Resolução Detalhada da Lista de Exercícios

1 Mostre que se r 1 a série n1 to 1 nr é convergente 2 Prove que para todo a ℝ a série a2 a2 1 a2 a2 1 a22 é convergente e calcule sua soma 3 Utilize algum critério para verificar a convergência ou divergência das séries a seguir a n1 to n n3 1 b n1 to 1 n c n1 to 1 n n 1n 2 n p com p N fixado 4 Prove que se an é convergente então an2 é convergente 5 Mostre que se an é uma sequência decrescente e an é uma série convergente então lim nan 0 6 Exercício sobre sequências Sejam a e b números reais positivos Defina indutivamente as sequências xn e yn da seguinte maneira x1 ab e y1 a b 2 xn1 xn yn yn1 xn yn 2 Prove que xn e yn convergem para o mesmo limite 7 Sejam a1 a2 a3 0 e sn a1 a2 a3 a4 1n1 an Prove que sn é uma sequência limitada e que lim sup sn lim inf sn lim an Proposição 1 Uma série an com termos positivos an 0 converge se e somente se suas somas parciais k1 to n ak M são limitadas superiormente caso contrário ela diverge para Questão 1 Mostre que se r 1 então a série n1 to 1 nr é convergente Solução Seja r 1 Veja que n1 to 1 nr 1 1 2r 1 3r 1 4r 1 5r 1 6r 1 7r 1 8r É claro que 1 3r 1 2r e com isso 1 2r 1 3r 1 2r 1 2r 2 2r 1 2r1 Analogamente 1 4r 1 5r 1 6r 1 7r 1 4r 1 4r 1 4r 1 4r 4 4r 1 4r1 1 22r1 Seguindo com esse argumento provamos que n1 to 2N1 1 nr 1 1 2r1 1 22r1 1 23r1 1 22N 1r1 Para todo N N suficientemente grande Note que o lado direito da desigualdade acima é a soma de uma progressão geométrica com razão 1 2r1 21r Acima fizemos a soma de PG finita mas se considerar a soma infinita quando N será maior do que a soma finita Portanto n1 to 2N1 1 nr 1 1 2r1 1 22r1 1 23r1 1 22N 1r1 1 1 21r soma de PG infinita Ou seja cada soma parcial é limitada Pela Proposição 1 temos que n1 to 1 nr é convergente Proposição 2 A série geométrica n1 to rn converge se 0 r 1 Questão 2 Prove que para todo a ℝ a série a2 a2 1a2 a2 1a22 é convergente e calcule sua soma Solução Seja a ℝ Primeiramente observe que a2 0 e 1 a2 0 Agora veja que a2 a2 1 a2 a2 1 a22 a2 1 1 1 a2 12 1 a22 a2 a2 n1 to 1 1 a2n Então os termos 1 1 a2n constituem uma progressão geométrica de razão 0 r 1 1 a2 1 e portanto a série é convergente pela Proposição 2 Logo vamos usar a fórmula da soma de PG infinita para calcular o valor da somatória n1 to 1 1 a2n n1 to rn 1 1 a2 1 1 1 a2 1 1 a2 1 a2 1 1 a2 1 1 a2 1 1 a2 Com isso o valor da soma é a2 a2 1 a2 a2 1 a22 a2 a2 n1 to 1 1 a2n a2 a2 a2 a2 1 Proposição 3 Critério da Comparação Suponha que as séries an e bn sejam ambas com termos positivos tais que an bn para todo n N Então Se bn converge então an também converge Se an diverge então bn também diverge Questão 3 Utilize algum critério para verificar a convergência ou a divergência das séries a seguir a n1 nn31 b n1 1n c n1 1nn1n2np com p N fixado Solução a Note que nn31 nn3 111n3 1n2 111n3 1n2 1n Assim vale que n2 n2 1n 1n2 1n2 1n n 1 Ainda mais tome r 2 na Questão 1 nos permitindo concluir que n1 1n2 é convergente Pelo critério da comparação e notando que n1 nn31 n1 1n2 1n n1 1n2 a série é convergente b Basta ver que n nn11 n2 para todo n 4 Provemos isso por indução No caso n 4 temos 4 24 16 42 Suponha que k k2 para algum k 4 Assim k 1 k 1k k 1k2 e k 1k2 k 12 pois k2 k 1 dividindo ambos os lados por k 1 Ou seja k 1 k 12 e a prova está completa Agora use a Questão 1 e o critério da comparação em n4 1n n4 1n2 para ver que n1 1n converge c É claro que n2 nn 1n p para todo n 1 qualquer que seja o natural p 1 Assim usando a Questão 1 e o critério da comparação n1 1nn 1n 2n p n1 1n2 e a série converge Definição Seja an uma sequência de números reais Dizemos que a série n1 an converge para uma soma S R se a sequência das somas parciais Sn k1n ak converge para S quando n Caso contrário dizemos que a série diverge Questão 4 Prove que se n1 an é convergente então n1an2 é convergente Solução Essa afirmação é falsa Considere a2n 1n e a2n1 1n A série n1 an converge pois as somas parciais satisfazem S2N a1 a2 a2N 11 11 12N 12N 0 e também S2N1 S2N a2N1 0 12N 1 12N 1 0 quando N Mas n1an2 n1 1n que diverge Questão 5 Mostre que se an é uma decrescente e an é uma série convergente então limn nan 0 Solução Sendo an uma sequência decrescente temos a1 a2 Assim a1 a2 a3 aN a1 a1 a1 Na1