Lista Análise

α 23 x Q x 23 β 15 x Q x 15 α β r s r 23 s 15 x Q x 23 15 Calculando 23 15 23 15 1015 315 1315 Portanto α β x Q x 1315 1315 b Definições α β significa α β como conjuntos α γ a c a α c γ β γ b c b β c γ Prova Assuma α β ou seja α β Queremos mostrar que α γ β γ Seja x α γ Então existem a α e c γ tais que x a c Como α β temos a β Logo a β e c γ portanto a c β γ Assim x a c β γ Isso mostra que α γ β γ ou seja α γ β γ 3 a Dado X N infinito definimos recursivamente A1 min X pelo Princípio da Boa Ordenação X tem mínimo Y1 X A1 Para i 1 Ai1 Ai min Yi Yi1 X Ai1 Assim cada Ai contém os i menores elementos de X e Yi é o complementar em X b Suponha por absurdo que X nN An Então existe x X tal que x An para todo n N Pela construção Cada An contém os n menores elementos de X Como X é infinito nN An contém todos os elementos de X menores que qualquer elemento do complemento Mas isso contradiz o Princípio da Boa Ordenação pois o conjunto dos elementos de X maiores que todos os elementos de nN An seria um subconjunto não vazio de N sem menor elemento Portanto X nN An c Temos X nN An Cada An é finito A união enumerável de conjuntos finitos é enumerável Logo X é enumerável 1 a Definicao de Corte Um subconjunto α Q e um corte se satisfaz i α e α Q ii Se r α e s Q com s r entao s α iii Para todo s α existe r α tal que s r Verificacao para α x Q x 1 2 i α pois 0 α 0 1 2 α Q pois 1 α 1 1 2 ii Seja r α ou seja r 1 2 e s Q com s r Entao s r 1 2 logo s α iii Para qualquer s α temos s 1 2 Tome r s 1 2 2 Entao s r 1 2 logo r α e s r Portanto α satisfaz todas as condicoes de um corte b Verificacao i α pois 1 α 1 1 2 α Q pois 0 α 0 1 2 ii Considere r 3 4 α 3 4 1 2 e s 0 Q com s r 0 3 4 No entanto 0 α 0 1 2 Portanto a condicao ii falha Como a condicao ii nao e satisfeita α nao e um corte 2 a Definicoes Para q Q q x Q x q A soma de cortes e α β r s r α s β 1 b gy xminnN fxn y Propriedades g está bem definida pois f é sobrejetiva g é injetiva se gy1 gy2 então y1 fgy1 fgy2 y2 b Pelo item a Existe g Y X injetiva X é enumerável A imagem de g é um subconjunto de X Todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável Como g é injetiva Y é equipotente a Img Portanto Y é enumerável Curso de Licenciatura em Matemática 1ª Avaliação de Fundamentos de Análise 21032024 Professora Neila Mara Gomes de Oliveira 1 Um corte α é um subconjunto de Q que satisfaz as condições i α e α Q ii Se r α e s r s Q então s α iii Se s α então s r para algum r α a 4 pontos Mostre usando a definição que α x Qx 12 é um corte b 3 pontos Mostre que α x Qx 12 não é um corte 2 Sobre o conjunto de todos os cortes C definimos uma relação a qual já provamos ser uma relação de ordem que é equivalente a se α β C temos i α β α β α β ii α β α β Sobre C também está definida uma operação de soma de cortes da seguinte maneira α β C α β r sr α s β a 2 pontos Dados d 23 e β 15 determine usando a definição de soma o corte α β b 3 pontos Prove que se α β γ C são cortes tais que α β então α γ β γ 3 O Princípio da Boa Ordenação diz que todo subconjunto não vazio do conjunto dos números naturais N possui um menor elemento Seja X N um subconjunto infinito a 2 pontos Construa utilizando o Princípio da Boa Ordenação subconjuntos finitos Ai constituidos pelos i primeiros menores elementos de X e Yi X Ai i12n b 5 pontos Da Teoria de Conjuntos temos que X nN An nNX An Utilizando este resultado e o item a demonstre por absurdo que X nN An c 1 ponto Conclua que X é enumerável 4 Sabese que se uma aplicação g A B em que B é um conjunto enumerável é injetiva então o conjunto A é enumerável Considere uma aplicação sobrejetiva f X Y onde X x1 x2 x3 é um conjunto enumerável a 2 pontos Mostre que existe uma aplicação injetiva g Y X b 3 pontos Conclua que Y é enumerável