável que é observada x é o vetor de estado sendo cada um de seus elementos uma variável de estado do sistema E os seus parâmetros são n n x A ou A R R é a matriz de estado e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos dos estados ao valor no instante seguinte de cada um deles b ou b n R é o vetor coluna de entrada e expressa a contribuição dos valor instantâneo da entrada na evolução do valor de cada uma das variáveis de estado c ou c n R é o vetor linha e expressa a contribuição de cada uma das variáveis de estado na composição da saída d é o escalar de conexão direta entradasaída e expressa a contribuição do valor instantâneo da variável de entrada na composição da saída Ou seja no caso dos sistemas monovariáveis verificase que 1 q p 8 Para estes sistemas foi definida a Função de Transferência dada pela relação Sistema u y 20 U Y H 9 Na expressão 9 representa s caso dos sistemas a tempo contínuo ou z caso dos sistemas a tempo discreto Porém a definição é a mesma para os dois casos como visto em disciplinas anteriores Definição 3 Função de Transferência de um Sistema Linear e Invariante no Tempo A função de transferência de um sistema linear e invariante no tempo é a relação entre a Transformada de LaplaceZ da saída e a Transformada de LaplaceZ da entrada quando a entrada é aplicada sobre o sistema com condições iniciais nulas Como é claro na definição ela se aplica a sistemas com uma única entrada e uma única saída Na próxima subseção este conceito será estendido a sistema multivariáveis ou seja com mais de uma entrada eou de uma saída mas ainda lineares e invariantes no tempo A Matrizes de Transferência Considerese a figura 1 com ou a entrada ou a saída ou ambas vetoriais Isto significa que existe ou mais de uma excitação eou mais de uma variável observada Nesta situação p eou q são maiores do que 1 A figura 1 pode alternativamente ser redesenhada como a figura 4 Figura 4 Relação sinais de entrada sistema e sinais de saida em sistema multivariável A figura 4 explicita as várias componentes da entrada e da saída que estão nos respectivos vetores Desejase estabelecer uma definição equivalente à função de transferência para os sistemas multivariáveis Para tal considerese a seguinte situação Com o sistema relaxado anulemse todas as entradas exceto a entrada u1 Designemse as correspondentes Transformadas de LaplaceZ das saídas de Y11 Y21 Y 1 q 10 Definamse as funções de transferência da primeira entrada para cada uma das saídas U Y H 1 11 11 U Y H 1 21 21 U Y H 1 1 q q1 11 Repitase o experimento e definamse sucessivamente Y12 Y22 Y 2 q 12 U Y H 2 12 12 U Y H 2 22 22 U Y H 2 2 q q2 13 Sistema u1 up y1 yq 21 Y p 1 Y p 2 Yqp 14 U Y H p p 1 1p U Y H p p 2 2p U Y H p qp qp 15 Assim isoladamente uma componente genérica da saída pode ser computada a partir de uma componente genérica da entrada através da seqüência de expressões 1 p 1 q j i U Y H j ij ij 16 Examinandose 16 constatase que existem pq funções de transferência que relacionam as p entradas às q saídas 1 p 1 q j H U i Y j ij ij 17 Como o sistema em consideração é linear e invariante no tempo podese aplicar o Princípio da Superposição para determinar o valor da saída genérica quando todas as entradas estão ativas 1 q U i H U H H U Y p ip 2 i2 1 1i i 18 Como existem q equações 18 e cada uma delas tem p parcelas para tornar a manipulação mais fácil recorrese à notação matricial Para tal definemse q q 2 1 Y Y Y Y C 19 p p 2 1 U U U U C 20 P q qp q2 1 q 2p 22 1p 12 11 x H H H H H 21 H H H H H C C 21 As expressões 19 e 20 são as definições de vetores de funções contendo respectivamente as Transformadas de LaplaceZ das variáveis de saída e de entrada A expressão 21 é uma matriz de parâmetros com as funções de transferência par a par entre as entradas e as saídas As três expressões são complexas pois contêm transformadas A partir do conjunto de expressões 18 podese escrever a relação entre 19 20 e 21 H U Y 22 As expressões 21 e 22 definem a matriz de transferência Definição 4 Matriz de Transferência de um Sistema Linear e Invariante no Tempo A matriz de transferência 21 e 22 de um sistema linear e invariante no tempo é a matriz que estabelece a relação entre a Transformada de LaplaceZ do vetor de saída e a Transformada de LaplaceZ do de entrada Cada um dos elementos da matriz é a função de transferência de acordo com a definição 3 entre um par entradasaída ij 22 Uma observação é muito importante sobre uma diferença que existe entre a função e a matriz de transferência Enquanto 9 pode ser escrita de duas formas distintas U Y H e HU Y 9 A expressão 22 não pode ser escrita sob forma de quociente por ser um produto matrizvetor B Relação Entre Equação Dinâmica e MatrizFunção de Transferência para Sistemas a Tempo Contínuo Com os resultados anteriores podese iniciar o estudo da relação Considerese a equação dinâmica de um sistema linear invariante no tempo e a tempo contínuo aqui repetida por conveniência x0 B ut x0 xt A dt dxt 4a D ut C xt yt 4b Como as funçãoões de transferência pressupõem condições iniciais nulas o vetor de estado no tempo inicial será feito igual ao vetor nulo 0 x x0 0 Apliquese a Transformada de Laplace a 4ab para obter as expressões que seguem Observese que é necessário trabalhar com as equações de estado e de saída visto que a primeira relaciona somente entrada com estado e a segunda requer o conhecimento deste último o que só é obtido pela solução da primeira BUs AXs sXs 23a DUs CXs Ys 23b Transformese a equação 23a sucessivamente B s A Xs sI U 24 BUs A sI Xs 1 25 A expressão 25 é substituída na 23b DUs BUs A C sI Ys 1 26 D Us B A C sI Ys 1 27 Observese que a expressão 27 apresenta uma relação entradasaída mas com os parâmetros da equação de estado Comparandose 27 com 22 podese escrever D B A C sI Hs 1 28 A expressão 28 permite calcular a matriz de transferência a partir do parâmetros da equação dinâmica Ela é uma expressão matricial visto que Hs é uma matriz qxp 23 Suponhase que o sistema em consideração é monovariável Neste caso a matriz de entrada passa a ser b um vetor coluna nx1 a matriz de saída passa a ser c é um vetor linha 1xn e a matriz de conexão direta passa a ser d é um escalar A expressão se modifica para d b A c sI Hs 1 29 Examinando 28 e 29 constatase que as dimensões da matriz de transferência e da matriz de conexão direta entradasaída são as mesmas Isto ocorre porque relacionam os vetores de entrada e saída sem passar pelo vetor de estado Uma análise mais detalhada das expressões 28 e 29 se faz necessária principalmente porque foi suposta existente a inversa da matriz A I s Inicialmente considerese a relação que define um par autovalorautovetor de uma matriz quadrada i i i v Av 30 onde i v é o iésimo autovetor e i o seu correspondente autovalor Esta expressão pode ser reescrita como 0 I v A i i 31 Para que a expressão 31 tenha uma solução diferente do vetor nulo é necessário que 0 I det A i 32 Retornando agora às expressões 28 e 29 explicitase a forma da matriz inversa que nelas existe A sI cofat A sI det 1 A sI T 1 33 O denominador de 33 é o determinante no lado esquerdo de 32 Assim este só será nulo quando s for um autovalor de A Como uma matriz n x n possui somente n autovalores este determinante será nulo somente quando s for um dos n autovalores de A Desta forma podese concluir que o denominador de 28 e 29 só será nulo quando s for um dos n autovalores de A Assim a inversa existe em todos os pontos do plano complexo exceto nos n pontos correspondentes aos autovalores Lembrando que são chamadas de pólos as raízes do polinômio da função de transferência é possível escrever conjunto de pólos Hs conjunto de autovalores de A 34 Os dois conjuntos não são necessariamente iguais porque em alguns casos pode haver cancelamento entre fatores comuns do denominador e do numerador Sob qualquer hipótese se um dos conjuntos tiver mais elementos este será o de autovalores de A As expressões 28 e 29 permitem determinar respectivamente a matriz de transferência de um sistema multivariável e a função de transferência de um sistema monovariável Em ambas as expressões existem duas parcelas a primeira depende da matriz de estado e das matrizesvetores de entrada e de saída enquanto a segunda depende somente da matrizescalar de conexão direta de entrada e saída Analisando as expressões observase que a primeira parcela de cada uma delas é formada pelo produto de três fatores A 1 sI 24 B ou b C ou c Dentre estes fatores no numerador somente a cofatora transposta de A I s possui elementos que são funções de s os demais fatores são formados por constantes Assim os elementos do numerador desta parcela são somas ponderadas dos elementos da A cofatT sI Como os elementos desta última são polinômios em s de no máximo grau n1 então os elementos que formam a matriz ou o escalar do numerador da primeira parcela são de no máximo grau n1 A expressão de Hs ou de Hs só terá numerador escalar ou elementos da matriz com polinômio de ordem n quando o escalar d no caso monovariável ou a matriz D no caso multivariável for não nulo Para que isto ocorra então se torna necessário que haja a conexão direta entre entrada e saída Logo por inspeção da representação da matriz ou função de transferência podese determinar se a equação dinâmica terá termo de conexão direta entre entrada e saída não nulo O mesmo ocorre com a inspeção da equação dinâmica que permite determinar as características da matriz ou função de transferência Estas características são importantes pois permitem uma análise qualitativa do sistema com muito pouco esforço já pode ser feita por inspeção Com o estabelecimento desta nova relação voltase ao exemplo 1 Exemplo 1 Continuação 1 A continuação deste exemplo será para determinação da função da função de transferência a partir da equação dinâmica determinada A equação dinâmica determinada foi 0 i Q 0 x0 ut L 1 0 t x L R LC 1 1 0 dt dxt C xt 0 C 1 yt A expressão 29 permite calcular a função de transferência não será matriz porque há só uma entrada e uma saída d b A c sI Hs 1 25 LC 1 L s R s LC 1 L 1 0 s LC 1 1 L R s LC 1 L s R s 1 0 C 1 0 L 1 0 L R s LC 1 1 s 0 C 1 s H 2 2 1 Assim a função de transferência é LC 1 L s R s LC 1 s H 2 Fazse a verificação voltando à equação diferencial e calculando a transferência tdt i C 1 dt L dit Rit vt s I Cs 1 Ls R s I Cs 1 LsIs RIs Vs Inicialmente determinase a função de transferência de corrente LC 1 s L R s L s 1 LCs RCs Cs Cs 1 Ls R 1 s H 2 2 I Porém a tensão no capacitor é s I Cs 1 VCs Logo a função de transferência de tensão no capacitor é LC 1 s L R s LC 1 LC 1 s L R s L s Cs 1 s H 2 2 VC Ou seja como esperado se obtém o mesmo resultado oriundo da equação de estado C Relação Entre Equação Dinâmica e MatrizFunção de Transferência para Sistemas a Tempo Discreto Com os resultados anteriores podese iniciar o estudo da relação Considerese a equação dinâmica de um sistema linear invariante no tempo e a tempo discreto aqui repetida por conveniência x0 B uk x0 A xk 1 xk 7a D uk C xk yk 7b Como as funçãoões de transferência pressupõem condições iniciais nulas o vetor de estado no tempo inicial será feito igual ao vetor nulo 0 x x0 0 26 Apliquese a Transformada Z a 7ab para obter as expressões que seguem Observese que é necessário trabalhar com as equações de estado e de saída visto que a primeira relaciona somente entrada com estado e a segunda requer o conhecimento deste último o que só é obtido pela solução da primeira BUz AXz zXz 35a DUz CXz Yz 35b Transformese a equação 35a sucessivamente B z A Xz zI U 36 BUz A zI Xz 1 37 A expressão 37 é substituída na 35b DUz BUz A C zI Yz 1 38 D Uz B A C zI Yz 1 39 Observese que a expressão 39 apresenta uma relação entradasaída mas com os parâmetros da equação de estado Comparandose 39 com 22 podese escrever D B A C zI Hz 1 40 A expressão 40 permite calcular a matriz de transferência a partir dos parâmetros da equação dinâmica Ela é uma expressão matricial visto que Hz é uma matriz qxp Suponhase que o sistema em consideração é monovariável Neste caso a matriz de entrada passa a ser b é um vetor coluna nx1 a matriz de saída passa a ser c é um vetor linha 1xn e conexão direta passa a ser d um escalar A expressão se modifica para d b A c zI Hz 1 41 Examinando 40 e 41 constatase que as dimensões da matriz de transferência e da matriz de conexão direta entradasaída são as mesmas Isto ocorre porque relacionam os vetores de entrada e saída sem passar pelo vetor de estado Uma análise mais detalhada das expressões 40 e 41 se faz necessária principalmente porque foi suposta existente a inversa da matriz A I a Inicialmente considerese a relação que define um par autovalorautovetor de uma matriz quadrada i i i v Av 42 onde i v é o iésimo autovetor e i o seu correspondente autovalor Esta expressão pode ser reescrita como 0 I v A i i 43 Para que a expressão 43 tenha uma solução diferente do vetor nulo é necessário que 0 I det A i 44 27 Retornando agora às expressões 40 e 41 explicitase a forma da matriz inversa que nelas existe A zI cofat A zI det 1 A zI T 1 45 O denominador de 45 é o determinante no lado esquerdo de 44 Assim este só será nulo quando z for um autovalor de A Como uma matriz n x n possui somente n autovalores este determinante será nulo somente quando z for um dos autovalores de A Desta forma podese concluir que o denominador de 40 e 41 só será nulo quando z for um dos autovalores de A Assim a inversa existe em todos os pontos do plano complexo exceto nos n pontos correspondentes aos autovalores Lembrando que são chamadas de pólos as raízes do polinômio da função de transferência é possível escrever conjunto de pólos Hs conjunto de autovalores de A 46 Os dois conjuntos não são necessariamente iguais porque em alguns casos pode haver cancelamento entre fatores comuns do denominador e do numerador Sob qualquer hipótese se um dos conjuntos tiver mais elementos este será o de autovalores de A As expressões 40 e 41 permitem determinar respectivamente a matriz de transferência de um sistema multivariável e a função de transferência de um sistema monovariável Em ambas as expressões existem duas parcelas a primeira depende da matriz de estado e das matrizesvetores de entrada e de saída enquanto a segunda depende somente da matrizescalar de conexão direta de entrada e saída Analisando as expressões observase que a primeira parcela de cada uma delas é formada pelo produto de três fatores A 1 zI B ou b C ou c Dentre estes fatores no numerador somente a cofatora transposta de A I z possui elementos que são funções de z os demais fatores são formados por constantes Assim os elementos do numerador desta parcela são somas ponderadas dos elementos da A cofatT zI Como os elementos desta última são polinômios em z de no máximo grau n1 então os elementos que formam a matriz ou o escalar do numerador da primeira parcela são de no máximo grau n1 A expressão de Hz ou de Hz só terá numerador escalar ou elementos da matriz com polinômio de ordem n quando o escalar d no caso monovariável ou a matriz D no caso multivariável for não nulo Para que isto ocorra então se torna necessário que haja a conexão direta entre entrada e saída Logo por inspeção da representação da matriz ou função de transferência podese determinar se a equação dinâmica terá termo de conexão direta entre entrada e saída não nulo O mesmo ocorre com a inspeção da equação dinâmica que permite determinar as características da matriz ou função de transferência Estas características são importantes pois permitem uma análise qualitativa do sistema com muito pouco esforço já pode ser feita por inspeção Com o estabelecimento desta nova relação voltase ao exemplo 3 Exemplo 3 Continuação 1 28 O sistema que modela os dois bancos quando os parâmetros são constantes é u0 x0 uk 0001 1 k x 11 0001 0 1 1 xk uk 1 1 xk yk Utilizando a expressão da função de transferência em função dos parâmetros da equação dinâmica podese calcular 1 2 2 1 z 1099 z 1 0 1 Hz 1 1 1 1001z 111 0001 z 11 0001 z 1z 11 z 21 z11 V Tipos de Soluções das Equações Dinâmicas Lineares Esta seção tem a finalidade de apresentar os tipos de soluções que uma equação dinâmica linear possui Como estão sendo analisados sistemas lineares vale sempre o Princípio da Superposição É com base neste princípio que os passos seguintes serão estabelecidos Considerese uma equação dinâmica linear Ela pode tanto ser uma equação de um sistema a tempo contínuo como de um a tempo discreto ie pode estar em consideração 3ab ou 4ab para sistemas a tempo contínuo ou 6ab ou 7ab para sistemas a tempo discreto Estas equações apresentam dois tipos de excitações a primeira é proveniente do vetor de condições iniciais da variável de estado x0 e a segunda é o vetor de entrada u Assim como no caso das equações diferenciais e a diferenças finitas as excitações gerarão dois tipos diferentes de respostas Como consideramse sistemas lineares a solução total será a soma das duas No que diz respeito às equações que compõem a equação dinâmica existem duas soluções diferentes A primeira solução a ser considerada se refere única e exclusivamente à equação de estado e a segunda é a solução da equação de saída A ordem de solução das duas equações deve ser a mencionada na sentença anterior porque a equação de saída requer a variável de estado e para obtê la deve ser resolvida a equação de estado Para cada uma das soluções das equações existem três tipos de soluções a ser considerados o primeiro é a solução proveniente somente das condições iniciais o segundo por entrada do meio externo e o terceiro que considera ambas ao simultaneamente Seguemse as definições de cada uma das soluções mencionadas Definição 5 Solução Homogêna da Equação de Estado A solução homogênea da equação de estado designada xh é aquela que se obtém quando se resolve a equação de estado para o vetor de entrada nulo e o vetor de condições iniciais diferente da origem Observando as equações de estado em 3ab 4ab 6ab e 7ab percebese que elas são compostas de duas parcelas A primeira tem como única variável o vetor de estado e a segunda como única variável o de entrada Assim quando se resolve a solução homogênea resolvese somente uma parte da equação já que a segunda parcela é anulada pela entrada nula Definição 6 Solução Particular da Equação de Estado A solução particular da equação de estado designada xp é aquela que se obtém quando se resolve a equação de estado para o vetor de condições iniciais nulo e o vetor de entrada diferente da origem 29 Esta resposta considera toda a equação de estado mas com a condição inicial igual à origem Definição 7 Solução Completa da Equação de Estado A solução completa da equação de estado designada x é aquela que se obtém quando se resolve a equação de estado simultaneamente para vetores de condições iniciais e de entrada diferentes da origem Como estão em consideração modelos lineares logo regidos pelo Princípio da Superposição podese escrever a relação entre as três soluções da equação de estado recém definidas x x x p h 47 As definições 5 6 e 7 são referentes ao vetor de estado Elas permitem avaliar a evolução do vetor de estado em função dos vetores de condições iniciais e de entrada Não foram apresentadas ainda as soluções da saída Definição 8 Solução Homogênea da Equação de Saída A solução homogênea da equação de saída designada yh é aquela que se obtém quando se resolve a equação de saída para o vetor de entrada nulo e o vetor de condições iniciais diferente da origem A equação de saída é como a de estado composta de duas parcelas A solução homogênea de saída pressupõe a entrada dada pelo vetor nulo logo é calculada somente com a primeira parcela Como a equação de saída é algébrica ela requer a obtenção anterior da solução homogênea da equação de estado Definição 9 Solução Particular da Equação de Saída A solução particular da equação de saída designada yp é aquela que se obtém quando se resolve a equação de saída para o vetor de condições iniciais nulo e o vetor de entrada diferente da origem Esta resposta considera toda a equação de saída ou seja as duas parcelas e ainda que o vetor de estado tenha sido resolvido com a condição inicial igual à origem Definição 10 Solução Completa da Equação de Saída A solução completa da equação de saída designada y é aquela que se obtém quando se resolve a equação de saída simultaneamente para vetores de condições iniciais e de entrada diferentes da origem Como estão em consideração modelos lineares logo regidos pelo Princípio da Superposição podese escrever a relação entre as três soluções da equação de saída definidas Du Cx Cx y y y p h p h 48 Quando o sistema for invariante no tempo a expressão 48 se modifica para Du Cx Cx y y y p h p h 49 As definições apresentadas aplicamse a sistemas mono e multivariáveis e as soluções particulares ou completas apresentadas consideram um vetor de entradas genérico Nas próximas seções as soluções serão calculadas porém particularizadas para sistemas monovariáveis Antes de iniciar as soluções as equações duas outras definições serão necessárias 30 Definição 11 Resposta Impulsional da Equação de Estado A resposta impulsional da equação de estado designada hx é aquela que se obtém quando se resolve a equação de estado com o vetor de condições iniciais igual à origem e tendo por entrada um impulso unitário em cada uma das posições do vetor de entrada Esta definição pode ser compreendida com a mesma metodologia de análise utilizada na seção IVA quando se examinou cada par entradasaída O mesmo deve ser feito anulamse todos os elementos do vetor de entrada menos um que será o impulsional Fazse isto para todas as componentes do vetor e depois se aplica a superposição Definição 12 Resposta Impulsional da Equação de Saída A resposta impulsional da equação de saída designada h é aquela que se obtém quando se resolve a equação de saída com o vetor de estado sendo a reposta impulsional da equação de estado e a entrada tendo impulsos unitário em cada um dos elementos A definição 12 é a da própria resposta impulsional do sistema razão pela qual foi designada h No que diz respeito às várias componentes do vetor de entrada valem as observações feitas após a definição 11 e quando da definição da matriz de transferência Com as definições apresentadas podese passar às soluções das equações dinâmicas VI Soluções das Equações Dinâmicas Lineares Monovariáveis Nesta seção consideramse as equações dinâmicas lineares e monovariáveis para os casos a tempo contínuo e a tempo discreto dadas respectivamente pelas equações a seguir 0 0 x bt ut xt t xt A dt dxt 50a dt ut Ct xt yt 50b 0 0 x bk uk xk Ak xk 1 xk 51a dk uk ck xk yk 51b Nas quais u é a função escalar de entrada representando a única excitação do sistema y é a função escalar de saída representado a única variável que é observada x é o vetor de estado sendo cada um de seus elementos uma variável de estado do sistema E os seus parâmetros são n n x A ou A R R é a matriz de estado e expressa a contribuição de cada um dos valores instantâneos dos estados na evolução de cada um deles no tempo n b ou b R é o vetor coluna de entrada e expressa a contribuição dos valor instantâneo da entrada na evolução do valor de cada uma das variáveis de estado n c ou c R é o vetor linha e expressa a contribuição de cada uma das variáveis de estado na composição da saída d ou d R é o escalar de conexão direta entradasaída e expressa a contribuição do valor instantâneo da variável de entrada na composição da saída 31 Iniciase a solução pelo caso do tempo discreto por ser mais intuitivo Depois passase ao tempo contínuo A Soluções da Equação Dinâmica Linear e Monovariável no Tempo Discreto A equação dinâmica a ser resolvida é 51ab Como esta equação possui várias soluções e algumas só podem ser computadas após os resultados das outras terem sido obtidos há uma seqüência de solução 1 As respostas impulsionais Iniciamse as soluções com a determinação das respostas impulsionais visto que sistemas lineares estão em estudo As respostas impulsionais permitem através do somatório de convolução calcular as respostas devidas às demais entradas Como se está trabalhando com a equação variante no tempo o tempo de aplicação do impulso não pode ser fixado em k 0 visto que os parâmetros do modelo variam com o tempo e o tempo absoluto é definitivo para a solução A primeira resposta impulsional a ser calculada é a do vetor de estado Depois será a da saída que é a própria resposta impulsional do sistema No caso dos sistemas a tempo discreto a reposta impulsional recebe também o nome de seqüência ponderante A resposta impulsional do vetor de estado relaciona a entrada impulsional com o vetor de estado enquanto a resposta impulsional seqüência ponderante relaciona a saída com a entrada impulsional a Resposta impulsional do vetor de estado Considerese a equação de estado 51ab e como se deseja calcular a resposta impulsional a condição inicial deve ser a origem Logo a equação a ser resolvida é 0 bk uk xk Ak xk 1 xk 0 52a dk uk ck xk yk 52b k0 k uk 52c Como o sistema é a tempo discreto podese resolver a sua equação por recorrência Façase o contador começar em k k0 que é o tempo de aplicação do impulso Seja 0 x kk h a resposta impulsional do vetor de estado calculada no tempo k devida a um impulso aplicado em k k0 0 k k h 0 0 x 0 0 0 x b k 1k k h 0 0 0 0 x 0 0 0 x 1 b k A k 1k k 1 h A k 2k k h 53 0 0 0 0 0 x 0 0 0 x 1 b k 2 A k A k 2 k k 2 h A k 3 k k h 0 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 x 1 b k 3 A k 2 A k 1 A k A k 1 k k 1 h A k k k h Observese que no conjunto 53 k0 é o tempo no qual foi aplicado o impulso e k0 é aquele no qual é avaliado o vetor de estado Assim é a diferença entre o tempo de aplicação e o tempo de medida No caso dos sistemas variantes no tempo o tempo de aplicação do impulso é relevante pois como os parâmetros variam com o tempo o modelo não é o mesmo para todos os tempos Quando o sistemas invariantes no tempo forem considerados não haverá a necessidade de considerar os dois tempos mas só a diferença entre eles no caso 32 Há uma maneira alternativa de representar a resposta impulsional em 53 É escrevendoa em função de um instante genérico k de observação ou seja 0 0 x k k k k h Definase a matriz de transição de estado Definição 13 Matriz de Transição de Estado A matriz de transição de estado é definida como a entidade matemática que permite calcular o estado de um sistema em um tempo k2 quando é conhecido o estado em um outro tempo 1 k O seu símbolo é 2 k1 k sua dimensão é n n x R R e a relação que estabelece entre os estados é 1 1 2 2 x k k k x k Aplicandose a matriz de transição de estado à expressão genérica de 53 se obtém n n 0 0 0 0 0 0 x 1 3 A k 2 A k 1 A k A k 1 k k R R 54 que permite calcular o estado 0 0 x k k h quando se conhece o estado 0 0 x 1k k h Observese que neste caso os dois parâmetro s de tempo ficam explícitos k0 1 é o tempo em que parece a primeira amostra não nula do vetor de estado que inicia o processo de resposta impulsional visto que a condição inicial x0 0 e k0 é o tempo que se mede a resposta impulsional A matriz de transição de estado tem uma propriedade importante I 55 A matriz de transição de estado pode ser substituída no conjunto 53 para dar origem ao conjunto 56 0 k k h 0 0 x 0 0 0 x I b k 1k k h 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 1 b k 2k k 1k k 1 h 2k k 2k k h 56 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 1 b k 3k k 2 k k 2 h 3k k 3k k h 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 1 b k k k 1 k k 1 h k k k k h Do conjunto 56 podese extrair a última expressão que é a que permite calcular a amostra genérica da resposta impulsional de estado do modelo 52a Assim o conjunto equação de estado entrada e amostra genérica da reposta impulsional de estado é Equação de Estado Linear Variante no Tempo e Monovariável e suas Matriz de Transição de Estado e Resposta Impulsional 0 bk uk xk Ak xk 1 xk 0 52a k0 k uk 52c n n 0 0 0 0 0 0 x 1 3 A k 2 A k 1 A k A k 1 k k R R 54 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 1 b k k k 1 k k 1 h k k k k h 56 33 Um comentário sobre a matriz de transição de estado e a resposta impulsional se faz necessário as duas dependem do tempo em que são calculadas k0 bem como do tempo em que o impulso foi aplicado k0 e não somente da diferença entre eles Isto ocorre porque como os parâmetros variam com o tempo dependendo do instante em que o impulso é aplicado o modelo do sistema tem um conjunto de parâmetros com valores diferentes Isto não ocorre em sistemas invariantes no tempo pois independentemente do instante de aplicação do impulso o sistema tem sempre o mesmo modelo assim o que importa no cálculo da saída é a diferença entre o tempo em que a resposta é calculada e aquele em que o impulso foi aplicado Considerese a equação dinâmica no caso em que os parâmetros são constantes e procedase o cálculo da reposta impulsional do vetor de estado 0 b uk x0 A xk 1 xk 57a d uk c xk yk 57b k uk 57c Repetindo o procedimento anterior sem ainda particularizar o momento de aplicação do impulso conforme 57a se obtém 0 k k h 0 0 x b 1k k h 0 0 x A b 1k k A h 2k k h 0 0 x 0 0 x 58 A A b 2k k A h 3k k h 0 0 x 0 0 x A A A A b 1 k k A h k k h 0 0 x 0 0 x Examinese a segunda equação de 58 e se constatará que independentemente do tempo em que o impulso é aplicado sendo a diferença entre o tempo de aplicação e o de cálculo da saída de uma unidade a resposta será sempre b Façase o mesmo com a terceira equação e a constatação será a mesma ou seja só a diferença entre os tempo de aplicação e cálculo importa Se a diferença for dois então a resposta será sempre A b Repetese o raciocínio para todas as equações e podese escrever o conjunto em função das diferenças entre o tempo de aplicação e de cálculo 0 hx 0 b hx 1 A b 1 A h 2 h x x 59 A b A A b 2 A h 3 h 2 x x b A A A A A b 1 A h h 1 x x A matriz de transição de estado é n n 1 x A 1 R R 60 Uma propriedade da matriz de transição de estado é que n n 0 x A I 0 R R 61 34 Observese que neste caso a matriz de transição de estado e conseqüentemente a relação entre os estados depende somente da diferença entre os tempos Em 59 que representa uma seqüência de vetores de resposta impulsional de estado o primeiro vetor não nulo ocorre em k 1 visto que pela definição de resposta impulsional a condição inicial 0 x0 Com o uso de 60 o conjunto pode ser transformado para o conjunto que segue 0 hx 0 0 b A b 1 h 0 x 1 b A b hx 2 62 2 b A b 3 h 2 x 1 b b A h 1 x Uma forma alternativa de representar os resultados referentes aos sistemas invariantes no tempo é substituindo por k visto que o impulso é aplicado na origem como simplificação já que os parâmetros não variam e k é o tempo genérico no qual se quer saber o valor do estado b Resposta impulsional do vetor de saída Com a resposta impulsional do vetor de estado determinada é uma tarefa fácil calcular a resposta impulsional da saída visto que a equação da saída é algébrica Assim podese escrever o sistema que representa a saída impulsional ou seja a própria resposta impulsional 0 0 0 d k 0 h k k 1 b k0 c k 1k h k 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 1 b k 2 A k c k 1k k 1 h 2 A k c k 2k h k 63 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 1 b k 2 A k 3 A k c k 2 k k 2 h 3 A k c k 3k h k 0 0 0 0 0 0 1 k 1 hx k A k c k k h k 0 0 0 0 1 b k k k c k Assim a resposta impulsional pode ser representada como 0 1 b k k k k c 0 k d k k h 0 0 0 0 0 0 0 64 Quando o sistema for invariante no tempo o conjunto se torna d c 0 h 0 c b h 1 A b 1 A h h 2 c c x 65 c A b c A A b 2 c A h h 3 2 x b c A c A A A A b 1 c A h h 1 x Assim a resposta impulsional pode ser representada como 0 1 b c 0 d h 66 O exame das expressões das respostas impulsionais dadas por 64 e 66 mostra que 35 i A existência de d ou d k0 diferentes de zero é condição para que a primeira amostra da resposta impulsional aquela correspondente ao tempo de aplicação do impulso seja não nula se eles forem nulos haverá retardo entre a aplicação do impulso e o aparecimento da primeira amostra não nula na saída ii A razão desta situação é claramente compreendida quando se examinam as equações de estado 52ab e 57ab visto que d e d k0 são os termos de conexão direta entradasaída iii Os termos d ou d k0 multiplicam o valor instantâneo da entrada para gerar a amostra da saída no mesmo tempo Com estes resultados encerramse os cálculos das respostas impulsionais das equações dinâmicas lineares monovariáveis e a tempo discreto Valem as mesmas observações quanto às variáveis que representam o tempos envolvidos Este assunto voltará a ser tratado no final do capítulo quando considerações gerais sobre as respostas impulsionais tanto para os sistemas lineares invariantes no tempo e monovariáveis a tempo contínuo quanto a tempo discreto forem abordadas Exemplo 3 Continuação 2 O exemplo 3 trata de um sistema linear monovariável e a tempo discreto Ele foi modelado como variante no tempo devido à correção monetária que poderia variar a cada mês A equação dinâmica do sistema é 0 0 u k x k uk 0001 ak k x 01 ak 0001 0 ak 1 xk uk 1 1 xk yk Considerese inicialmente que há inflação de 5 ao mês mas que ela se mantém neste número ao longo de todo o tempo observado Nesta situação 105 k ak Substituindo o coeficiente e mudando a origem a equação se transforma em u0 x0 uk 0001 105 k x 115 0001 0 105 1 xk A solução impulsional será a solução de 0 0 x0 k 0001 105 k x 115 0001 0 105 1 xk k 1 1 xk yk Resolvendo o par anterior se obtém 1 h0 1001 h1 1012 h2 001 0 105 1 001 115 0 0 105 1 1 b c A h 1 2 As respostas genéricas 36 Uma vez determinadas as respostas impulsionais tornase possível aproveitando estes resultados determinar as respostas oriundas de condições iniciais e de uma entrada genérica É o mesmo tipo de solução adotada quando se resolveram equações diferenciais e a diferenças finitas Voltase ao par 51ab aqui repetido por conveniência 0 0 x bk uk xk Ak xk 1 xk 51a dk uk ck xk yk 51b Neste par existem duas entradas de informação Condições iniciais Entrada Assim existirão os 3 tipos de solução apresentados nas definições 5 10 A metodologia a ser usada nesta subseção é a mesma da anterior inicialmente trabalhase com a equação de estado para determinar a solução do vetor de estado De posse deste resultado passase à equação de saída a Respostas do vetor de estado O vetor de estado tem três respostas a serem calculadas de acordo com as definições 5 7 apresentadas anteriormente Solução homogênea Como definida anteriormente esta é a resposta que se obtém quando a entrada é nula Assim a entrada a ser resolvida é a da equação 0 0 x Ak xk xk 1 xk 67a Que é a equação homogênea da equação de estado sua solução é designada por xh k0 Observe se que é o mesmo conceito conhecido das equações diferenciais e a diferenças finitas A equação 64a pode ser resolvida por recorrência como a seguir 0 0 0 h x k A k 1 k x 0 0 0 0 0 0 h x k 1 A k A k 1 1 x k A k 2 k x 0 0 0 0 0 0 0 h x k 1 A k 2 A k A k 2 2 x k A k 3 k x 68 0 0 0 0 0 0 0 0 h x k 1 A k 2 A k 1 A k A k 1 1 x k A k k x Examinandose o conjunto 68 percebese que as seqüências de produtos da matriz de estado em tempos diferentes correspondem à matriz de transição de estado calculada em tempos crescentes Logo podese reescrever 68 da forma seguinte 0 0 0 0 h x k 1k k 1 k x 0 0 0 0 0 0 0 h x k 2 k k x k 1 A k A k 2 k x 0 0 0 0 0 0 0 0 h x k 3 k k x k 1 A k 2 A k A k 3 k x 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h x k k k x k 1 A k 2 A k 1 A k A k k x O resultado obtido é muito interessante quando comparado 56 Percebese que a resposta impulsional e solução homogênea são da mesma natureza diferindo nos índices e no valor do vetor de excitação ao sistema Observemse as duas expressões genéricas juntas 0 0 0 0 0 x 1 b k k k k k h 56 37 0 0 0 0 h x k k k k x 69 Esta comparação é a mesma que existe no casos das equações diferenciais e a diferenças finitas logo não é surpreendente Aproveitando o raciocínio e os resultados anteriores podeser particularizar a solução homogênea para o caso do sistema invariante no tempo x 0 xh 70 Cuja similaridade com a resposta impulsional do caso correspondente é análoga à anterior Solução particular Com o conceito e o método de determinação da resposta impulsional podese passar à determinação da solução particular devida a uma entrada genérica no caso o vetor de condições iniciais é nulo A equação a ser resolvida é 0 bk uk xk Ak xk 1 xk 0 51a Iniciase como anteriormente com o cálculo por recorrência 0 k x 0 p 0 0 0 p u k b k 1 k x 1 1 u k b k u k 1 b k A k 2 k x 0 0 0 0 0 0 p 2 2 u k b k 1 1 u k 2 b k A k u k 1 b k 2 A k A k 3 k x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p 72 1 1 u k 2 b k 1 A k A k u k 1 b k 2 A k 1 A k A k k x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p 1 1 u k b k 2 2 u k 1 b k A k 0 0 0 0 0 Usase a matriz de transição de estado 54 para simplificar a expressões do conjunto 72 0 k x 0 p 0 0 0 0 0 0 0 p u k 1 b k 1k k u k I b k 1 k x 1 1 u k 2 b k 2 k k u k 1 b k 2 k k 2 k x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p 1 1 u k 2 b k 3 k k u k 1 b k 3k k 3 k x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p 73 2 2 u k 3 b k 3k k 0 0 0 0 1 1 u k 2 b k k k u k 1 b k k k k x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p 1 1 u k b k k k 2 2 u k 3 b k k k 0 0 0 0 0 0 0 0 A última linha do conjunto 73 representa o termo genérico da solução particular Para não ter que escrevêla de forma tão longa ela pode ser compactada para 0 r r u k r b k 1 k Φ k k x n 0 1 r 0 0 0 0 0 p R 74 Existe ainda uma substituição da matriz de transição de estado Ela pode ser escrita através da expressão de sua definição n n 0 0 0 0 0 0 x 1 3 A k 2 A k 1 A k A k 1 k k R R 54 38 Que pode ainda ser modificada para n n 0 1 1 j 0 0 x j A k 1 k k R R 75 A expressão 75 pode ser substituída em 74 0 n r r u k0 b k0 j A k0 p k0 x 1 0 r 1 1 j R 76 Esta é a formulação mais compacta da solução particular do vetor de estado do caso variante no tempo Quando um sistema invariante estiver em consideração há algumas simplificações 0 r b u r 1 Φ ν x n 1 ν r 0 p R 77 Utilizando a expressão da matriz de transição de estado dada por n n 1 x A 1 R R 60 Podese reescrever a expressão 77 0 b u r A x n 1 0 r 1 r p R 78 Solução completa Dado que o sistema é linear a solução completa é a soma da solução homogênea com a solução particular Logo para o caso variante no tempo é 0 p 0 h 0 k x k x x k 79 0 r r u k r b k 1 k Φ k x k k Φ k x k n 0 1 r 0 0 0 0 0 0 0 0 R 80 Para o caso invariante no tempo as correspondentes expressões são p h x x x 81 0 1 b u r A x 0 x x x n 0 r 1r p h R 82 Comentário Estas três subseções apresentaram as soluções homogênea particular e completa para a equação de estado do sistema a tempo discreto tanto o caso variante quanto o invariante no tempo Devese passar à solução da equação de saída b Respostas da saída Como no caso anterior a saída tem três respostas a serem calculadas de acordo com as definições 8 10 apresentadas anteriormente A equação a ser resolvida é dk uk ck xk yk 51b Como esta é uma equação algébrica a entrada é conhecida e o vetor de estado foi determinado anteriormente basta executar os produtos e somálos para cada um dos casos Solução homogênea 39 Como está em consideração a solução homogênea a equação 51b se modifica para ck xk yk 83 Para o caso variante no tempo a solução é obtida a partir de 83 e de 69 0 0 0 0 0 h 0 0 h 0 0 h x k k k c k k x c k k x c k k y 84 Quando for considerado o caso invariante no tempo a solução se torna x c c x y h h 85 Solução particular O caso variante no tempo é obtido de 51b e de 74 u k d k xp k c k yp k 0 0 0 0 0 86 0 0 0 1 r 0 0 0 0 0 0 p u k r d k r u k r b k 1 k Φ k c k k y 87 Quanto for considerado o caso invariante no tempo a equação se tornará b u r d u A c y 1 0 r 1r p 88 Solução completa A solução completa para o caso variante no tempo é facilmente obtida de 80 r r u k r b k 1 k Φ k c k0 x k k Φ k c k0 y k 0 1 r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u k d k 89 Para o caso invariante a expressão se torna r b u r d u 1 Φ c x 0 c Φ y 1 0 r 90 Comentário Estas três subseções apresentaram as soluções homogênea particular e completa para a equação de saída do sistema a tempo discreto tanto o caso variante quanto o invariante no tempo Com elas acabouse a solução da equação dinâmica para o sistema linear e a tempo discreto B Soluções da Equação Dinâmica Linear Invariante no Tempo e Monovariável no Tempo Contínuo A equação dinâmica a ser resolvida é 50ab Como esta equação possui várias soluções e algumas só podem ser computadas após os resultados das outras terem sido obtidos há uma seqüência de solução A metodologia e os passos da solução são os mesmos do caso a tempo discreto porém há diferença significativa na solução propriamente dita pois as equações são diferenciais Como o caso contínuo é bem mais difícil do que o discreto para o qual há sempre a solução por recorrência o contínuo será tratado somente para sistemas invariantes no tempo Além disto a ordem de apresentação será distinta para tornar a compreensão mais fácil 40 Assim a equação dinâmica a ser resolvida é a particularização de 50ab para o caso em que a matriz os vetores e o escalar de parâmetros são formados por elementos constantes e a origem do tempo pode ser zero x0 b ut x0 xt A dt dxt 91a d ut C xt yt 92b Para formular a solução desta equação é necessária a exponencial de matriz que compõe a matriz de transição de estado Assim este será o primeiro tópico abordado Depois dele passase ao desenvolvimento análogo ao do caso no tempo discreto 1 Matriz de transição de estado e exponencial de matriz A matriz de transição de estado foi definida no contexto dos sistemas a tempo discreto mas o conceito é o mesmo no caso contínuo sendo diferente a expressão da matriz Como no caso anterior ela é associada à solução homogênea do vetor de estado Definição 14 Matriz de Transição de Estado A matriz de transição de estado é definida como a entidade matemática que permite calcular o estado no tempo 2 t quando é conhecido o estado em um outro tempo 1 t O seu símbolo é 1 t2 t e a relação que estabelece entre os estados é 1 1 2 2 h x t t t t x A definição 14 é igual à 13 exceto que as variáveis que caracterizam os tempos são distintas Porém a maneira de obter a matriz para o caso do tempo contínuo é muito distinta da do tempo discreto dada pela expressão 54 Como estão sendo considerados somente sistemas invariantes no tempo a matriz de transição de estado independe dos tempos individualmente mas somente da diferença entre eles Foi usada letra grega para designar a diferença entre o tempo de aplicação do impulso e o tempo de cálculo da saída Nesta subseção serão usados 1 t e 2 t e a matriz será representada pela diferença entre eles Assim a equação de definição do relacionamento é 1 1 2 2 h x t t t t x 93 Para se obter a matriz de transição de estado para este caso é necessário que se trabalhe com a exponencial de matriz Para tal definase uma matriz quadrada n n x M R R e com ela criese a série que é a exponencial de matriz n n 4 3 2 M x M 4 1 M 3 1 M 2 1 M I e R R 94 A definição 94 é análoga à da Série de Maclaurin para a exponencial escalar Porém como M é uma matriz quadrada a série é também uma matriz quadrada Modifiquese a expressão da definição da matriz de transição de estado para 0 h t x t x 95 Ou seja como um modelo invariante no tempo está em consideração passase a origem do tempo para t 0 e t passa a significar a diferença entre o tempo de início e o tempo de observação Escrevase a exponencial de matriz para a matriz A t que é a forma proposta para a matriz de transição de estado 41 n n 4 4 3 3 2 2 4 3 2 A x t A 4 1 t A 3 1 t A 2 1 At I t A 4 1 t A 3 1 t A 2 1 At I t e t R R 96 Substituindose 96 em 95 obtémse a solução homogênea proposta Precisase porém mostrar que a solução proposta é realmente uma solução Para que isso seja possível devese levar 97 à equação de estado homogênea e verificar que ela satisfaz à equação A equação de estado homogênea é x0 xt x0 A dt dxt 97 A expressão 97 possui uma derivada do vetor de estado logo terá uma derivada da solução proposta Como a solução proposta é dada pelo produto de uma matriz função do tempo e um vetor constante a derivada se aplicará somente à matriz Esta derivada é examinada separadamente t A 5 1 t A 4 1 t A 3 1 t A 2 1 At I dt d dt t d 5 5 4 4 3 3 2 2 5 t A 5 1 4 t A 4 1 3 t A 3 1 2 t A 2 1 A dt t d 4 5 3 4 2 3 2 t A A e 5 A t 1 4 A t 1 3 A t 1 2 A t 1 At I A dt t d At 5 5 4 4 3 3 2 2 98 O resultado apresentado em 98 é correspondente ao caso escalar Substituindose a solução proposta 95 na equação homogênea 97 se obtém 0 0 h h x t x x0 A x0 t dt d x t A dt dx t 99 A seqüência de etapas em 99 mostra que a solução proposta 95 satisfaz a equação homogênea 97 Podese então resumir que a equação de estado homogênea e a sua solução são x0 xt x0 A dt dxt 97 0 h t x t x 95 2 As respostas genéricas Iniciamse as soluções através das respostas genéricas A partir de uma delas determinarseá a resposta impulsional Voltese ao par 91ab aqui repetido por conveniência x0 b ut x0 xt A dt dxt 91a d ut C xt yt 92b Neste par existem duas entradas de informação Condições iniciais Entrada 42 Assim existirão os 3 tipos de solução apresentados nas definições 5 10 A metodologia a ser usada nesta subseção é a mesma da anterior inicialmente trabalhase com a equação de estado para determinar a solução do vetor de estado De posse deste resultado passase à equação de saída a Respostas do vetor de estado O vetor de estado tem três respostas a serem calculadas de acordo com as definições 5 7 apresentadas anteriormente Solução homogênea Como definida anteriormente esta é a resposta que se obtém quando a entrada é nula Esta solução foi obtida quando se estudou a matriz de transição de estado na seção anterior O resultado é aqui repetido por conveniência A equação a ser resolvida é x0 xt x0 A dt dxt 97 E a respectiva solução é 0 h t x t x 95 Onde n n 4 4 3 3 2 2 4 3 2 A x t A 4 1 t A 3 1 t A 2 1 At I t A 4 1 t A 3 1 t A 2 1 At I e t t R R 96 Solução particular A equação a ser resolvida é 91a com a condição inicial igual ao vetor nulo ou seja 0 b ut x0 xt A dt dxt 100 A analogia com o caso discreto será utilizada para propor a solução particular ela será baseada na convolução porém integral ao invés de somatório utilizando a matriz de transição de estado A solução proposta é b u d e b u d t t x t 0 At t 0 p 101 Substituise a solução proposta na equação 100 para verificar se ela a satisfaz b ut b u d A e b u d e dt d t 0 At t 0 At 102 A derivada no colchete do lado esquerdo da equação 102 é tomada com respeito ao limite superior de integração Neste caso ela é dada pela integral da derivada do integrando com respeito ao limite somada ao integrando calculado no limite como a seguir na expressão designada LE lado esquerdo t 0 A0 At t 0 t At At b ut e b u d e dt d b ut e b u d e dt d LE 103 Como existe A0 examinase a definição da exponencial de matriz 94 e percebese que ela é a matriz identidade Logo a expressão 103 se modifica para 43 t 0 At b ut b u d e dt d LE 104 Resta analisar a derivada do integrando na qual a única função de t é a exponencial de matriz A sua derivada é dada por 98 aqui repetida por conveniência t A A e 5 A t 1 4 A t 1 3 A t 1 2 A t 1 At I A dt t d At 5 5 4 4 3 3 2 2 98 b u A e b u d e dt d At At 105 Levando o resultado 105 à expressão 104 chegase à expressão para o LE b u b u d A e b u b u d A e LE t 0 At At t 0 106 Comparando 106 com o lado direito de 102 percebese que são iguais logo a solução proposta é solução da equação Logo ela é b u d e b u d t t x t 0 At t 0 p 101 Solução completa Com as soluções homogênea e particular determinadas é muito fácil determinar a solução dado que ela é a soma de ambas Logo é dada pela soma de 95 e 101 b u d e x e b u d t t x t x t 0 At At 0 t 0 0 107 Comentário Estas três subseções apresentaram as soluções homogênea particular e completa para a equação de estado do sistema a tempo contínuo e monovariável para o caso invariante no tempo Devese passar à solução da equação de saída b Respostas da saída Como no caso do vetor de estado há três saídas a serem calculadas de acordo com as definições 8 10 A equação a ser resolvida é d ut C xt yt 92b Como no caso do sistema a tempo discreto considerase que o vetor de estado já foi resolvido Solução homogênea Como está em consideração a solução homogênea a equação 92b se modifica para C xt yt 108 A solução é obtida a partir 95 0 At 0 h h x C e t x C C x t y t 109 44 Iniciamse as soluções com a determinação das respostas impulsionais visto que sistemas lineares estão em estudo As respostas impulsionais permitem através da integral de convolução calcular as respostas devidas às demais entradas Solução particular A solução particular é obtida de 92b e de 101 d ut b u d C e d ut b u d t C t y t 0 At t 0 p 110 Solução completa A solução completa é facilmente obtida de 109 e 110 d ut b u d C e x C e d ut b u d t C t x C t y t 0 At 0 At t 0 0 111 Comentário Estas três subseções apresentaram as soluções homogênea particular e completa para a equação de saída do sistema a tempo contínuo monovariável e invariante no tempo Com elas acabouse a solução da equação dinâmica para o sistema linear e a tempo contínuo no escopo desta disciplina 3 As respostas impulsionais Como mencionado anteriormente as respostas impulsionais do estado e da saída são calculadas após as soluções genéricas Os resultados das soluções genéricas são utilizados neste cálculo Como o conceito de resposta impulsional requer que as condições iniciais sejam nulas a equação de estado a ser considerada é a que foi usada anteriormente na determinação das soluções particulares do vetor de estado e da saída A equação de saída é a mesma anterior já que não possui condições iniciais Ambas são repetidas por conveniência 0 b ut x0 xt A dt dxt 100 d ut C xt yt 92b a Resposta impulsional do vetor de estado A solução particular do vetor de estado devida a uma entrada genérica calculada anteriormente é b u d e b u d t t x t 0 At t 0 p 101 A entrada em consideração é o impulso unitário aplicado na origem logo t ut 112 Esta função só é não nula na origem logo a integral deixa de existir e passa a ser o valor do integrando quando 0 o valor da integral do impulso é 1 Desta forma a expressão 101 se transforma em 0 b t e t b t h t A x 113 É importante ressaltar que a resposta impulsional do vetor de estado não possui um impulso Este resultado era esperado visto que em 100 há uma derivada primeira do vetor estado mas não há derivadas da entrada b Resposta impulsional da saída 45 A solução particular da saída devida a uma entrada genérica calculada anteriormente é d ut b u d C e d ut b u d t C t y t 0 At t 0 p 110 Como a entrada em consideração é o impulso do caso anterior 112 aplicase o mesmo raciocínio é se obtém d t t b u c e d t t c t b u ht t h 1 t A 1 y 114 Examinandose a expressão 114 constatase que haverá impulso instantâneo na saída caso o termo d de ligação direta entradasaída seja não nulo Este era um resultado obviamente esperado Como 114 é a resposta que se obtém na saída quando um impulso unitário é aplicado sobre o sistema previamente relaxado ela representa a própria resposta impulsional Por esta razão ela foi escrita com hyt e ht A última designação é a que é utilizada c Comentário Estas duas subseções apresentaram as respostas impulsionais do vetor de estado e da saída da equação dinâmica do sistema a tempo contínuo e monovariável para o caso invariante no tempo C Considerações e Métodos de Obtenção das Matrizes de Transição de Estado As seções anteriores definiram as matrizes de transição de estado para os casos a tempos contínuo e discreto Apresentaram também as expressões de cômputo de cada uma delas Considerando a situação dos sistemas invariantes a do tempo discreto é 60 e a do contínuo 96 ambas são calculadas numericamente No caso do tempo contínuo a expressão é uma séire infinita e para calculála é necessário um truncamento n n x A R R 60 n n 4 4 3 3 2 2 4 3 2 A x t A 4 1 t A 3 1 t A 2 1 At I t A 4 1 t A 3 1 t A 2 1 At I e t t R R 96 Existem porém maneiras de determinar as matrizes de transição sob forma analítica Elas são apresentadas nas subseções que seguem 1 Obtenção da matriz de transição de estado sob forma analítica caso da equação dinâmica no tempo contínuo Esta subseção tem por objetivo mostrar como a matriz de transição de estado para o caso a tempo contínuo pode ser obtida sob forma analítica Para tal cálculo são necessárias algumas expressões já estudadas Considerese inicialmente a expressão x0 xt x0 A dt dxt 97 Apliquese à expressão 97 a Transformada de Laplace para o caso em que a condição inicial é não nula AXs x sXs 0 115 x0 A Xs sI 116 1 x0 A sI Xs 117 46 Aplicando a Transformada de Laplace Inversa à expressão 117 se obtém 0 0 1 1 1 t x x A sI Xs xt L L 118 De 118 é possível extrair a expressão A sI t 1 1 L 119 A expressão 119 fornece uma maneira de determinar a matriz de transição de estado sob forma analítica para o caso de sistemas a tempo contínuo Além disto ela estabelece um método que pode ser usado para o caso dos sistemas a tempo discreto Exemplo 1 Continuação 2 A continuação deste exemplo será para determinação das soluções homogênea particular e impulsional A equação dinâmica determinada foi 0 i Q 0 x0 ut L 1 0 t x L R LC 1 1 0 dt dxt C x t 0 C 1 yt 1 Valores serão atribuídos aos parâmetros e às condições iniciais para permitir o cálculo das soluções L 1 H 3 R C 05 F 100 C QC0 1 A i 0 1 100 x0 ut 1 0 t x 3 2 1 0 dt dxt 0 xt 2 yt Inicialmente determinase a matriz de transição de estado s 2 3 1 s 2 1s s 1 s 2 3 1 s 2 3s s 1 3 s 2 1 s A sI t 1 2 1 1 1 1 1 L L L L 47 2 s 2 1 s 1 2 s 2 1 s 2 2 s 1 1 s 1 2 s 1 1 s 2 2 1s s s 2 1s s 2 2 1s s 1 2 1s s 3 s t 1 1 L L 2t t 2t t 2t t 2t t 2 e e 2 e e 2 e e e 2 e t 0 t 202 e e 201 e 101 e 201 1 100 2 e e 2 e e 2 e e e 2 e tx x t 2t t 2t t 2t t 2t t 2t t 2t t 0 h Sugerese que os alunos examinem as soluções de cada uma das variáveis de estado quando o tempo tender a infinito e as comparem com os resultados conhecidos da teoria de circuitos A seguir calculase a solução particular para o caso da entrada degrau unitário na origem t 0 2t t 2t t 2t t 2t t t 0 p b u d 2 e e 2 e e 2 e e e 2 e b u d t t x t 0 t 0 2t t 2 2t t 2 t t t t p b u d 2 e e 2 e e b u d e e 2 e 2 e t x t 0 t 0 t 2 t 2 t e t e p u d e 2 e u d x t Como se está calculando a saída devida a um degrau unitário aplicado na origem t 0 t 0 t 2 t 2 t t p d e 2 e d e e x t 0 t e e 2 e e 1 e 1 2 e 1 e 1 e 1 t x 2t t 2t t t 2 t 2 t t p Com a solução particular da variável de estado calculase a de saída através de 0 t e e 1 e e 2 e e 1 0 2 c x t y t 2t t 2t t 2t t p p Sugerese que o resultado obtido seja comparado com o resultado conhecido da teoria dos circuitos Finalmente determinase a resposta impulsional do sistema 0 t 2e e e e d e 2 e d e e x t 2t t 2t t t 0 t 0 t 2 t 2 t t p Assim foram exemplificados os cálculos dos três tipos de respostas apresentadas 2 Obtenção da matriz de transição de estado sob forma analítica caso da equação dinâmica no tempo discreto 48 Esta subseção tem por objetivo mostrar como a matriz de transição de estado para o caso a tempo discreto pode ser obtida sob forma analítica Para tal cálculo são necessárias algumas expressões já estudadas Considerese inicialmente a expressão 0 0 x Ak xk xk 1 xk 67a Que é modificada como a seguir para o caso invariante no tempo x0 A xk x0 1 xk 120 Apliquese à expressão 67a a Transformada Z para o caso em que a condição inicial é não nula A Xz z x z Xz 0 121 z x0 A Xz zI 122 1 x0 A z zI Xz 123 Aplicando a Transformada Z Inversa à expressão 123 se obtém 0 0 1 1 1 z x x A z zI Xz xk Z Z 124 De 124 é possível extrair a expressão A z zI k 1 1 Z 125 A expressão fornece uma maneira de determinar a matriz de transição de estado sob forma analítica para o caso de sistemas a tempo discreto A partir das expressões 119 e 125 bem como das correspondentes 96 e 60 é fácil de demonstrar que se a matriz de estado A for diagonal então a matriz de transição de estado também o será Nesta situação e com os autovalores reais cada elemento da diagonal principal será um modo correspondente a um autovalor Estas provas são deixadas como exercício 3 Comentários As duas seções anteriores mostraram um método aplicado de duas maneiras diferenciadas de determinar as matrizes de transição de estado As diferenças são devidas a um caso ser no tempo contínuo e o outro no tempo discreto Nas expressões 119 e 125 há denominadores oriundos das inversas Os denominadores são A I s para o caso contínuo 126a A I z para o caso discreto 126b Os polinômios 126ab são os mesmos do denominador da funções de transferência dos respectivos sistemas e caso estivessem em consideração os modelos entradasaída no domínio do tempo os mesmos polinômios característicos das equações diferencial ou a diferenças finitas Assim as formas no tempo por eles geradas são os modos das soluções Matrizes de Transição de Estado e Modos 49 As matrizes de transição de estado nos tempos contínuo e discreto têm os seus termos formados por somas ponderadas dos modos das soluções homogêneas e impulsionais As raízes das equações características são chamadas de valores característicos e são elas que determinam os modos Nas expressões 126ab os mesmos valores aparecem sob a forma dos autovalores das matrizes A Quando da passagem da equação dinâmica para a matrizfunção de transferência pode haver cancelamentos de pólos e zeros Assim alguns valores característicos podem ser cancelados Logo é possível escrever a expressão 127 Na expressão 127 é o conjunto de pólos da função de transferência ou de valores característicos da equação diferencialdiferenças finitas e é o conjunto de autovalores da matriz de estado Não havendo cancelamento de pólos e zeros então os conjuntos e são iguais VII Equações Dinâmicas Equivalentes Esta seção tem por objetivo apresentar as relações que existem entre diferentes representações por variáveis de estado de um mesmo sistema A Conceitos e Mudanças de Base Um vetor de estado x é um ponto no espaço de estado em geral representado por x Como o número de elementos no vetor de estado é n esta é a dimensão do espaço de estado Sabese que um ponto no espaço pode ser representado por diferentes conjuntos de coordenadas dependendo da base utilizada É importante ressaltar que qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes forma uma base em um espaço de dimensão n Desta forma é possível ter infinitas representações por variáveis de estado para um mesmo sistema Nos exemplos que foram apresentados as variáveis eram tais que tinham significado no contexto dos sistemas Mas outras variáveis de estado mesmo sem significado poderiam ter sido definidas Em muitas situações variáveis matemáticas são usadas pois possibilitam escrever equações de estado com propriedades que facilitam a solução ou a análise de propriedades Sejam x e x duas representações de um vetor de estado em bases distintas no mesmo espaço de estado Seja n n x P R R a matriz de mudança de base As relações entre estas três entidades são P x x 128a Q x x P x 1 128b P1 Q 128c O par de relações entre as duas representações 128ab se chama Transformação de Similaridade e é uma mudança de base A expressão 128c é aqui citada por ser usada por alguns autores A partir de 128ab podese concluir que as matrizes n n x P R R e n n 1 x P R R são Quadradas e de mesmas dimensões 50 Não singulares visto que uma é a inversa da outra Isto significa que a mudança de base se dá nos dois sentidos o que é óbvio A mudança de base não altera a origem do espaço de estado pois se em 128ab os vetores que multiplicam as matrizes forem nulos o resultado da multiplicação também será Logo a origem é única B Relações Entre Duas Equações Equivalentes Considerese a equação dinâmica de um sistema linear invariante no tempo multivariável e a tempo discreto dada por 7ab e aqui repetida por conveniência x0 B uk x0 A xk 1 xk 7a D uk C xk yk 7b Suponhase que haverá a mudança de base representada por 128ab e que se deseja determinar as relações entre as matrizes da equação original 7ab e da nova a ser calculada Substituase 128b na equação de estado para se obter x P 0 x B uk P k x A P 1 k x P 0 1 1 1 1 129 Prémultiplicando os dois lados de 129 por P se obtém x P 0 x P B uk P k x P A P 1 k x 0 1 1 1 130a Passase à equação de saída D uk k x C P yk 1 130b Podem ser escritas as seguintes relações entre as matrizes da equação original e da transformada A P 1 P A 131a B P B 131b P 1 C C 131c Considerese a equação dinâmica de um sistema linear invariante no tempo multivariável e a tempo contínuo dada por 3ab e aqui repetida por conveniência x0 B ut x0 xt A dt dxt 4a D ut C xt yt 4b Suponhase que haverá a mudança de base representada por 128ab e que se deseja determinar as relações entre as matrizes da equação original 4ab e da nova a ser calculada Substituase 128b na equação de estado para se obter x P 0 x B ut P t x P A dt dxt P 0 1 1 1 1 132 51 Prémultiplicando os dois lados de 132 por P se obtém x P 0 x P B ut P t x P A P dt xt d 0 1 1 1 133a Passase à equação de saída D ut t x C P yt 1 133b Podem ser escritas as seguintes relações entre as matrizes da equação original e da transformada A P 1 P A 134a B P B 134b P 1 C C 134c Assim ainda que as equações sejam distintas em suas naturezas as relações entre as matrizes de parâmetros das equações originais e de suas transformadas é a mesma nos casos contínuo e discreto Existem infinitas matrizes P para executar a mudança de base A escolha de qual será usada depende do objetivo da mudança que se está fazendo C Relações Entre Duas Equações Equivalentes e a FunçãoMatriz de Transferência Um fato importante a respeito das equações dinâmicas equivalentes é que elas possuem a mesma relação entradasaída ou seja duas ou mais equações dinâmicas equivalentes correspondem à mesma matrizfunção de transferência A funçãomatriz de transferência é única enquanto há infinitas representações por variáveis de estado para um único sistema Considerese inicialmente um sistema a tempo discreto dado pela equação dinâmica 7ab e sua equivalente 130ab x0 B uk x0 A xk 1 xk 7a D uk C xk yk 7b x P 0 x P B uk P k x P A P 1 k x 0 1 1 1 130a D uk k x C P yk 1 130b Suponhase inicialmente que as matrizesfunções de transferência são diferentes para as duas equações Calculese cada uma delas a partir da expressão obtida anteriormente A primeira é a de 7ab cuja expressão é D B A C zI Hz 1 40 Sua correspondente para a segunda equação é 52 D P B P A P z P I P C P D P B P A P zI C P z H 1 1 1 1 1 1 1 Hz D B A C z I D P B P A P z I C P D P B A P P z I C P z H 1 1 1 1 1 1 1 135 A expressão 135 permite concluir que a função de transferência é única ainda que existam duas equações dinâmicas distintas Como a mudança de base desenvolvida foi genérica a relação 135 vale para quaisquer equações equivalentes Considerese agora a equação dinâmica a tempo contínuo 4ab e sua equivalente 133ab x0 B ut x0 xt A dt dxt 4a D ut C xt yt 4b x P 0 x P B ut P t x P A P dt xt d 0 1 1 1 133a D ut t x C P yt 1 133b Suponhase inicialmente que as matrizesfunções de transferência são diferentes para as duas equações Calculese cada uma delas a partir da expressão obtida anteriormente A primeira é a de 4ab cuja expressão é D B A C sI Hs 1 28 Sua correspondente para a segunda equação é D P B P A P s P I P C P D P B P A P sI C P s H 1 1 1 1 1 1 1 Hs D B A C s I D P B P A P s I C P D P B A P P s I C P s H 1 1 1 1 1 1 1 136 A expressão 136 permite concluir que a função de transferência é única ainda que existam duas equações dinâmicas distintas Como a mudança de base desenvolvida foi genérica a relação 136 vale para quaisquer equações equivalentes Os casos monovariáveis seguiriam os mesmos procedimentos e dariam resultados análogos porém escalares D Diagonalização da Matriz de Estado Uma das aplicações da mudança de base de uma equação de estado é a para a diagonalização da matriz de estado Esta forma cuja existência é garantida quando todos os autovalores da matriz de estado forem distintos é útil quando os autovalores forem reais Quando os autovalores apresentarem repetitividade a forma diagonal pode ser atingida ou não em alguns casos só é possível chegar à Forma Canônica de Jordan a ser estudada mais adiante Suponhase então uma equação dinâmica com a quádrupla A B C D Pode ser tanto considerado o caso a tempo contínuo como o a tempo discreto Sabese que os autovalores da matriz de estado são reais e distintos 53 A matriz de transformação que leva à diagonalização da matriz de estado é a matriz de autovetores n n n 2 1 1 x v v v P R R 137 A forma diagonal facilita a solução da equação de estado porque a matriz de transição de estado neste caso é também diagonal e calculada por inspeção Exemplo 1 Continuação 3 A continuação deste exemplo será para determinação das soluções homogênea particular e impulsional A equação dinâmica determinada com os valores atribuídos foi 1 100 x0 ut 1 0 t x 3 2 1 0 dt dxt 0 xt 2 yt O polinômio característico da matriz A é 2 3 s s P 2 Os autovalores são 1 1 e 2 2 Com os autovalores podem ser computados os correspondentes autovetores 1 1 1 A v v e 2 2 2 A v v 1 2 1 1 1 2 1 1 v v 3 2 1 0 v v 1 e 2 2 2 1 2 2 2 1 v v 3 2 1 0 v v 2 Resolvendo as duas expressões anteriores se obtém 1 1 v1 e 2 1 v2 Assim a matriz 1 P é 2 1 1 1 v v P 2 1 1 1 1 1 2 P 54 Utilizando as expressões 134ac para o caso monovariável podese calcular a matriz e os vetores da nova equação de estado 2 0 0 1 2 1 1 1 3 2 1 0 1 1 1 2 A P P A 1 1 1 1 0 1 1 1 2 b P b 2 2 2 1 1 1 0 2 P c c 1 P x 0 x 0 Assim a nova equação dinâmica é 99 201 0 x ut 1 1 t x 2 0 0 1 dt t dx t 2 x 2 yt Como pode ser visto a matriz de estado está na forma diagonal Prosseguese a solução para calcular a resposta às condições iniciais t 2 t e 0 0 e t Então 0 t 99 e e 201 99 201 e 0 0 e 0 t x t x 2t t t 2 t h Como a relação entre o vetor de estado original e o obtido por mudança de base é conhecida podese calcular a solução homogênea do original 0 t 198 e e 201 99 e e 201 99 e e 201 2 1 1 1 t h x P x t 2t t 2t t 2t t 1 h Com esta última relação estabelecese um procedimento para calcular outras soluções ou seja calculase a solução para a variável transformada e depois aplicase a transformação de similaridade inversa E Comentários Com esta seção concluise a parte referente à mudança de base Outras mudanças de base serão estudadas quando forem apresentadas as propriedades dos sistemas VIII Considerações Finais 55 Ainda na parte inicial da disciplina o estudo de sistemas lineares através de variáveis de estado serão introduzidas as propriedades de Controlabilidade Observabilidade e Estabilidade A estabilidade será também estudada a partir das relações entradasaída IX Exercícios Propostos Os exercícios propostos têm o objetivo de fixar os conceitos e exercitar a manipulação das expressões e relações entre as funções 01 Resolva o exemplo 1 fazendo com que a saída seja a corrente Compare as soluções e verifique as semelhanças e as diferenças 02 Resolva o exemplo 1 fazendo com que a saída seja a tensão no indutor Compare as soluções e verifique as semelhanças e as diferenças 03 Resolva o exemplo 1 trocando as posições das variáveis de estado ou seja fazendo com que a variável física que foi a primeira variável de estado seja a segunda e viceversa Compare as soluções e verifique as semelhanças e as diferenças 04 Resolva o exemplo 1 fazendo a variável de estado 1 a tensão no capacitor e não a carga Compare as soluções e verifique as semelhanças e as diferenças 05 Resolva o exemplo 3 fazendo a taxa de correção monetária ser um valor fixo de 5 06 A partir do resultado do exemplo 2 obtenha a função de transferência do sistema Calcule também a função de transferência a partir da equação diferencial e compare os resultados 07 Examine os resultados do cálculo da resposta impulsional na seção VIA1b e faça um paralelo com a solução da resposta impulsional da equação a diferenças finitas linear e invariante de primeira ordem 08 Considere os resultados do exemplo 3 continuação 2 Com eles volte ao exemplo 3 e o resolva para a mesma situação Compare os resultados eles devem ser iguais em termos do valor que o investidor possui 09 Refaça o exemplo 3 continuação 2 para o caso em que não há inflação 10 Mostre que se a matriz de estado A de uma equação dinâmica a tempo contínuo é diagonal a matriz de transição de estado t também o será Considere os autovalores reais e mostre que cada elemento da diagonal principal será um modo associado ao correspondente ao autovalor 11 Mostre que se a matriz de estado A de uma equação dinâmica a tempo discreto é diagonal a matriz de transição de estado k também o será Considere os autovalores reais e mostre que cada elemento da diagonal principal será um modo associado ao correspondente ao autovalor 12 Estenda o exemplo 1 continuação 3 para resolver a solução particular quando a entrada for um degrau de amplitude 10 aplicado em t 0 Faça como na extensão resolva na forma diagonal e depois compute a solução para a variável de estado original 13 Estude o exemplo 1 continuação 3 para examinar o que são as variáveis de estado após a mudança de base para a diagonalização Elas possuem algum significado físico prático 14 Repita o que foi feito para o exemplo 1 continuação 3 para o exemplo 3 15 Repita o exercício 12 para o exemplo 3 16 Repita o exercício 13 para o exemplo 3 56 Capítulo 3 SISTEMAS COMPOSTOS I Objetivo O objetivo deste capítulo é apresentar a maneira de combinar sistemas lineares e invariantes que sejam compostos por partes A peculiaridade do estudo é que cada uma das partes tem o seu modelo seja por variáveis de estado ou por função de transferência conhecido O que se fará é determinar o modelo que representa a conexão de todas as partes ou seja o modelo completo do sistema Inicialmente são apresentados os tipo de conexão a serem estudados depois será feita a análise de cada uma delas para cada um dos dois modelos Tanto sistemas a tempo contínuo quanto discreto serão estudados Seja um sistema linear e invariante genérico representado pela figura 1 conforme estudado anteriormente Figura 1 Relação com variáveis internas sinal de entrada sistema variável interna e sinal de saida Neste capítulo cada sistema do tipo apresentado na figura 1 será considerado um bloco a ser combinado a outros para formar um sistema mais complexo Diferentes tipos de conexão serão apresentados II Conexão Série Na conexão ou estrutura série também chamada de cascata a saída de um dos sistemas é conectada à entrada do outro A figura 2 mostra a conexão série de dois sistemas Figura 2 Conexão de dois sistemas em série As características desta conexão são Ao serem conectados passando a fazer parte de um sistema maior os sistemas originais são vistos como subsistemas A entrada externa da conexão é a entrada que será aplicada ao primeiro sistema A saída externa da conexão é a saída do segundo sistema A saída do primeiro sistema é a entrada do segundo É suposição da conexão que o segundo sistema não carrega o primeiro ou seja a saída do primeiro é a mesma independentemente da conexão com o segundo O sistema composto é o que é visto de u1 para y2 Usando como referência a figura 1 u é u1 e y é y2 Sistema 1 x1 u1 y1u2 Sistema 2 x2 y2 Sistema x u y 57 Informação do que se passa no subsistema 1 é transferida através da sua variáveis de saída y1 para o subsistema 2 Nenhuma informação do subsistema 2 é transferida ao subsistema 1 visto que o fluxo de informações é da esquerda para a direita Para que esta conexão possa ser realizada é necessário que A entrada externa deve ser dimensionalmente compatível com a entrada do primeiro sistema ou seja os números de funções de excitação devem ser iguais em ambos os vetores de entrada As natureza das funções de excitação devem ser as mesmas tanto nas funções externas como nas entradas do primeiro sistema tensões com tensões reais com reais torque com torque etc As mesmas compatibilidades devem existir entre a saída do primeiro sistema e a entrada do segundo visto que o primeiro é a excitação do segundo Idem com a saída do segundo e a saída da conexão A seguir serão apresentadas as análises desta conexão para os dois tipos de modelos estudados relações entradasaída e modelo de estado A Análise por Modelo EntradaSaída Consideremse as funçõesmatrizes de transferência dos sistemas originais Caso monovariável funções de transferência U Y H 1 1 1 ou H U Y 1 1 1 1a U Y H 2 2 2 ou H U Y 2 2 2 1b O caso monovariável possui as duas formas alternativas para as expressões 1ab Caso multivariável matrizes de transferência H U Y 1 1 1 2a H U Y 2 2 2 2b Ressaltase que no caso multivariável não há forma alternativa para as expressões 2ab visto que as entidades são matrizes e vetores O que se deseja é encontrar uma relação entre a entrada do sistema da conexão U ou U e a saída da conexão Y ou Y Examinese a figura 2 para escrever U U 1 3 Y Y 2 4 Y U 1 2 5 Fazendose as substituições de 2ab podese obter a seqüência de expressões H H U H H U H Y H U Y Y 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 6 Assim podese escrever 58 U H Y eq 7 H H H 1 2 eq 8 No caso monovariável a expressão 8 se modifica para H H H H H 2 1 1 2 eq 9 Esta última expressão pode também ser escrita como H H H H U Y H 2 1 1 2 eq 10 Relembrase que o produto entre escalares é comutativo Supondose não haver cancelamentos de pólos e zeros entre as transferências originais o número de pólos da nova transferência 10 é a soma dos números de cada uma das transferências originais Sob a mesma suposição o mesmo acontecerá com os zeros Além disso o conjunto de pólos da nova função de transferência é a união dos conjuntos de pólos de cada uma das duas funções de transferência acontecendo o mesmo com os zeros desta nova função de transferência B Análise por Modelo de Estado Como será necessário particularizar uma equação dinâmica para fazer as deduções escolhese a do tempo discreto Cada sistema será representado por sua equação dinâmica 10 1 1 1 1 1 1 x B u k x 0 A x k 1 x k 11a D u k C x k y k 1 1 1 1 1 11b Na qual x k n1 1 R 20 2 2 2 2 2 2 x B u k x 0 A x k 1 x k 12a D u k C x k y k 2 2 2 2 2 12b Na qual x k n2 2 R O objetivo é determinar uma equação dinâmica que represente todas as variáveis de estado em função da entrada da conexão global k u e que gere a saída da conexão k y Para tal definase n2 n1 2 1 k x k x xk R 13 Devido ao tipo de conexão valem as expressões u k uk 1 14 y k yk 2 15 59 y k u k 1 2 16 Empilhamse das equações de estado originais e se fazem as substituições necessárias para obter B D uk B C x k x k A B uk x k A B y k x k A B uk x k A B u k x k A B u k x k A 1 k x 1 k x 1 k x 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 uk D B 1 B k x k x A C B 0 A 1 k x 1 2 2 1 2 1 2 1 0 x 0 x uk x0 D B 1 B xk A C B 0 A 1 k x 2 1 1 2 2 1 2 1 17a A expressão 17a é a equação de estado da equação dinâmica Resta determinar a equação de saída D D u k D C x k C x k D y k C x k D u k C x k y k yk 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 D D uk xk C D C yk 1 2 2 2 1 17b As equações 17ab formam o conjunto equação dinâmica da conexão série Examinando a matriz de estado em 17a percebese claramente que as variáveis de estado do primeiro sistema atuam sobre a evolução das do segundo enquanto as do segundo não atuam sobre as do primeiro Outro ponto importante a ser visto na equação de estado é que os blocos da diagonal principal são quadrados e há um bloco de zeros fora da diagonal principal Isto garante que os autovalores da matriz sejam a união dos conjuntos de autovalores dos blocos da diagonal principal que são as matrizes de estado dos sistemas originais Uma observação importante vem da equação de saída 17b O termo de conexão direta entradasaída é dado pelo produto das matrizes de conexão entradasaída de cada um dos sistemas Desta forma se uma delas for nula o produto será nulo Isto significa que para que a conexão série não tenha retardo entre entrada e saída é necessário que cada um dos sistemas que a compõem não apresente retardo também Isto faz sentido visto que só há um caminho entre entrada e saída e ele passa pelos dois sistemas Se um deles apresentar retardo então a conexão como um todo será com retardo Do ponto de vista matemático a operação que se realiza é produto que equivale ao conectivo lógico e III Conexão Paralela Na conexão ou estrutura paralela as entradas de ambos dos sistemas são iguais à entrada externa e a saída da conexão é a soma das saídas A figura 3 mostra a conexão paralela de dois sistemas 60 Figura 3 Conexão de dois sistemas em paralelo Esta conexão assim como a anterior tem características próprias Elas são Ao serem conectados passando a fazer parte de um sistema maior os sistemas originais são vistos como subsistemas A entrada externa atua sobre os dois subsistemas A saída do sistema é a soma das saídas dos dois subsistemas Um subsistema não passa informação ao outro eles são desacoplados Para que esta conexão possa ser realizada é necessário que As entradas dos dois subsistemas devem ser dimensionalmente compatíveis entre elas e com a variável de entrada externa As entradas dos dois subsistemas sejam da mesma natureza e da natureza da entrada externa As saídas dos dois subsistemas devem ser dimensionalmente compatíveis entre elas e com a variável de saída As saídas dos dois subsistemas sejam da mesma natureza e da natureza da saída do sistema A seguir serão apresentadas as análises desta conexão para os dois tipos de modelos estudados relações entradasaída e modelo de estado A Análise por Modelo EntradaSaída Consideremse as funçõesmatrizes de transferência dos sistemas originais apresentadas em 1ab e 2ab Examinese a figura 2 para escrever U U U 2 1 18 Y Y Y 2 1 19 Fazendose as substituições de 2ab podese obter a seqüência de expressões H H U H U H U H U H U Y 2 1 2 1 2 2 1 1 20 Assim como anteriormente podese escrever U H Y eq 7 H H H 2 1 eq 21 Sistema 1 x1 u1 y1 Sistema 2 x2 u2 u y2 y 61 No caso monovariável a expressão 8 se modifica para H H H 2 1 eq 22 Esta última expressão pode também ser escrita como H H U Y H 2 1 eq 23 Supondose não haver cancelamentos de pólos com os novos zeros gerados o número de pólos da nova transferência 23 é a soma dos números de cada uma das transferências originais B Análise por Modelo de Estado Como será necessário particularizar uma equação dinâmica para fazer as deduções escolhese novamente a do tempo discreto Cada sistema será representado por sua equação dinâmica 11ab e 12ab já apresentadas anteriormente Como no caso anterior definese o vetor de estado da conexão através do empilhamento dos vetores de estado dos sistemas originais conforme 13 Devido ao tipo de conexão valem as expressões u k u k uk 2 1 24 y k y k yk 2 1 25 Como no caso anterior empilhamse das equações de estado originais e se fazem as substituições necessárias para obter B uk x k A B uk x k A B u k x k A B u k x k A 1 k x 1 k x 1 k x 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 0 x 0 x uk x0 B 1 B k x k x A 0 0 A 1 k x 2 1 2 2 1 2 1 26a A expressão 26a é a equação de estado da equação dinâmica Resta determinar a equação de saída D uk D uk C x k D u k C x k D u k C x k C x k yk 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 uk D D xk C C yk 1 2 2 1 26b As equações 26ab formam o conjunto equação dinâmica da conexão paralelo Examinando a matriz de estado em 26a percebese claramente que as variáveis de estado do primeiro sistema não atuam sobre a evolução das do segundo o mesmo ocorrendo com as do segundo sistema sobre o primeiro Ou seja percebese que os sistemas são desacoplados isto fica claro com os dois blocos de zero fora da diagonal principal Outro ponto importante a ser visto na equação de estado é que os blocos da diagonal principal são quadrados e há dois blocos de zeros fora da diagonal principal Isto garante que os autovalores da matriz sejam a união dos conjuntos de autovalores dos blocos da diagonal principal que são as matrizes de estado dos sistemas originais Uma observação importante vem da equação de saída 26b O termo de conexão direta entradasaída é dado pela soma das matrizes de conexão entradasaída de cada um dos sistemas Desta forma se uma delas for nula a outra não o sendo a soma não será nula Isto significa que para que a conexão 62 série não tenha retardo entre entrada e saída é necessário que um dos sistemas que a compõem não apresente retardo também Isto faz sentido visto que só há dois caminhos entre entrada e saída e eles passam pelos dois sistemas Assim basta que um não tenha retardo para que haja caminho sem retardo para o sinal Do ponto de vista matemático a operação que se realiza é soma que equivale ao conectivo lógico ou IV Conexão Realimentação A conexão realimentada ou realimentação é aquela em que a saída de um sistema é processada através de outro sistema e ligada à entrada do primeiro A figura 4 mostra a conexão realimentada de dois sistemas Figura 4 Conexão realimentada de dois sistemas Esta conexão assim como as anteriores tem características próprias Elas são Ao serem conectados passando a fazer parte de um sistema maior os sistemas originais são vistos como subsistemas A entrada externa atua sobre o subsistema 1 de forma direta e de forma indireta via sistema 1 sobre o sistema 2 A saída do sistema é a saída do subsistema 1 É suposição da conexão que o segundo sistema não carrega o primeiro ou seja a saída do primeiro é a mesma independentemente da conexão com o segundo O mesmo ocorre no outro sentido Assim um sistema não carrega o outro Os dois subsistemas passam informações de um para o outro eles são acoplados Para que esta conexão possa ser realizada é necessário que A entrada do sistema 1 e a saída do sistema 2 devem ser dimensionalmente compatíveis A entrada do sistema 1 e a saída do sistema 2 devem ser de mesma natureza A entrada do sistema 2 e a saída do sistema 1 devem ser dimensionalmente compatíveis A entrada do sistema 2 e a saída do sistema 1 devem ser de mesma natureza A seguir serão apresentadas as análises desta conexão para os dois tipos de modelos estudados relações entradasaída e modelo de estado A Análise por Modelo EntradaSaída Consideremse as funçõesmatrizes de transferência dos sistemas originais apresentadas em 1ab e 2ab Examinese a figura 3 para escrever Y U U 2 1 27 Sistema 1 x1 u1 y1 Sistema 2 x2 u2 u y2 y 63 Y Y 1 28 Fazendose as substituições de 2ab podese obter a seqüência de expressões H Y H U H U H U Y H U H U Y 2 1 2 2 1 2 1 1 1 29 H U H H Y Y 1 2 1 30 H U H H Y I 1 2 1 31 H U H H I Y 1 1 2 1 32 Assim como anteriormente podese escrever U H Y eq 7 H H H I H 1 1 2 1 eq 33 No caso monovariável a expressão 8 se modifica para H H 1 H H H H 1 H 2 1 1 1 1 2 1 eq 34 Esta última expressão pode também ser escrita como H H 1 H U Y H 2 1 1 eq 35 B Análise por Modelo de Estado Como será necessário particularizar uma equação dinâmica para fazer as deduções escolhese desta vez a do tempo contínuo Cada sistema será representado por sua equação dinâmica 10 1 1 1 1 1 1 x B u t x 0 A x t dt dx t 36a D u t C x t y t 1 1 1 1 1 36b Na qual x t n1 1 R 20 2 2 2 2 2 2 x B u t x 0 A x t dt dx t 37a D u t C x t y t 2 2 2 2 2 37b Na qual x t n2 2 R 64 Como nos casos anteriores empilhamse das equações de estado originais e se fazem as substituições Porém devido a simplificações que são necessárias iniciase pela equação de saída y t ut D C x t D u t C x t y t yt 2 1 1 1 1 1 1 1 1 D D u t D C x t D ut C x t D u t C x t D D ut C x t yt 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 D D yt D C x t D ut C x t yt 2 1 2 2 1 1 1 1 D C x t D ut C x t yt D D I 2 2 1 1 1 1 1 2 D C ut M D C x t M C x t M t y 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 38a ut D C M xt D C M C M yt 2 1 1 2 1 1 1 1 38b A expressão 38b é a equação de saída da equação dinâmica e nela D1D2 I M 39 Com o resultado 38b passase à determinação dinâmica Inicialmente determinase a equação de estado B yt x t A y t B ut x t A B u t x t A B u t x t A dt x t d dt x t d dt xt d 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 B yt x t A B D u t B C x t B ut x t A B yt x t A D u t B C x t B ut x t A dt xt d 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 D ut M D C x t M C x t B M x t A D ut M D C x t M C x t B D M B C x t B ut x t A dt xt d 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 x 0 x ut x0 B B xt A A A A dt xt d 2 1 21 11 22 21 12 11 40a Depois determinase a de saída ut D C M xt D C M C M yt 2 1 1 2 1 1 1 1 40b As submatrizes em 40a são 65 C B D M A A 1 1 2 1 1 11 41a D C B D M B C A 2 1 1 2 1 2 1 12 41b C B M A 1 1 2 21 41c D C B M A A 2 1 1 2 2 22 41d D B D M B B 1 1 2 1 1 11 41e D B M B 1 1 2 21 41f V Considerações Finais Analisaramse as três possibilidades de conexão Diagramas complexos podem ser simplicados no domínio da freqüência pela simplificação passo a passo das conexões identificadas 66 Capítulo 4 PROPRIEDADES DOS SISTEMAS I Objetivo A utilização de sistemas nas diversas atividades do dia a dia e também em tarefas pouco usuais ou mais especializadas pressupõe que os mesmos tenham comportamentos julgados adequados segundo algum tipo de padrão e para a finalidade à qual se destinam Por exemplo é óbvia a diferença de precisão e de rapidez de resposta que se exigem dos dois tipos de controles remotos o de um carrinho de brinquedo que uma criança utiliza e o que manobra um veículo espacial não tripulado Estes dois sistemas ainda que atendam à especificação comum de serem controles remotos diferenciamse grandemente pelas propriedades que apresentam O propósito deste capítulo é introduzir o conceito de propriedades que os sistemas apresentam e que para o engenheiro de controle são padrões de avaliação de desempenho de diferentes tipos de sistemas Estas propriedades são utilizadas tanto no processo de análise como no de síntese II Propriedades Quatro propriedades são usualmente utilizadas nas áreas de controles eletrônica filtragem processamento digital de sinais e telecomunicações Elas são Estabilidade é a propriedade associada ao comportamento das respostas do sistema à medida que o tempo evolui Estas respostas dependendo do tipo de definição de estabilidade sob consideração podem ser medidas no vetor de estado ou na saída do sistema e podem ser decorrentes de excitações aplicadas à entrada ou de informações oriundas de condições iniciais Controlabilidade é a propriedade associada à efetividade da ação das entradas aplicadas ao sistema sobre a variação de sua variável vetor de estado ou de sua saída Esta propriedade está associada à capacidade de a variável de entrada ser eficaz em controlar a evolução do estado eou da saída Observabilidade é a propriedade associada à possibilidade de se determinar a partir da informação disponível na saída e a da entrada que a gerou o tipo de comportamento das variáveis internas do sistema componentes de seu vetor de estado Esta propriedade é muito importante visto que a saída e a entrada são as variáveis sobre as quais garantidamente existe conhecimento Não é assegurado o acesso ao vetor de estado Sensibilidade é a propriedade associada às variações que sofrem as diferentes respostas do sistema quando durante a etapa de síntese parâmetros do sistema são aproximados por limitações físicas As limitações físicas são uma realidade que acontece devido à tolerância dos componentes ao tamanho finito da palavra nas implementações digitais aproximações de cálculo etc Entre as quatro propriedades mencionadas a teoria clássica se atém ao estudo da estabilidade e da sensibilidade propriedades que são também de interesse da área de filtragem A teoria moderna de controle adiciona ao seu escopo também a controlabilidade e a observabilidade Outras propriedades são também consideradas quando são aprofundados os estudos em teoria de sistemas principalmente no que diz respeito a sistemas de controle Elas porém fogem do conteúdo das disciplinas de graduação de Controles e Servomecanismos A análise de sistemas de controle utilizando as propriedades mencionadas pode se tornar muito complexa se o propósito for estudar uma formulação que atenda a uma gama muito ampla de sistemas Duas classes de sistemas para os quais as propriedades requerem um maior esforço de aplicação são os sistemas não lineares e os sistemas variante no tempo ainda que ambos pertençam à classe dos sistemas determinísticos e causais No que diz respeito aos sistemas não lineares a dificuldade é oriunda do fato de as propriedades serem dependentes não somente das características do sistema em consideração como também das condições iniciais existentes no sistema e da entrada aplicada ao mesmo Já os sistemas lineares 67 variantes no tempo apresentam a complexidade que advém da variação de suas características com a evolução do tempo que faz com que as propriedades passem também a ser funções do tempo Na disciplina de Controles e Servomecanismos são considerados somente os sistemas lineares e invariantes no tempo e no que diz respeito à análise de algumas das propriedades mencionadas particularizase ainda mais tratandose somente de sistemas monovariáveis A propriedade da sensibilidade não é discutida ficando ou para uma disciplina na área de filtragemprocessamento de sinais ou para uma disciplina mais especializada e que analise as variações das diversas respostas dos sistemas frente às dispersões dos componentes que os integram As duas propriedades que inicialmente são tratadas são a controlabilidade e a observabilidade Os resultados de ambas são aproveitados no tratamento da estabilidade que passa assim a ter um enfoque mais amplo do que se fosse tratada isoladamente No estudo destas propriedades são apresentadas definições expressões matemáticas das mesmas e métodos algorítmicos que permitem determinar se certas classes de sistemas possuem ou não as propriedades de interesse IIIConsiderações Finais Os próximos capítulos abordam as três propriedades A primeira a ser tratada é a Controlabilidade a segunda a Observabilidade e a terceira a Estabilidade A estabilidade é abordada ao longo de vários capítulos 68 A zI cofat A zI det 1 A zI T 1 D A B zI cofat A zI det 1 C Hz T d A b zI cofat A zI det 1 c Hz T x