Notas de Aula de Sinais e Sistemas - Volume 1

1 Número 13 Fevereiro 2012 Notas de Aula de Sinais e Sistemas Volume 1 Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estas notas de aula têm o objetivo de complementar o material apresentado nos livros de referência da disciplina ENG 1400 Sinais e Sistemas bem como de servir de guia à ordem na qual os tópicos serão ministrados Elas também contêm referências e direcionamentos a outros materiais educacionais em formatos não textuais que estão disponíveis no Sistema Maxwell httpwwwmaxwellvracpucriobr Estes materiais são o Livro Interativo de Sinais e Sistemas httpwwwmaxwellvracpuc riobrlivrosphp os Objetos Educacionais em Engenharia Eletrica httpwwwmaxwellvracpuc riobrseriesphptipBuscadadosnrseqser5 e materiais disponíveis em outros repositórios e que estão classificados no ambiente integrador Elétrica Online httpwwwmaxwellvracpuc riobreletricaonline Os tópicos destas notas cobrem assuntos referentes à classificação de sinais e sistemas aos sinais e sistemas no tempo discreto às Transformadas de Laplace Z e de Fourier e às Séries de Fourier As notas são apresentadas em três volumes para que os arquivos não excedam 15 MB Foram dedicados e criteriosos revisores destas notas Arthur de Freitas dos Santos Engenharia Elétrica Bernard Pereira de Oliveira Engenharia Elétrica Eduardo Oest Moreira Engenharia de Controle e Automação Felipe de Albuquerque Mello Pereira Engenharia Elétrica e Jan Krueger Siqueira Engenharia Elétrica que foram alunos da disciplina e estagiários do LAMBDA Laboratório de Automação de Museus Bibliotecas Digitais e Arquivos do Departamento de Engenharia Elétrica tendo trabalhado no projeto dos Livros Interativos de Engenharia Elétrica Foi também um criterioso e dedicado revisor Eduardo Costa da Silva Engenharia Elétrica que foi aluno da disciplina 3 SUMÁRIO Volume 1 01 Introdução Sinais e Sistemas 02 Equações a diferenças finitas Volume 2 03 Transformada Z 04 Transformada de Laplace Volume 3 05 Séries de Fourier 06 Transformadas de Fourier 4 Capítulo 1 INTRODUÇÃO SINAIS E SISTEMAS I Conhecimentos Passados e a Atual Disciplina Sinais e Sistemas é a disciplina que introduz os conceitos de sinais nos tempos contínuo e discreto de sistemas com suas classificações e seus modelos e a solução para diferentes tipos de funções de excitação Ela apresenta é apresenta uma matéria que é básica para estudos futuros em circuitos elétricos comunicações eletrônica e controles Para poder estudar Sinais e Sistemas são necessários conhecimentos sólidos de cálculo e de variáveis complexas Este primeiro capítulo tem por objetivo formalizar as definições básicas que serão usadas na disciplina de Sinais e Sistemas e nas que a têm como base II Definições dos Tipos de Variável Tempo e de Sistemas Os conceitos de sinais e sistemas são bastante intuitivos para pessoas que têm formação básica na área técnica Porém para que os mesmos possam ser utilizados de maneira organizada e produtiva é necessário que exista um conjunto de conhecimentos e de ferramentas que permitam manipulálos e a partir dos resultados das operações obter conclusões sobre a natureza dos sinais eou sobre o comportamento dos sistemas Um conjunto de conceitos métodos e ferramentas matemáticas está disponível para o estudo de sinais e sistemas Este conjunto pode ser utilizado nas diversas áreas onde existem sinais e sistemas engenharias telecomunicações geoprocessamento medicina economia etc Os sinais representam variáveis e a maneira que se comportam à medida que uma variável independente evolui Os sinais são de naturezas as mais distintas e oriundos de todos os tipos de situações A definição a seguir é a que caracteriza os sinais no contexto destas notas e da disciplina Sinais e Sistemas Definição 1 Sinal Sinal é uma função que evolui à medida que uma variável cresce ou decresce No contexto destas notas e da disciplina as funções evoluem com o tempo As designações função e sinal serão usadas com o mesmo sentido Os sinais estão associados a informações podem descrever uma corrente e uma tensão em um elemento de circuito elétrico plotadas em função do tempo na tela de osciloscópio figura 1 ou uma série de medidas de temperaturas ao longo de um dia em algum lugar figura 2 Ou ainda um som gravado em um disco de goma laca nos primeiros anos do século XX figura 3 5 Figura 1 Corrente e tensão em um elemento de circuito elétrico plotadas na tela de um osciloscópio Figura 2 Temperaturas ao longo de um dia 6 Figura 3 Tela de computador com a imagem de um sinal sonoro de música gravada em disco de goma laca nos primeiros anos do século XX digitalizada no âmbito do projeto Passado Musical patrocinado pela Petrobras através de sue programa Petrobras Cultural 20032004 As figuras 1 e 2 contêm respectivamente informações referentes às variáveis no circuito e temperaturas em uma localidade A figura 3 contém a tela de um computador na qual é apresentado um sinal sonoro digitalizado As três figuras apresentam os sinais de forma gráfica Observase que as naturezas das três variáveis são distintas a primeira figura representa variáveis elétricas a segunda temperatura e a terceira som Sinais de outras naturezas aparecem em diferentes áreas como por exemplo em medicina eletro cardiogramas eletroencefalogramas ultrasonografias etc telecomunicações engenharia de petróleo geosísmica e astronomia imagens de satélites e de telescópios espaciais A forma gráfica é uma das possibilidades de descrição de um sinal Uma alternativa é a expressão analítica Por exemplo os sinais da figura 1 podem ser escritos como t V sen vt 1a t I sen it 1b Outra possibilidade é a forma de tabela As temperaturas da figura 2 podem ser tabuladas como a seguir 7 Horas Graus 000 100 100 90 200 90 300 85 400 80 500 80 600 85 700 90 800 95 900 100 1000 105 1100 110 1200 115 1300 120 1400 125 1500 125 1600 120 1700 120 1800 115 1900 115 2000 110 2100 110 2200 105 2300 100 Tabela 1 Temperaturas ao longo de um dia Voltando aos exemplos das figuras podese comentar que assim como as grandezas medidas são diferentes variáveis elétricas temperatura e som a natureza dos sinais é distinta No primeiro caso as variáveis foram medidas e desenhadas em função da variável tempo contínuo e no segundo o tempo é discreto No terceiro o sinal de som que é contínuo foi discretizado para tratamento via computador Percebese pois que o tempo pode ter naturezas diferentes de acordo com o tipo de observação que é feita do fenômeno Assim conceituamse dois tipos de tempos Definição 2 Tempo Contínuo A variável tempo contínuo t é aquela definida sobre os campo dos números reais Logo t R O estudo do cálculo infinitesimal das equações diferenciais e dos circuitos elétricos lineares é todo baseado em variáveis que quando funções do tempo são funções do tempo contínuo Definição 3 Tempo Discreto A variável tempo discreto k é aquela definida sobre o campo dos números inteiros Logo k Z O tempo discreto é encontrado em variáveis cujas medidasobservações não sejam contínuas Um exemplo trivial é a contagem da idade das pessoas é medida em dias meses ou anos mas sempre através de um contador O mesmo acontece com os resultados dos censos nos países acontecem de 10 em 10 ou de 5 em 5 anos mas isto não quer dizer que entre os tempos em que as medidas são feitas não existam nascimentos e mortes Um terceiro exemplo é o sistema financeiro no qual os cálculos e as contabilizações acontecem em tempos prédefinidos pelo tipo de operação em questão podem ser dias meses 60 dias etc Assim ainda que o tempo discreto não tenha sido apresentado em disciplinas anteriores a sua noção é intuitiva visto que o seu conceito permeia o diaadia 8 A figura 1 foi desenhada utilizando o tempo contínuo enquanto a figura 2 é baseada no tempo discreto Logo as variáveis da figura 1 são funções do tempo contínuo e a da figura 2 do tempo discreto Ressaltase que o uso da medição da temperatura a cada hora não implica que não exista temperatura nos intervalos representa somente que não foram feitas medidas nos tempos intermediários e logo não há definição da função nos outros instantes de tempo As funções no tempo discreto são também chamadas de seqüências no tempo discreto e são representadas de forma analítica gráfica ou de tabela Definição 4 Seqüência no Tempo Discreto Uma seqüência fk no tempo discreto k Z é uma seqüência de pontosnúmeros reais f1 f0 f1 ordenados segundo k A sequëncia é representada pela expressão 1 k2 fk k k fk O intervalo pode ser aberto em um ou dos dois lados As seqüências podem ser representadas de forma gráfica por expressões analíticas quando estas existirem ou em tabelas O exemplo a seguir mostra as três possibilidades para uma dada seqüência Exemplo Este exemplo mostra as diferentes maneiras através das quais uma seqüência no tempo discreto pode ser representada Considere a seqüência dada pela expressão fk k 1 8 fk Imaginese agora que a fórmula que permite calcular o valor numérico dos pontos é conhecida Ela é 10 sen 4k 1 fk A expressão anterior é a forma analítica da seqüência e é sua primeira forma de representação Calculandose os pontos para o domínio do tempo discreto k chegase à forma tabulada k fk 1 00 2 707 3 10 4 707 5 0 6 707 7 10 8 707 A forma tabulada é numérica e é a segunda possibilidade de representação Passese à terceira através do desenho dos pontos em um gráfico esta é a tercera opção 9 Assim para fk são possíveis as três formas de representação Uma vez vistos os sinais passase à conceituação dos sistemas Definição 5 Sistemas Sistemas físicos são um conjunto de elementos interconectados Do ponto de vista das funções que executam sistemas podem ser conceituados como entidades que recebem sinais entradas os processam e liberam os resultados saídas Assim sistemas podem ser vistos como entidades que são capazes de transformar sinais Os sistemas são representados através de modelos matemáticos e gráficos estes últimos utilizando desenhos de componentes e diagramas de conexões Um mesmo sistema pode ter mais de um modelo dependendo da metodologia de estudo em consideração Existem modelos matemáticos que representam somente as relações entre os sinais de entrada e de saída tanto nos domínios do tempo como da freqüência enquanto outros utilizam também variáveis internas Uma representação comum para a relação sinalis de entrada sistema e sinalis de saída é a da figura 4 Figura 4 Relação sinal de entrada sistema e sinal de saida Na figura 4 u é a variável ou sinal de entrada também chamada excitação ou controle dependendo do contexto de uso do sistema y é a variável ou sinal de saída também chamada simplesmente de saída indica que o argumento pode ser t R ou k Z dependendo do sistema em consideração Existem alguns componentes de sistemas chamados de conversores nos quais os sinais de entrada e de saída possuem naturezas diferentes Quando a entrada é um sinal no tempo contínuo e a saída um no tempo discreto o componente é chamado de conversor AD Caso a relação seja ao contrário ou seja entrada discreta e saída contínua o componente é chamado de conversor DA Os conversores AD e DA são muito usados em sistemas de controle 15 10 5 0 5 10 15 1 2 3 4 5 6 7 8 k fk Sistema u y 10 Materiais Adicionais Para aprender como se processam a conversão AD e DA há três Objetos Educacionais em Engenharia Elétrica Eles devem ser vistos na seguinte ordem 1 Amostragem e Interpolação no Domínio do Tempo httpwwwmaxwellvracpucriobr2227222272HTM 2 Amostragem e Interpolação no Domínio do Tempo httpwwwmaxwellvracpucriobr2227322273HTM e 3 Amostragem e Interpolação Aliasing httpwwwmaxwellvracpucriobr2227422274HTM Do ponto de vista matemático u é a variável independente e y é a dependente ambas são funções do tempo seja ele contínuo ou discreto Existe uma grande variedade de sistemas no que diz respeito à natureza e à estrutura e também diferentes tipos de relações entre as variáveis de entrada e de saída Por esta razão são utilizadas classificações dos sistemas quanto a alguns atributos São usadas várias taxonomias para classificar os sistemas III Princípio da Superposição Existem várias maneiras de classificar sistemas cada uma delas baseada em uma das características que eles podem apresentar Uma das classificações utilizadas é a de um sistema ser ou não linear Além disso os sistemas lineares são muito importantes em todas as áreas de conhecimento dos circuitos elétricos à economia A utilização dos modelos lineares é muito grande Para que os sistemas lineares possam ser definidos é necessário que seja apresentado o Princípio da Superposição Considerese a relação entradasaída entre u e y na figura 4 Suponhase que existam 2 sinais de entrada e que gerem correspondentemente 2 sinais de saída u1 y1 u2 y2 2ab Gerese um novo sinal 1 1 2u2 u u 3a Se a saída devida à nova entrada u for 1 1 2y2 y y 3b Então a relação entradasaída obedece o Princípio da Superposição A relação apresentada pode ser desdobrada nas duas etapas a seguir Aditividade 1 u2 u u 1 y2 y y 4ab Homogeneidade 1u1 1y1 2u2 2 y2 5ab As expressões 3a e 3b englobam a aditividade e a homogeneidade que em conjunto representam a expressão do Princípio da Superposição 11 IV Classificação dos Sistemas Existem várias maneiras de classificar os sistemas de acordo com diferentes atributos Assim para a completa descrição dos mesmos é necessário que sejam especificadas todas elas A Classificação Quanto ao Número de Entradas e de Saídas Um sistema pode ter uma ou mais entradas e uma ou mais saídas Um exemplo de um sistema com mais de uma entrada é um circuito elétrico com mais de uma fonte Um de mais de uma saída é um elevador quando pára em um dado andar a velocidade deve ser zero é uma das variáveis a aceleração deve ser zero é outra variável e a posição do chão do carro deve ser igual à do chão do andar Neste último caso são três as variáveis a serem controladas velocidade aceleração e posição Os sistemas classificamse quanto ao número de entradas eou saídas em Monovariáveis são os que possuem 1 entrada e 1 saída Multivariáveis são os que possuem mais de uma entrada eou mais de uma saída Com a finalidade de padronizar a notação considerese a convenção Grandeza escalar letra maiúscula ou minúscula Grandeza vetorial letra maiúscula ou minúscula sublinhada com 1 barra Grandeza matricial letra maiúscula sublinhada com 2 barras Ainda sobre as convenções Sinal escalar seta fina Sinal vetorial seta larga Definamse as variáveis de entrada e de saída respectivamente para entradas e saídas escalares e vetoriais As duas primeiras são a entrada e a saída vetoriais p p 3 2 1 u u u u u R q q 3 2 1 y y y y y R 6ab O uso do dentro dos parênteses é para indicar que o argumento pode ser t quando se tratar de um sinal no tempo contínuo ou k quando for no tempo discreto O vetor de entrada u com p componentes indica que existem p variáveis de entrada O de saída y com q componentes mostra que existem q variáveis de saída Estes dois vetores correspondem à entrada e à saída do sistema da figura 4 mostrada anteriormente Quando existir somente uma entrada e uma saída a variáveis se tornam 1 u R 1 y R 7ab Considerese a figura 4 na qual as variáveis de entrada e de saída foram escritas como vetores sublinhadas e com setas largas Esta figura representa um sistema multivariável porque tem mais de uma entrada e mais de uma saída O desenho para o caso monovariável é apresentado na figura 5 Sistema u y 12 Figura 5 Relação sinal de entrada sistema e sinal de saida em sistema monovariável Observase que as setas são estreitas e que as variáveis não têm as barras por serem escalares A seguir nas figuras 6 e 7 são apresentadas as outras duas possibilidades de um sistema ser multivariável No primeiro caso possui uma entrada mas múltiplas saídas enquanto no segundo a situação é contrária Figura 6 Relação sinal de entrada sistema e sinal de saida em sistema multivariável por ter mais de 1 saída Figura 7 Relação sinal de entrada sistema e sinal de saida em sistema multivariável por ter mais de 1 entrada B Classificação Quanto à Variável Tempo Um sistema pode ser classificado quanto à natureza das variáveis tempo envolvidas Existem 3 possibilidades São elas Tempo contínuo são aqueles cujas variáveis são funções da variável tempo contínuo t R Tempo discreto são aqueles cujas variáveis são funções da variável tempo discreto k Z Híbridos são aqueles que têm algumas variáveis funções do tempo discreto e outras do tempo contínuo Um exemplo de sistema híbrido é um controle de motor elétrico executado através de um circuito digital ou de um microprocessador As variáveis do motor são a tempo contínuo enquanto as do controlador são a tempo discreto Para que este sistema seja implementado é necessária a utilização componentes capazes de fazer a conversão de um tipo para outro Os componentes são os conversores AD analógicodigital e DA digitalanalógico Cada vez mais os sistemas de controle funcionam como sistema híbridos devido à implementação digital dos controles Materiais Adicionais Sistema u y Sistema u y 13 Para aprender e ver alguns exemplos de sinais com diferentes naturezas da variável tempo há o Objeto Educacional Sistemas a Tempo Contínuo Discreto e Híbridos httpwwwmaxwellvracpuc riobr2248622486HTM Para aprender como se processam a conversão AD e DA há três Objetos Educacionais em Engenharia Elétrica Eles devem ser vistos na seguinte ordem 1 Amostragem e Interpolação no Domínio do Tempo httpwwwmaxwellvracpucriobr2227222272HTM 2 Amostragem e Interpolação no Domínio do Tempo httpwwwmaxwellvracpucriobr2227322273HTM e 3 Amostragem e Interpolação Aliasing httpwwwmaxwellvracpucriobr2227422274HTM C Classificação Quanto à Linearidade Um sistema pode ser classificado quanto à natureza da relação que impõe entre as variáveis de entrada e de saída A relação entre u e y obedecer ao Princípio da Superposição ou não é o que determina o tipo Os sistemas podem ser Lineares são aqueles cujas relações entradasaída obedecem ao Princípio da Superposição ou seja se regem pelas expressões 3a e 3b Nãolineares são os que não se regem por 3a e 3b Materiais Adicionais Para fixar melhor o conceito de sistemas lineares há um Objeto Educacional em Engenharia Elétrica Linearidade Ele pode ser acessado em httpwwwmaxwellvracpucriobr2054020540HTM Outros dois que apresentam sistemas não lineares mostram também as implementações através de circuitos eletrônicos Eles são o Retificador de Meia Onda Um Sistema Não Linear httpwwwmaxwellvracpucriobr2012520125HTM e o Retificador de Onda Inteira Um Sistema Não Linear httpwwwmaxwellvracpucriobr2017620176HTM Exemplo 1 Um exemplo de sistema nãolinear é aquele cuja relação entradasaída é dada por 0 10 cos xt t yt Ao experimentar verificar as expressões 3a e 3b para esta relação entradasaída constatase que elas não são válidas D Classificação Quanto à Existência de Memória Alguns sistemas são capazes de guardar energiainformação de funcionamentos passados enquanto outros não Esta capacidade de armazenar energiainformação é designada e memória do sistema Quanto à existência ou não de memória os sistemas podem ser Sem memória são aqueles cujas saídas dependem somente dos valores presentes de suas entradas Com memória são aqueles cujas saídas dependem dos valores presentes e passados das suas entradas e dos valores passados da variável dependente Material Adicional Para fixar melhor o conceito sobre a existência ou não de memória há um Objeto Educacional em Engenharia Elétrica Sistemas Com e Sem Memória Ele pode ser acessado em httpwwwmaxwellvracpucriobr2217022170HTM 14 Exemplo 2 Considerando os circuitos elétricos os resistores são elementos sem memória visto que a sua relação entre corrente e tensão é R it vt Examinandose a expressão anterior constatase que se it for 0 imediatamente vt será também Em contrapartida se for considerado um capacitor que é capaz de armazenar energia sob forma de carga elétrica ele é um exemplo de elemento com memória Seu modelo matemático é t dt V it C 1 vt 0 0 A constante V0 representa a tensão que existia no capacitor devido à carga armazenada no instante inicial de observação t 0 E Classificação Quanto à Invariância no Tempo Alguns sistemas apresentam as mesmas respostas quando submetidos às mesmas excitações independentemente dos tempos em que elas sejam aplicadas Outros não possuem esta característica A existência desta característica indica que o modelo e os parâmetros do sistema não se alteram ao longo do tempo Quanto à existência ou não de invariância os sistemas podem ser Invariantes no tempo são aqueles que submetidos a uma mesma entrada os valores das saídas dependem somente da diferença entre o tempo em que foi aplicada a entrada e o tempo em que é feita a observação da saída Variantes no tempo são aqueles que mesmo quando uma mesma entrada é aplicada as saídas serão funções diferentes se os tempos de aplicação forem distintos Os sistema invariantes no tempo são também conhecidos como invariantes ao deslocamento da função de entrada no tempo Estes sistemas possuem todos os coeficientes de seus modelos matemáticos um sistema pode possuir vários modelos como veremos mais adiante dados por constantes Material Adicional Para fixar melhor o conceito sobre a invariância no tempo há um Objeto Educacional em Engenharia Elétrica Invariância no Tempo Ele pode ser acessado em httpwwwmaxwellvracpuc riobr2180521805HTM Exemplo 3 Considerese um sistema cuja relação entradasaída seja representada pela função a seguir y 10 t u Se uma entrada de valor 1 for aplicada em t 1 a saída valerá 10 Se a mesma entrada for aplicada em t 5 a saída será 50 F Classificação Quanto à Causalidade A causalidade é uma propriedade que diz respeito aos tempos das funções de entrada que geram as saídas Os sistemas podem ser causais ou não causais estes último são também chamados de antecipativos 15 Causais são aqueles cujas saídas dependem das funções de entrada nos instantes presente e passados e da própria saída em instantes passados Não causais ou antecipativos são aqueles cuja saída depende de valores futuros da variável de entrada ou da própria saída Quando se considera o mundo real e fenômenos que variam no tempo parece que o conceito de não causal não muito sentido Porém existem inúmeras aplicações em engenharia em que modelamse fenômenos que são funções de variáveis espaciais As imagens que são bidimensionais são um exemplo de variáveis que são funções de coordenadas espaciais Material Adicional Para fixar melhor o conceito sobre a causalidade há um Objeto Educacional em Engenharia Elétrica Causalidade Ele pode ser acessado em httpwwwmaxwellvracpucriobr2202322023HTM Como foi visto as formas de classificar os sistemas consideram atributos diferentes assim quando se deseja caracterizar um sistema é necessário que haja uma definição para cada uma das categorias de classificação V Sinais Especiais Algumas funções do tempo tanto contínuo quanto discreto são muito usadas e importantes no estudo de sistemas Cada uma delas é apresentada a seguir sendo que a função a tempo contínuo e a função a tempo discreto serão apresentadas em conjunto Observação No contexto destas notas de aula serão usados R para designar um ponto ou uma diferença de tempos no tempo contínuo Z para designar um ponto ou uma diferença de tempos no tempo discreto Esta observação é importante porque deslocamentos de sinais no tempo deverão atender às especificidades da variável tempo em questão Quando for no tempo contínuo qualquer número real poderá ser usado Para o tempo discreto deverá sempre ser um inteiro visto que o tempo é um contador A Função Impulso Unitário A função impulso unitário é muito importante no estudo de sinais sistemas circuitos elétricos sistemas de controle comunicações e outras áreas afins Ela também serve de base para definir outras funções sendo esta a razão pela qual é a primeira a ser apresentada 1 Impulso Unitário no Tempo Contínuo A função impulso unitário no tempo contínuo aplicada na origem é definida como 1 dt t 0 t 0 t 0 t 8 A função impulso unitário no tempo contínuo aplicada fora da origem é definida como 16 1 dt t t t 0 t 9 Observase que em ambos os casos a função tem largura nula amplitude infinita e área unitária Caso fosse desejado um impulso de área não unitária a função impulso unitário correspondente na origem ou fora dela deveria ser multiplicada pelo valor da constante desejada As figuras 8 e 9 a seguir representam de forma gráfica os impulsos unitários no tempo contínuo aplicados na origem e fora dela A seta aponta para o alto indicando a amplitude infinita e o número entre parênteses é o valor da área Figura 8 Impulso unitário no tempo contínuo aplicado na origem Figura 9 Impulso unitário no tempo contínuo aplicado fora da origem A função impulso unitário no tempo contínuo é também conhecida como Delta de Dirac já que quem a introduziu foi o físico Paul Dirac Conheça um pouco sobre Paul Adrien Maurice Dirac 19021984 ganhador do Prêmio Nobel de Física de 1933 junto com Erwin Schrödinger visitando o site do Prêmio Nobel em httpwwwnobelprizeorgnobelprizesphysicslaureates1933diracbiohtml 2 Impulso Unitário no Tempo Discreto A função impulso unitário no tempo discreto aplicada na origem é definida como 0 k 0 0 1 k k 10 A função impulso unitário no tempo discreto aplicada no tempo k fora da origem é definida como 1 t t 1 t t 17 k 0 1 k k 11 As figuras 10 e 11 a seguir representam de forma gráfica os impulsos unitários no tempo discreto aplicados na origem e fora dela Figura 10 Impulso unitário no tempo discreto aplicado na origem Figura 11 Impulso unitário no tempo discreto aplicado fora da origem Como no caso do tempo contínuo se impulsos de amplitudes diferentes da unidade forem necessários multiplicase o correspondente impulso unitário pela constante desejada A função impulso unitário no tempo discreto é também conhecida como Delta de Kronecker cujo nome foi dado em homenagem ao matemático alemão Leopold Kronecker Conheça um pouco sobre Leopold Kronecker 18231891 visitando o site da School of Mathematics and Statistics da University of St Andrews na Escócia em httpwwwhistorymcsst andrewsacukBiographiesKroneckerhtml B Função Degrau Unitário A função degrau unitário é muito importante no estudo das mesmas áreas mencionadas anteriormente A sua versão no tempo contínuo é usada para modelar matematicamente baterias no estudo de circuitos elétricos e eletrônicos 1 Degrau Unitário no Tempo Contínuo A função degrau unitário no tempo contínuo aplicada na origem é definida como 0 t 0 0 1 t u 1t 12 1 k k 1 2 3 4 0 1 k k1 1 2 3 0 18 A função degrau unitário no tempo contínuo aplicada no tempo t fora da origem é definida como t 0 1 t u 1t 13 As figuras 12 e 13 a seguir representam de forma gráfica os degraus unitários no tempo contínuo aplicados na origem e fora dela Figura 12 Degrau unitário no tempo contínuo aplicado na origem Figura 13 Degrau unitário no tempo contínuo aplicado for a da origem Como com a função impulso caso degraus de amplitudes diferentes da unidade sejam necessários multiplicamse os degraus unitários pelas constantes desejadas 2 Degrau Unitário no Tempo Discreto A função degrau unitário no tempo discreto aplicada na origem é definida como 0 k 0 0 1 k u 1k 14 A função degrau unitário no tempo contínuo aplicada no tempo t fora da origem é definida como k 0 1 k u 1k 15 As figuras 14 e 15 a seguir representam de forma gráfica os degraus unitários no tempo discreto aplicados na origem e fora dela 1 t u1t 1 t u1t 19 Figura 14 Degrau unitário no tempo discreto aplicado na origem Figura 15 Degrau unitário no tempo discreto aplicado fora da origem Como no caso a tempo contínuo caso degraus de amplitudes diferentes da unidade sejam necessários multiplicamse os degraus unitários pelas constantes desejadas C Relações Entre as Funções Impulso Unitário e Degrau Unitário As funções impulso unitário e degrau unitário são relacionadas podendo a segunda ser obtida da primeira e viceversa Como no caso das funções as relações são apresentadas separadamente para os tempos contínuo e discreto As relações nos tempos contínuo e discreto são análogas porém não são iguais Quando nas do tempo contínuo existirem integrais nas do tempo discreto existirão somatórios e viceversa Quando nas do tempo contínuo existirem derivadas nas do tempo discreto existirão diferenças e viceversa 1 Relações no Tempo Contínuo As funções impulso unitário e degrau unitário ambas no tempo contínuo se relacionam através das expressões que seguem t 1 d t u 16 dt t d u t 1 17 2 Relações no Tempo Discreto As funções impulso unitário e degrau unitário ambas no tempo discreto se relacionam através das expressões que seguem k r 1 r k u 18 1 k u1k 1 2 3 4 0 1 k u1k 1 2 0 20 1 k u k u k 1 1 19 D Função Rampa Unitária A função rampa unitária é também relacionada às duas anteriores e é bastante usada em sistemas de controle 1 Função Rampa Unitária no Tempo Contínuo A função rampa unitária no tempo contínuo aplicada na origem é definida como 0 t 0 0 t t u 2t 20 A função rampa unitária no tempo contínuo aplicada no tempo t fora da origem é definida como t 0 t t u 2t 21 As figuras 16 e 17 a seguir representam de forma gráfica as rampas unitárias no tempo contínuo aplicadas na origem e fora dela Caso rampas de taxas de crescimento diferentes da unidade sejam necessárias multiplicamse as rampas unitárias pelas constantes desejadas Figura 16 Rampa unitária no tempo contínuo aplicada na origem Figura 17 Rampa unitária no tempo contínuo aplicada fora da origem 2 Função Rampa Unitária no Tempo Discreto A função rampa unitária no tempo discreto aplicada na origem é definida como k 0 0 k k 0 u 2k 22 A função rampa unitária no tempo discreto aplicada no tempo k fora da origem é definida como t u2t t u2t 21 k 0 k k u 2k 23 As figuras 18 e 19 a seguir representam de forma gráfica as rampas unitárias no tempo discreto aplicadas na origem e fora dela Caso rampas de taxas de crescimento diferentes da unidade sejam necessárias multiplicamse as rampas unitárias pelas constantes desejadas Figura 18 Rampa unitária no tempo discreto aplicada na origem Figura 19 Rampa unitária no tempo discreto aplicada fora da origem E Relações Entre as Funções Degrau Unitário e Rampa Unitária Assim como as funções degrau e impulso são relacionadas o mesmo ocorre com as funções rampa e degrau Isto faz com que existam relações entre as funções impulso e rampa e que se estabeleça uma regra de cadeia para obter as funções umas em função das outras As relações nos tempos contínuo e discreto são análogas porém não são iguais Isto ocorre pelas mesmas razões anteriormente expostas 1 Relações no Tempo Contínuo As funções rampa e degrau unitárias ambas no tempo contínuo são relacionadas através das expressões t 1 2 d u t u 24 dt t d u t u 2 1 25 2 Relações no Tempo Discreto As funções rampa e degrau unitárias ambas no tempo discreto são relacionadas através das expressões k u2k 1 2 3 4 0 1 k u2k 1 2 0 22 k r 1 2 r 1 u k u 26 1 k u k u k 1 u 2 2 1 27 F Função Exponencial Real A função exponencial é dita real por ser real o seu expoente Mais adiante serão estudadas expoenciais imaginárias e complexas por serem assim os seus expoentes 1 Função Exponencial Real no Tempo Contínuo A função exponencial no tempo contínuo aplicada na origem é definida como 0 t 0 0 t e ft at 28 A função exponencial no tempo contínuo aplicada no tempo t fora da origem é definida como t 0 t e ft at 29 A função exponencial depende do valor do parâmetro a um número real sendo possíveis três situações a 0 Quando esta situação ocorrer a exponencial será descrescente e sua taxa de decrescimento dependerá da magnitude de a Esta função é representada na forma gráfica pela figura 20 para o caso de aplicação na origem Figura 20 Exponencial decrescente no tempo contínuo aplicada na origem Quando é considerada a função aplicada fora da origem sendo 0 então a curva será deslocada 0 unidades de tempo à direita com respeito à localização na figura 20 O valor da função até o ponto 0 será nulo A função tenderá a zero com o tempo crescente ou seja 0 lim e lim ft at t t 30 A função deslocada se comportará da mesma maneira quando o tempo tender a infinito a 0 Quando esta situação ocorrer como o expoente será identicamente nulo a exponencial degenerará para um degrau unitário aplicado na origem no primeiro caso ou deslocado no segundo Assim as figuras 12 e 13 representarão respectivamente o primeiro e o segundo casos 1 t ft 23 a 0 Quando esta situação ocorrer a exponencial será crescente e sua taxa de crescimento dependerá da magnitude de a Esta função é representada na forma gráfica pela figura 21 para o caso de aplicação na origem Figura 21 Exponencial crescente no tempo contínuo aplicada na origem Quando é considerada a função aplicada fora da origem sendo 0 então a curva será deslocada 0 unidades de tempo à direita com respeito à localização na figura 21 O valor da função até o ponto 0 será nulo A função tenderá a infinito com o tempo crescente ou seja at t t lim e lim ft 31 Este comportamento é observado nos dois casos origem e fora dela 2 Função Exponencial Real no Tempo Discreto Esta função recebe também o nome de função geométrica A função exponencial no tempo discreto aplicada na origem é definida como k 0 0 0 k a fk k 32 A função exponencial ou geométrica no tempo discreto aplicada no tempo k fora da origem é definida como k 0 k a fk k 33 A função fk é a seqüência a a 1 a a fk 4 3 2 34 Examinandose a expressão 34 percebese que a função é uma progressão geométrica que tem o primeiro termo igual à unidade e a razão dada por a A função geométrica depende do valor do parâmetro a um número real No caso desta função o sinal e a magnitude do parâmetro a tornarão seqüências distintas sendo possíveis seis situações 1 a 0 Quando ocorrer esta situação a cada nova multiplicação por a como ele é um número menor do que a unidade o resultado será menor em magnitude Assim no limite ocorrerá 1 t ft 24 0 lim a fk lim k k k 35 Como o parâmetro a é positivo a seqüência varia de 1 a 0 sem troca de sinal A figura 22 representa fk Figura 22 Exponencial no tempo discreto aplicada na origem com 0 a 1 0 a 1 Quando ocorrer esta situação a cada nova multiplicação por a como ele é um número com módulo menor do que a unidade o resultado terá um módulo menor Mas haverá alternância de sinal visto que o multiplicador é negativo Quanto ao módulo no limite ocorrerá 0 lim a fk lim k k k 36 Como o parâmetro a é negativo a curva tem sua magnitude variando de 1 a 0 com a seqüência apresentando alternância de sinal A figura 23 representa fk Figura 23 Exponencial no tempo discreto aplicada na origem com 1 a 0 Observase que no que diz respeito à magnitude dos termos das duas seqüências o comportamento é o mesmo ambas apresentam amostras de magnitudes decrescentes O que diferencia uma da outra é que na primeira não há alternância de sinal e na segunda há a 1 Quando ocorrer esta situação a seqüência será 1 1 a fk k k 37 k fk 0 1 2 3 4 1 k fk 0 1 25 A expressão 37 representa um degrau unitário aplicado na origem que pode ser visualizado na figura 14 No caso de ser considerada a seqüência deslocada o degrau resultante será o da figura 15 1 a Quando ocorrer esta situação a seqüência será 1 k ímpar 1 k par 1 a fk k k 38 A expressão 38 representa uma seqüência com magnitude constante de valor unitário porém com alternância de sinal Ela é representada pela figura 24 Figura 24 Exponencial no tempo discreto aplicada na origem com a 1 Considerando o comoprtamento da magnitude no limite podese escrever 1 lim 1 lim a fk lim k k k k k 39 Ressaltase que nos casos de a 1 e 1 a as magnitudes das amostras da seqüência são constantes com o tempo crescente o que diferencia as duas seqüências é o sinal a 1 Quando ocorrer esta situação a cada nova multiplicação por a como ele é um número maior do que a unidade o resultado será maior Assim no limite ocorrerá k k k lim a lim fk 40 Como o parâmetro a é positivo a seqüência varia de 1 a sem troca de sinal A figura 25 representa fk Figura 25 Exponencial no tempo discreto aplicada na origem com a 1 1 k fk 0 1 k fk 0 1 2 3 4 1 26 a 1 Quando ocorrer esta situação a cada nova multiplicação por a como ele é um número com módulo maior do que a unidade o resultado terá um módulo maior Mas haverá alternância de sinal visto que o multiplicador é negativo Quanto ao módulo no limite ocorrerá k k k lim a lim fk 41 Como o parâmetro a é negativo a seqüência varia de 1 a alternadamente e com alternância de sinal A figura 26 representa fk Figura 26 Exponencial no tempo discreto aplicada na origem com a 1 G Função Pulso Unitário A função pulso unitário é muito usada em engenharia Por esta razão é uma das apresentada junto ao impulso ao degrau à rampa e à exponencial 1 Função Pulso Unitário no Tempo Contínuo A função pulso unitário de duraçãolargura 2 Ta no tempo contínuo na origem é definida como fora do intervalo 0 1 t T pt a 42 A função pulso unitário de duraçãolargura 2 Ta no tempo contínuo deslocada de unidades de tempo fora da origem é definida como fora do intervalo 0 T t 1 T pt a a 43 As figuras 27 e 28 a seguir representam de forma gráfica os pulsos unitários no tempo contínuo aplicadas na origem e fora dela k fk 0 1 27 Figura 27 Pulso unitário de largura 2 Ta no tempo contínuo na origem Figura 28 Pulso unitário de largura 2 Ta no tempo contínuo fora da origem Caso pulsos de amplitudes diferentes da unidade sejam necessários multiplicamse as pulsos unitários pelas constantes desejadas 2 Função Pulso Unitário no Tempo Discreto A função pulso unitário no tempo discreto de duraçãolargura 1 2 N na origem é definida como fora do intervalo 0 1 k N pk 44 A função pulso unitário no tempo discreto de duraçãolargura 1 2 fora da origem é definida como fora do intervalo 0 N k 1 N pk 45 As figuras 29 e 30 a seguir representam de forma gráfica os pulsos unitários no tempo contínuo aplicadas na origem e fora dela Figura 29 Pulso unitário de largura 2N1 no tempo discreto na origem 1 pk N 0 N k 28 Figura 30 Pulso unitário de largura 2N1 no tempo discreto fora da origem Caso pulsos de amplitudes diferentes da unidade sejam necessários multiplicamse as pulsos unitários pelas constantes desejadas VI Outras Maneiras de Classificar Sinais Existem outras maneiras de classificar sinais além da vista inicialmente no tempo contínuo e no tempo discreto A seguir são apresentadas mais algumas sem que com elas se esgotem as possibilidades de classificação Outras serão vistas mais adiante nas notas e na disciplina A Funções Periódicas e Aperiódicas O que é apresentado nesta seção é uma pequena introdução às funções periódicas Elas serão abordadas em detalhe mais adiante 1 Função Periódica no Tempo Contínuo Uma função ft no tempo contínuo é dita periódica quando ft ftnT 42 Na expressão 42 n Z é um contador T R é o período da função ft Assim percebese que a função se repete a cada T instantes São exemplos de funções periódicas as sinusóides a onda quadrada a onda dente de serra etc todas no tempo contínuo como as apresentadas analiticamente mais adiante 2 Função Periódica no Tempo Discreto Uma função fk no tempo discreto é dita periódica quando fk fknN 43 Na expressão 43 n Z é um contador N Z é o período da função fk Assim percebese que a função se repete a cada N amostras São exemplos de funções periódicas as sinusóides a onda quadrada a onda dente de serra etc todas no tempo discreto como as apresentadas analítica ou graficamente a seguir 1 pk 0 N N k 29 Exemplo 4 Algumas Funções Periódicas A seguir são apresentados 6 exemplos de funções periódicas O 4 primeiros estão na forma analítica e os 2 últimos na forma gráfica Função seno no tempo contínuo ft 10 sen 220 t t Função onda quadrada com valor médio zero no tempo contínuo 2T n t 1T A n 1T n t A nT ft Função onda quadrada com valor médio diferente de zero no tempo contínuo 2T n t 1T n 0 1T n t A nT ft Função cosseno no tempo discreto ft 10 cos 025 k k Função onda quadrada com valor médio zero no tempo discreto Função onda dente de serra no tempo discreto Funções que não apresentarem as características definidas em 42 e 43 para os tempos contínuo e discreto respectivamente são chamadas de funções ou sinais aperiódicos AS funções impulso degrau rampa e exponencial apresentadas anteriormente são aperiódicas B Funções de Duração Finita e de Duração Infinita As funções periódicas assim como o degrau a rampa e as exponencias possuem duração infinita Existem porém funções de duração finita A k fk A k fk A 30 1 Função de Duração Finita no Tempo Contínuo Uma função de duração finita no tempo contínuo é definida como fora do intervalo 0 t não nula ft 2 1 44 Funções que não satifizerem a expressão 44 são de duração infinita 2 Função de Duração Finita no Tempo Discreto Uma função de duração finita no tempo discreto é definida como fora do intervalo 0 k não nula fk 2 1 45 Funções que não satifizerem a expressão 45 são de duração infinita A definição das funções ou sinais ou seqüências no tempo discreto de durações finita e infinita é muito importante Filtros digitais que são estudados em processamento digital de sinais possuem uma de suas classificações baseada na duração de sua resposta impulsional resposta impulsional é um tópico abordado mais adiante nestas notas de aulas pois faz parte da disciplina Sinais e Sistemas Uma função de duração finita muito importante é a função pulso que já foi apresentada Existem outras classificações algumas delas serão introduzidas mais adiante como a de funções pares e ímpares que serão vistas quando forem estuadas funções periódicas VII Energia e Potência nos Sinais No início do capítulo foram apresentados sinais que representam grandezas físicas que são relacionados à potência e à energia São exemplos o gráfico de tensão e corrente em um circuito elétrico figura 1 e o espectro de um sinal sonoro figura 3 É muito comum que engenheiros trabalhem com sinais cujas energia e potência sejam importantes A Sinais no Tempo Contínuo Considerese um circuito resistivo no qual o resistor é excitado por uma fonte de tensão como representado na figura 31 Figura 31 Circuito resitivo com excitação de fonte de tensão A relação entre a corrente e a tensão no circuito é R i t vt 46 31 A potência dissipada no resistor é R vt R i t vt i t t p 2 2 47 Observase que a potência é calculada com o quadrado de cada uma das funções corrente ou tensão A potência é uma grandeza instantânea tal como a corrente e a tensão Associada à potência existe a energia que é a potência acumulada em um intervalo de tempo A potência dissipada entre 2 instantes de tempo 1 t e 2 t é dada por t2 t1 2 t2 t1 2 t2 t1 2 t2 t1 2 t2 t1 12 dt t v R 1 dt i t R dt R vt dt R i t pt dt E 48 O cálculo da energia tal como o da potência é função de uma das variáveis ao quadrado Por analogia ao caso resistivo definese a energia em qualquer sinal analógico xt entre 2 instantes de tempo 1 t e 2 t como sendo t2 t1 2 12 dt xt E 49 O conceito foi introduzido com o paralelo à situação do circuito resistivo Mas ele pode ser referido à Norma L2 Resslatase que norma é uma maneira de avaliar o tamanho de uma entidade matemática existindo vários tipos de normas A norma L2 do sinal xt entre 2 instantes de tempo 1 t e 2 t é t2 2 2 2 t1 xt xt dt L 50 Assim podese escrever a relação entre energia e a Norma L2 do sinal 2 2 12 xt E 51 Muitas vezes tornase necessário avaliar a energia do sinal para todo o tempo ou seja de a Neste caso a expressão 49 se transforma em 2 T T 2 T dt xt dt xt lim E 52 Como foi visto a potência é uma grandeza instantânea Os sinais em geral variam com o tempo Desta forma a potência é uma variável também Uma medida interessante para associar potência a um sinal é o conceito de portência média Considerese o sinal no tempo contínuo de 52 expressão que permite calcular a energia total contida no sinal Para calcular a potência média deste sinal dividese a energia pelo tempo utilizado para calculála na expressão 52 T T 2 T dt xt 2T 1 lim P 53 B Sinais no Tempo Discreto Para os sinais no tempo discreto é usada a mesma definição 32 2 k k1 k 2 12 xk E 54 A energia como no caso anterior pode ser expressa em função da norma L2 2 2 12 xk E 55 Como no caso dos sinais no tempo contínuo muitas vezes tornase necessário avaliar a energia do sinal para todo o tempo ou seja de a Neste caso a expressão 54 se transforma em k 2 K K k 2 K xk xk lim E 56 Como a potência é uma grandeza instantânea no caso dos sinais no tempo discreto ela é dada por pk xk 2 57 A potência média é calculada como K K k 2 K xk 1 2K 1 lim P 58 Material Adicional Para fixar melhor a energia nos sinais há um Objeto Educacional em Engenharia Elétrica Energia nos Sinais Ele pode ser acessado em httpwwwmaxwellvracpucriobr2188221882HTM VIII Operações com Sinais Os sinais em foco são funções de uma variável tempo t no caso do tempo contínuo e k no do discreto Esta seção aborda operações que são feitas com a variável tempo e que podem mudar características do sinal A seguir são apresentadas algumas mais comuns A Deslocamento no Tempo Esta operação será apresentada para os tempos contínuo e discreto separadamente mas os gráficos serão para apenas uma delas visto que a operação é conceitualmente igual Ressaltase que os deslocamentos devem respeitar as características da variável tempo em consideração como foi observado anteriormente 1 Função no Tempo Contínuo Sejam duas funções no tempo contínuo xt e yt sendo a primeira a que será deslocada para gerar a segunda 0 t 0 0 qualquer t xt 59 Seja R o tempo que será usado para o deslocamento 33 Deslocamento à direita t 0 qualquer t xt yt 60 Observese que neste caso os valores de 0 a da nova função são todos nulos visto que a função original ser nula antes do 0 Os pares de figuras 8 9 12 13 16 17 e 27 28 representam funções e suas versões deslocadas Deslocamento à esquerda sem perda de informação t 0 qualquer t xt yt 61 Observese que neste caso os valores de a 0 da nova função deixam de ser nulos e passam a ser quaisquer pois com o deslocamento à esquerda e sendo a nova função definida a partir de eles são os valores que antes existiam de 0 a Por esta razão é dito que não houve perda de informação A figura 32 mostra um exemplo deste deslocamento com uma exponencial decrescente sendo a função xt igual à da figura 20 Figura 32 Função deslocada à esquerda unidades de tempo sem perda de informação Deslocamento à esquerda com perda de informação 0 t 0 0 qualquer t xt yt 62 Observese que neste caso os valores à esquerda do zero são nulos O trecho da função original que ia de 0 a foi eliminado quando a função foi deslocada esta é a razão pela qual houve perda de informação A figura 33 mostra um exemplo deste deslocamento com uma exponencial decrescente sendo a função xt igual à da figura 20 Observese que antes do 0 a função é nula e o seu valor em zero não mais é 1 como no caso da figura 20 ele tem o mesmo valor da interseção com o eixo vertical da figura 32 1 t yt ea 34 Figura 33 Função deslocada à esquerda unidades de tempo com perda de informação 2 Função no Tempo Discreto Sejam duas funções no tempo discreto xk e yk sendo a primeira a que será deslocada para gerar a segunda 0 k 0 0 qualquer k xk 63 Seja Z o tempo que será usado para o deslocamento Deslocamento à direita k 0 qualquer k xk yk 64 Observese que neste caso os valores de 0 a da nova função são todos nulos visto que a função original ser nula antes do 0 Os pares de figuras 10 11 14 15 18 19 e 29 30 representam funções e suas versões deslocadas Deslocamento à esquerda sem perda de informação k 0 qualquer k xk yk 65 Observese que neste caso os valores de a 0 da nova função deixam de ser nulos e passam a ser quaisquer pois com o deslocamento à esquerda e sendo a nova função definida a partir de eles são os valores que antes existiam de 0 a Por esta razão é dito que não houve perda de informação Deslocamento à esquerda com perda de informação 0 k 0 0 qualquer k xk yk 66 Observese que neste caso os valores à esquerda do zero são nulos O trecho da função original que ia de 0 a foi eliminado quando a função foi deslocada esta é a razão pela qual houve perda de informação B Escalonamento no Tempo Esta operação será apresentada para os tempos contínuo e discreto separadamente Ressaltase que ela é menos intuitiva que a anterior O escalonamento ocorre quando se multiplica o tempo por uma constante mudando a sua escala ea t yt 35 1 Função no Tempo Contínuo O escalonamento no tempo de sinais no tempo contínuo tem as seguintes características 1 se a constante for maior do 1 é feita a compressão do sinal 2 se a constante for maior do que zero e menos do que 1 é feita a expansão do sinal 3 se a constante for 1 é feita a reversão no tempo do sinal Compressão Sejam duas funções no tempo contínuo xt e yt sendo a primeira a que terá o tempo comprimido para gerar a segunda 1 e x t yt R 67 Seja xt a função representada graficamente na figura 34 Figura 34 Função xt A função escalonada yt é dada pela figura 35 Figura 35 Função yt obtida pela compressão de xt Expansão no tempo Sejam duas funções no tempo contínuo xt e yt sendo a primeira a que terá o tempo expandido para gerar a segunda 1 e x t yt R 68 Seja xt a função representada graficamente na figura 34 A sua forma expandida é mostrada na figura 36 Figura 36 Função yt obtida pela expansão de xt 1 t 1 xt A 1 1 t 1 1 yt A 1 1 t 1 1 yt A 36 Reversão no tempo Sejam duas funções no tempo contínuo xt e yt sendo a primeira a que terá o tempo revertido para gerar a segunda 1 e x t yt R 69a x t yt 69b Seja xt a função representada graficamente na figura 37 A sua forma com o tempo revertido é mostrada na figura 38 Figura 37 Função xt Figura 38 Função yt obtida pela reversão do tempo em xt 2 Função no Tempo Discreto O escalonamento no tempo de sinais no tempo discreto se diferencia significativamente do que ocorre no tempo contínuo para os casos de compressão e de expansão Os fatores devem ser sempre inteiros devido à seqüência de amostras ser controlada por um contador Compressão no tempo Sejam duas funções no tempo discreto xk e yk sendo a primeira a que terá o tempo comprimido para gerar a segunda 1 e x k yk Z 70 Observese que o produto entre parênteses na função original deve ser um inteiro pois ela não existe para pontos em que seu argumento não seja inteiro Quando o fator de compressão for 2 amostras alternadas são descartadas se for 3 descartamse 2 a cada 3 e assim por diante Expansão no tempo Sejam duas funções no tempo discreto xk e yk sendo a primeira a que terá o tempo expandido para gerar a segunda 1 t xt 1 t yt 37 caso contrário 0 e k inteiro x k 0 yk 1 71 O fator de expansão determinará quantos zeros serão colocados entre as amostras da função original Reversão no tempo Sejam duas funções no tempo discreto xk e yk sendo a primeira a que terá o tempo revertido para gerar a segunda 1 e x k yk Z 72a x k yk 72b Este caso não apresenta qualquer diferença com respeito ao tempo contínuo Material Adicional Para fixar melhor as operações com sinais há um Objeto Educacional em Engenharia Elétrica Sinais e suas Operações Ele pode ser acessado em httpwwwmaxwellvracpucriobr2185721857HTM IX Considerações Finais Este capítulo inicial é a introdução para muitos dos tópicos que seguem Alguns assuntos conforme mencionado não foram apresentados em toda a sua extensão e eles serão abordados novamente mais adiante X Problemas Os livros e notas de aula recomendados nas referências possuem inúmeros problemas que servem para o estudo Além destes há os exercícios do livro de Sinais e Sistemas da coleção Livros Interativos de Engenharia Elétrica httpwwwmaxwellvracpucriobrlivrosLIVROSINAISindexSinaishtml Neste livro o primeiro capítulo trata de Conceitos Básicos e oferece 30 exercícios que podem ser resolvidos e corrigidos online com gabarito Cada exercício possui no mínimo 3 versões de funções eou parâmetros que são sorteadas a cada vez que o exercício é selecionado Há ainda duas outras opções de exercícios para avaliação da compreensão e domínio dos conceitos A primeira é o conteúdo intitulado Estudos Orientados em Sinais e Sistemas httpwwwmaxwellvracpucriobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq221991 e o segundo é o de nome Cadernos de Exercícios em Sinais e Sistemas httpwwwmaxwellvracpuc riobrBuscaetdsphpstrSecaoresultadonrSeq194751 Ambos fazem parte de série Coleção Didática em Engenharia Elétrica XI Referências Os livros que seguem são textos clássicos para a área de Sinais Sistemas Eles são impressos em papel e disponíveis à venda 01 Alan V Oppenheim and Alan S Willsky with Hamid Nawab Signals Systems 2ª edição PrenticeHall USA 1997 38 02 Simon Haykin and Barry Van Veen Signals Systems Wiley USA 1999 O livro que segue é editado e disponível online em Open Access Este é um livro em acesso aberto e gratuito elaborado por uma Equipe da Rice University O editor é o Prof Baraniuk O livro está em acesso aberto através da Licença Creative Commons atribuição 30 e faz parte de um grande projeto chamado Connexions httpcnxorgcontentcol10064latest 03 Richard Baraniuk Collection Editor Signals and Systems httpcnxorgcontentcol10064114pdf Connexions Rice University capturado em 2013 As notas de aula que seguem estão disponíveís online em Open Access O autor é o Prof Wilson J Hugh da Johns Hopkins University 04 Wilson J Hugh Notes for Signals and Systems Version 1 httpwwwecejhueducoopercourses214signalsandsystemsnotespdf Johns Hopkins University capturado em 2013 39 Capítulo 2 EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS I Introdução O propósito deste capítulo é apresentar as EDF Equações a Diferenças Finitas utilizadas na modelagem dos sistemas a tempo discreto no domínio do tempo Estas equações são as correspondentes às equações diferenciais utilizadas para representar sistemas a tempo contínuo As equações a diferenças finitas descrevem a evolução de variáveis no tempo discreto que se relacionam entre si umas dependendo das outras nos instantes presentes passados e futuros bem como dependendo da variável tempo k Z Observase que os sistemas no tempo discreto são amplamente utilizados em processamento digital de sinais controle e robótica e telecomunicações entre outras áreas II Definições Preliminares Consideremse duas seqüências no tempo discreto k Z A seqüência uk é a seqüência variável independente enquanto a seqüência yk é a seqüência variável dependente função de uk e do tempo k do qual esta última também é função Tanto uk como yk são seqüências de números reais ordenadas segundo o tempo discreto k A restrição de os elementos serem reais advém do fato de estarem sob consideração modelos de sistemas do mundo real físicos econômicos etc cujas variávies são modeladas por EDFs Ressaltese que nos sistemas físicos as variávies que evoluem no tempo são sempre reais A figura 1 representa a relação entre as seqüências Ela é modelada matematicamente pela EDF A EDF pode ser o modelo matemático de um sistema a tempo discreto no qual uk é a seqüência de entrada e yk a de saída Figura 1 Relação entre as seqüências variável dependente e variável independente As figuras 2 e 3 apresentam duas possibilidades de seqüências uma para a entrada e outra para a saída servindo somente como ilustração Figura 2 Exemplo de seqüência de entrada ou variável independente uk EDF uk yk k uk 40 Figura 3 Exemplo de seqüência de saída ou variável dependente yk Como a seqüência yk é função da seqüência uk e ambas as seqüências são funções do tempo discreto k é necessário que se estabeleça sob forma matemática a relação entre as mesmas Como também as amostras da seqüência yk podem depender umas das outras a representação de uma amostra genérica de yk deve prever relações com outras amostras dela mesma Supõese sempre que as relações entre as seqüências são causais dado que estão em consideração sistemas causais desta forma uma amostra da variável dependente só é função de outras amostras da variável dependente em instantes passados e da variável independente nos instantes passados e presente Definição 1 Equação a Diferenças Finitas Equação a diferenças finitas é a representação de uma amostra genérica da seqüência dependente yk em função das amostras passadas da variável dependente e das amostras passadas e presente da seqüência independente uk Ela é representada por k m k 2 uk 1 uk uk n uk 2 yk 1 yk f yk yk 1 onde z z R n m k uk yk e existem as condições iniciais n 2 y 1 y y Na expressão 1 f pode conter todos os tipos de relações entre as variáveis Podem existir relações estocásticas ou determinísticas lineares ou não lineares e variantes ou invariantes no tempo Podem ainda existir diferentes números de amostras no passado tanto de yk quanto de uk das quais yk dependa Se estivessem em consideração relações não causais entre as seqüências a amostra genérica yk poderia depender também de amostras futuras de yk e de uk Os exemplos apresentados após a próxima definição ilustram alguns tipos de relações que definem a amostra genérica yk Definição 2 Ordem de uma Equação a Diferenças Finitas A ordem de uma equação a diferenças finitas é a diferença entre o mais alto e o mais baixo dos argumentos da variável dependente que existem na equação Exemplo 1 Algumas Equações a Diferenças Finitas e suas Características A seguir são apresentados alguns exemplos de equações a diferenças finitas e suas características são comentadas As soluções por recorrência são também apresentadas EDF não linear e invariante no tempo b uk k 0 a yk 1 yk 3 a b R k yk 41 y 1 Esta EDF é não linear porque a variável dependente no instante k depende do cubo de seu valor no instante imediatamente anterior o que é uma relação não linear Ela é invariante no tempo porque a expressão que determina yk em função de yk 1 e uk é fixa pois independentemente do tempo sob consideração o termo em cubo da amostra anterior contribui com peso dado pelo coeficiente a que não é função do tempo e o termo da amostra corrente da entrada com peso b que também é constante Suponhase que esta equação tem como entrada o degrau unitário na origem dado por k 0 0 1 k 0 k u uk 1 A equação pode então ser resolvida por recorrência k 0 b a y0 3 k 1 b b a a y1 3 3 k 2 b b b a aa y2 3 3 3 Suponhase agora que esta equação tem como entrada o impulso unitário na origem dado por k 0 0 1 k 0 k uk A equação pode então ser resolvida por recorrência k 0 b a y0 3 k 1 3 3 b a a y1 k 2 3 3 3 b a aa y2 Nos dois casos tratados não se chegou a soluções analíticas sob forma compacta mas foi possível obter resultados numéricos Se a e tivessem sido atribuídos valores numéricos cada linha calculada teria como resultado um número EDF linear e variante no tempo uk k 0 cos05 kyk 1 yk y 1 Esta EDF é linear porque a variável dependente no instante k está expressa como uma combinação linear de seu valor no instante imediatamente anterior e da amostra da seqüência de entrada no instante k Ela é variante no tempo porque um dos coeficientes da expressão que determina yk em função de yk1 e uk é uma função do tempo O coeficiente de 1 yk varia com um cosseno que é função de k Suponhase que esta equação tem como entrada a rampa unitária na origem dada por k 0 0 k k 0 k u uk 2 A equação pode então ser resolvida por recorrência k 0 y0 k 1 y1 1 42 k 2 1 2 1 y2 k 3 y3 3 Como no caso anterior não se chega a uma solução analítica mas a recorrência gera uma seqüência de números que é a solução para a dada entrada Ainda observase que pela natureza da equação a diferenças finitas o valor da condição inicial é irrelevante pois há somente uma memória e o coeficiente de y0 é nulo EDF não linear e variante no tempo sen05 k uk k 0 cos05 k cos yk 1 yk y 1 Esta EDF é não linear porque a variável dependente no instante k está expressa como uma combinação não linear de seu valor no instante imediatamente anterior é o cosseno deste valor e da amostra da seqüência de entrada no instante k Ela é variante no tempo porque os coeficientes da expressão que determina yk em função de 1 yk e uk são funções do tempo Suponhase que esta equação tem como entrada a função k 0 0 k 0 1 k u k A equação pode então ser resolvida por recorrência k 0 cos y0 k 1 1 y1 k 2 cos 1 y2 k 3 y3 1 Ainda que a equação seja de natureza distinta da do caso anterior valem as mesmas observações EDF linear e invariante no tempo Considerese a equação a diferenças finitas linear e invariante no tempo sem uma entrada e cuja amostra genérica dependende somente de um instante anterior Ela é representada por a yk 1 k 0 yk Suponhase que a equação será resolvida por recorrência como no caso do exemplo anterior k 0 y0 a y1 k 1 a y1 a y0 y1 2 k 2 a y1 a y0 a y1 y2 3 2 k 3 a y1 a y1 a y0 a y2 y3 4 3 2 Observese que em cada equação existem duas variáveis desconhecidas Por exemplo na primeira equação para calcular y0 é necessário y1 na segunda para calcular y1 devese conhecer ou y1 ou y0 na terceira para calcular y2 devese ter ou y1 ou y0 ou y1 e assim por diante Se as equações forem analisadas em conjunto chegase à mesma constatação a cada nova equação que é acrescentada uma nova amostra desconhecida é incluída também A maneira como a equação foi resolvida não garante que exista uma única solução ainda que o algoritmo seja passível de ser processado para qualquer valor de y1 Porém a cada valor de y1 existe uma solução distinta para a equação 43 Para que exista uma única solução y1 deve ser especificada EDF não linear e invariante no tempo Seja a equação a diferenças finitas não linear 0 2 yk 1 yk yk 2 2 2 Ela é não linear porque as 3 amostras estão combinadas através de seus quadrados Considerese que a solução deve ser uma seqüência de amostras reais pois como foi mencionado anteriormente estão sob consideração sistemas reais cujos sinais são também reais Sob esta premissa a equação não tem solução visto que os três colchetes só podem gerar números positivos Como são somados o resultado é um número positivo que está igualado a um negativo Uma maneira interessante de perceber a não existência de solução da equação é expressando a amostra de maior argumento em função das anteriores para gerar o algoritmo de cálculo a ser implementado numericamente 2 2 2 2 1 yk yk yk 2 2 2 1 yk yk yk A obervação desta última expressão mostra que o algoritmo de cálculo não pode ser implementado para determinar uma seqüência de amostras reais É possível perceber que mesmo considerando somente ambientes determinísticos e causais pode ser grande a variação de uma equação a diferenças finitas para outra Isto ocorre devido à infinita variedade de não linearidades que existem Além disto nos dois últimos exemplos deste bloco uma das equações tinha solução que não era única e a outra não tinha solução Para que seja garantida a existência de uma solução e também a sua unicidade existe o Teorema da Existência e Unicidade Este tipo de teorema é também utilizado em equações diferenciais quando se quer garantir que a solução de uma dada equação existe e é única Este último resultado foi visto nas disciplinas de cálculo III Solução das Equações a Diferenças Finitas Definições e Teoremas Considerese uma equação a diferenças finitas escrita sob a forma algorítmica na qual a amostra mais recente é expressa em função de suas amostras anteriores e do parâmetro tempo discreto do qual a relação entre amostras pode depender caso de relações que variam à medida que o tempo evolui modelos dos sistemas variantes no tempo Definição 3 Solução da Equação a Diferenças Finitas Uma solução da equação a diferenças finitas 1 é toda a função que reduza a equação a uma identidade 44 Definição 4 Equação a Diferenças Finitas Linear Homogênea A equação a diferenças finitas 1 é dita homogênea quando uk 0 ou seja quando não existir entrada Neste caso a equação 1 se modifica para n k k 2 yk 1 yk f yk yk 2 onde Z n e k Z O contador k é 2 1 com Z Quando a EDF contiver pelo menos uma amostra não nula da variável de entrada é dita não homogênea Teorema 1 Existência e Unicidade Considerese a equação a diferenças finitas escrita sob a forma algorítmica na qual a última amostra da variável dependente é escrita como uma função real das amostras anteriores da mesma variável e do tempo discreto k definido para um número finito ou infinito de pontos a partir de uma origem Z Ela é representada por 2 da definição 4 A EDF expressa por 2 terá uma única solução calculada em função de um conjunto de condições iniciais n 2 y 1 y y Assim percebese que o último exemplo do conjunto de exemplos anterior não atende a restrição de a amostra yk ser uma função real das amostras anteriores A prova do teorema 1 se faz por recorrência Inicialmente considerase k e substituemse as n condições iniciais em 2 para que se determine y Imediatamente após fazse 1 k e com o resultado da operação anterior e 1 n das condições iniciais se computa o novo y Procedese assim para determinar cada valor consecutivo de y A característica que esta equação possui e que permite que se determine a seqüência y é que sempre o y com o mais alto argumento pode ser expresso em função dos outros y de argumentos mais baixos através de uma função real Dentre as infinitas possibilidades de equações a diferenças finitas nesta seção estudamse as equações a diferenças finitas lineares As equações a diferenças finitas lineares possuem ampla aplicação em processamento digital de sinais filtros digitais lineares são modelados por elas em sistemas digitais de controle os controladores digitais lineares são modelados por elas em modelagem de problemas econômicos e sociais em processamento de informações médicas em geoprocessamento em informações de astronomia em processamento sísmico etc O processamento digital de sinais é usado para áudio imagens fixas imagens em movimento sinais de instrumentação e resultados de experimentos As equações a diferenças finitas lineares como as contrapartidas no tempo contínuo equações diferenciais lineares são de solução simples devido à linearidade Os passos e conceitos utilizados na solução são os mesmos nos dois casos 45 Definição 5 Equação a Diferenças Finitas Linear A equação a diferenças finitas 1 é dita linear quando a amostra yk é obtida como uma combinação linear das amostras da variável dependente nos instantes anteriores e das amostras presente e passadas da seqüência variável independente podendo ter dependência explícita do parâmetro k através dos coeficientes da combinação linear Neste caso a equação se modifica para b k uk 1 b k uk a k yk n 1 k yk n a a k yk 2 a k yk 1 yk 1 0 n n 1 2 1 k uk m k b 1 k uk m b k uk 2 b m m 1 2 3a A equação pode ser escrita sob forma compacta como b k uk j k yk i i a k k y m 0 j j n 1 i 3b onde z R n m i j a k b K uk yk j i e existem as condições iniciais 1 y 2 y n y A equação representada por 3ab é linear porém genérica visto que seus coeficientes são funções do tempo discreto k e que podem ser quaisquer funções Uma particularização adicional é obtida quando os coeficientes da combinação linear não são funções do tempo Definição 6 Equação a Diferenças Finitas Linear com Coeficientes Constantes Invariante no Tempo A equação a diferenças finitas 3ab é dita linear com coeficientes constantes quando a amostra yk é obtida como uma combinação linear das amostras da variável dependente nos instantes anteriores e das amostras presente e passadas da seqüência variável independente sendo constantes os coeficientes da combinação linear Neste caso a equação se modifica para uk 2 b uk 1 b uk b yk n a 1 yk n a yk 2 a yk 1 a yk 2 1 0 n n 1 2 1 uk m k 0 b 1 uk m b m m 1 4a A equação pode ser escrita sob forma compacta como b uk j k 0 yk i i a k y m 0 j j n 1 i 4b onde z R n m i j uk a b yk j i e existem as condições iniciais 1 y 2 y n y Definição 7 Solução da Equação a Diferenças Finitas Linear Uma solução da equação a diferenças finitas linear 3ab é toda a função que reduza a equação a uma identidade A mesma definição se aplica ao caso das equações invariantes só que nelas a equação em consideração é 4ab As expressões 3ab e 4ab possuem dois conjuntos de termos bem definidos os que contêm amostras da variável dependente e os que contêm amostras da variável independente Nas expressões 3b e 4b esta separação é bem nítida visto que os termos de mesma natureza estão agrupados nos somatórios 46 Em cada uma das expressões o primeiro somatório contendo termos da variável dependente nos instantes passados é chamado de parte recursiva ou recorrente da equação O segundo somatório é a parte não recursiva ou da entrada pois contém as amostras presente e passadas da entrada Resumindo Parte recursiva ou recorrente é a que contém somente os termos da variável dependente Parte da entrada ou não recursiva é a que contém somente os termos da variável independente Definição 8 Equação a Diferenças Finitas Linear Homogênea A equação a diferenças finitas linear 3ab e 4ab é dita homogênea quando uk 0 ou seja quando não existir entrada Ou seja a equação homogênea contém somente a parte recursiva da equação Neste caso as equações 3ab e 4ab se modificam respectivamente para a k yk n 1 k yk n a a k yk 2 a k yk 1 yk n n 1 2 1 5a a k yk i k y n 1 i i 5b a yk n 1 yk n a a yk 2 a yk 1 yk n n 1 2 1 6a yk i i a k y n 1 i 6b e existem as condições iniciais 1 y 2 y n y As expressões 5ab representam a equação a diferenças finitas linear homogênea e as 6ab a linear invariante homogênea Quando a EDF contiver pelo menos uma amostra da variável de entrada é dita não homogênea As equações que serão resolvidas são as EDFs lineares Assim para elas vale o Princípio da Superposição e a metodologia utilizada será a separação das solução em duas partes Solução homogênea Solução particular Com ambas calculadas determinase a solução completa Definição 9 Solução Homogênea da Equação a Diferenças Finitas Linear A solução homogênea da equação a diferenças finitas linear 3ab e 4ab é a que se obtém quando uk 0 e as condições iniciais são não nulas ou seja quando for resolvida a equação homogênea 5ab e 6ab A solução homogênea é designada por yhk k 7 47 Definição 10 Solução Particular da Equação a Diferenças Finitas Linear A solução particular da equação a diferenças finitas linear 3ab e 4ab é a que se obtém quando as condições iniciais são nulas e quando existir entrada A solução particular é designada por ypk k 8 Definição 11 Solução Completa da Equação a Diferenças Finitas Linear A solução completa da equação a diferenças finitas linear 3ab e 4ab é a que se obtém quando as condições iniciais são não nulas e quando existir entrada A solução completa é designada por yk k 9 E baseada no Princípio da Superposição calculada pela somas das soluções homogênea e particular y k k y k yk p h 10 Duas observações quanto à solução de uma equação são importantes A diferença entre duas soluções completas da equação satisfaz à equação homogênea A prova desta afirmativa é deixada como exercício Se uma solução da equação homogênea for somada a uma solução particular esta expressão será também uma solução da equação não homogênea A prova desta afirmativa é também deixada como exercício Teorema 2 Todas as Soluções da EDF Linear Não Homogênea Seja k k y p uma solução particular da EDF linear não homogênea A coleção de todas as soluções desta equação é o conjunto de todas as funções y k y k yk p h onde yhk uma solução da equação homogênea Teorema 3 Todas as Soluções da EDF Linear Homogênea Sejam y k y k y k k n h 2 h 1 h soluções da EDF linear homogênea Então a expressão a seguir é também uma solução da equação homogênea c y k k c y k c y k y k n h n 2 h 2 1 h 1 h 11 onde 1 n ci i são constantes arbitrárias Este teorema mostra que um grande número na realidade infinito de soluções homogêneas pode ser obtido de um número pequeno daquelas que são conhecidas 48 Definição 12 Conjunto Fundamental de Soluções Correspondente à Base Ortonormal Considerese a EDF linear homogênea Sejam n conjuntos de condições iniciais tais que no iésimo conjunto a condição 1 yk é 1 e as demais são nulas Ou seja escrito sob forma vetorial o iésimo conjunto é o iésimo vetor da base ortonormal Seja 1 n i ki h a solução homogênea correspondente ao iésimo conjunto de condições iniciais O conjunto de todos os 1 n i ki h é chamado de conjunto fundamental de soluções É importante ressaltar que existem outros conjuntos fundamentais ainda que este seja o mais conhecido Outros conjuntos fundamentais são obtidos para conjuntos de condições iniciais que sejam linearmente independentes também Teorema 4 Solução Homogênea como Combinação Linear das Soluções do Conjunto Fundamental Seja yhk uma solução da EDF linear homogênea Esta solução pode ser expressa como uma combinação linear das soluções de um conjunto fundamental k k c k c k c y k n h n 2 h 2 1 h 1 h 12 onde 1 n ci i são constantes Ressaltase que as definições e teoremas apresentados partem da premissa que a solução homogênea de uma equação a diferenças finitas linear e invariante no tempo não é única em se tratando que existem n condições iniciais a serem especificadas de cada vez Além disto para n conjuntos de condições iniciais linearmente independentes obtémse n soluções independentes que se combinam para gerar uma solução genérica Como o número de combinações lineares é infinito podem ser determinadas infinitas soluções homogêneas para uma mesma equação Como tem sido mencionado o conceito de independência linear de funções do tempo é de interesse que a definição de independência linear seja apresentada Definição 13 Independência Linear de Funções no Tempo Discreto k Seja um conjunto de n funções no tempo discreto k z k z k z k n 2 1 definidas no intervalo n Estas funções são ditas linearmente independentes no intervalo se para que a expressão 0 z k z k z k n n 2 2 1 1 13 exista no intervalo é necessário que os 1 n i i sejam todos nulos Caso a expressão exista no intervalo para algum não nulo as funções são ditas linearmente dependentes no intervalo Exemplo 2 Algumas Funções no Tempo Discreto LD e LI A seguir são apresentados alguns exemplos de funções no tempo discreto que são linearmente dependentes LD e linearmente independentes LI O objetivo do exemplo é ilustrar os conceitos Funções linearmente dependentes Consideremse as funções k 1 1 u k k 2 3 u k 10 3 u k 1 k 3 0 k Escrevase a expressão da definição 13 49 0 10 1 3 3 1 u k u k u k k 3 k 2 k 1 3 3 2 2 1 1 0 3 3 10 10 3 3 3 1 k 3 2 3 1 k 3 k 2 k 1 Assim devese verificar se existem soluções 1 2 e 3 que verifiquem a equação anterior logo se existem soluções para 0 10 3 1 e 0 2 3 2 São duas equações e três incógnitas logo uma delas pode ser arbitrada e as outras duas calculadas em função dela Arbitrase 3 e expressamse as outras duas constantes Assim 10 3 1 e 2 3 2 Qualquer que seja o valor de 3 os valores de 1 e 2 computados pelas expressões acima juntamente como valor arbitrado de 3 satisfazem à expressão que mostra a dependência linear das três funções do tempo Este resultado é fácil de ser compreendido Examinamse as funções e percebese que k 1 1 u k k 2 3 u k 10 u k 3 u k 10 1 3 3 10 3 u k 1 2 k k 1 k 3 Esta última expressão é claramente a expressão de u3k em função de uma combinação linear das outras duas funções Funções linearmente independentes Consideremse as funções k 1 1 u k k u2k 0 k Escrevase a expressão da definição 13 0 k 1 u k u k 2 k 1 2 2 1 1 Não há agrupamentos de termos a serem feitos Verifiquese a equação anterior para os instantes k 0 1 k 0 1 0 k 1 0 2 1 Da primeira expressão determinase que é 1 nulo Levandose à segunda constatase que 1 deve ser nulo também Assim as funções são linearmente independentes Funções linearmente independentes Consideremse as funções k 1 2 u k k 2 3 u k k 3 5 u k 0 k Escrevase a expressão da definição 13 0 5 3 2 u k u k u k k 3 k 2 k 1 3 3 2 2 1 1 50 Não há agrupamentos de termos a serem feitos Verifiquese a equação anterior para os instantes k 0 2 k 0 0 3 2 1 k 1 0 5 3 2 3 2 1 k 2 0 25 9 4 3 2 1 Estas expressões podem ser escritas sob forma matrizvetores 0 0 0 25 9 4 5 3 2 1 1 1 3 2 1 O determinante da matriz é 0 6 107 113 50 45 12 18 20 75 Como a matriz é não singular a única solução para a equação é o vetor de s ser o vetor nulo Assim constatase que as funções são linearmente independentes Teorema 5 Solução Homogênea como Combinação Linear de Conjunto de Soluções Homogêneas Linearmente Independentes Seja yhk uma solução da EDF linear homogênea Sejam yh1k yh2k yhnk n soluções homogêneas linearmente independentes da mesma equação Esta solução yhk pode ser expressa como uma combinação linear das n soluções linearmente independentes c y k k c y k c y k y k n h n 2 h 2 1 h 1 h onde 1 n ci i são constantes IV Equações a Diferenças Finitas Lineares e com Coeficientes Constantes Soluções As definições 9 11 apresentaram as soluções homogênea particular e completa da equação a diferenças finita linear Esta seção tem por objetivo apresentar as formas de determinar estas soluções Seja a equação genérica aqui repetida por conveniência uk 2 b uk 1 b uk b yk n a 1 yk n a yk 2 a yk 1 a yk 2 1 0 n n 1 2 1 uk m k b 1 uk m b m m 1 4a Que pode também ser representada na forma compacta b uk j k yk i i a k y m 0 j j n 1 i 4b onde yk uk ai bj R n m i j Z n 2 1 y n y 2 y 1 51 Observase que ambas as expressões contêm os termos recursivos e de entrada A origem do tempo foi arbitrada em k 0 porque sendo os coeficientes invariantes no tempo a diferença entre o tempo de aplicação da entrada e o de observação da saída será o tempo importante Os tempos absolutos não serão relevantes pois os coeficientes não variam com o tempo Os exemplos do conjunto 1 mostraram que havendo solução e ela sendo única é sempre possível resolver a equação a diferenças finita linear através do cálculo da solução através de recorrência Mas existe também a solução analítica em forma fechada ou seja um expressão ao invés de uma seqüência de números As soluções homogênea e particular serão determinadas separadamente A Solução Homogênea As expressões da equação homogênea são a yk n 1 yk n a a yk 2 a yk 1 yk n n 1 2 1 14a yk i i a k y n 1 i 14b yk uk Z R i n ai n 2 1 y n y 2 y 1 A solução por recorrência da equação representada por 5a é n n 2 2 1 1 a a a y0 n 1 n 1 2 1 a a a y0 y1 a a y0 a y1 y2 n 2 n 2 1 15 n 3 n 2 1 a μ a y1 a y2 y3 O conjunto de equações 15 gera a seqüência yhk que é a solução homogênea A inspeção de 15 não leva a qualquer conclusão sobre a possibilidade de generalização para determinação de uma expressão analítica Suponhase que a equação homogênea de primeira ordem será resolvida a yk 1 k 0 yk 16 1 y 1 A solução desta equação sob forma de recorrência é 1 a y0 1 a y0 a2 y1 1 a y1 a3 y2 17 a C a a a yk 1 a yk k 1 k 1 k 1 A solução desta equação simples permite visualizar a possibilidade de obter uma forma compacta para a solução homogênea Para que possa ser feita a generalização para a equação homogênea de ordem n algumas definições e cálculos intermediários são necessários 52 Definição 14 Operador Diferença O operador diferença designado por 1 p é o que aplicado a uma amostra genérica yk permite deslocála 1 unidade de tempo à direita retardandoa 1 yk p 1 yk 18 O operador 1 p pode ser também representado por um modelo esquemático conforme a figura 4 Figura 4 Operador diferença no bloco de retardo Uma interpretação da figura 4 é importante O operador diferença no bloco de retardo é usado quando se modelam sistemas a tempo discreto e o significado deste bloco é que ele realiza a operação de reter cada amostra que recebe por 1 unidade de tempo Assim quando a amostra yk chega à sua entrada ele libera para a saída a amostra que havia chegado uma unidade de tempo antes ou seja 1 yk Caso ao iniciarse a chegada de amostras existisse alguma amostra armazenada no bloco condição inicial a representação seria a da figura 5 Figura 5 Operador diferença no bloco de retardo com condição inicial O operador diferença pode ser aplicado repetidamente em cascata gerando retardos de ordem mais altas 2 yk yk p yk p p 2 1 1 19a n yk p n yk 19b Aplicando o operador à equação homogênea se obtém yk a p yk p a yk a p yk a p yk n n 1 n 1 n 2 2 1 1 20a 0 an1 pn1 an pn yk 1 a1 p1 a2 p2 20b Como a expressão 20b deve valer para quaisquer que sejam os valores das amostras da seqüência yk então é possível escrever 0 a p p a a p 1 a p n n 1 n 1 n 2 2 1 1 21a Multiplicase 21a por pn para obter potências positivas de p p1 yk yk1 p1 yk yk1 1 53 0 a p a a p a p p n 1 1 n 2 n 2 1 n 1 n 21b Definição 15 Equação Característica A equação característica de uma equação a diferenças linear invariante no tempo e homogênea é a equação algébrica que se obtém substituindo cada termo deslocado por sua expressão em função do operador de retardo 1 p Ela é 0 a p a a p a p p n 1 1 n 2 n 2 1 n 1 n 21b O grau da equação característica é a ordem da equação a diferenças finitas A prova desta afirmação é deixada como exercício Como 21b é uma equação algébrica suas raízes podem ser calculadas Seja o conjunto de raízes da equação característica p p p n 2 1 22 As equações a diferenças finitas estudadas representam sistemas a tempo discreto que possuem implementação prática Por esta razão os coeficientes tanto da parte recursiva como da de entrada são números reais As possibilidades de raízes são complexos conjugados pares reais 1 n i pi 23 Os pi são os valores característicos da equação a diferenças finitas linear invariante no tempo e homogênea Definição 16 Valores Característicos Os valores característicos de uma equação a diferenças linear homogênea e invariante no tempo são as raízes de sua equação caraterística Considerese que pi é real e definase a função no tempo discreto mik m k p k 0 k i i 24 Substituase a função 24 na equação a diferenças finitas homogênea 5a para ver se é gerada uma identidade ou seja se a função é uma raiz da equação a mik n 1 m k n a a m k 2 a m k 1 m k n i n 1 i 2 i 1 i 25a kn i n kn1 i 1 n k2 i 2 k1 i 1 k i a p p a a p a p p 25b 0 a p p a a p a p p kn i n kn1 i 1 n k2 i 2 k1 i 1 k i 25c A expressão 25c é a equação característica 20a na qual a variável p foi substituída por uma de suas raízes pi Logo a equação é verificada e mik é uma solução da equação a diferenças finitas homogênea A função 24 é chamada de modo da equação a diferenças finitas e determina as formas no tempo de sua solução homogênea e como será visto mais adiante de sua resposta impulsional e dos transitórios das soluções particulares 54 Definição 17 Modos da Equação a Diferenças Finitas Linear e com Coeficientes Constantes Os modos 1 n i pk m k i i são as funções exponenciais obtidas com os valores característicos da equação a diferenças finitas linear invariante no tempo e homogênea Multipliquese mik por uma constante Ci e verifiquese se ao ser substituído em 5a uma identidade é gerada a C m k n 1 C m k n a a C m k 2 a C m k 1 C m k i i n i i n 1 i i 2 i i 1 i i 26 Como Ci está presente em todos os termos pode ser simplificado e recaise em 13a Logo um modo multiplicado por uma constante é uma solução da equação homogênea Suponhase que uma forma proposta da solução homogênea é 0 C m k k k m C C m k C m k k y n n n1 n1 2 2 1 1 h 27a 0 C p k p C C p C p y k k n n k n1 1 n k 2 2 k 1 1 h 27b Substituase 27b em 5a e será determinada uma expressão que é a soma de 25c para i 1n Como cada contribuição de 13c para cada um dos valores do índice é nula o resultado será o soma de n parcelas nulas Logo 27b satisfaz a equação homogênea Resultado 1 A Combinação Linear dos Modos é Solução da Equação a Diferenças Finitas Linear com Coeficientes Constantes e Homogênea Quando os valores característicos são reais a combinação linear dos modos é uma solução da equação a diferenças finitas linear com coeficientes constantes e homogênea Quando uma equação for resolvida as constantes da combinação linear serão obtidas a partir das condições iniciais fornecidas Exemplo 3 Algumas Funções que São Soluções de EDF Lineares Invariantes e Homogêneas A seguir são apresentados alguns exemplos de funções que são soluções de equações a diferenças finitas lineares com coeficientes constantes e homogêneas EDF linear invariante e homogênea sem condição inicial especificada Seja a equação 05 yk 1 yk A função yk C 05k É uma solução da equação visto que yk C 05 05 C 05 1 05yk k k1 Assim verificase uma identidade e a função proposta é solução da equação dada A constante não pode ser determinada pois não existe um valor ao qual referir uma amostra Nesta situação determinase uma família de seqüências todas com a mesma função exponencial mas sem que sejam conhecidas as ordenadas dos pontos Quando a ordenada de uma dada amostra for conhecida determinase a constante e conseqüentemente qual a seqüência da família que é a solução específica 55 EDF linear invariante e homogênea com condição inicial especificada Seja a equação 05 yk 1 yk y1 10 Já foi visto que a solução desta equação é a função yk C 05k Porém deve ser determinada a constante C em função da condição inicial a ser satisfeita 10 2 C 5 0 C C 05 y 1 1 Logo C 5 e a solução é k 1 5 05 yk k Observese a solução é válida a partir de 1 pois esta é amostra conhecida e que serviu para determinar a seqüência na família de soluções EDF linear invariante e homogênea com condição inicial especificada Seja a equação 09 yk 1 02 yk 2 k 0 yk y1 10 y2 30 A equação característica da mesma é 0 02 09 p p2 Os valores característicos são 04 p 1 05 p 2 Os modos são k 1 04 m k k 2 05 m k Assim a solução homogênea genérica é k 0 05 C 04 C y k k 2 k 1 h Determinamse as constantes a partir das condições iniciais 10 2 C 25 C 05 C 04 C y 1 2 1 1 2 1 1 h 30 4 C 625 C 05 C C 04 y 2 2 1 2 2 2 1 h Existem duas equações a duas incógnitas a serem resolvidas 30 10 C C 40 625 20 25 2 1 A solução do sistema acima dá os valores das constantes 56 8 C 1 5 C 2 C1 8 C2 5 Assim a solução homogênea é k 2 5 05 8 04 y k k k h EDF linear invariante e homogênea com condição inicial especificada Seja a equação yk 1 k 0 yk y1 10 O valor característico desta equação é 1 p 1 Assim a solução é 10 k 1 10 1 yk k Observese que esta resposta é um degrau de amplitude 10 conforme a figura a seguir A resposta ser do tipo degrau é determinada pelo valor característico ser 1 a amplitude do degrau é devida à condição inicial que é 10 EDF linear invariante e homogênea com condição inicial especificada Seja a equação yk 1 k 0 yk y1 10 O valor característico desta equação é 1 p 1 Assim a solução é k 1 10 1 yk k Observese que esta resposta é uma função periódica de período 2 com amostras que se alternam entre 10 e 10 conforme a figura a seguir 57 Como no caso anterior a forma da onda no caso a alternância entre amostras positivas e negativas de mesma amplitude é determinada pelo valor característico ser 1 enquanto a amplitude das amostras é determinada pela condição inicial que é 10 Quando existem valores característicos repetidos ou complexos conjugados a expressão geral 15b é modificada pois os modos são calculados de maneira diferente B Solução Particular Uma vez determinada a solução homogênea da equação a diferenças finitas linear e invariante cabe estabelecer a solução proveniente de uma entrada genérica uk quando as condições iniciais são nulas Seja a equação genérica aqui repetida por conveniência uk 2 b uk 1 b uk b yk n a 1 yk n a yk 2 a yk 1 a yk 2 1 0 n n 1 2 1 uk m k b 1 uk m b m m 1 4a Que pode também ser representada na forma compacta b uk j k yk i i a k y m 0 j j n 1 i 4b onde z R n m i j a b uk yk i i n 2 1 y n y 2 y 1 Antes porém que se determine tal resposta é conveniente que se aborde o conceito e o cômputo da solução particular devida a uma entrada especial que é a função impulso unitário 1 Resposta Impulsional Esta resposta chamada de resposta impulsional ou de seqüência ponderante tem um papel muito importante na análise e na síntese de sistemas lineares de controle no processamento digital de sinais na filtragem digital nos sistemas digitais de telecomunicações e em outras áreas onde são utilizados os sistemas a tempo discreto A resposta impulsionalseqüência ponderante é utilizada para a análise de transitórios e também para a determinação de respostas provenientes de outras entradas Sua representação no domínio da freqüência é a base para a análise das características dos sistemas lineares no domínio da freqüência 10 k u1k 0 10 58 Definição 18 Resposta Impulsional da EDF Linear e Invariante no Tempo A resposta impulsional da equação a diferenças finitas 4ab é aquela que se obtém quando com as condições iniciais nulas aplicase o impulso unitário como entrada Ela é também conhecida como seqüência ponderante A resposta impulsional é comumente designada pelo símbolo hk k0 para o impulso aplicado em k 0 Em algumas referências bibliográficas é também utilizada a designação gk Considerese a equação 4ab com as condições iniciais nulas ie a equação está relaxada em 0 k quando o impulso unitário é aplicado Assim a seqüência de entrada é o impulso unitário aplicado em k 0 A equação é resolvida para estas condições e a saída determinada é a resposta impulsional 0 hk k A solução recursiva é utilizada para gerar a seqüência 1 h 1 h h h3 h2 h1 h0 hk 28 onde é tão grande quanto desejado As primeiras m n 1 amostras de 28 são dadas pelas expressões que se seguem h0 b0 1 1 b a h0 h1 2 2 1 b h0 a h1 a h2 m m 2 1 b h0 a a hm 2 hm1 a hm 29 h0 a h1 a hm 1 a a hm 1 hm m 1 m 2 1 h0 a hn 2 a a hn 1 hn n 2 1 h1 a a hn 1 a hn 1 hn n 2 1 h n 1 a h 3 a a h 2 1 h n 2 1 O conjunto de equações representado por 29 não é de fácil manipulação porque ele requer que cada expressão seja determinada em função das amostras anteriores ie oriundas do cálculo da etapa anterior Isto exige que haja cálculo recursivo da solução A representação mais adequada das amostras da resposta impulsional é a analítica e em função dos valores característicos e do tempo Uma forma proposta para a representação da resposta impulsional é análoga à da solução homogênea expressa em função dos valores característicos Proponhase para hk uma forma semelhante à da resposta homogênea como a seguir k 0 p p p p hk k n n k n1 1 n k 2 2 k 1 1 30 Esta expressão é plenamente determinada quando são conhecidos as n constantes Para que estas constantes sejam conhecidas utilizase um procedimento baseado na solução recursiva da equação original submetida às condições da resposta impulsional Para tal resolvese a equação a diferenças finitas com a finalidade de determinar os valores numéricos das n primeiras amostras da resposta impulsional da seguinte maneira 0 0 h b h0 1 1 0 1 h b b a h1 2 2 0 2 1 1 0 2 1 2 0 2 1 1 0 1 h b b a b a b a b b a b a b a h2 31 n 1 0 n 1 1 n 2 1 0 n 1 1 h b a b a b a 1 hn 59 No conjunto de equações 31 o símbolo hk é utilizado para designar o valor numérico da amostra da seqüência sob consideração Resolvese a seguir a mesma equação para as mesmas amostras Utilizase porém a forma com as constantes e os valores característicos As amostras assim calculadas são igualadas aos valores numéricos obtidos da solução anterior 0 n 2 1 h h0 1 n n 1 2 1 1 h p p p h1 2 2 n n 2 2 2 2 1 1 h p p p h2 32 1 n n1 n n n 1 2 2 n 1 1 1 h p p p 1 hn Respeitadas as condições de existência e de unicidade da solução do sistema de equações 32 ao resolvêlo em função dos únicos elementos desconhecidos que são as n constantes determinamse os coeficientes da solução 30 proposta como resposta impulsional da equação a diferenças finitas linear e invariante no tempo A forma da resposta impulsional 30 bem como as condições de solução de 32 estão ligadas à não existência de valores característicos repetidos eou complexos conjugados A proposição de forma de resposta impulsional é adequada quando não existem valores característicos repetidoscomplexos conjugados Quando estes existirem 30 se modifica No caso da existência de repetitividade de valor característico ilustrase a forma proposta com o seguinte exemplo no qual considerase o caso extremo de existirem n valores característicos repetitivos ie todos os valores característicos são iguais Nesta situação a forma proposta é k 0 p k p k k p k p p hk k 1 1 n n k 1 2 n 1 n k 1 2 3 k 1 2 k 1 1 33 A determinação das constantes acontece da mesma forma como em 32 Existe uma outra forma de determinar a resposta impulsional de uma equação a diferenças finitas linear e invariante Ela é baseada na utilização da Transformada Z sendo o resultado obtido no domínio da freqüência e depois convertido para o domínio do tempo através da Transformada Z Inversa Este procedimento será introduzido quando for estudada a Transformada Z Uma observação é importante no que diz respeito à resposta impulsional todas as EDFs que tiverem b0 não nulo quando submetidas a um impulso na entrada estando relaxadas apresentarão instantaneamente um impulso na saída e ele terá o valor b0 multiplicado pelo valor do impulso de entrada 2 Resposta a uma Entrada Qualquer Uma vez que a resposta ao impulso unitário foi apresentada resta determinar a resposta à uma excitação genérica Para tal considerese novamente a equação 4ab com as condições iniciais nulas Seja a entrada uma seqüência genérica uk e resolvase a equação por recorrência para obter a seqüência resposta yk u0 b y0 0 u0 b u1 b y0 a y1 1 0 1 u0 b u1 b u2 b y0 a y1 a y2 2 1 0 2 1 34 u0 b u1 b u2 b u3 b y0 a y1 a y2 a y3 3 2 1 0 3 2 1 O sistema de equações 34 é reescrito fazendose a substituição em cada equação daquela que lhe antecede Após o agrupamento dos termos comuns é obtido o seguinte sistema de equações 0 y0 b u0 u0 b u0 b b a y1 1 1 0 1 35 60 u0 b u1 b a b u0 b b a a b b a y2 2 1 0 1 2 0 2 1 1 0 2 1 u1 b b a a b b a u0 b b a b a a b b 2 a a b a b a y3 2 0 2 1 1 0 2 1 3 0 3 1 2 2 1 0 2 1 1 2 1 0 3 1 u3 b u2 b a b 0 1 0 1 Comparandose 35 com 31 podese escrever y0 h0 u0 u1 h0 u0 h1 y1 h0 u2 h1 u1 h2 u0 y2 36 h0 u3 h1 u2 h2 u1 h3 u0 y3 O resultado apresentado no sistema 36 é uma decorrência da linearidade da equação a diferenças finitas O que ele significa é a superposição dos efeitos de cada um dos impulsos que compõem o sinal de entrada É importante ressaltar que a seqüência de entrada é um trem de impulsos cada um com um fator de ponderação que indica a sua amplitude Explicase o significado do sistema 24 da seguinte maneira k 0 A primeira amostra do sinal de entrada excita a equação Como sua amplitude é u0 e a equação é linear a saída decorrente desta amostra é a resposta impulsional a partir de k 0 ponderada por u0 Logo a contribuição desta amostra da entrada para a saída é u0hk k 1 A segunda amostra do sinal de entrada excita a equação Como sua amplitude é u1 e a equação é linear a saída decorrente desta amostra é a resposta impulsional a partir de k 1 ou seja retardada de 1 unidade de tempo ponderada por u1 Logo a contribuição desta amostra da entrada para a saída é u1hk 1 k 2 A terceira amostra do sinal de entrada excita a equação Como sua amplitude é u2 e a equação é linear a saída decorrente desta amostra é a resposta impulsional a partir de k 2 ou seja retardada de 2 unidades de tempo ponderada por u2 Logo a contribuição desta amostra da entrada para a saída é u2hk 2 k 3 A quarta amostra do sinal de entrada excita a equação Como sua amplitude é u3 e a equação é linear a saída decorrente desta amostra é a resposta impulsional a partir de k 3 ou seja retardada de 3 unidades de tempo ponderada por u3 Logo a contribuição desta amostra da entrada para a saída é u3hk 3 k 3 Para os termos posteriores a lógica se repete Assim é possível generalizar que uma amostra genérica u gera na saída uma seqüência u hk Como a equação sob consideração é linear à medida que as amostras da entrada excitam o sistema os efeitos se adicionam Princípio da Superposição Podese então montar a tabela 1 a seguir que possui as colunas com os seguintes conteúdos A primeira coluna é o contador do tempo discreto k A segunda coluna é a amostra da seqüência a ser calculada As colunas subseqüentes são as respostas impulsionais ponderadas e deslocadas no tempo geradas pelas diferentes amostras da seqüência de entrada à medida que chegam 61 k yk u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 0 y0 h0 u0 0 0 0 0 0 0 1 y1 h1 u0 h0 u1 0 0 0 0 0 2 y2 h2 u0 h1 u1 h0 u2 0 0 0 0 3 y3 h3 u0 h2 u1 h1 u2 h0 u3 0 0 0 4 y4 h4 u0 h3 u1 h2 u2 h1 u3 h0 u4 0 0 5 y5 h5 u0 h4 u1 h3 u2 h2 u3 h1 u4 h0 u5 0 6 y6 h6 u0 h5 u1 h4 u2 h3 u3 h2 u4 h1 u5 h0 u6 7 y7 h7 u0 h6 u1 h5 u2 h4 u3 h3 u4 h2 u5 h1 u6 Tabela 1 Composição das amostras da resposta a uma seqüência yk Examinado a tabela a partir da coluna 3 verificase que cada coluna contém a contribuição de uma amostra da entrada cada amostra que chega como é um impulso dispara uma reposta impulsional ponderada pela respectiva amplitude Como cada amostra chega a um tempo distinto as respostas se iniciam com a chegada da amostra Está em consideração uma equação linear e invariante logo os efeitos das amostras da entrada se superpõem à medida que acontecem Para que se determine o valor da amostra de yk em um dado instante de tempo a partir da tabela 1 basta que se somem as contribuições de cada uma das amostras da entrada representadas pelo produto da amostra da entrada com a respectiva amostra da resposta impulsional Para tal basta que se somem todas as parcelas que existem na linha correspondente ao instante de tempo em que se quer determinar yk Para que possa se generalizar a determinação da resposta devida a uma entrada genérica devese estabelecer uma expressão que permita escrever a amostra genérica yk A soma ao longo de uma linha genérica da tabela pode ser expressa de forma analítica pelo somatório k 0 r k 0 r uk r hr hk r ur yk 37 A expressão 37 recebe o nome de Somatório de Convolução e é muito importante no estudo dos sistemas lineares a tempo discreto e invariantes no tempo Para os sistemas lineares variantes no tempo este somatório possui uma forma um pouco diferente ainda que conceitualmente seja idêntico devido ao Princípio da Superposição Uma observação importante a respeito de 37 é sobre o limite superior do somatório que é k o termo presente no qual se deseja determinar o valor da amostra de saída Este fato decorre do fato de estarem sendo analisadas seqüências que possuem relações causais Assim para determinar yk só existem efeitos provenientes de amostras da entrada em k e nos instantes passados Quando um modelo não causal estiver sob consideração o limite superior do somatório é ou o instante de ocorrência da última amostra de entrada Definição 19 Somatório de Convolução O somatório de convolução que representa a seqüência de saída em função da seqüência de entrada e da resposta impulsional para sistemas modelados por EDF lineares causais e com coeficientes constantes é k 0 r k 0 r uk r hr hk r ur yk 37 62 Materiais Adicionais Para fixar melhor o conceito somatório de convolução há um Objeto Educacional em Engenharia Elétrica Convolução Discreta Ele pode ser acessado em httpwwwmaxwellvracpuc riobr2158121581HTM A Johns Hopkins University disponibiliza materiais educacionais interativos em Engenharia Elétrica sob o nome John Hopkins Signals Systems and Control Demonstrations httpwwwjhuedusignals Entre os materiais disponíveis há um de convolução discreta o objeto se chama The Joy of Convolution Discrete Time e pode ser acessado em httpwwwjhuedusignalsdiscreteconv2indexhtml A utilização de 37 para cada valor desejado de k permite calcular as amostras da saída Esta expressão pode ser modificada para representar as relações entre as seqüências de entrada de saída e resposta impulsional sob forma matrizvetor Definamse R 1 y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 y yk 38 R 1 u 5 u 4 u 3 u 2 u 1 u 0 u uk 39 h0 0 0 0 0 0 h1 h0 0 0 0 0 h2 h1 h0 0 0 0 h3 h2 h1 h0 0 0 Hk h4 h3 h2 h1 h0 0 h5 h4 h3 h2 h1 h0 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h0 x R 40 O vetor yk contém amostras da seqüência de saída e é chamado de vetor de saída O vetor uk contém amostras da seqüência de entrada e é chamado de vetor de entrada A matriz Hk contém amostras da seqüência resposta impulsional arranjadas de acordo com as operações que realizam a convolução discreta ela é chamada de matriz de transmissão A relação entre yk uk e Hk é Hk uk yk 41 63 A prova da expressão 41 é deixada como exercício V Simulação de Diferenças Finitas Lineares e com Coeficientes Constantes As EDFs podem ser representadas de maneira esquemática através de símbolos que representam as operações necessárias para as resolver Existem três símbolos básicos para a simulação das EDFs lineares e invariantes Eles são representados nas figuras a seguir Bloco Multiplicador O multiplicador é um bloco que realiza a operação de multiplicação de uma seqüência por uma constante O multiplicador é representado pela figura 6 Figura 6 Multiplicador por constante Existe um bloco multiplicador que realiza o produto de uma seqüência por outra mas este realiza uma operação não linear o que foge do escopo da disciplina e conseqüentemente destas notas de aula Cada amostra da seqüência xk é multiplicada por para gerar a saída do bloco Quando for desejada a inversão de sinal de uma seqüência utilizase um multiplicador com 1 Bloco Somador O somador é um bloco que realiza a operação de soma amostra a amostra de uma ou mais seqüências O somador é representado pela figura 7 Figura 7 Somador Cada amostra da saída é a soma das correspondentes amostras das seqüências de entrada Caso se queira uma subtração trocase o sinal da seqüência a ser subtraída e executase a soma Bloco Multiplicador O bloco de retardo é aquele recebe uma amostra em um dado instante a retém por uma unidade de tempo liberandoa para sua saída um instante depois de havêla recebido O bloco de retardo é o que realiza a diferença como na figura 4 aqui repetida por conveniência Muitas vezes dentro do bloco aparece D delay ou 1 z este último símbolo é relacionado com a correspondente operação na Transformada Z como será visto mais adiante xk xk x1k xik x2k xrk 64 Figura 4 Operador diferença no bloco de retardo Com os três blocos apresentados é possível simular EDFs lineares e invariantes como nos exemplos a seguir Exemplo 4 Dois Esquemas de Simulação A seguir são apresentados 2 exemplos de simulação de EDFs de primeira ordem EDF linear invariante e homogênea Seja a equação 05 yk 1 k 0 yk y 1 EDF linear invariante e homogênea Seja a equação 10 uk k 0 05 yk 1 yk 0 y 1 p1 yk yk1 p1 yk yk1 05 yk 65 Os diagramas de simulação permitem ter uma visão gráfica da relação entre as variáveis ao longo do tempo VI Problemas Os livros e notas de aula recomendados nas referências possuem inúmeros problemas que servem para o estudo Além destes há os exercícios do livro de Sinais e Sistemas da coleção Livros Interativos de Engenharia Elétrica httpwwwmaxwellvracpucriobrlivrosLIVROSINAISindexSinaishtml Neste livro o segundo capítulo trata de Equações a Diferenças Finitas e oferece 26 exercícios que podem ser resolvidos e corrigidos online com gabarito Cada exercício possui no mínimo 3 versões de funções eou parâmetros que são sorteadas a cada vez que o exercício é selecionado VII Referências Os livros que seguem são textos clássicos para a área de Sinais Sistemas Eles são impressos em papel e disponíveis à venda 01 Alan V Oppenheim and Alan S Willsky with Hamid Nawab Signals Systems 2ª edição PrenticeHall USA 1997 02 Simon Haykin and Barry Van Veen Signals Systems Wiley USA 1999 Os livros que seguem são textos clássicos em outras áreas e servem como referências ao material coberto neste capítulo Eles são impressos em papel e disponíveis à venda 03 Alan V Oppenheim and Ronald W Schafer Discretetime Signal Processing PrenticeHall USA 1989 04 David J DeFatta Joseph G Lucas And William S Hodgkiss Digital Signal Processing a System Design Approach Wiley USA 1988 p1 yk yk1 05 yk 10 uk 66 05 Benjamin C Kuo Automatic Control Systems 4ª edição PrenticeHall USA 1982 06 David G Luenberger Introduction to Dynamic Systems Wiley USA 1979 O livro que segue é editado e disponível online em Open Access Este é um livro em acesso aberto e gratuito elaborado por uma Equipe da Rice University O editor é o Prof Baraniuk O livro está em acesso aberto através da Licença Creative Commons atribuição 30 e faz parte de um grande projeto chamado Connexions httpcnxorgcontentcol10064latest 07 Richard Baraniuk Collection Editor Signals and Systems httpcnxorgcontentcol10064114pdf Connexions Rice University capturado em 2013 As notas de aula que seguem estão disponíveís online em Open Access O autor é o Prof Wilson J Hugh da Johns Hopkins University 08 Wilson J Hugh Notes for Signals and Systems Version 1 httpwwwecejhueducoopercourses214signalsandsystemsnotespdf Johns Hopkins University capturado em 2013