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Trabalho 1 de Fundamentos de Analise Parte 1 Curso de Licenciatura em Matematica PUC MG Professora Neila Oliveira 20251 1 Considere a relacao definida sobre o conjunto dos numeros racionais a b c d quando ad bc Prove que para α β γ Q valem a α β α γ β γ b α β γ 0 αγ βγ c α β γ 0 αγ βγ 2 Um conjunto A e chamado enumeravel se existe uma bijecao σ A N a Prove que todo subconjunto infinito de N e enumeravel b Prove que Q e enumeravel c Mostre que a uniao finita de conjuntos enumeraveis e enumeravel d Prove que Q e enumeravel 3 Mostre que o lado de um quadrado com medida de uma unidade e sua diagonal sao grandezas incomensuraveis 4 Prove geometricamente que os lados de um retˆangulo aureo sao grandezas incomen suraveis vocˆe pode encontrar sobre retˆangulo aureo em AVILA Geraldo Analise matematica para licenciatura 3 ed Sao Paulo Editora Blucher 2006 Ebook p65 ISBN 9788521215363 5 Mostre que todo corte que possui uma cota superior mınima e um corte racional 6 a Dˆe dois exemplos de cortes racionais provando que os exemplos dados corres pondem de fato a cortes racionais Dˆe dois exemplos de subconjuntos racionais que nao sao cortes b Mostre que α x Qx2 3 Q e um corte naoracional 1 Fundamentos de Analise Nikao 1 a Sejam α a b β c d e γ e f Como α β temos a d b c A soma α γ a b e f afeb bf Da mesma forma β γ c d e f cfed df Para mostrar que α γ β γ precisamos mostrar que a f e b d f b f c f e d a d f 2 e b d f b c f 2 e b d f Como a d b c a desigualdade acima e valida o que completa a prova b Sejam α a b β c d e γ e f 0 Como α β temos a d b c O produto αγ a b e f ae bf Da mesma forma βγ c d e f ce df Para mostrar que αγ βγ precisamos mostrar que a e d f b f c e a d e f b c e f Como a d b c e e f 0 a desigualdade acima e valida o que completa a prova c Sejam α a b β c d e γ e f 0 Como α β temos a d b c O produto αγ a b e f ae bf Da mesma forma βγ c d e f ce df Para mostrar que αγ βγ precisamos mostrar que a e d f b f c e 1 a d e f b c e f Como a d b c e e f 0 a desigualdade acima é válida o que completa a prova 2 a Seja A N infinito Como N é bem ordenado podemos listar os elementos de A em ordem crescente a1 a2 a3 A função σ A N definida por σan n é uma bijeção logo A é enumerável b Q é o conjunto dos números racionais positivos Podemos listar todos os números racionais positivos em uma sequência por exemplo usando o método diagonal de Cantor Assim existe uma bijeção σ Q N logo Q é enumerável c Sejam A1 A2 An conjuntos enumeráveis Para cada Ai existe uma bijeção σi Ai N Podemos construir uma bijeção σ ni1 Ai N usando o fato de que a união finita de conjuntos enumeráveis é enumerável Portanto a união finita de conjuntos enumeráveis é enumerável d Q pode ser escrito como a união de Q Q e 0 Como Q e Q são enumeráveis e a união finita de conjuntos enumeráveis é enumerável Q é enumerável 3 Considere um quadrado com lado de comprimento 1 A diagonal d do quadrado é 2 Suponha que 1 e 2 são comensuráveis ou seja existe um número racional r tal que 2 r 1 Isso implicaria que 2 é racional o que é uma contradição pois 2 é irracional Portanto o lado e a diagonal de um quadrado são grandezas incomensuráveis 4 Um retˆangulo aureo tem lados na proporcao a b ϕ onde ϕ 1 5 2 e a razao aurea Suponha que a e b sao comensuraveis ou seja existe um numero racional r tal que ϕ r Isso implicaria que ϕ e racional o que e uma contradicao pois ϕ e irracional Portanto os lados de um retˆangulo aureo sao grandezas incomensuraveis 5 Um corte α em Q e um subconjunto de Q que e nao vazio fechado para baixo e nao possui um elemento maximo Se α possui uma cota superior mınima s entao s e o supremo de α Como s e racional α e um corte racional 6 a Exemplos de Cortes Racionais 1 α x Q x 1 2 β x Q x 2 Ambos α e β sao nao vazios fechados para baixo e nao possuem um elemento maximo portanto sao cortes racionais Exemplos de Subconjuntos Racionais que nao sao Cortes 1 A x Q x2 2 2 B x Q x 0 ou x2 3 A e B nao sao cortes porque nao sao fechados para baixo ou possuem um elemento maximo b α e nao vazio fechado para baixo e nao possui um elemento maximo No entanto o supremo de α e 3 que nao e racional Portanto α e um corte naoracional 3