Espaço Vetorial, Base e Dimensão em ℝn

ÁLGEBRA LINEAR Marcelo Maximiliano Danesi Espaço vetorial mathbbRn base e dimensão onde α1 αn ℝ Adicionalmente os números α1 αn são chamados de coordenadas do vetor v na base B A base mais simples que podemos definir no ℝn é o que chamamos de base canônica do ℝn Essa base é formada pelos n vetores e i que têm 1 na iésima componente e 0 nas demais Em ℝ5 a base canônica é o conjunto B formado pelos vetores e 1 10000 e 2 01000 e 3 00100 e 4 00010 e 5 00001 Repare que esses vetores são linearmente independentes e a matriz 5x5 da forma demonstrada a seguir é a matriz identidade 5x5 e 1 e 5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Genericamente falando usamos bases não canônicas em ℝn quando que remos estudar aspectos do problema que não ocorrem nas direções canônicas desse espaço Pode parecer difícil mas de certa forma já estávamos estudando alguns aspectos desse assunto quando trabalhamos a definição de autovetores Espaço vetorial ℝn base e dimensão 2 Em ℝ4 se considerarmos o conjunto formado pelos vetores v 1 1024 v 2 0132 v 3 1233 v 4 4127 a B v 1 v 2 v 3 v 4 é um conjunto linearmente independente b Como podemos escrever o vetor v 1 11374 como uma combinação linear dessa base Isto é quais são as coordenadas de v na base B Solução a B é um conjunto linearmente independente porque a a seguinte equação matricial admite apenas a solução trivial 0000 Podemos calcular isso pelo método de Gauss 1 0 1 4 0 1 2 1 2 3 3 2 4 2 3 7 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 b Pela definição precisamos calcular α1 α2 α3 α4 de forma que v α1 v 1 α2 v 2 α3 v 3 α4 v 4 Substituindo os vetores temos 11 3 7 4 α1 1 0 2 4 α2 0 1 3 2 α3 1 2 3 3 α4 4 1 2 7 Isso equivale a solucionar a seguinte equação matricial que pode ser resolvida usando o método de Gauss 1 0 1 4 0 1 2 1 2 3 3 2 4 2 3 7 a1 a2 a3 a4 11 3 7 4 Dessa forma podemos calcular que existe uma única solução dada por α1 α2 α3 α4 3102 3 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Uma observação que podemos fazer em relação ao exemplo anterior é que a solução calculada 3102 realmente descreve coordenadas do vetor v 11374 na base B Isto é estamos considerando um sistema de referência diferente do sistema de coordenadas definido pela base canônica e isso está definindo outra maneira de nos referirmos a esse vetor Aproveitando definimos a notação v B α1 αn se esse é o vetor formado pelos coeficientes de v na base B de ℝn O caso particular onde B é a base canônica temos que v B v Quando fixamos um vetor v em ℝn ele existe independente de uma base Quando fixamos uma base B e escrevemos a representação de v na base B essa representação v B é única em relação a B e para cada base teremos uma representação diferente Matriz de mudança de base em ℝn Com base no que vimos anteriormente podemos nos perguntar como calcular uma matriz de mudança de coordenadas de uma base para outra do ℝn Considere B v 1 v n uma base ℝn e ℰ a sua base canônica Se tomar mos a matriz n n da forma MBℰ v 1 v n essa matriz transforma um vetor v B na sua forma canônica v Desse modo se quisermos calcular uma matriz que faça o caminho contrário isto é que calcule v B a partir do vetor v precisamos calcular a matriz inversa de MBE Espaço vetorial ℝn base e dimensão 4 Em ℝ2 a base B 31 21 define a matriz MBℰ 3 2 1 1 Assim a como podemos calcular a inversa dessa matriz b dado v 34 como calcular a sua forma na base B Solução a Como essa é uma matriz 2 2 e seu determinante é não nulo podemos usar a fórmula a b c d 1 1 ad bc d b c a que resulta em MBℰ 1 1 3 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 b Assim podemos calcular diretamente que v B MBℰ v 1 1 2 1 3 3 4 11 15 3 8 3 12 Isto é v B 1115 Isso significa que v 11 31 15 21 34 onde essa última igualdade mostra como v B é o vetor v só que escrito de uma forma alternativa não canônica A fim de simplificar um pouco a notação vamos nos aproveitar da sime tria do problema acima e escrever que MℰB MBℰ Essa matriz é a matriz mudança de coordenadas da base canônica ℰ para a base B pela igualdade v B MℰB v 1 5 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Em ℝ3 a base B 121 210 141 define a matriz MBℰ 1 2 1 2 1 4 1 0 1 Assim a como podemos calcular a inversa dessa matriz b dado v 521 como calcular a sua forma na base B Solução a Como essa é uma matriz 3 3 usamos o método de redução linear ANTON ROR RES 2012 p 55 onde juntamos a matriz identidade I à direita de MBℰ da forma MBℰ I e efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I Desse modo a matriz final terá a forma I MℰB Fazendo as contas temos 1 2 1 2 1 4 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Trocamos a primeira e a terceira linhas e multiplicamos a segunda por 1 1 0 1 2 1 4 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Somamos duas vezes a primeira linha à segunda e a primeira linha à terceira 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 0 1 0 1 2 1 0 1 Espaço vetorial ℝn base e dimensão 6 Somamos duas vezes a segunda linha à terceira 1 0 1 0 1 2 0 0 2 0 0 1 0 1 2 1 2 5 Multiplicamos a terceira linha por 12 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 1 2 12 1 52 Somamos 1 vez a terceira linha à primeira e duas vezes a terceira linha à segunda 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 1 1 12 52 1 12 72 Portanto MℰB 1 2 7 2 1 1 3 1 1 1 2 5 2 b Com a matriz MℰB calculada podemos calcular diretamente que v B MℰB v 1 3 1 5 2 1 1 4 2 52 2 72 5 2 3 52 2 52 1 12 72 12 1 52 Isto é v B 142 Isso significa que v 1 121 4 210 2 141 521 onde esta última igualdade mostra como v B é o vetor v só que escrito de uma forma alternativa não canônica 7 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Bases de um subespaço do ℝn De forma similar ao que definimos anteriormente dado um subespaço vetorial E do ℝn uma base de E é um conjunto B de vetores linearmente independentes tal que BE e B é gerador de E Isto é se v E e B é uma base de E então existem v 1 v m e α1 αm ℝ tal que v α1 v 1 αm v m Essa combinação é única em E Adicionalmente os números α1 αm são chamados de coordenadas do vetor v na base B É importante observar que o número de vetores m na base de um subespaço de ℝn é tal que m n Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de subespaços do ℝ3 a B1 143 025 b B2 212 123 347 c B3 143 025 111 d Dos conjuntos B1 B2 e B3 anteriores considere apenas os que definem uma base e para cada um determine se o vetor v 120 pertence ao subespaço gerado Solução a B1 é linearmente independente pois seus vetores não são múltiplos Isso significa que o espaço gerado por B1 é um subespaço de ℝ3 b B2 é linearmente dependente pois a equação matricial 2 1 3 1 2 4 2 3 7 x1 x2 x3 0 0 0 admite outras soluções diferentes da solução trivial 000 Podemos observar isso por meio do método de Gauss e da falta de pivôs na forma escalonada Logo B2 não é uma base de um subespaço do ℝ3 Espaço vetorial ℝn base e dimensão 8 a B3 é linearmente independente pois a equação matricial 1 0 1 4 2 1 3 5 1 x1 x2 x3 0 0 0 admite apenas a solução trivial 000 calculada por exemplo pelo método de Gauss Logo B3 é uma base de um subespaço do ℝ3 base do próprio ℝ3 na verdade b Em B1 v pertence ao subespaço gerado se existe solução para a equação vetorial 1 2 0 1 4 3 0 2 5 α1 α2 No caso essa igualdade não tem solução pois as soluções na primeira α1 1 e segunda coordenadas α2 1 não são soluções na terceira coordenada Portanto v não pertence ao gerado de B1 Em B3 a equação vetorial 1 2 0 1 1 1 1 4 3 0 2 5 α1 α2 α3 é equivalente à equação matricial 1 0 1 4 2 1 3 5 1 a1 a2 a3 1 2 0 Usando o método de Gauss temos que v B3 723 123 1623 e v pertence ao gerado de B3 Qualquer conjunto de vetores de ℝn gera um subespaço de ℝn Para um conjunto ser base desse subespaço ele precisa ser formado apenas por vetores linearmente independentes Isto é a base de um subespaço é o menor conjunto de vetores que gera esse subespaço Vamos falar mais sobre essa diferença ainda neste capítulo 9 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Dimensão de um subespaço vetorial do mathbbRn Seja E o subespaço vetorial de ℝ3 formado pelos vetores v x y z que satisfazem x 2y 4z 0 Como podemos obter uma base v 1 v 2 ℝ3 de forma que v 1 v 2 E Solução A equação x 2y 4z 0 admite infinitas soluções xyz Uma maneira de expres sarmos essas soluções é escrevendo a equação como x 2y 4z e atribuirmos valores arbitrários para y e z a fim de calcularmos x É importante lembrarse da noção de variável livre e variável dependente Nesse caso x é variável dependente enquanto que y e z são variáveis independentes Se escolhermos y 2 e z 3 calculamos x 2 2 4 3 16 Assim o vetor v 1 1623 satisfaz a equação dada e podemos afirmar que v 1 E Para calcularmos v 2 é conveniente lembrarse de que desejamos descrever uma base de E Isso implica que os vetores precisam ser linearmente independentes no caso da dimensão 2 e não podem ser múltiplos Isto é se escolhermos y 4 e z 6 então o vetor 3246 não seria uma boa alternativa pois ele é múltiplo de v 1 Se escolhermos y 0 e z 1 calculamos x 2 0 4 1 4 Assim o vetor v 2 401 satisfaz a equação dada o conjunto v 1 v 2 é linearmente independente e seu plano gerado é descrito pela equação No exemplo anterior a equação x 2y 4z apresenta infinitas soluções Isso significa que existem infinitas bases que podemos escolher para E O importante é observar que todas essas bases descrevem exatamente o mesmo subespaço E 11 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Subespaços vetoriais de ℝn n 3 Em geral para n 3 não nos preocupamos em dar nome aos subespaços que surgem do ℝn pois eles podem ser descritos por meio de bases ou condições algébricas a respeito dos vetores que compõem esse subespaço Veja os exem plos a seguir Seja F o subespaço vetorial de ℝ4 formado pelos vetores v xyzw que satisfazem 3x y z 0 2x 3y w 0 Como podemos obter uma base de F Qual é a dimensão desse subespaço Solução Esse exemplo apesar de mais complexo não é tão diferente do anterior no qual identificamos algumas variáveis livres na equação e escrevemos as variáveis depen dentes a partir dessas Neste exemplo faremos o mesmo no sistema de equações dado Considerando 3x y z 0 2x 3y w 0 Escrevemos z e w em função de x e y z 3x y w 2x 3y Substituindo as variáveis z e w em v podemos reescrever v como v xy 3x y 2x 3y que por sua vez por ser reescrito como a soma de um vetor que depende de x e um vetor que depende de y v xy 3x y 2x 3y x03x2y 0yy3y Espaço vetorial ℝn base e dimensão 12 que por sua vez pode ser reescrito como a combinação linear de dois vetores v x 1032 y 0113 Portanto qualquer v F é uma combinação linear de v1 1032 v2 0113 E v 1 v 2 é uma base do subespaço vetorial F de dimensão 2 em ℝ4 Seja G o subespaço vetorial de ℝ5 formado pelos vetores v x1x2x3x4x5 que satisfazem 3x1 2x2 2x3 x4 0 x1 2x3 3x4 2x5 0 Como podemos obter uma base de G Qual é a dimensão desse subespaço Solução Vamos tentar generalizar os exemplos anteriores por meio deste O sistema de equações lineares 3x1 2x2 2x3 x4 0 x1 2x3 3x4 2x5 0 apresenta 5 variáveis e 2 equações Isto é podemos escolher 3 variáveis livres e escrever as demais em função dessas apenas Para isso somamos 3 vezes a segunda equação à primeira 2x2 8x3 10x4 6x5 0 x1 2x3 3x4 2x5 0 Multiplicamos a primeira linha por 12 e a segunda linha por 1 x2 4x3 5x4 3x5 0 x1 2x3 3x4 2x5 0 13 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Logo podemos escrever x1 e x2 em função das demais variáveis x2 4x3 5x4 3x5 x1 2x3 3x4 2x5 e v como a soma de 3 vetores cada um dependendo de apenas uma das variáveis livres v 2x3 3x4 2x54x3 5x4 3x5x3x4x5 2x34x3x300 3x45x40x40 2x53x500x5 x3 24100 x4 35010 x5 23001 Portanto qualquer v G é uma combinação linear de v1 24100 v2 35010 v3 23001 E v 1 v 2 v 3 é uma base do subespaço vetorial G de dimensão 3 em ℝ5 Bases em conjuntos e sua dimensão Vamos retomar alguns conceitos e analisar com cuidado como identificar se um conjunto dado é uma base para um subespaço Existem vários conceitos implícitos nesse objetivo Mencionamos anteriormente que nem todo conjunto de vetores é uma base Por definição isso ocorre sempre que um conjunto de vetores é linearmente dependente Num conjunto de vetores linearmente dependente não consegui mos determinar a dimensão do gerado desse conjunto ou uma representação única levando em consideração esse conjunto de vetores Espaço vetorial ℝn base e dimensão 14 Em ℝ5 considere o conjunto de vetores C 20314 01122 2213023052 e veja que a C é linearmente dependente b podemos determinar um subconjunto de C que é linearmente independente e que gera o mesmo subespaço que C Solução a Por definição v 1 v 2 v 3 v 4 é linearmente independente se α1 v 1 αn v n 0 admite apenas a solução trivial α1α2α3α4 0000 Quando aplicamos esse critério aos vetores dados temos 2 0 3 1 4 0 1 1 2 2 2 2 1 3 0 2 3 0 5 2 0 0 0 0 0 α1 α2 α3 α4 Essa igualdade pode ser escrita na forma matricial 2 0 2 2 0 1 2 3 3 1 1 0 1 2 3 5 4 2 0 2 a1 a2 a3 a4 0 0 0 0 0 que resolveremos usando a matriz aumentada e eliminação gaussiana ANTON RORRES 2012 p 11 Assim em 2 0 2 2 0 0 1 2 3 0 3 1 1 0 0 1 2 3 5 0 4 2 0 2 0 15 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Multiplicamos a primeira linha por 12 e a quinta linha por 12 1 0 1 1 0 0 1 2 3 0 3 1 1 0 0 1 2 3 5 0 2 1 0 1 0 Somamos 3 vezes a primeira linha à terceira1 vez a primeira linha à quarta e2 vezes a primeira linha à quinta 1 0 1 1 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 2 4 6 0 0 1 2 3 0 Somamos 1 vez a segunda linha à terceira 2 vezes a segunda linha à quarta e a primeira linha à quinta 1 0 1 1 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nesse momento podemos analisar que α3 e α4 são variáveis livres do sistema Isso significa que existem infinitas combinações α1α2α3α4 que resultam no vetor nulo Portanto C é linearmente dependente b Podemos verificar que se v 1 20314 v 2 01122 v 3 22130 v 4 23052 então v 4 v 1 3v 2 e v 3 v 1 2v 2 Isso nos permite afirmar que B v 1 v 2 é uma base do gerado de C Isso ocorre por percebermos que todos os vetores de C são obtidos por combinações de apenas dois vetores não múltiplos e portanto linearmente independentes Assim quaisquer dois vetores não múltiplos no gerado de C formam uma base do gerado de C Espaço vetorial ℝn base e dimensão 16 No exemplo anterior vimos que o vetor v 3 pode ser escrito em relação ao conjunto C como v 3 1v 1 2v 2 0v 3 0v 4 ou como v 3 0v 1 0v 2 1v 3 0v 4 Isso ilustra nossa afirmação de que os vetores de um subespaço apresentam de composição única apenas sobre uma base daquele subespaço Ainda observando o exemplo anterior vemos que não é imediato perceber que a dimensão do conjunto gerado por C é 2 Vejamos agora uma versão simplificada do teorema do posto para matrizes ANTON RORRES 2012 p 238 que nos dará a solução para esse problema Em ℝn dado o conjunto de vetores C v 1 v m o subespaço vetorial gerado por C terá dimensão igual ao número de pivôs da forma escalonada da matriz M v 1 v m Adicionalmente as colunas que tiverem pivôs na forma escalonada são as dos vetores em M que compõem uma base do gerado de C Retomando o exemplo anterior em ℝ5 o conjunto de vetores C 20314 01122 22130 23052 17 Espaço vetorial ℝn base e dimensão tem uma matriz associada 2 0 2 2 0 1 2 3 3 1 1 0 1 2 3 5 4 2 0 2 Como essa matriz tem uma forma escalonada 1 0 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 podemos afirmar que o subespaço gerado por C tem dimensão 2 e precisamos de apenas dois vetores para formar uma base desse gerado No caso v 1 e v 2 pois nessas colunas temos a presença de pivôs Em ℝ4 dado o conjunto de vetores C 1121 2102 1223 3352 como determinar a dimensão do gerado de C e uma base desse subespaço Solução Como esse conjunto de vetores tem uma matriz associada 1 2 1 3 1 1 2 3 2 0 2 5 1 2 3 2 para calcular a sua forma escalonada somamos a primeira linha à segunda2 vezes a primeira linha à terceira e1 vez a primeira linha à quarta 1 2 1 3 0 3 3 0 0 4 4 1 0 4 4 1 Espaço vetorial ℝn base e dimensão 18 Multiplicamos a segunda linha por 13 somamos 1 vez a terceira linha à quarta 1 2 1 3 0 1 1 0 0 4 4 1 0 0 0 0 Somamos quatro vezes a segunda linha à terceira 1 2 1 3 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 E chegamos à forma escalonada que nos permite contar 3 pivôs Logo o subespaço gerado por C tem dimensão 3 e uma base para esse subespaço é v 1 v 2 v 4 pela forma escalonada ter pivôs nas colunas 1 2 e 4 Acessando o link a seguir você pode visualizar exercícios de bases e sistemas de coordenadas disponibilizados pela Unicamp classificados quanto à sua dificuldade categoria e solução httpsgooglsYUrHS ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 786 p LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra linear e suas aplicações 5 ed Rio de Janeiro LTC 2018 480 p 19 Espaço vetorial ℝn base e dimensão Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo sagah SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS