Problemas para Resolução em Grupos - Controles e Servomecanismos

1 Março 2023 Problema 1 Controles e Servomecanismos Vivian Suzano Medeiros 2 APRESENTAÇÃO Estas documento contém o conjunto de problemas que será distribuído aos grupos da turma de Controles e Servomecanismos para a solução discursiva do Problema 1 Os problemas terão as seguintes características 01 Os problemas serão resolvidos em grupos 02 Cada grupo terá seu problema atribuído mediante sorteio na aula síncrona 03 As soluções escritas dos problemas a serem entregues para atribuição de grau deverão ser feitas em software de edição de textos inclusive as expressões matemáticas Trabalhos manuscritos ou parcialmente manuscritos não serão aceitos 04 As entregas dos trabalhos deverão ser feitas pelo Maxwell na opção de Envio dos Arquivos Como serão trabalhos em grupo cada grupo deverá submeter um único arquivo Referente à parte escrita todos os membros do grupo receberão a mesma nota 05 As soluções deverão ser apresentadas em aula pelos grupos Haverá perguntas para os membros do grupo e as notas atribuídas poderão ser diferentes 06 A nota de cada aluno no Problema será a média aritmética da parte escrita com a da apresentação 07 O aluno que faltar à aula da apresentação receberá zero por esta parte e a sua nota será a da parte escrita dividia por 2 08 A menos que seja pedido explicitamente na questão o uso de um software de computação numérica todas as soluções apresentadas devem ser analíticas 09 Em problemas nos quais seja permitido o uso de produtos de software gráficos não serão aceitos se não forem acompanhados de textos que interpretem os resultados O software é apenas uma ferramenta e engenheiros as usam com objetivos claros e devem saber interpretar os resultados 3 Problema 1 Considere o sistema apresentado na figura a seguir um motor de corrente contínua controlado pela corrente de armadura Uma tensão de entrada uat é aplicada no circuito de armadura do motor fazendo com que o eixo gire a uma velocidade angular proporcional a tensão induzida na armadura O coeficiente de atrito nos mancais é representado por fb e gera uma força de resistência proporcional a velocidade angular do motor A tabela a seguir descreve os parâmetros deste sistema Parâmetro Símbolo Unidade Resistência da armadura Ra Ω Indutância da armadura La H Constante de torque Kt NmA Constante de fcem Ke Vrpm Momento de inércia do motor J kgm2 Atrito linear no movimento do motor fb Nmrads As equações de movimento que descrevem esse sistema são dadas por La dia t dt ua tRaia tKe dθ t dt J d 2θ t dt 2 K tiat f b dθ t dt Este sistema deverá ser modelado por Variáveis de Estado A variável de entrada é a tensão uat e a variável de saída é o deslocamento angular do eixo do motor θt Antes de determinar o modelo do sistema responda as seguintes perguntas a Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx Justifique b Considere agora que a indutância da armadura La é desprezível ou seja La0 H Simplifique as equações de movimento para esta condição Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx do novo modelo Justifique Dica isole o termo ia t na primeira equação e substitua na segunda equação c O sistema é mono ou multivariável Se for multivariável é SIMO MISO ou MIMO Qual a razão Para as questões a seguir utilize as equações de movimento obtidas no item b d Defina as variáveis de estado e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais e Resolva novamente o item d utilizando as mesmas variáveis de estado porém na ordem inversa de definição Compare o novo modelo obtido com o do item anterior O que você pode observar f Determine a função de transferência dos modelos obtidos nos itens d e e O que você pode observar 4 Para as questões a seguir utilize a equação dinâmica obtida no item d e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Resistência da armadura Ra Ω 50 Indutância da armadura La H 00 Constante de torque Kt NmA 10 Constante de fcem Ke Vrpm 10 Momento de inércia do motor J kgm2 01 Atrito linear no movimento do motor fb Nmrads 005 g Determine a matriz de transição de estado do sistema h Determine analiticamente a solução da equação de estado e da equação de saída quando a entrada for um degrau unitário aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas i Utilizando o Matlab apresente e analise o gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau unitário Compare com a solução analítica Problema 2 Considere o sistema de nível de fluido apresentado na figura a seguir Nesse sistema os dois reservatórios são conectados através de uma tubulação curta De forma geral a resistência R ao fluxo de líquido é definida como a relação entre a variação na diferença de nível m e a variação na vazão m 3s enquanto a capacitância C do reservatório é a relação entre a variação na quantidade de líquido m 3 e a variação na altura m Com isto as equações dinâmicas para esse sistema são C1 dh1 t dt q t h1t h2 t R1 C2 dh2 t dt h1 th2 t R1 h2 t R2 Este sistema deverá ser modelado por Variáveis de Estado A variável de entrada é a vazão qt e as variáveis de saída são as alturas nos reservatórios h1 t e h2 t A partir das equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema resolva os seguintes itens a Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx Justifique b O sistema é mono ou multivariável Se for multivariável é SIMO MISO ou MIMO Qual a razão 5 c Defina as variáveis de estado e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais d Para a equação dinâmica proposta no item c quantos elementos terão a matriz de transferência do sistema e Considere agora que a saída do sistema do sistema é a vazão de saída do segundo reservatório q2t Refaça a equação dinâmica para essa condição sabendo que q2t h2t R2 Compare os dois modelos O novo sistema é mono ou multivariável Justifique f Determine a função de transferência do modelo obtido no item e Para as questões a seguir utilize a equação dinâmica obtida no item e e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Resistência ao fluxo q1t R1 mm3s 50 Resistência ao fluxo q2t R2 mm3s 50 Capacitância do reservatório 1 C1 m2 40 Capacitância do reservatório 2 C2 m2 20 g Determine a matriz de transição de estado do sistema h Determine analiticamente a solução da equação de estado e da equação de saída quando a entrada for um degrau unitário aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas i Utilizando o Matlab apresente e analise o gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau unitário Compare com a solução analítica Problema 3 Considere um carrinho motorizado de massa m que se desloca em uma pista circular de raio R Assumindo que não há deslizamento sua posição pode ser descrita pelo ângulo θ t mostrado na figura Sendo g a aceleração da gravidade b um coeficiente de amortecimento causado por atritos nos rolamentos e arrasto hidrodinâmico e f t a força de tração tangencial do carrinho a equação do movimento resulta em f t mR d 2θ t dt 2 bR d θ t dt mg sinθ t A posição horizontal x t do carrinho em relação ao ponto mais baixo da pista é dada por x t Rsin θ t Este sistema deverá ser modelado por Variáveis de Estado A variável de entrada é a força f t e a variável de saída é a posição horizontal do carrinho x t Antes de determinar o modelo do sistema responda as seguintes perguntas 6 a Esse sistema é linear Justifique b Considere que os valores dos ângulos θ serão pequenos o suficiente para que possamos considerar que sin θθ Reescreva as equações que representam o sistema para esta condição O novo sistema é linear Para as questões a seguir utilize as equações de movimento obtidas no item b c Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx Justifique d Defina as variáveis de estado e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais e Resolva novamente o item d utilizando as mesmas variáveis de estado porém na ordem inversa de definição Compare o novo modelo obtido com o do item anterior O que você pode observar f Determine a função de transferência dos modelos obtidos nos itens d e e O que você pode observar Para as questões a seguir utilize a equação dinâmica obtida no item d e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Raio da pista circular R m 50 Aceleração da gravidade g ms2 100 Massa do carrinho m kg 10 Coeficiente de amortecimento b Nmrads 30 g Determine a matriz de transição de estado do sistema h Determine analiticamente a solução da equação de estado e da equação de saída quando a entrada for um degrau unitário aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas i Utilizando o Matlab apresente e analise o gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau unitário Compare com a solução analítica Problema 4 Um circuito conversor DCDC para redução de tensão comumente utilizado em equipamentos eletrônicos é um conversor chaveado tipo Buck representado na figura a seguir O componente M2 funciona como uma chave e recebe como entrada um sinal de atuação PWM que liga e desliga a chave em uma frequência constante Quando a chave M2 está fechada a corrente da fonte energiza o indutor L carregando o capacitor C e fornecendo corrente para o resistor de carga R Com a chave aberta a corrente passa através do diodo e a fonte não fornece carga ao circuito Assumindo que a tensão V i é constante como um parâmetro do sistema a equação linearizada que relaciona a razão cíclica do sinal de PWM d t e a tensão no resistor vR t é dada por C d 2vR t dt 2 1 R dv Rt dt 1 L V id t v R t 7 Este sistema deverá ser modelado por Variáveis de Estado A entrada do sistema é a razão cíclica do sinal PWM d t que varia ente 0 e 1 e a saída do sistema é a tensão no resistor vR t Antes de determinar o modelo do sistema responda as seguintes perguntas a Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx Justifique b O sistema é mono ou multivariável Se for multivariável é SIMO MISO ou MIMO Qual a razão c Defina as variáveis de estado como x t vR t dvR t dt T e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais d Defina as variáveis de estado como x t vR t iC t T onde iCt representa a corrente no capacitor Encontre a correspondente equação dinâmica usando condições iniciais genéricas Compare o novo modelo obtido com o do item anterior O que você pode observar Dica Lembrese que a tensão no capacitor é dada por vC t 1 CiC t dt e como o resistor e o capacitor estão em paralelo vC t vR t e Determine a função de transferência dos modelos obtidos nos itens c e d O que você pode observar Para as questões a seguir utlize a equação dinâmica obtida no item d e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Resistor R Ω 20 Indutor L H 10 Capacitor C F 005 Tensão de alimentação Vi V 12 f Determine a matriz de transição de estado do sistema g Determine analiticamente a solução da equação de estado e da equação de saída quando a entrada for um degrau de unitário aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas h Utilizando o Matlab apresente e analise o gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau unitário Compare com a solução analítica i Utilizando o Matlab apresente gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau de amplitude 05 Interprete o resultado Problema 5 Considere o sistema representado na figura a seguir que mostra um diagrama esquemático simplificado da suspensão de um veículo Quando o carro se move ao longo de uma estrada o sistema de suspensão amortece as oscilações causadas no chassi por irregularidades no terreno A variável xit representa o movimento vertical das rodas e a variável f t representa uma força aplicada no chassi do veículo como por exemplo o peso dos passageiros A suspensão é composta por uma mola de constante elástica k e um amortecedor linear de constante de amortecimento b As equações de movimento que descrevem o deslocamento x t do chassi de massa m são m d 2 x t dt 2 f t b dx t dt dxi t dt k x t xit 8 Este sistema deverá ser modelado por Variáveis de Estado As variáveis de entrada são o deslocamento de base xit a velocidade de base dxi tdt e a força externa no chassi f t e a variável de saída é o deslocamento x t A partir das equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema resolva os seguintes itens a Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx Justifique b O sistema é mono ou multivariável Se for multivariável é SIMO MISO ou MIMO Qual a razão c Defina as variáveis de estado e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais d Para a equação dinâmica proposta no item c qual será a dimensão da matriz de transferência do sistema e Considere agora que o sistema só tem uma entrada f t Refaça a equação dinâmica para essa condição e compare os dois modelos O novo sistema é mono ou multivariável Justifique f Determine a função de transferência do modelo obtido no item e Para as questões a seguir utilize a equação dinâmica obtida no item e e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Constante elástica da mola k Nm 5000 Constante de amortecimento b Nms 1000 Massa do chassi m kg 500 Aceleração da gravidade g ms2 100 g Determine a matriz de transição de estado do sistema h Determine analiticamente a solução da equação de estado e da equação de saída quando a entrada for um degrau de amplitude mg aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas i Utilizando o Matlab apresente e analise o gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau de amplitude mg aplicado no tempo zero Compare com a solução analítica Problema 6 Considere o sistema de levitação magnética apresentado na figura a seguir Tratase de um sistema de controle de posição de um esfera de aço através da geração de uma força magnética controlada por um eletroímã 9 A posição da esfera x t é medida através de um conjunto de sensores fotoelétricos e enviada para um controlador proporcional que determina a tensão de atuação do eletroímã v t para o ajuste automático da força magnética que leva a esfera para a posição desejada xd t As equações que descrevem o comportamento desse sistema de controle são dadas por i0 2g d 2 x t dt 2 i0 x0 x tK av t v t K p x txd t Onde g é a aceleração da gravidade x0 e i0 são a posição da esfera e a corrente no eletroímã na condição de equilíbrio K a é a constante do amplificador de potência e K p é o ganho do controlador proporcional Este sistema deverá ser modelado por Variáveis de Estado A variável de entrada é a posição desejada da esfera xd t e a variável de saída é o deslocamento real da esfera x t A partir da equação diferencial que descreve o comportamento do sistema resolva os seguintes itens a Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx Justifique b O sistema é mono ou multivariável Se for multivariável é SIMO MISO ou MIMO Qual a razão c Defina as variáveis de estado e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais d Resolva novamente o item c utilizando as mesmas variáveis de estado porém na ordem inversa de definição Compare o novo modelo obtido com o do item anterior O que você pode observar e Determine a função de transferência dos modelos obtidos nos itens c e d O que você pode observar Para as questões a seguir utilize a equação dinâmica obtida no item c e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Corrente na condição de equilíbrio i0 A 08 Deslocamento na condição de equilíbrio x0 m 002 Constante do amplificador de potência K a AV 50 Ganho do controlador proporcional K p 130 Aceleração da gravidade g ms2 100 f Determine a matriz de transição de estado do sistema 10 g Determine analiticamente a solução da equação de estado e da equação de saída quando a entrada for um degrau de amplitude x0 aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas h Utilizando o Matlab apresente e analise o gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau de amplitude x0 aplicado no tempo zero Compare com a solução analítica i Refaça o item h para diferentes valores de ganho K p e avalie como esse parâmetro altera a resposta do sistema Considerando que o objetivo do controlador é manter a esfera na posição desejada é possível afirmar que esse o controlador proporcional funciona Problema 7 Considere o servossistema hidráulico apresentado na figura a seguir A entrada do sistema é o deslocamento x do carretel da válvula piloto que direciona o óleo sob pressão para o lado direito ou esquerdo do êmbolo do cilindro hidráulico de potência A diferença de pressão resultante em ambos os lados do êmbolo move a carga com um deslocamento y A carga é composta por um bloco de massa m que se desloca sobre uma superfície com coeficiente de atrito viscoso b Supondo que o fluido hidráulico seja incompressível o comportamento desse sistema é descrito pela seguinte equação diferencial m d 2 y t dt 2 b A 2ρ K2 dy t dt A K 1 K 2 x t Onde Símbolo Parâmetro Unidade A Área do êmbolo m2 ρ Densidade do fluido kgm3 m Massa da carga kg K1 Constante de fluxo kgms K2 Constante de pressão ms b Coeficiente de atrito viscoso na carga Nsm Este sistema deverá ser modelado por Variáveis de Estado A variável de entrada é deslocamento x t do carretel da válvula piloto e a variável de saída é o deslocamento da carga y t A partir da equação diferencial que descreve o comportamento do sistema resolva os seguintes itens a Qual é a dimensão esperada para o Espaço de Estado Σx Justifique b O sistema é mono ou multivariável Se for multivariável é SIMO MISO ou MIMO Qual a razão 11 c Defina as variáveis de estado e encontre a correspondente equação dinâmica Use condições iniciais genéricas literais d Resolva novamente o item c utilizando as mesmas variáveis de estado porém na ordem inversa de definição Compare o novo modelo obtido com o do item anterior O que você pode observar e Determine a função de transferência dos modelos obtidos nos itens c e d O que você pode observar Para as questões a seguir utilize a equação dinâmica obtida no item c e os seguintes valores numéricos para os parâmetros do sistema Parâmetro Símbolo Unidade Valor Área do êmbolo A m2 03 Densidade do fluido ρ kgm3 100 Massa da carga m kg 10 Constante de fluxo K1 kgms 40 Constante de pressão K2 ms 12 Coeficiente de atrito viscoso na carga b Nsm 05 f Determine a matriz de transição de estado do sistema g Determine analiticamente a resposta impulsional da equação de saída h Determine analiticamente a solução da equação de estado e da equação de saída quando a entrada for um degrau unitário aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas i Utilizando o Matlab apresente e analise o gráfico das variáveis de estado e da saída do sistema para uma entrada degrau unitário aplicado no tempo zero Compare com a solução analítica