Decomposição Espectral e Formas Quadráticas em Matrizes Ortogonais

ÁLGEBRA LINEAR Marcelo Maximiliano Danesi Decomposição espectral e formas quadráticas Uma matriz A n n é dita ortogonal se A AT AT A I Isto é se A1 AT Considere as matrizes quadradas A 35 45 45 35 B 15 26 230 25 16 130 0 16 530 Mostre que A e B são matrizes ortogonais pela definição Solução A forma mais simples é calcular o produto da matriz pela sua transposta Se esse produto resultar na matriz identidade então a matriz em questão será ortogonal A AT 35 45 45 35 35 45 45 35 1 0 0 1 B BT 15 26 230 25 16 130 0 16 530 15 25 0 26 16 16 230 130 530 1 0 0 0 1 0 0 0 1 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 2 O exemplo anterior é interessante por mostrar uma propriedade entre linhas e colunas de uma matriz ortogonal frente ao produto escalar Se A é matriz n n então as afirmações a seguir são equivalentes a A é ortogonal b Os vetores coluna de A formam uma base ortonormal do ℝn c Os vetores linha de A formam uma base ortonormal do ℝn Isso significa que as matrizes ortogonais são essencialmente matrizes de mudança de base Uma matriz A aij n n é dita simétrica se AT A Isto é se para cada i j 1 n aij aji Um caso particular de matriz simétrica são as matrizes diagonais Uma matriz D dij n n é dita diagonal se dij 0 para i j e i j 1 n isto é uma matriz diagonal apresenta entradas nulas em todas as posições fora da diagonal principal 3 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas Estas matrizes são simétricas A 3 4 4 3 B 1 5 0 5 2 3 0 3 0 C 2 0 0 0 0 0 0 0 5 Em particular C é uma matriz diagonal Estamos definindo essas características para mostrar no exemplo a se guir a relação entre matrizes ortogonais e simétricas Generalizaremos esse resultado na sequência Diagonalize a matriz simétrica A 3 4 4 3 Solução A equação característica de A é detA λI 0 det 3 λ 4 4 3 λ 0 3 λ3 λ 16 0 9 3λ 3λ λ2 16 0 λ2 25 0 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 4 Dessa forma P e D 25 15 15 25 5 0 0 5 P1AP D são matrizes tal que P1AP D Como P é ortogonal P1 PT Logo 25 15 15 25 25 15 15 25 5 0 0 5 3 4 4 3 Isto é a matriz simétrica A é diagonalizável por uma matriz ortogonal formada pelos seus autovetores O resultado do exemplo não é uma coincidência Inclusive podemos enunciar que uma matriz A n n é diagonalizável por matriz ortogonal se e somente se A for matriz simétrica Outras propriedades de uma matriz A n n simétrica são as seguintes a A tem n autovalores reais contando multiplicidades b A dimensão do subespaço correspondente a cada autovalor λ é igual à multiplicidade da raiz λ na equação característica de A c Os subespaços definidos por cada autovalor são ortogonais entre si no sentido que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais Em suma toda matriz simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal composta por autovetores Mas como proceder quando temos raízes múltiplas na equação característica O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 6 Lembrandose de que qualquer múltiplo de um autovetor também é um autovetor associado ao mesmo autovalor podemos normalizar a base B e construir uma base ortonormal de autovetores G 2 3 1 3 2 3 0 1 5 2 5 4 45 2 45 5 45 Dessa forma 23 15 445 13 25 245 23 0 545 P e D 3 0 0 0 6 0 0 0 6 são matrizes tal que P1AP D Como P é ortogonal P1 PT Logo 3 0 0 0 6 0 0 0 6 23 13 23 15 25 0 445 245 545 23 15 445 13 25 245 23 0 545 2 2 4 2 5 2 4 2 2 Isto é a matriz simétrica A é diagonalizável por uma matriz ortogonal formada pelos seus autovetores Como esse exemplo ilustra o processo de diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica A n n pode ser descrito pelo algoritmo a seguir a Calcule as raízes reais contando multiplicidade da equação caracte rística de A b Encontre a base de autovetores associada a cada autovalor c Use o método de GramSchmidt em cada uma das bases encontradas para obter uma base ortonormal do subespaço associado a cada autovalor d Escreva as matrizes a seguir respeitando a ordem que o autovalor λi está associado ao autovetor coluna v i P v 1 v 2 v n e 9 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas D λ1 0 0 λ1 0 0 0 0 λn e Escreva a diagonalização ortogonal de A de forma que PTAP D D λ1 0 0 λ1 0 0 0 0 λn Note que no algoritmo de diagonalização ortogonal a matriz P é ortogonal e a matriz D é diagonal Uma consequência da decomposição descrita anteriormente é que respei tando a notação anterior podemos escrever a matriz A como A PDPT Isto é λ1 0 0 λ2 0 0 0 0 λn A v 1 v 2 v n v 1 v 2 v n T T T o que é equivalente a escrever A λ1v 1v 1 λ2v 2v 2 λnv nv n T T T O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 10 que é denominada decomposição espectral da matriz A Para fins de cálculo vale ressaltar que v iv i T é o produto matricial da matriz v i n 1 pela matriz v i T 1 n resultando numa matriz n n Pelo cálculo do exemplo anterior podemos afirmar que a diagonalização de A 2 2 4 2 5 2 4 2 2 nos dá que 3 0 0 0 6 0 0 0 6 23 13 23 15 25 0 445 245 545 23 15 445 13 25 245 23 0 545 A Assim a decomposição espectral de A é A 3 23 13 23 6 15 25 0 23 13 23 15 25 0 445 245 545 6 445 245 545 Formas quadráticas Uma forma quadrática é uma função Q ℝn ℝ que transforma o vetor x x1 x2 xn no número real dado pela expressão Qx x Ax x1 x2 xn A T x1 x2 xn onde A é uma matriz simétrica n n associada à forma quadrática Q 11 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas No ℝ2 escreva a expressão que calcula Q se A 3 4 4 3 Pela definição Qx1 x2 x1 x2 3 4 4 3 x1 x2 Logo Qx1 x2 3x1 3x2 8x1x2 2 2 É um pouco complicado representar por fórmulas mas fixado n ℕ dada uma expressão quadrática Qx1 x2 xn α1x1 α2x2 αnxn β12x1x2 βn1nxn1xn 2 2 2 Com α1 αn β12 βn1n ℝ sempre conseguiremos encontrar uma matriz simétrica A n n que reduz a expressão acima a uma forma quadrá tica Para tanto basta ocupar a diagonal principal de A com os coeficientes dos termos xi 2 e dividir igualmente entre as posições ij e ji de A i j os coeficientes dos termos cruzados xixj O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 12 Escreva a matriz simétrica associada à expressão quadrática Qx1 x2 x3 1x1 3x2 2x3 7x1x2 5x1x3 4x2x3 2 2 2 Pelo que observamos a matriz simétrica A aij contém na diagonal principal os elementos a11 1 a22 3 a33 2 e nas posições anteriores da diagonal principal i j os elementos a12 72 a13 52 a23 42 De forma simétrica preenchemos as demais posições e a matriz A é A 1 72 52 72 3 2 52 2 2 Mudança de variáveis nas formas quadráticas É fato que os termos cruzados xixj estão ligados aos termos fora da diagonal principal da matriz A A dúvida que nos resta é será que existe uma mudança de coordenadas de x x1 x2 xn para y y1 y2 yn de maneira que a forma quadrática nas novas coordenadas não contenha termos cruzados yiyj A resposta é praticamente imediata agora que compreendemos o processo de diagonalização de uma matriz simétrica por matrizes ortogonais Dada uma matriz simétrica A n n existem P e D matrizes n n tal que P é ortogonal e formada por uma base de autovetores de A e D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de A Se considerarmos a mudança de coordenadas x Py ou reciprocamente P1x y temos Qx Py T APy y T PT APy y TDy 13 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas Sendo essa última forma livre dos termos cruzados yiyj Vamos aproveitar os exemplos anteriores para mostrar como a mudança de coordenadas funciona para uma forma quadrática do ℝ2 A forma quadrática Qx1 x2 3x1 3x2 8x1x2 2 2 tem matriz simétrica associada A 3 4 4 3 que pode ser ortogonalmente diagonalizável por P e D 25 15 15 25 5 0 0 5 Se tomarmos a mudança de coordenadas x1 y1 y2 2 5 1 5 x2 y1 y2 1 5 2 5 ou reciprocamente y1 x1 x2 2 5 1 5 y2 x1 x2 1 5 2 5 podemos reescrever Q como Qy1 y2 5y1 5y2 2 2 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 14 Para o cálculo de P1x y lembrese de que P1 PT já que P é ortogonal Nessas condições as colunas de P são chamadas de eixos principais da forma quadrática Qx enquanto que y é o vetor formado pelas coordenadas de x relativas à base ortonormal do ℝn formada pelos eixos principais que são autovetores de A Repare também que em relação a y a forma quadrática é dada pela soma dos termos yi 2 e seus coeficientes são os autovalores de A Uma forma quadrática tem por imagem o conjunto de todos os valores possíveis de Qx com x variando em ℝn A mudança de coordenadas x Py não altera a imagem da forma quadrática ou seja a imagem de Qx com x variando em ℝn é igual à imagem de y TDy com y variando em ℝn Matriz positiva definida Dada uma forma quadrática existe uma mudança de coordenadas x Py tal que Qx λ1y1 λ2y2 λnyn 2 2 2 onde λ1 λ2 λn ℝ são os autovalores da matriz simétrica associada a Qx Essa conclusão nos permite classificar a forma Qx por meio dos autovalores λ1 λ2 λn Dada A matriz simétrica n n e Qx forma quadrática definida por A dizemos que a forma Q é 15 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas importantes nas aplicações da teoria Então falaremos um pouco mais sobre como identificar se uma matriz simétrica é positiva definida sem calcular os seus autovalores Dada uma matriz A n n tal que A aij definimos a késima submatriz principal de A como sendo para cada k 1 n a matriz Ak a11 a12 a1k a21 a22 a2k ak1 ak2 akk Assim uma matriz simétrica A é positiva definida se e somente se o determinante de cada submatriz principal de A for positivo A matriz simétrica do exemplo anterior A 2 4 4 3 tem submatrizes principais A1 2 A2 2 4 A 4 3 Calculando os determinantes dessas matrizes percebemos que detA1 2 0 detA2 10 0 Portanto A não é positiva definida O exemplo anterior mostra que esse critério não nos dá os valores dos autovalores mas permite identificar se a matriz simétrica A é positiva definida ou não 17 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas A matriz simétrica 1 1 1 1 1 4 2 0 1 2 3 1 1 0 1 2 B tem submatrizes principais B1 1 B2 1 1 1 4 B3 1 1 1 1 4 2 1 2 3 B4 B Calculando os determinantes dessas matrizes temos que detB1 1 detB2 3 detB3 5 detB4 3 Portanto podemos afirmar que B é positiva definida sem calcular os autovalores de B Fatoração de Cholesky Quando uma matriz simétrica A é positiva definida podemos aplicar um tipo decomposição muito útil para uma importante classe de algoritmos computa cionais Algebricamente essa decomposição é consequência da fatoração LU Contudo para calcularmos a fatoração de Cholesky não precisamos calcular as matrizes L e U poupando assim um esforço computacional considerável O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 18 Dada uma matriz simétrica A aij n n A é positiva definida se e so mente se existir uma única matriz L n n triangular inferior com elementos da diagonal estritamente positivos tal que A L LT A fatoração de Cholesky possibilita calcular a matriz L lij entrada por entrada de forma recorrente de acordo com os seguintes passos 1 Para as entradas acima da diagonal principal i j lij 0 2 Para a primeira coluna l11 a11 li1 se i 2 n ai1 l11 3 Da segunda linha em diante calculamos entrada por entrada de acordo com lij se 1 j i n aij li1lj1 li2lj2 lij1ljj1 ljj lii aii li1 li2 lii1 se i 2 n 2 2 2 Aplique a decomposição de Cholesky à matriz simétrica A 2 2 4 2 5 2 4 2 21 19 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas Solução Explicitamente L é uma matriz 3 3 tal que L l11 l12 l13 l21 l22 l23 l31 l32 l33 Assim para as entradas acima da diagonal principal l12 l13 l23 0 Para a primeira coluna calculamos l11 a11 2 e l21 a21 l11 2 2 l31 a31 l11 4 2 Para a segunda linha calculamos l22 a22 l21 5 222 5 2 3 2 Para a terceira linha calculamos l32 a32 l31l21 l22 2 4222 3 6 3 l33 a33 l31 l32 21 422 632 21 8 12 1 2 2 Logo L 2 0 0 22 3 0 42 63 1 e A 2 0 0 22 3 0 42 63 1 2 2 4 2 5 2 4 2 21 2 22 42 0 3 63 0 0 1 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 20 É importante ressaltar que enquanto A for uma matriz simétrica positiva de finida todas as operações quocientes e raízes quadradas estão bemdefinidas e podemos calcular a matriz L de acordo com o algoritmo da decomposição de Cholesky Aplique a decomposição de Cholesky à matriz simétrica 1 1 1 1 1 4 2 0 1 2 3 1 1 0 1 2 B Solução Explicitamente L é uma matriz 4 4 tal que L l11 l12 l13 l14 l21 l22 l23 l24 l31 l32 l33 l34 l41 l42 l43 l44 Assim para as entradas acima da diagonal principal l12 l13 l14 l23 l24 l34 0 Para a primeira coluna calculamos l11 a11 1 1 e l21 1 a21 l11 1 1 l31 1 a31 l11 1 1 l41 1 a41 l11 1 1 21 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas Para a segunda linha calculamos l22 a22 l21 4 1 3 2 Para a terceira linha calculamos l32 a32 l32l21 l22 2 11 3 1 3 l33 a33 l31 l32 3 12 12 3 1 1 1 2 2 Para a quarta linha calculamos l42 a42 l41l21 l22 0 11 3 1 3 l44 a44 l41 l42 l43 2 12 132 132 2 2 2 5 3 l43 a43 l41l31 l42l32 l33 1 11 1313 1 1 3 Logo L 1 0 0 0 1 3 0 0 1 13 1 0 1 13 13 53 e B 1 1 1 1 1 4 2 0 1 2 3 1 1 0 1 2 1 0 0 0 1 3 0 0 1 13 1 0 1 13 13 53 1 1 1 1 0 3 13 13 0 0 1 13 0 0 0 53 É curioso observar nos últimos dois exemplos que o trabalho computa cional necessário para decomposição de B não é tão maior que o feito para a matriz A Nesse sentido é possível concluir que a decomposição de Cholesky é computacionalmente viável mesmo para matrizes de tamanho considerável O espaço vetorial ℝn formas quadráticas 22 ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 CHAPRA S C CANALE R P Métodos numéricos para engenharia 7 ed Porto Alegre AMGH 2016 LAY D C LAY S R MACDONALD J J Álgebra linear e suas aplicações 5 ed Rio de Janeiro LTC 2018 Leituras recomendadas 23 O espaço vetorial ℝn formas quadráticas