Resolução da Lista

Trabalho 1 de Fundamentos de Analise Parte 1 Curso de Licenciatura em Matematica PUC MG Professora Neila Oliveira 20251 1 Considere a relacao definida sobre o conjunto dos numeros racionais a b c d quando ad bc Prove que para α β γ Q valem a α β α γ β γ b α β γ 0 αγ βγ c α β γ 0 αγ βγ 2 Um conjunto A e chamado enumeravel se existe uma bijecao σ A N a Prove que todo subconjunto infinito de N e enumeravel b Prove que Q e enumeravel c Mostre que a uniao finita de conjuntos enumeraveis e enumeravel d Prove que Q e enumeravel 3 Mostre que o lado de um quadrado com medida de uma unidade e sua diagonal sao grandezas incomensuraveis 4 Prove geometricamente que os lados de um retˆangulo aureo sao grandezas incomen suraveis vocˆe pode encontrar sobre retˆangulo aureo em AVILA Geraldo Analise matematica para licenciatura 3 ed Sao Paulo Editora Blucher 2006 Ebook p65 ISBN 9788521215363 5 Mostre que todo corte que possui uma cota superior mınima e um corte racional 6 a Dˆe dois exemplos de cortes racionais provando que os exemplos dados corres pondem de fato a cortes racionais Dˆe dois exemplos de subconjuntos racionais que nao sao cortes b Mostre que α x Qx2 3 Q e um corte naoracional 1 Estruturas Algébricas Lista de Exercícios Problema 1 Considere a relacao definida sobre Q por a b c d a d b c Resposta a Se α β entao α γ β γ Suponha α a b β c d e γ e f com a d b c Então af eb bf cf ed df af ebdf cf edbf adf 2 ebdf cbf 2 edbf Pois temos que ad bc que implica em adf 2 bcf 2 O que atesta a veracidade de α γ β γ b Se α β e γ 0 então αγ βγ Multiplicando ambos os lados por γ 0 preservamos a desigualdade ad bc ad e f bc e f Como adef bcef temos que vale a desigualdade c Se α β e γ 0 então αγ βγ Como γ 0 multiplicar por γ inverte a desigualdade ad bc ad e f bc e f Suponha que e 0 e f 0 como adef bcef temos que vale a desigualdade Problema 2 Resposta 1 a Seja A N um subconjunto infinito A inclusão é uma função injetiva em N Deste modo a cardinalidade de A é menor ou igual a cardinalidade de N Por outro lado considere a função ordem que diz a ordem do elemento do conjunto A dentre seus elementos Como é infinito temos que o A N é sobrejetiva Logo a cardinalidade de A é igual a cardinalidade de N b Como o produto cartesiano finito de conjuntos enumeráveis é enumerável temos que N N N² é enumerável Podemos fazer uma injeção ou mergulho de Q em N² por ab ab c Considere uma uniao finita de conjunto enumeráveis N1 Nk No pior caso estes conjuntos não têm interseção podemos pensar em uma separação dos conjuntos dada por 1x1i 2x2i kxki Este novo conjunto tem cardinalidade maior ou igual ao original O ponto é que esse novo conjunto pode ser mergulhado em N² da seguinte forma rxri rφrxri onde φr Nr N Logo a cardinalidade da união é menor ou igual a de N d Como Q Q Q 0 temos que ele é a união de conjuntos enumeráveis sendo portanto enumerável Problema 3 Mostre que o lado de um quadrado com medida de uma unidade e sua diagonal são grandezas incomensuráveis Resposta Se um quadrado tem lado 1 sua diagonal e 2 Como 2 não e racional os lados e a diagonal são incomensuráveis Duas grandezas são incomensuráveis quando não existe uma unidade de medida comum que possa ser usada para expressalas como múltiplos inteiros exatos dessa unidae Em termos matemáticos isso significa que a razão entre essas grandezas e um numero irracional No caso a razão entre a diagonal e o lado do quadrado e 2 que e irracional o que prova que essas grandezas são incomensuráveis Problema 4 Prove geometricamente que os lados de um retângulo áureo são grandezas incomensuráveis Resposta Um retângulo áureo e aquele cujos lados estão na razão áurea φ definida como φ 1 52 Seja um retângulo áureo com lados a e b onde a b então a b ϕ Para provar geometricamente que os lados a e b são incomensuráveis consideramos a seguinte construção 1 Subdivisão do Retângulo Áureo Removemos um quadrado de lado b do retângulo áureo original O retângulo restante ainda sera um retângulo áureo pois suas dimensões permanecem na mesma razão ϕ Esse processo pode ser repetido infinitamente gerando retângulos áureos menores a cada etapa 2 Argumento de Infinita Recursão Se os lados a e b fossem comensuráveis existiria uma unidade de medida comum u tal que a mu e b nu para inteiros m n Nesse caso apos um numero finito de subdivisões deveríamos obter um quadrado perfeito No entanto a subdivisão continua indefinidamente indicando que a e b não podem ser expressos como múltiplos inteiros de uma mesma unidade 3 Conclusão pela Irracionalidade de ϕ Como ϕ 1 5 2 e 5 e irracional segue que ϕ também e irracio nal Assim a razão entre os lados do retângulo áureo não pode ser expressa como uma fração de números inteiros Portanto os lados do retângulo áureo são grandezas incomen suráveis Problema 5 Mostre que todo corte que possui uma cota superior mínima e um corte racional Resposta Se um corte C tem cota superior mínima ou seja a cota superior está no conjunto essa cota deve ser racional pois um irracional x como cota superior teria racionais arbitrariamente próximos menores que ele visto que existiria r Q tal que x ε r x contradizendo a minimalidade 3 Neste caso a suposição do corte possuir uma cota superior racional gera o problema logo só pode possuir se esta cota for racional Problema 6 De dois exemplos de cortes racionais e dois exemplos de sub conjuntos racionais que não são cortes Resposta a Exemplos de cortes racionais C1 x Qx 2 C2 x Qx 32 b Conjunto com maior elemento S1 x Q x 2 Esse conjunto não é um corte porque contém um maior elemento 2 violando a propriedade de que um corte não deve possuir um maior elemento Conjunto não conexo S2 x Q x 2 x 32 Esse conjunto não é um corte porque não é um intervalo contínuo A ausência do número 32 faz com que ele não satisfaça a proprie dade de que se um número racional menor que um elemento está no corte então todos os menores também deveriam estar 4