Notas de Aula de Controles e Servomecanismos

1 Número 26 Agosto 2011 Notas de Aula de Controles e Servomecanismos Anexos Alexandre Sheng Hsien Su Bruna dos Guaranys Martins Camila Schuina Neves Carlos Adalberto Samayoa Frederico Kos Botelho Isabela Cunha Maia Nobre Marcelo Maceira de Almeida Neves Roberto Bandeira de Mello M da Silva e Stella Salim Gouvea Organizadora Ana Pavani 2 APRESENTAÇÃO Estas notas de aula têm o objetivo de complementar o material apresentado nos livros de referência da disciplina ENG 1417 Controles e Servomecanismos bem como de servir de guia à ordem na qual os tópicos serão ministrados Elas cobrem assuntos referentes às técnicas clássicas de controle e também aqueles referentes ao controle moderno Considerando que cada vez mais há implementação de controle através de circuitos digitais é apresentada a parte referente a sistemas a tempo discreto As notas são apresentadas em quatro volumes para que os arquivos não excedam 15 MB Há um volume anexo contendo três artigos sobre assuntos complementares que foram desenvolvidos pelos alunos da turma citada no último parágrafo Foram dedicados e criteriosos revisores destas notas os alunos de graduação Bernard Pereira de Oliveira Engenharia Elétrica e Eduardo Oest Moreira Engenharia de Controle e Automação estagiários do LAMBDA Laboratório de Automação de Museus Bibliotecas Digitais e Arquivos do Departamento de Engenharia Elétrica que trabalham no projeto dos Livros Interativos de Engenharia Elétrica Uma grande contribuição às notas foi dada pela turma de ENG1417 Controles e Servomecanismos em 20141 Os alunos críticos e contributivos deram sugestões e resolveram vários exemplos no MATLAB Além desta participação seus trabalhos do final da disciplina forma escritos sob a forma de artigos e são extensões do conteúdo da ementa Eles compõem o volume de anexos destas notas A turma era composta por Alexandre Sheng Hsien Su Bruna dos Guaranys Martins Camila Schuina Neves Carlos Adalberto Samayoa Frederico Kos Botelho Isabela Cunha Maia Nobre Marcelo Maceira de Almeida Neves Roberto Bandeira de Mello M da Silva e Stella Salim Gouvea 3 SUMÁRIO Volume 1 01 Introdução Controles e Servomecanismos 02 Os sistemas lineares e os modelos por variáveis de estado 03 Sistemas compostos 04 Propriedades dos sistemas Volume 2 05 Controlabilidade 06 Observabilidade 07 Estabilidade Volume 3 08 Raízes de polinômios 09 Método de Nyquist 10 Método do Lugar das Raízes Volume 4 11 Realimentação de estado aplicada ao problema do controle modal 12 Observadores de Luenberger 13 Especificações no domínio do tempo técnicas clássicas 14 Especificações no domínio da freqüência técnicas clássicas 15 Controle PID Volume de Anexos 16 Obtenção de equações dinâmicas em formas canônicas a partir da função de transferência 17 Método do Lugar das Raízes para dois parâmetros variáveis 18 Rastreamento de uma referência Obtenção de Equações Dinâmicas em Formas Canônicas a Partir da Função de Transferência Alexandre Su Frederico Botelho Marcelo Neves Introdução Este tópico consiste em estudar e sistematizar três métodos para a obtenção das equações dinâmicas na forma canônica a partir da função de transferência do sistema Equações Dinâmicas De modo a simplificar as operações analisaremos um sistema monovaviável linear e invariante no tempo Não há nenhuma diferença nos métodos seja para tempo contínuo ou tempo discreto apenas nas variáveis usadas t para contínuo e k para discreto e nas transformadas aplicadas Transformada de Laplace no caso contínuo e Transformada Z no caso discreto A Equação Dinâmica é escrita assim Equação de Estado Equação de Saída A é a matriz de estado b é o vetor de entrada c é o vetor de saída d é o elemento de conexão direta entradasaída Primeiramente será mostrado como se acha a função de transferência a partir da equação dinâmica para depois mostrarmos o processo inverso que é o objetivo principal do trabalho O primeiro passo é aplicar a transformada de Laplace na equação de estado 1 2 Sendo que O denominador terá grau n e o numerador no máximo grau n1 Também aplicase a transformada de Laplance na equação de saída 4 Substituindo pela equação achada anteriormente 5 6 Como função de transferência 7 Assim obtemos a função de transferência através das equações dinâmicas Métodos de obtenção das equações dinâmicas a Obtenção de equações dinâmicas com a matriz de estado na forma diagonal a partir de uma função de transferência Anteriormente achamos a função de transferência escrita em função de Abcd representada na equação 7 Podemos reescrever esta equação da seguinte forma Ela é reescrita desta forma porque os vetores c e b contem apenas constantes e como já dito tem denominador de grau n e numerador de grau no máximo n1 observado na equação 3 Agora chamaremos d de e reescreveremos a equação 8 Aplicase Cauchy em 9 Os autovalores da matriz A são encontrados resolvendo a equação Isso é o mesmo que calcular Ou seja os pólos da função de transferência são os autovalores de A Escrevemos A em sua forma diagonal assim colocando os pólos na diagonal de A O vetor c será montado com as constantes que estão no numerador das frações parciais após aplicar Cauchy na função de transferência Hs O vetor b será um vetor coluna com 1 em todas suas posições E a constante d será o da função de transferência Hs Conferindo o método para 2 variáveis de estado Queremos A na forma diagonal portanto Considerando que 13 Cortando os denominadores que são iguais temos 16 Portanto para a igualdade ser verificada o que era a resposta esperada garantindo que o método está correto Resumo das equações dinâmicas com a matriz de estado na forma diagonal Para casos em que há pólos repetidos utilizamos a forma de Jordan para obter as equações dinâmicas A função de transferência é reescrita como E montamos as equações dinâmicas assim Sendo que o número de zeros no vetor b é igual a m1 considerando que há m pólos iguais b Obtenção de equações dinâmicas em variáveis de fase a partir de uma função de transferência Seja uma função de transferência genérica Hs de ordem n da forma 18 A partir dela podemos obter uma equação diferencial relacionando saída e entrada Multiplicando por e fazendo multiplicação cruzada para garantir que todos operadores diferenciais s sejam eliminados temos 19 Agora vamos lançar mão de um artificio matemático e dividir a última equação em duas partes 20 21 Podemos obter uma solução para 20 numa equação que envolve Us e Zs isolando Us 22 Podemos rearranjar a última equação 22 pra gerar uma estrutura de feedback sendo Zs a entrada de cada bloco integrador como no diagrama a seguir 23 Se escolhermos a nossa variável de estado Xs na saida de cada bloco de integração em cascata como na figura anterior temos por inspeção 24 Com isso já podemos montar nossas matrizes A e B Voltando à equação 21 Podemos ver que logo 25 Também temos que zt é a entrada do bloco de integração s cuja saída é xt Substituindo acima na equação 25 temos Resumindo das equações dinâmicas em variáveis de fase c Obtenção de equações dinâmicas observável a partir de uma função de transferência Seja uma função de transferência genérica Hz de ordem n da forma Fazendo a multiplicação cruzada teremos Com znzn1 em evidência Dividindo os dois lados por zn e separando os termos Representado em diagrama de blocos Agora podemos escrever as equações de estado E agora podemos finalmente escrever na forma matricial Em tempo contínuo teremos as mesmas matrizes a demonstração que é um pouco diferente Bibliografia MIT 214 Analysis and Design of Feedback Control Systems Class Handouts StateSpace System Representation of LTI Systems httpwebmitedu214wwwHandoutsHandoutshtml httpnptelacincourses108103008PDFmodule7m7lec2pdf httplpsaswarthmoreeduRepresentationsSysRepTransformationsTF2SSht mlControllable httppessoalutfpredubrquevedoarquivosAula18pdf Controle e Servomecanismos Metodo do Lugar das Raızes para Dois Parˆametros Variaveis Bruna GuaranysIsabela Nobre Stella Salim 20 de Maio de 2014 1 Sumario 1 Introducao 3 2 Revisao de Lugar das Raızes para 1 Parˆametro 4 21 Realimentacao de um Sistema 4 22 Analise Matematica 5 23 Construcao do Diagrama 6 24 Exemplo 6 3 Lugar das Raızes para 2 Parˆametros 9 31 Definicoes 9 32 Primeiro Passo 9 33 Segundo Passo 9 34 Exemplos 10 341 Exemplo 1 10 342 Exemplo 2 14 343 Exemplo 3 18 4 Conclusao 21 2 1 Introducao Este trabalho tem como objetivo apresentar o Metodo do Lugar das Raızes para dois parˆametros variaveis Inicialmente sera feita uma revisao do metodo de Lugar das Raızes para somente um parˆametro variavel assunto este visto na disciplina de Controle e Servomecanismos da PUCRio ministrado pela professora Ana Pavani A seguir apresentaremos o metodo para dois parˆametros indicando um passo a passo necessario na realizacao deste Por fim serao mostrados trˆes exemplos O primeiro de forma a ilustrar a teoria e facilitar a compreensao desta e os outros dois exemplos praticos Desta forma sera possıvel ver a aplicacao deste metodo estudado em projetos reais 3 2 Revisao de Lugar das Raızes para 1 Parˆametro O metodo do lugar das raızes e um metodo grafico que tem como objetivo observar como as raızes de um sistema se comportam com a variacao de um parˆametro do sistema onde normalmente se analisa um sistema de ganho numa realimentacaoEsta tecnica e usada como criterio de estabilidade no campo de controle de sistemas 1 21 Realimentacao de um Sistema Seja um sistema com uma funcao de transferˆencia H1s Podemos espe cificar os polos do mesmo e consequentemente sua estabilidade de acordo com o desejado Uma possıvel maneira de fazer isso e atraves de uma reali mentacao como pode ser visto na figura 1 Figura 1 Sistema realimentado A funcao de transferˆencia equivalente para o sistema acima e dada por Heqs H1s 1 H1sH2s 21 Os polos de Heqs vao determinar a estabilidade do sistema equivalente portanto e importante estudalos e poder modificalos Os polos de Heqs sao os zeros de 1 H1sH2s que por sua vez sao as raızes do polinˆomio Fs 1 H1sH2s Se H1 ou H2 tiver algum parˆametro multiplicativo k variavel e a determinar podemos isolalo e escrever Fs da seguinte forma 2 Fs F1s kF2s 22 Onde F1s e F2s sao polinˆomios de graus n e m respectivamente e com parˆametros fixos e conhecidos 4 22 Andalise Matematica Estamos interessados nas raizes de Fs pois sao os polos do sistema realimentado E trivial perceber que ao variarmos k na equacao 22 os coeficientes do polindmio Fs variam e consequentemente suas raizes O lugar das raizes é 0 conjunto dos pontos no plano complexo cujos valores as raizes podem assumir quando k varia de zero a infinito Do mesmo modo o lugar complementar das raizes tem a mesma definicao sendo a localizagao possivel para as raizes com k variando no entanto de menos infinito a zero Por fim o lugar completo das raizes é a uniao dos conjuntos anteriores ou seja a localizagao das raizes com o parametro k variando de menos infinito a infinito 3 Para encontrar tais localizacoes comecamos por determinar as raizes de Fs Fs Fs kFs 0 23 F4s 14khk0 24 Fis 24 Definimos entao a fungéo de malha aberta Fy a 1 F4s Fura 25 Fis 25 Assim as raizes sao todos os valores de s que obedecem equacao abaixo 1 Fyas 26 Para que isso acontega 1 Fvas 7 27 A Sendo Fys 8 21S ZS 2m Fyas 2 1 2 28 Fis 8 pi8 pe8 Pr Onde p sao os polos de Fy 2 OS seus zeros Podemos tirar algumas conclusoes da equacao 27 e k0 Fyas co polosFyas raizesFs polosH e ko Fyas 0 zerosFyas raizesFs polosH A partir destas observacoes e definigdes podemos partir para a construcao do diagrama 5 23 Construgao do Diagrama Existe uma série de outras propriedades a serem consideradas para a cons trucao do diagrama Como provalas nao faz parte do escopo do trabalho aqui somente serao mencionadas algumas retiradas da referéncia 3 e O numero de ramos dos lugares completos das raizes é 0 maior entre men e O grafico dos lugares completos das raizes é simétrico com respeito ao eixo horizontal e ao eixo de simetria dos polos e zeros e O ntmero de assintotas dos lugares completos das raizes é igual a 2n ml e Os angulos das assintotas obedecem as seguintes condicoes 2a1r k 0 6 em 29 a k0 29 e A intersecaéo das assintotas com o eixo real se da por bj a o 210 nm e Nos pontos do eixo real em que 0 nimero total de polos e zeros a direita da secao for impar k 0 180 e nos pontos do eixo real em que o numero total de polos e zeros a direita da secao for par k 0 0 e Os pontos de sela sao pontos que satisfazem esta equacao d Ir 2r HsHs 0 211 ds 24 Exemplo Para exemplificar os pontos acima sera feita uma andalise do lugar das raizes para o seguinte sistema 6 zz05 Kz08 0 212 Kz 08 1 0 213 t zz 05 213 z 08 1 9 Fz K KH zH 214 2 KS 2 H2 214 08 1 08 1 215 zz 05 K A partir da funcao acima podese observar e Os pontos de K0 levam o quociente a infinito Os respectivos valo res de z levarao 0 denominador a zero portanto estes sao os polos da fungao de malha aberta Assim os pontos de K0 sao JO he 05 e Os pontos de K oo levam o quociente a zero Os respectivos valores de z levarao o numerador a zero portanto estes sao os zeros da funcgao de malha aberta Os zeros sao 08 212 OO e O numero de ramos é a ordem da equagao que também é o niimero de raizes equivalente a dois e O ntmero de assintotas para as duas situacgdes K 0 e K 0 é dado por Numero de assintotas 22 1 2 e Os angulos das assintotas sao 9 TT K 0 7 e Os pontos de sela podem ser calculados por d 08 9 216 dz zz 05 129 32 031 Com esses dados podemos obter o grafico dos lugares das raizes do exem plo Podeser notar em vermelho o circulo de raio unitario importante para a deteccao da estabilidade em sistemas discretos No caso atual a estabili dade acontece para valores de K menores do que 124 System sys Root Locus Gain 124 08 Pole 1872 04831 Damping 0675 Overshoot 36 0346 06 Frequency radfsec 0997 a a4 O12 ay i E o2 O4 06 08 25 2 45 A 05 0 05 Real Axis Figura 2 Grafico do Lugar das Raizes do Exemplo 8 3 Lugar das Raızes para 2 Parˆametros 31 Definicoes Podemos aumentar o grau de liberdade da escolha das raızes ao conside rarmos dois parˆametros variaveis e estudarmos o comportamento do sistema com suas variacoes Para tal existe uma nova definicao a de contorno das raızes lugares das raızes quando mais de um parˆametro varia Neste caso a equacao 22 vira Fs F0s k1F1s k2F2s 31 Novamente estamos interessados nas raızes de Fs sendo F0 F1 e F2 polinˆomios com parˆametros fixos conhecidos Uma boa maneira de tracar os contornos das raızes e seguindo dois passos abordados a seguir 32 Primeiro Passo Em um primeiro momento anulase um dos parˆametros e se determina o lugar das raızes com o outro seguindo o procedimento descrito na secao 23 2 A tıtulo de exemplo anulamos k2 e assim a equacao 31 e modificada para Fs F0s k1F1s 0 32 Percebese que esta equacao e idˆentica a equacao 22 E obtida com o mesmo procedimento anterior uma equacao no formato estudado 1 k1F1s F0s 0 33 FMA1s F1s F0s 1 k1 34 Notase que a construcao dos lugares das raızes somente depende da con figuracao de polos e zeros da funcao de malha aberta FMA1s 33 Segundo Passo Para o segundo passo restauramos k2 deixandoo variar enquanto es colhemos um k1 fixo 2 Entao igualamos a equacao em estudo a zero e dividimos a equacao 31 por F0s k1F1s para obter 9 1 k2F2s F0s k1F1s 0 35 Definindo a funcao de malha aberta temos que FMA2s F2s F0s k1F1s 1 k2 36 Os contornos das raızes de Fs sao portanto construıdos a partir dos zeros e polos desta funcao de malha aberta Podemos perceber que os polos de FMA2s sao as raızes da equacao 32 Ou seja os polos de FMA2s estao nos lugares das raızes da equacao 32 Quando o parˆametro e zero valor inicial do lugar das raızes como visto na pagina 5 as raızes de Fs estao localizadas nos polos da funcao de malha aberta Assim para um valor de k1 fixo as raızes de Fs quando k2 varia de zero a infinito devem todas iniciar a partir de algum ponto contido no diagrama de lugares das raızes da equacao 32 Os zeros de FMA2s sao as raızes de F2s Portanto quando k2 as raızes de Fs tendem para as raızes de F2s ou para infinito caso nao haja zeros suficientes 34 Exemplos 341 Exemplo 1 Como um exemplo ilustrativo do efeito da variacao de um zero de GsHs considere a funcao de transferˆencia de malha aberta abaixo 2 GsHs K1 Ts ss 1s 2 37 O problema pode ser visto como um estudo do efeito de um controle derivativo na localizacao das raızes da equacao caracterıstica A equacao caracterıstica do sistema e ss 1s 2 K1 Ts 0 38 Primeiramente vamos considerar o efeito da variacao do parˆametro K fazendo T igual a zero na equacao caracterıstica ss 1s 2 K 0 39 Esta equacao nos leva a 10 1 K ss 1s 2 0 310 Podemos entao desenhar o diagrama de lugar das raızes levando em con sideracao a configuracao de polos e zeros da funcao de transferˆencia abaixo G1sH1s K ss 1s 2 311 Figura 3 Root Locus para ss 1s 2 K 0 Faremos variar T entre 0 e e manteremos K fixo 1 G2sH2s 1 TKs ss 1s 2 K 0 312 E entao plotar o diagrama de lugar das raızes para diferentes valores de K 11 Figura 4 Root Locus para ss 1s 2 K KTs 0 K6 Figura 5 Root Locus para ss 1s 2 K KTs 0 K20 12 Figura 6 Root Locus para ss 1s 2 K KTs 0 K3 Reunindo os diagramas anteriores em um so grafico obtemos Figura 7 Root Locus para ss1s2KKTs0 K6 verde K20 verme lho K3 azul claro Em azul escuro Root Locus para ss 1s 2 K 0 13 Percebese no diagrama acima o que foi visto na secao 33 Mais espe cificamente que para um valor de K fixo independentemente de K todas as raızes quando T varia de zero a infinito iniciam a partir de algum ponto contido no diagrama de lugares das raızes da equacao 311 Outro aspecto que pode ser verificado e o fato de que um controle deriva tivo geralmente melhora a estabilidade relativa do sistema de malha fechada movendo as raızes da equacao caracterıstica para o semiplano da esquerda O grafico tambem indica claramente uma importante caracterıstica de um controle derivativo a largura de banda do sistema aumenta Em alguns casos a contribuicao desse ganho na largura de banda a partir do aumento do valor de T excede a melhora na estabilidade do sistema 2 Como mostrado na figura para K20 o sistema e estavel para todos os valores de T maiores do que 02333 342 Exemplo 2 Para tomar um exemplo pratico podemos utilizar o controle de um macarico de solda Um macarico de solda para a carroceria de um automovel necessita de um sistema de controle preciso para posicionalo O sistema deve ser posicionado para atender as seguintes especificacoes Erro para uma entrada em rampa menor que 35 de inclinacao de entrada Coeficiente de amortecimento das raızes dominantes maiores que 0707 Tempo de assentamento no interior da faixa de 2 do valor final menor que 3 segundos Temos entao este sistema Figura 8 Sistema do controle do macarico de solda 14 Onde Gs K1 ss2 e Hs K2s e o ganho de Gs e Hs devem ser selecionados Comecamos entao pela especificacao do erro no estado estacionario que se da por ess lim t sEs lim t sRs2 1 G2s 313 onde G2s Gs 1 GsHs 314 Resolvendo entao a equacao temos que ess R 2 K1K2 K1 035 315 Para encontrar um valor baixo de erro devemos escolher um valor pe queno para K2 A segunda condicao obriga as raızes a se localizarem abaixo da linha de 45o ζ 0707 e por ultimo temos que a condicao de tempo de assentamento Ts deve ser abaixo de 3 segundos o que nos deixa com Ts 4 σ 3s σ 4 3 316 Para satisfazer estas condicoes nossas raızes devem estar dentro da area abaixo delimitada 15 Figura 9 Regiao a ser considerada Para trazer o exemplo nos parˆametros usados na teoria fazemos α K1 e β K1K2 Nossa equacao caracterıstica se dara por Fs 1 GsHs s3 s2 βs α 0 317 Como anteriormente dito comecamos a analise ao zerar o parˆametro β e fazer a analise do lugar das raızes ao variar α Assim a equacao que devemos analisar e 1 α ss 2 0 318 16 Figura 10 Lugar das raızes para α variando e β 0 Apos esta analise devemos fixar um valor de α por exemplo α 20 e analisamos a partir daı o efeito de β Tomando o exemplo acima temos que β 20K2 que e determinado pela equacao 1 β s2 2s α 0 319 17 vee Oe Bek Samat aby a tT i FR Palin gta z 4 eet Figura 11 Lugar das raizes para a 20 Observando o resultado obtido vemos que para que 0707 6 44 20K e consequentemente Ky 022 Podemos observar também que temos a parte real igual ao 315 o que nos da 7 127 segundos satisfazendo a condicao do problema Em resumo 0 método do lugar das raizes foi utilizado como forma simples e eficiente de resolver um problema pratico e real 343 Exemplo 3 Uma forma de controlador usado amplamente no controle de processos industriais é chamado de controlador de trés termos ou controlador PID Este controlador tem uma FT fungao de transferéncia Kis Gs Ky Kils Kps 320 S A equacao para a saida no dominio do tempo representa o termo propor cional o termo integral e o termo diferencial conforme a equacao abaixo d ut Kpet ky etdt Kp et 321 Na verdade a funcgao de transferéncia do termo derivativo é da seguinte forma 18 Gds KDs τs 1 322 Onde τ e muito menor do que as constantes de tempo do proprio processo entao pode ser desprezada Fazendose KD 0 temse o Controlador Proporcional e Integral PI Gcs Kp K1s s 323 Quando KI 0 resulta no chamado Controlador Proporcional Derivativo PD Gcs Kp KDs 324 Para implementar um controlador PID ha a necessidade de serem deter minados para um dado processo o ganho proporcional o ganho integral e o ganho derivativo Considerese o controlador PID abaixo Gcs K1 K2s s K3s K3s2 K1s K2 s 325 Se fizermos a K1 K3 e b K2 K3 teremos GcsK3s2 a s b s K3s z1s z2 s 326 Um controlador PID introduz uma FT com um polo da origem e dois zeros que podem ser posicionados em qualquer lugar do semiplano s da esquerda Supondo um sistema dado por Figura 12 Sistema estudado no exemplo 3 Podemos escolher um PID cujos zeros sao complexos e dados por z 3 j1 Assim fazendo a analise do lugar das raızes para mais de um parˆametro temos que 19 Figura 13 Lugar das raızes para K3 Como podemos perceber a medida que o ganho K3 aumenta as raızes complexas tendem para os zeros A funcao de transferˆencia de malha fechada e Gfs GsGcs 1 GsGcs K3s z1s ˆz1 s r2s r1s ˆr1 327 A escolha do ganho K3 sera em funcao das especificacoes de saıda do sistema 20 4 Conclusao Podemos verificar que o Metodo para o Lugar das Raızes para Dois Parˆametros Variaveis e um metodo bastante simples e eficaz Alem disso ele garante um maior grau de liberdade na escolha dos polos do sistema con siderado se comparado com o metodo para somente um parˆametro variavel Tambem foi visto que ele e bastante util e pratico para o atendimento de especificacoes de projetos reais 21 Referˆencias 1 DORF R and BISHOP R Modern Control Systems PrenticeHall 9th edition 2001 2 KUO Benjamin Automatic Control Systems PrenticeHall New Jersey 3rd edition 1975 3 PAVANI Ana Notas de Aula da Disciplina Controle e Servomecanismos vol 3 Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro Maio de 2011 22 1 PUC ENG 1417 Controles e Servomecanismos Rastreamento de uma Referência Roberto Bandeira 1212020 Camila Schuina 1113399 Carlos Samayoa 1410168 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO RUA MARQUÊS DE SÃO VICENTE 225 CEP 22453900 RIO DE JANEIRO BRASIL 2 Sumário O Controlado PID 3 Realimentação de Estado 10 Anexos 17 3 O CONTROLADOR PID O controlador PID é uma implementação do princípio de realimentação A realimentação fornece propriedades essenciais para os sistemas de controle como a capacidade de reduzir as perturbações a possibilidade de implementar sistemas com independência dos parâmetros físicos do processo a diminuição dos efeitos do ruído a precisão do sistema para alcançar a referência no projeto de controle feito entre muitas outras propriedades que poderiam ser adicionadas dependendo dos requisitos do projeto A teoria de controle está baseada no rastreamento de uma referência que é simplesmente o que o projetista quer que o sistema faça O rastreamento dessa referência é feito por um controlador principalmente por um controlador PID na maioria de aplicações e sensores que o realimentem Abaixo um esquema de um sistema de controle genérico Figura 1 Configuração com realimentação unitária Na figura 1 Rs representa a referência do sistema Cs o modelo do controlador implementado Ds as perturbações externas que afetam a planta Gs o modelo da planta que representa a relação entre a dinâmica e o estado do sistema Ys representa a saída a qual é usada para fazer o rastreamento da referência mediante a realimentação Ns o modelo do ruído presente A entrada do sistema não está indicada no esquema mas é representada pela saída do controlador que é conhecida por sinal de controle No projeto de controle é necessário saber como selecionar o sinal de controle que vai ser implementado A seleção dele vai depender das propriedades que o projetista quer que o sistema de controle tenha além da estabilidade Por exemplo Precisão representa a comparação do valor da saída com a referência no estado estacionário Robustez representa a imunidade do sistema aos parâmetros variáveis do modelo dinâmico Rejeição de perturbações representa como o sistema reage às perturbações externas Optimalidade referese à melhor maneira do sistema fazer o que o projetista deseja Em geral o primeiro passo do projeto de controle é obter a modelagem dinâmica do sistema que está sendo controlado já que contém a informação dos transitórios presentes e principalmente da estabilidade Se o sistema é instável então terá que ser selecionado um fator adequado no controlador para levar todos os polos que estão no semiplano da direita do plano complexo para o semiplano da esquerda Essa análise pode ser feita por exemplo pelo método do lugar das raízes O erro representado na entrada do controlador vai gerar a entrada do sistema a ser controlado A relação entre a entrada do sistema e o erro medido vai depender do projeto do controlador Um controlador PID é feito baseado numa modelagem proporcional integral e derivativa 4 Controle Proporcional Um controlador proporcional vai gerar uma entrada em função do erro como segue A vantagem deste modelo é que no rastreamento da referência o controlador reage lentamente quando o erro é pequeno o qual indica que para um sistema estável não ocorreram oscilações e o rastreamento será feito suavemente Com o fator proporcional temse a garantia de estabilidade do sistema global A resposta de um controle proporcional é media pois é rápida no início mas é lenta depois de algum tempo A desvantagem deste tipo de controle é que não é preciso quando acontecem perturbações externas isto é no estado estacionário não é alcançada a referência A seguir será feita essa análise Considerese o seguinte sistema geral de primeira ordem Figura 2 Controle proporcional de um sistema de primeira ordem Para uma entrada degrau unitário Rs 1s Assumindo que o sistema é estável e usando o teorema do valor final de Laplace Podese perceber que o erro no estado estacionário depende do valor de K Controle ProporcionalIntegral Um controlador proporcionalintegral vai gerar uma entrada em função do erro como segue A vantagem de adicionar o controle integral é que o seguimento da referência é mais preciso isto é no estado estacionário o sinal do erro é eliminado Isso acontece porque a integração do erro ao longo do tempo permite gerar um sinal que seja capaz de combater as perturbações externas Este tipo de controle é suficiente para muitas aplicações mais tem uma desvantagem em relação ao controle proporcional a resposta é mais lenta e podem acontecer oscilações na saída por uma má seleção do fator integral Se um sistema apresenta oscilações indica que o fator integral tem que ser menor 5 Considerando o erro em estado estacionário temse a seguinte análise Figura 3 Controle integral de um sistema de primeira ordem Para uma entrada degrau unitário R s 1s Assumindo que o sistema é estável e usando o teorema do valor final de Laplace Podese perceber que o controle integral elimina o erro estacionário Controle ProporcionalDerivativo Um controlador proporcionalderivativo vai gerar uma entrada em função do erro como segue O termo derivativo adiciona uma alta sensibilidade ao sistema A principal vantagem do controle derivativo é que fornece uma resposta muito mais rápida à velocidade do erro e não permite que seja grande Outra vantagem é que aumenta a estabilidade do sistema já que adiciona amortecimento ao sistema e permite uma seleção maior do parâmetro proporcional A principal desvantagem é a sensibilidade ao ruído o qual cria muitos problemas nas implementações É por isso que as vezes não é usado este tipo de controle quando os controles proporcional e integral são suficientes para as especificações do projeto Controle ProporcionalIntegralDerivativo O controle PID é o algoritmo mais usado pelas características de reagir dependendo do presente passado e futuro O controle proporcional trabalha com a informação do presente o integral com o passado e o derivativo com o futuro Um controlador proporcionalintegral vai gerar uma entrada em função do erro como segue 6 As vantagens e desvantagens do controle PID são a combinação das que já foram tratadas nos controles anteriores Em resumo os controles individualmente têm as seguintes características no sistema PID Proporcional garante a estabilidade capacidade de resposta média e tem erro no estado estacionário Integral garante erro zero no estado estacionário e uma capacidade de resposta baixa Derivativo garante uma capacidade de resposta alta ao começo mais chega até o estado estacionário mais lento Além disso garante também a sensibilidade Até agora temse falado sobre as propriedades de cada termo do controle PID as vantagens e as desvantagens que se precisam conhecer para saber como adaptar os parâmetros do controle segundo os requisitos do projeto Podese perceber que a definição feita para controle PID foi dada em tempo continuo o qual não é o que se precisa para a implementação computacional E necessário conhecer uma expressão adaptável a um programa Implementação do sistema PID A expressão em tempo contínuo da saída do controlador PID com respeito ao erro na entrada é repetida por conveniência O termo integral pode ser modelado como segue O termo derivativo pode ser modelado como segue Agora é possível implementar um pseudocódigo que possa representar o funcionamento do controle PID read e edoteolde EEe uKpeKDedotKIE oldee 7 Já conhecidas as propriedades e a implementação é necessário saber os critérios para selecionar os três parâmetros de controle Seleção dos parâmetros de um controlador PID Para fazer um projeto de controle é necessário conhecer duas regras fundamentais Qualquer entrada ao sistema pode ser modelada como uma combinação das entradas características rampa degrau unitário impulso unitário parábola etc Qualquer modelo pode ser modelado como uma combinação de sistemas de primeira ordem e segunda ordem Se a modelagem física do sistema não é conhecida é possível fazer testes aplicando entradas características e analisando as respostas que o sistema tem Assim podese modelar como uma combinação de sistemas de primeira e segunda ordem O método de ZieglerNichols para a determinação dos parâmetros está baseado em analise experimental e é usado em muitas aplicações Se o modelo da planta é conhecido é possível aplicar técnicas mais avançadas mas se não tivermos o modelo este método fornece um bom ponto de início ainda que sempre precise de ajustes para avaliar as especificações requeridas Ziegler e Nichols deram dois métodos para obter um ponto inicial dos parâmetros proporcional integral e derivativo Um deles está baseado na resposta ao degrau unitário e o outra no valor proporcional que produz estabilidade marginal quando só o controle proporcional é usado Primeiro método Este método é usado só quando a planta não contém integradores nem polos complexos conjugados Isso pode ser conferido com testes experimentais na planta Esse método precisa da aplicação na entrada de um degrau unitário para obter a resposta do sistema Se cumprir a condição do método então reagirá com o seguinte comportamento Figura 4 Resposta em forma de S 8 A curva é caraterizada por dois parâmetros L e T É necessário incluir no gráfico a reta tangente no ponto de inflexão da curva S e encontrar os pontos donde há interseção com o eixo de tempo e ctK De acordo com os parâmetros obtidos na curva S é possível obter o ponto do início nos parâmetros do controlador segundo a seguinte tabela Figura 5 Sintonia do controlador de acordo com o primeiro método Assim o sistema é modelado como um sistema de primeira ordem com retardo no tempo Para o controlador PID Então o controlador terá um polo na origem e dois zeros em 1L Segundo método Este método só leva em conta o controle proporcional incrementando o valor de ganho de 0 até que o sistema começar a ter comportamento crítico e apresente oscilações Obviamente se a saída não apresentar este comportamento então temse que usar o método anterior Este modelo está baseado em dois parâmetros e os quais são o ganho crítico e o período correspondente às oscilações provocadas pelo comportamento crítico Isso pode ser feito por exemplo pelo método do lugar das raízes se o modelo da planta for conhecido De acordo com os parâmetros obtidos é possível obter a ponto do início nos parâmetros do controlador segundo a seguinte tabela 9 Figura 6 Sintonia do controlador de acordo com o segundo método Então o controlador terá um polo na origem e dois zeros em 4 10 Realimentação de Estado Rastreamento de referência O problema abordado neste artigo é o de rastreamento de uma referência Dado um sistema dinâmico ao qual podemos ou não ter a modelagem matemática desejase que alguma variável desse sistema siga um sinal que é escolhido como sinal de referência Este sinal pode ser de várias grandezas físicas ser ou não uma função no tempo linear ou nãolinear Assim como várias podem ser as abordagens utilizadas para a resolução do problema A abordagem da qual este artigo se utiliza é a de realimentação de estado Modelo de Estado Antes de se utilizar qualquer tipo de técnica é necessário fazer a modelagem do sistema de acordo com o modelo de estado utilizado na teoria de controle moderno Saindo da equação genérica As funções f e g são funções vetoriais lineares ou nãolineares variantes ou invariantes no tempo genéricas Buscase aqui que as equações tomem a forma de equações lineares e invariantes no tempo No caso de sistemas nãolineares existem várias técnicas que podem ser utilizadas para linearizar o sistema em questão Feitas todas as modificações necessárias esperase que o sistema tome a seguinte forma Aqui A B C e D são matrizes de coeficientes constantes É importante ressaltar aqui que a modelagem é um passo muito importante É importante que seja feita de forma cuidadosa e que o modelo seja muito bem testado Um sistema cuja modelagem não foi feita de forma apropriada de nada servirá Isso também vale para técnicas de linearização que forem utilizadas Muitas destas técnicas impõem limitações ao sistema tornando a modelagem usada ineficaz 11 Análise O problema do rastreamento de referência tem o seguinte bloco de diagramas genérico Figura 7 Modelo genérico de rastreamento de referência O diagrama acima ilustra bem como a maioria das abordagens se utiliza do erro entre a referência e o valor real a qual a variável que queremos controlar está Um exemplo de técnica que utiliza diretamente esta abordagem é o controlador PID abordado em outra seção deste artigo A abordagem utilizada aqui se preocupará com o design de um controlador de forma a criar um sistema baseado no espaço de estado e utilizando também o conceito de estabilidade para levar o erro do sistema a zero Antes de iniciarmos o design há alguns conceitos que são importantes de serem introduzidos que não estão nas Notas de Aula de Controle e Servomecanismos da professora Ana Pavani Também vale ressaltar que a matriz D será sempre nula para sistemas de controle reais já que sempre haverá algum sensor para medida da saída que impedirá que haja uma relação direta entre a entrada e a saída do sistema Realimentação de Saída Output Feedback Desenvolvendo primeiramente um pensamento em cima da saída do sistema pois é esta saída que nos dá acesso as variáveis de estado do sistema Consideraremos a entrada nula nesse ponto e trabalharemos apenas com a realimentação como entrada do sistema O sistema então se torna 12 Figura 8 Diagrama de Blocos de Realimentação de saída Temos então onde K é uma matriz de ganho cuja determinação dos coeficientes faz parte do design do controlador No momento queremos que a nossa variável de estado variável a qual posteriormente deverá seguir a referência estabilize em torno do zero posteriormente estabilizaremos em torno da referência Para tal basta que o nosso sistema seja assintoticamente estável Queremos então Este será o critério de design para esta parte do sistema Realimentação de Estado State Feedback Agora esqueceremos a saída do sistema e consideraremos que temos diretamente na saída o nosso estado Continuaremos considerando a entrada nula aqui O sistema terá a seguinte forma 13 Figura 9 Diagrama de blocos da realimentação de estado Temos então onde novamente K é uma matriz de ganho cuja matriz de ganho faz parte do design do controlador do sistema A mesma lógica usada anteriormente é válida aqui queremos que o nosso sistema seja assintoticamente estável Portanto Alocação de Polos Pole Placement Até agora só vimos conceitos que são partes do processo de design do nosso controlador porém já surgiram alguns critérios de design o qual precisamos saber determinar no futuro Para tal existe a ferramenta de alocação de polos Suponhamos que tenhamos os polos desejados para nosso sistema A partir deles temos então a seguinte equação característica Tirando a equação característica de uma matriz qualquer que ainda tenham coeficientes a se determinar como no caso das realimentações acima temos Igualando as duas equações e alinhando os coeficientes teremos 14 Resolvendo o sistema de equações conseguimos todos os coeficientes da matriz K Vale ressaltar que há uma função no MatLab que realiza essa técnica a função place Teorema a Alocação de Polos só é possível para quaisquer polos se nosso sistema for controlável e observável Observador de Luenberger O Observador de Luenberger aqui usado é o mesmo das Notas de Aula de Controle e Servomecanismos porém com uma ênfase um pouco diferente Consideremos nosso sistema natural sem nenhum tipo de entrada nem realimentação Primeiro fazemos uma cópia do sistema um sistema que é a estimativa do que acontece com o nosso estado onde é uma estimativa do nosso estado Essa equação faz o papel de um preditor prediz o que ocorrerá com o estado do sistema Depois somamos ao nosso sistema estimado uma parcela que se preocupará com a correção da estimativa uma parcela correspondente ao erro entre o output que o sistema fornece e o output de acordo com a nossa estimativa onde L é uma matriz de ganho cuja determinação dos coeficientes também fará parte do design do controlador e que pode ser determinada através da técnica de Alocação de Polos No caso a determinação de L virá através do erro da estimativa Podemos determinar nosso erro de estimação como Podemos descrever a dinâmica desse erro como Queremos estabilizar nosso erro de estimação em torno do zero para que o observador de Luenberger estime o estado da melhor forma possível Queremos então que a dinâmica do nosso erro seja assintoticamente estável Então 15 E a partir disso utilizamos a Alocação de Polos para determinar os coeficientes de L Design do controlador Tendo todos estes blocos que definimos agora podemos projetar de vez nosso controlador Aqui supomos que nosso sistema é controlável e observável para que possamos aplicar todos os conceitos acima Nos utilizaremos do Princípio da Separação o qual nos permite fazer cada parte do projeto separadamente e depois unirmos tudo O projeto é separado em três passos principais Passo 1 Controlador da realimentação de estado como se tivéssemos o estado na saída e na verdade temos a estimativa Passo 2 Estimar o estado através do Observador de Luenberger Passo 3 Estabilizar o estado e o erro de estimação em torno do zero Juntando isso temos Chegamos então à seguinte equação dinâmica Nesta equação a matriz é particionada em blocos triangular superior Portanto podemos afirmar que os autovalores dela são os autovalores das duas matrizes da diagonal principal Portanto para estabilizarmos essa matriz em torno do zero teremos aa seguintes condições de projeto Utilizamos então o método da Alocação de Polos para calcular os coeficientes das matrizes de ganho K e L Porém chegando a esse ponto teremos nosso estado estabilizado em torno do zero e não em torno da referência nosso erro de estimação está em torno do zero como desejado A partir deste ponto para fazermos com que o estado siga a referência há duas formas de abordagem principal A primeira forma mais simples sugere apenas que seja usado Princípio da Superposição e somese a entrada a referência Esta forma é simples muitas vezes eficaz mas porém são verificados muitos casos 16 em que esta forma não consegue seguir a referência se os polos escolhidos não forem os adequados ou se a referência variar muito com o tempo A segunda forma sugere que seja criada uma nova variável Et chamada Erro Total que é o erro entre o estado e a referência Temse então onde rt é a referência e a dinâmica na qual utilizase a metodologia discutida acima para que a variável Erro Total seja estabilizada em torno do zero Esta segunda metodologia costuma ser mais eficaz que a anterior principalmente para referências que variam bastante com o tempo Obs Há métodos ótimos de cálculo das matrizes de ganho que estão fora do escopo dessa disciplina como o Linear Quadratic Optimal Control e o Filtro de Kalmann 17 Anexos Anexo 1 Aplicação do controle analógico da posição de um motor de corrente contínua Figura 10 Implementação do controle P Na imagem da figura anterior foi implementado o controle de posição de um motor de corrente continua O primeiro ponto da implementação é o sistema o qual está composto pelo motor e o transdutor acoplado mecanicamente Ao analisar esse sistema podese verificar que o funcionamento de um motor desse tipo é baseado na linearidade num intervalo definido pela tensão necessária para vencer a inercia A partir dessa tensão o potenciômetro fornecerá uma tensão linear dependente da posição Como a entrada ao sistema vai ser um degrau com magnitude definida pela posição desejada e a saída vai ser uma rampa então é possível concluir que o sistema age como um integrador Devido a isso não é necessário colocar o termo integrativo no controle O termo derivativo também não é necessário para uma aplicação desse tipo já que faria do sistema muito sensível ao ruído Assim o controle na implementação tem que ser só um controle P Na figura podese ver que o sistema tem três etapas A primeira é o somador o qual faz a diferença entre a tensão da posição desejada e a tensão de posição real A segunda é um inversor o qual só é implementado para contrastar o efeito inversor do amplificador da terceira etapa Esse amplificador fornece o termo proporcional e precisa de um acoplamento amplificador classe B para a proteção do amplificador operacional já que só fornece correntes muito baixas para um motor Com um controle muito simples é possível ter um motor DC em uma posição desejada 18 Anexo 2 Exemplos Pole Placement Seja o seguinte sistema com realimentação de estado que representa um rastreador de referência o objetivo é encontrar o vetor de ganhos K dada uma referência r a ser rastreada Figura 11 Rastreamento de referência e realimentação de estado Onde após a realimentação temos Após a realimentação de estado obtivemos uma nova matriz de estados que depende de K A BK O que queremos é alocar os valores de K de modo que esta matriz seja estável observase que para isto é necessário que a matriz seja controlável Para determinar os autovalores da nova matriz resolveremos Nos exemplos abaixo será apresentado uma rotina de como resolver este problema no MATLAB 1 Dada as matrizes e 19 No MATLAB definimos as matrizes e o vetor de ganhos A1 1 1 1 2 A1 1 1 1 2 B1 1 0 B1 1 0 K1 k1 k2 K1 k1 k2 Então criamos a nova matriz de estado dependente de k após a realimentação de estado A12 A1 B1K1 A12 1 k1 1 k2 1 2 Os próximos passos consistem em encontrar a matriz de controlabilidade e calcular seu posto Como a matriz tem posto cheio o sistema é controlável CoA1 ctrbA1B1 CoA1 1 1 0 1 20 r1 rank CoA1 r1 2 Resolvendo agora p1detseye2A12 p1 k2 2k1 3s k1s s2 1 s1 solvep1 p1 s2k1 3s12k1k2 Logo sabendo previamente os autovalores que desejamos escolhidos de modo a fornecer determinas característica ao sistema por exemplo se o sistema oscila ou não podemos resolver a equação acima e descobrir os valores de K 2 Dadas as matrizes e Repetimos os procedimentos do exemplo anterior A2 1 1 0 2 A2 1 1 0 2 B2 1 0 B2 1 21 0 K2 k3 k4 K2 k3 k4 A22 A2 B2K2 A22 1 k3 1 k4 0 2 CoA2 ctrbA2B2 CoA2 1 1 0 0 r2 rank CoA2 r2 1 p2detseye2A22 p2 s 2k3 s 1 s2 solvep2 s2 2 1 k3 22 Para este exemplo não é possível alocarmos valores de K de forma a fazer com o que o sistema seja estável Notase que o posto da matriz A2 não é cheio logo ela não é controlável Esse resultado influencia diretamente na alocação dos polos visto que para esta matriz somente poderemos alocar um polo o outro necessariamente deve estar alocado em 2 e sabemos que polos no SPAD indicam instabilidade do sistema Anexo 3 Controle de Velocidade do Motor DC A seguir segue um exemplo de realimentação de estados para o controle de velocidade do motor DC nele também será apresentada a solução usando o Matlab uma diferença com relação aos exemplos anteriores será a implementação do comando place que já aloca o vetor de ganha dado os autovalores que queremos Figura 12 Controle de Velocidade de um Motor DC As equações que usadas para a modelagem do motor são Modelando o sistema 23 Logo podemos montar o sistema na forma de variáveis de estado da seguinte forma Rotina do MATLAB para resolução do exercício Neste exemplo a referência a ser seguida é um degrau unitário Definição de Parâmetros f 02 J 002 Kt 01 Kb 01 Ra 2 La 05 Definindo as matrizes do State Space AfJ KtJ KbLa RaLa 24 B0 1La C1 0 D0 Controlabilidade CO ctrbAB CO 0 10 2 8 rCo rankCO rCo 2 Vetor de Ganho Nessa etapa dados as matrizes A B e os conjuntos de autovalores que desejo após a realimentação de estados p1 p2 e p3 o comando place aloca respectivamente os vetores de ganho K1 K2 e K3 p1 35 05 k1 placeABp1 p2 3j 3j k2 placeABp2 p3 35j 35j k3 placeABp3 Realimentação de estado 25 Nos passos seguintes são determinadas as novas matrizes de estado para cada conjunto de autovalores e a função de transferência para cada sistema E também o gráfico da resposta ao degrau para cada conjunto de autovalores A1 ABk1 num1den1ss2tfA1BCD sys1 tfnum1den1 A2 ABk2 num2den2ss2tfA2BCD sys2 tfnum2den2 A3 ABk3 num3den3ss2tfA3BCD sys3 tfnum3den3 figure stepsys1g hold on stepsys2b stepsys3y grid on legendp1 35 05p2 3j 3jp3 35j 35j 26 Figura 13 Resposta ao degrau para diferentes polos hold off Analisando o gráfico acima podese perceber que a escolha dos autovalores determina o comportamento do sistema se a resposta é rápida se oscila e o tamanho do overshoot A partir daí segue uma forma alternativa para o problema do rastreamento que visa melhorar a reposta do sistema Se rt for da mesma grandeza de yt e forem monovariáveis uma boa performance para o problema do rastreamento ocorre quando Usando o Teorema do Valor Final Logo 27 A partir desse resultado o que faremos agora é criar um ganho adicional N para que Das notas de aula sabemos que a função de transferência pode ser obtida da seguinte maneira E portanto para o resultado que queremos o valor de N deve ser Voltando para o exemplo do Motor DC Refaremos o procedimento usando o ganho adicional para o conjunto de autovalores p2 35j 35j que havia apresentado pior resultado quando foi usado somente a realimentação de estado com ganho K Vetor de Ganho p2 35j 35j k2 placeABp2 Realimentação de estado A1 ABk2 num1den1ss2tfA1BCD sys1 tfnum1den1 Realimentação ganho extra N1 CA11B1 28 transf2 Cinvseye2A1BN1 sys3 ssA1BN1CD figure stepsys1g hold on stepsys3b legendkk e N grid on hold off Figura 14 Respostas ao degrau para diferentes métodos Comparando os resultados a curva em azul que é o resultado com o ganho adicional apesar de oscilar mais e ter um overshoot maior no regime permanente é bem mais próxima ao degrau que é a entrada a ser rastreada do que a curva em verde que é o resultado da realimentação de estado somente com ganho K Logo percebemos que este é um método eficiente para diminuir o erro da saída 29 Referências Bibliográficas Pavani A Notas de Aula de Controle e Servomecanismos Ogata K 2010 Engenharia de Controle Moderna New York Princeton Universidade Federal de Santa Catarina 2006 Fundamentos de Controle Clássico Santa Catarina Astrom K 2009 Controle PID avanzado New York McGraw Hill Co httpocwmiteducoursesaeronauticsandastronautics1630feedbackcontrolsystemsfall 2010lecturenotes httpwwwcdscaltechedumurrayamwikiindexphpMainPage Notas de aula do aluno Roberto Bandeira ao longo do curso Control of Mobile Robots ministrado online pela universidade GeorgiaTech