Resolução Detalhada da Proposição 3

Definição Um conjunto α de números racionais dizse um corte se satisfazer as seguintes condições i α e α Q ii Se n α e s n s racional então s α iii Em α não existe elemento máximo Proposição 3 Seja α x Q x 0 U x Q x2 2 Então α é um corte que não possui uma cota superior mínima Demonstração 1 α é um corte i Notemos que 0 α α Também 2 α pois 22 4 2 α Q ii Se n α e s n s racional vamos a provar s α Como n α n 0 ou n Q n2 2 Se n 0 S n 0 s 0 daí s α Se n Q n2 2 Se s 0 s α Se s 0 s n 0 s2 n2 2 s2 2 Daí s Q s2 2 ie s α Em qualquer caso s α iii Por contradição Supo nhamos que existe n0 α tal que n0 é elemento máximo Vamos a mostrar que para cada n α é possível encontrar um racional sec tal que n s De fato Se n 0 1 Q e 12 2 1 α E n 0 1 n 1 Assim existe s1 α tal que n s Se n Q n2 2 Achemos h Q tal que n h2 n2 2nh h2 h h 2n n2 h 1 2n n2 2 δ h 1 h 1 2n 2 n2 h 2 n2 1 2n Assim tomemos h Q 0 h 1 e h 2 n2 1 2n seja s n h logo s Q pois n Q e h Q s n pois h 0 s2 n h2 n2 2nh h2 h 1 2n n2 2 h 1 h 2 n2 1 2n s2 2 s Q s2 2 isto é s α e n s Assim para o elemento máximo n0 existe s α tal que n0 s Proposição 2 Todo corte que possui uma cota superior mínima é um corte racional Proposição 3 Seja αx Q x 0 U x Q x2 2 Então α é um corte que não possui uma cota superior mínima Demonstração i α é corte ii r iii Por contradição supor que exista r α r i r2 2 e encontra a contradição sr h h Q 0 h 1 2 α não possui cota superior mínima Referência TCC Gabriela Machado Isto é uma contradição pois no é máximo Logo α não existe elemento máximo Portanto α é um corte 2 α não possui cota superior mínima Seja π α π x Q x 0 x Q x² 2 π x Q x 0 x Q x² 2 Assim se p é uma superior de α p 0 e p Q tal que p² 2 mas não existe racional com q² 2 Logo se p é uma cota superior de α p 0 e p Q tal que p² 2 Seja q p p²22p onde p cota superior q p p²22p 0 q p p 0 também q p p²22p 2p² p² 22p p² 22p 0 q 0 Assim 0 q p Por outro lado q² p p²22p² p² 2p p²23p p²22p² q² p² p² 2 p²22p² q² 2 p²22p² 2 q² 2 Assim q p e q² 2 isto é q é cota superior Portanto para cada cota superior p existe outra cota superior q tal que q p Daí α não possui cota superior mínima