Exercícios para a Disciplina de Controles e Servomecanismos

Número 101 Março 2023 Exercícios para as Aulas de Controles e Servomecanismos Vivian Suzano Medeiros e William de Sousa Barbosa 1 APRESENTAÇÃO Este caderno disponibiliza os exercícios a serem resolvidos durante os encontros síncronopresenciais da disciplina ENG1417 Controles e Servomecanismos Como a disciplina é ministrada na modalidade Sala de Aula Invertida Flipped Classroom os alunos deverão estudar os tópicos correspondentes a eles seguindo o Planejamento do ambiente Estudo Online da Plataforma Maxwell httpswwwmaxwellvracpucriobr e durante os encontros síncronos resolverão os mesmos sob a supervisão da professora Os exercícios fazem parte de um conjunto maior de materiais educacionais disponibilizados aos alunos 2 Exercícios para as Aulas 2 e 3 Modelos com Variáveis de Estado TD e TC Problema 1 Existe um país no qual há uma alta inflação Para evitar perdas decorrentes da existência de inflação os cidadãos têm o hábito de investir o dinheiro que lhes está disponível Neste país existe um sistema de investimento composto por dois bancos O primeiro é o Banco Seguro SA que tem probabilidade quase nula de falir Por esta segurança cobra o preço de oferecer uma taxa de juros de 01 ao mês aditiva à taxa de inflação O segundo é o Banco de Risco SA que tem probabilidade de falir mais alta do que a do Banco Seguro SA Em contrapartida este banco oferece uma taxa de juros de 10 aditiva à taxa de inflação Um cidadão deste país interessado em usufruir as vantagens que o sistema de investimentos disponível lhe oferece mas desejando manter uma margem de segurança que lhe permita não perder o dinheiro que economiza de seu salário resolve investir baseado nos seguintes princípios Não perder qualquer percentual do dinheiro que economiza por mês Não querer que suas economias desvalorizem com a inflação Obter o maior rendimento possível Esperando atender aos princípios ele adota a seguinte política de investimentos O dinheiro que ele economiza a cada mês por deixar de gastar uma parte de seu salário investe no Banco Seguro SA Ao final de cada mês ele retira do Banco Seguro SA o montante referente aos juros para depositálo no Banco de Risco SA A parcela correspondente ao dinheiro economizado mais a correspondente correção monetária ele deixa investida no Banco Seguro SA Supondo que o valor que interessa observar saída seja o total de dinheiro que o investidor possui em um dado instante de tempo modele este sistema através de suas variáveis de estado sob duas premissas distintas Premissa no 1 Existe inflação e por consequência a taxa de correção monetária deve ser aplicada e é variável ao longo dos meses Premissa no 2 Não existe inflação e por consequência não é aplicada uma taxa de correção monetária a Encontre o modelo por variáveis de estado para o caso da premisssa no 1 b Encontre o modelo por variáveis de estado para o caso da premisssa no 2 c Identifique as similaridades e as diferenças entre os dois modelos d No caso da premissa no 2 determine a função de transferência do sistema Problema 2 O motor DC como os demais motores eletromecânicos é um transdutor que converte energia elétrica em energia mecânica sendo as variáveis associadas a esta última rotacionais Existe o correspondente ao motor DC porém com as variáveis de movimento lineares é o atuador DC linear Considerese que um condutor conduzindo uma corrente ia t é colocado em um campo magnético de fluxo Φ O torque que se desenvolve relacionase com a corrente e com o fluxo através da seguinte expressão T t KΦ ia t 1 onde K é uma constante de proporcionalidade À medida que o condutor se desloca no campo magnético uma tensão aparece em seus terminais é a força contraeletromotriz induzida A relação entre a força contraeletromotriz induzida e a velocidade com que o condutor corta o campo magnético é 3 V b t KV Φω t 2 onde vbt é a forçacontraletromotriz induzida ωt é a velocidade e K V é uma constante de proporcionalidade Estas duas expressões 1 e 2 representam a base da modelagem dos motores DC O motor a ser analisado nesta prova é de fluxo constante podendo este fluxo ser produzido por um ímã permanente ou por uma corrente constante passando por um enrolamento indutor de campo A figura a seguir representa de forma esquemática o modelo de um motor DC excitado por armadura Na figura if t é a corrente constante que gera o fluxo também constante ua t é a excitação de armadura que é a variável de controle do motor ia t é a corrente que flui na armadura em decorrência da excitação variável ua t Ra é a resistência do enrolamento de armadura La é a indutância da armadura V b t é a força contraeletromotriz induzida que aparece nos terminais da armadura θ t é a posição angular do eixo do motor ω t dθ tdt é a velocidade angular do eixo do motor T t é o torque desenvolvido pelo eixo do motor f é o coeficiente de atrito linear que atua sobre o eixo J é a inércia do eixo e de sua carga A armadura é o rotor parte móvel O campo é o estator parte fixa As equações que regem o motor são O fluxo entre o estator e o rotor é proporcional à corrente de campo Φ t K f if tKf ifΦ 3 O torque desenvolvido pelo eixo do motor é proporcional ao fluxo e à corrente de armadura T t KΦ ia tKT iat 4 A equação da malha da armadura é ua t Raia t La dia t dt V b t 5 4 A equação que relaciona força contraeletromotriz induzida com velocidade angular do eixo do motor é V b t KV Φω t K bω t Kb dθ t dt 6 A expressão que relaciona torque com velocidade angular é T t f dθ t dt J d 2θ t dt 2 7 Como mencionado anteriormente o motor DC será utilizado para controlar a posição de uma válvula que permitirá a passagem de maior ou menor quantidade de um fluido A relação entre a posição do eixo do motor e a quantidade de volume do fluido é dv t dt αθ tv t 8 Na expressão 8 α é uma constante de proporcionalidade entre a posição do eixo e a taxa de variação do volume de líquido e v t é o volume de líquido Este conjunto de variáveis e de suas relações compõe o modelo que será usado para estudar o motor DC no controle do volume de líquido Definamse as variáveis de entrada e de saída a serem usadas u t ua t 9 y tv t 10 Valores dos parâmetros a serem usados Nas expressões anteriores várias constantes foram apresentadas A elas serão atribuídos valores numéricos para fins de cálculos das soluções Parâmetro Símbolo Unidade Valor Resistência da armadura Ra Ω 25 Indutância da armadura La H 0001 Constante de torque KT NmA 12 Constante de fcem Kb Vrpm 12 Momento de inércia do motor J kgm2 05 Atrito linear no movimento do motor f Nmrads 002 Constante de proporcionalidade da válvula α 10 a Escreva a equação dinâmica pedida Considere as condições iniciais nulas Dica defina o volume na válvula como a 4a variável de estado que a análise ficará mais fácil b A partir da equação dinâmica determine a função de transferência c Desenhe o diagrama de pólos e zeros no plano complexo Dica você pode determinar os autovalores da matriz de estado de forma muito simples caso tenha seguido a dica do item a O sistema agora será realimentado para variar as suas características de funcionamento Um dos objetivos é a eliminação do pólo em zero deslocandoo para outro ponto do plano complexo O esquema de realimentação será feito através de uma medida na variável de saída que é o volume do fluido Esta medida será multiplicada por uma transferência GC s e somada à entrada Suponha que a transferência faz a transdução e compatibilização dos níveis das variáveis 5 Suponha inicialmente que a transferência GC s é um ganho puro K P d Escreva a equação dinâmica que modela o sistema realimentado Considere as condições iniciais nulas Dica use o modelo original determinado na primeira parte do problema e trabalhe com ele e Examine a equação dinâmica e diga se é óbvia a existência de um autovalor nulo como era no caso anterior Este item é teórico f A partir da Equação Dinâmica determine a função de transferência Problema 3 A seguir são apresentados seis modelos de sistemas utilizando variáveis de estado Todos os modelos são de sistemas monovariáveis de terceira ordem ou seja o Espaço de Estado Sx é de dimensão 3 Os modelos estão escritos com cada uma das equações das variáveis de estado separadas O objetivo deste problema é examinar cada modelo e dizer se a O sistema é a tempo contínuo TC ou a tempo discreto TD b O sistema é linear ou não linear c O sistema é variante ou invariante no tempo d O modelo pode ser escrito sob forma matricial ou seja as equações na forma compacta de representação por matrizes e vetores isto se aplica à Equação Dinâmica completa Equação de Estado e Equação de Saída e É possível determinar uma função de transferência Em caso positivo a determinar Modelo 1 dx1t dt 10cosx1t 5 x2t u t x10 x1 0 dx2t dt 8 x1 t x2 tx3 2 t10u t x2 0x2 0 dx3t dt x1t 8 x2 t x3 t10u t x3 0x3 0 y tx1 t Modelo 2 dx1t dt 10cos 10t x1t x2 t 10u t x1 t 0x1 0 dx2t dt 8 x1 t 10t x2 t x2 t0x2 0 dx3t dt x1t x2 t x3 t 0x3 0 y tx1 t x3 t Modelo 3 dx1t dt 10cosx1t 5 x2t u t x10 x1 0 dx2t dt 10x1 tx2 t x20 x2 0 dx3t dt x1t x3 t x3 0x3 0 y tx1 t x2 t 6 Modelo 4 x1k1x2k x1 0x1 0 x2k1x3 k x2 0x2 0 x3k105 x1k x2 k 2 x3k x3 0x3 0 y k x1 k x2k Modelo 5 x1k1x1k x2k 10u k x1 0 x1 0 x2k1cos x3 k x2 0x2 0 x3k1x1 k x2 k x3 k u k x3 0x3 0 y k x1 k x2k x3 k Modelo 6 x1k1x1k x2k 10u k x1 0x1 0 x2k1sin x3 k x20x2 0 x3k1x1 k x2 k x3 k u k x3 0x3 0 y k x3 k 7 Exercícios para as Aulas 4 e 5 Soluções Hom e Imp Mat de Transição de Estado SLITTD Problema 1 Considere um sistema SLITTD que é modelado por sua equação dinâmica apresentada a seguir x k1 0 1 025 0x k 0 1 u k x 0x 0 y k 1 0 x k Determine a O limite da solução homogênea de saída quando o tempo tender a infinito b O limite da resposta impulsional de saída quando o tempo tender a infinito c Sem fazer contas mas inspecionando a equação dinâmica diga qual o grau máximo que você espera encontrar para o polinômio do numerador da função de transferência d A função de transferência que representa o sistema Confira se a sua suposição do item anterior estava correta e A primeira amostra não nula da resposta impulsional de saída do sistema valor e tempo no qual ela ocorre f A matriz de transição de estado do sistema g A solução particular do vetor de estado quando a entrada for um degrau unitário aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas Problema 2 Considere um sistema SLITTD que é modelado por sua equação dinâmica apresentada a seguir x k1 0 1 025 0x k 0 1 u k x 0x 0 y k 1 0 x k 10u k Determine a O limite da solução homogênea de saída quando o tempo tender a infinito b O limite da resposta impulsional de saída quando o tempo tender a infinito c Sem fazer contas mas inspecionando a equação dinâmica diga qual o grau máximo que você espera encontrar para o polinômio do numerador da função de transferência d A função de transferência que representa o sistema Confira se a sua suposição do item anterior estava correta e A primeira amostra não nula da resposta impulsional de saída do sistema valor e tempo no qual ela ocorre f A matriz de transição de estado do sistema g A solução particular do vetor de estado quando a entrada for um degrau unitário aplicado a partir do tempo zero com condições iniciais nulas Problema 3 Este problema é baseado nos dois anteriores e aborda características conceituais dos SLIT tanto no TC quanto no TD ainda que no caso sejam dois SLITTD a Examine as duas equações dinâmicas e explicite as suas semelhanças e as suas diferenças b Compare as duas matrizes de transição de estado e veja se são iguais ou diferentes Explique a razão c Compare os limites das duas soluções homogêneas das saídas quando tempo tende a infinito e veja se são iguais ou diferentes Explique a razão d Compare os limites das duas respostas impulsionais quando tempo tende a infinito e veja se são iguais ou diferentes Explique a razão 8 e Compare as 5 primeiras amostras das duas respostas impulsionais e veja quais as semelhanças e diferenças que têm f Depois destas análises identifique no modelo por variáveis de estado quais as equações que determinam as características das diferentes respostas 9 Exercícios para as Aulas 6 e 7 Soluções Hom e Imp Mat de Transição de Estado SLITTC Problema 1 Considere o circuito representado a seguir A entrada é a tensão de alimentação v t e a saída é a tensão vRC t Determine a equação dinâmica que modela este circuito usando como variáveis de estado as variáveis físicas do circuito e condições iniciais genéricas literais Os parâmetros devem ser literais como no esquemático Problema 2 Considere o circuito do problema 1 Para resolver este problema considere que R 04Ω L 05H C 05F e todas as condições iniciais são iguais a 10 Ressaltase que estes números não têm qualquer relação com a realidade e que as unidades das condições iniciais são distintas e adequadas às naturezas dos elementos e das variáveis Determine a A função de transferência b A solução homogênea tanto do vetor de estado quanto da saída c A matriz de transição de estado d Compare as formas no tempo que compõem a matriz de transição de estado com os modos obtidos a partir dos polos da função de transferência e A resposta impulsional f A resposta a um degrau unitário tanto do vetor de estado quanto da saída Caso a Matriz de Estado A não seja diagonal aplique uma transformação de similaridade que diagonalize a Matriz de Estado e determine g A nova equação dinâmica h A função de transferência a partir do item anterior i A nova matriz de transição de estado j Observe os Vetores de Entrada e de Saída respectivamente b e c e o termo de conexão direta entradasaída d Compareos com os do modelo do problema 1 são iguais ou diferentes Porque k Compare as duas funções de transferência e constate as semelhanças e as diferenças l Compare as duas matrizes de transição de estado e constate as semelhanças e as diferenças m A solução homogênea do vetor de estado e de saída 10 Problema 3 Considere o circuito representado a seguir A entrada é a tensão de alimentação v t e a saída é a tensão vRL t Determine a equação dinâmica que modela este circuito usando como variáveis de estado as variáveis físicas do circuito e condições iniciais genéricas literais Os parâmetros devem ser literais como no esquemático Refaça todos os itens do Problema 2 para o circuito acima considerando que R 04Ω L 05H C 05F e todas as condições iniciais são iguais a 10 11 Exercícios para a Aula 8 Sistemas Compostos Problema 1 Considere dois SLITTC cujas funções de transferência são H 1 s N s s1 H 2 s s1 s2 s3 Em H1s Ns é um polinômio a determinar e a única condição imposta é que o sistema representado por H1s seja causal Primeira Parte Inicialmente considere que N s K R 1 Seja a conexão série da figura a seguir a Calcule a função de transferência do sistema composto b Para o primeiro sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 1 c Para o segundo sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 2 d Para o sistema composto determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado e Qual a relação entre o grau da função de transferência do sistema composto e Porque 2 Seja a conexão paralela da figura a seguir a Calcule a função de transferência do sistema composto b Para o primeiro sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 1 c Para o segundo sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 2 d Para o sistema composto determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado e Qual a relação entre o grau da função de transferência do sistema composto e Porque Segunda Parte Agora considere que N s sα 3 Seja a conexão série 12 a Calcule a função de transferência do sistema composto em função de α b Para o primeiro sistema determine a Equação Dinâmica em função de α Qual a dimensão do Espaço de Estado 1 c Para o segundo sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 2 d Para o sistema composto determine a Equação Dinâmica em função de α Qual a dimensão do Espaço de Estado e Qual a relação entre o grau da função de transferência do sistema composto e Porque f Há algum valor de α que modifique 1 e 2 Porque Problema 2 Considere dois SLITTC cujas funções de transferência são H 1 s N s s1 H 2 s 10 s 216 Em H1s Ns é um polinômio a determinar e a única condição imposta é que o sistema representado por H1s seja causal Considere que N ssα 1 Seja a conexão série a Calcule a função de transferência do sistema composto em função de α b Para o primeiro sistema determine a Equação Dinâmica em função de α Qual a dimensão do Espaço de Estado 1 c Para o segundo sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 2 d Para o sistema composto determine a Equação Dinâmica em função de α Qual a dimensão do Espaço de Estado e Qual a relação entre o grau da função de transferência do sistema composto e Porque f Há algum valor de α que elimine os polos imaginários da função de transferência do sistema composto 2 Seja a conexão paralela da figura a seguir a Calcule a função de transferência do sistema composto em função de α 13 b Para o primeiro sistema determine a Equação Dinâmica em função de α Qual a dimensão do Espaço de Estado 1 c Para o segundo sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 2 d Para o sistema composto determine a Equação Dinâmica em função de α Qual a dimensão do Espaço de Estado e Qual a relação entre o grau da função de transferência do sistema composto e Porque f Há algum valor de α que elimine os polos imaginários da função de transferência do sistema composto Problema 3 Considere dois SLITTC cujas funções de transferência são H 1 s N s s1 H 2 s 10 s 216 Em H1s Ns é um polinômio a determinar e a única condição imposta é que o sistema representado por H1s seja causal Primeira Parte Inicialmente considere que N s K R 1 Seja a conexão realimentação da figura a seguir a Calcule a função de transferência do sistema composto b Para o primeiro sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 1 c Para o segundo sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 2 d Para o sistema composto determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado e Qual a relação entre o grau da função de transferência do sistema composto e Porque f Há algum valor de K R que seja capaz de eliminar os polos imaginários na função de transferência do sistema composto Segunda Parte Agora considere que N s sα e a mesma conexão realimentação da primeira parte a Calcule a função de transferência do sistema composto b Para o primeiro sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 1 c Para o segundo sistema determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado 2 d Para o sistema composto determine a Equação Dinâmica Qual a dimensão do Espaço de Estado e Qual a relação entre o grau da função de transferência do sistema composto e Porque f É possível eliminar os polos imaginários na função de transferência do sistema composto 14 Problema 4 Agora que os 3 problemas anteriores foram resolvidos a Reflita sobre as diferentes características de cada uma as 3 conexões analisadas b Compreenda que elas têm possibilidades distintas de aplicação nas Ações de Controle 15