Fundamentos de Álgebra Linear: Produto Interno e Espaços Vetoriais

ÁLGEBRA LINEAR Marcelo Maximiliano Danesi 1 u v 0 e u u 0 somente se u 0 positividade 2 u v v u comutatividade 3 u v w u v u w distributividade em relação à soma vetorial 4 u α v α u v associatividade Todo produto interno define o número real não negativo dito norma ou comprimento de u com respeito a O produto interno permite a extensão de noções de ângulo ortogonalidade comprimento e distância a espaços vetoriais que não necessariamente o ℝn Assim a geometria do espaço vetorial é definida pela associação do espaço com um produto interno a qual chamamos de espaço vetorial com produto interno No ℝn o produto interno canônico é o produto escalar e a norma canônica corresponde ao módulo do vetor u u u u Contudo o produto interno canônico não é o único no ℝn nem a única forma de medir comprimentos Em ℝ2 um produto interno não canônico é dado por D ℝ2 ℝ2 ℝ u1 u2 v1 v2D 3u1v1 5u2v2 Mostramos a seguir que essa função de fato satisfaz as propriedades necessárias pois dados u u1 u2 v v1 v2 w w1 w2 ℝ2 e α ℝ 1 u u D u1 u2 u1 u2D 3u1u1 5u2u2 3u1 2 5u2 2 0 Vale a igualdade se e somente se u1 u2 0 isto é se u 0 0 2 u v D u1 u2 v1 v2D 3u1v1 5u2v2 3v1u1 5v2v2 v1 v2 u1 u2D v u D 3 u v w D u1 u2 v1 v2 w1 w2D u1 u2 v1 w1 v2 w2D 3u1v1 w1 5u2v2 w2 3u1v1 5u2v2 3u1w1 5u2w2 u v D u w D Espaços vetoriais produtos internos gerais 2 4 u α v D u1 u2 α v1 v2D u1 u2 αv1 αv2D 3u1αv1 5u2αv2 α 3u1v1 5u2v2 α u v D Portanto de fato D é um produto interno no ℝ2 e a norma de acordo com D é dada por u D u u D 3u1 2 5u2 2 Nessa norma dados u 1 1 v 1 1 podemos calcular que o comprimento de u e v é u D 3 12 5 12 8 v D 3 12 5 12 8 ao mesmo tempo que 1 11 1D 3 1 1 5 1 1 3 5 2 Enquanto que pelo produto escalar u v são ortogonais já que u v 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Isto é além de a norma D medir o comprimento dos vetores de maneira distinta da canônica ela também altera a relação de ortogonalidade entre vetores do ℝ2 No exemplo anterior usamos a notação D com intenção de distinguir D do produto interno definido pelo produto escalar e generalizar o produto interno D numa classe maior no ℝn denominada produto interno ponderado Produto interno em espaços vetoriais arbitrários Produto interno ponderado em ℝ n Em ℝn dada uma matriz diagonal 3 Espaços vetoriais produtos internos gerais n n podemos generalizar o exemplo anterior definindo o funcional Esse funcional define um produto interno no ℝn se λi 0 para todo i 1 n Mostramos a seguir que esse produto interno de fato satisfaz as proprie dades necessárias pois dados u u1 un v v1 vn w w1 wn ℝn e α ℝ 1 pois cada parcela é positiva e a igualdade vale se e somente se u1 un 0 logo 2 3 4 Portanto de fato D é um produto interno em ℝn e a norma de acordo com D é dada por Espaços vetoriais produtos internos gerais 4 O produto interno ponderado recebe esse nome por admitir um peso λi 0 em cada direção xi Esse peso pode ser interpretado como uma importância maior ou menor dos dados naquela direção ou ainda como uma mudança de escala naquela direção Produto interno em Mmnℝ Em Mmnℝ com o espaço das matrizes mn de coeficientes reais um produto interno pode ser definido por onde BTA é uma matriz nn e trBTA é a soma do produto de todos os elementos de A e B de mesmos índices Essa definição não é intuitiva Então mostraremos como ela funciona em M23ℝ dadas as matrizes A a11 a12 a13 a21 a22 a23 B b11 b12 b13 b21 b22 b23 Temos BT A b11 b21 b12 b22 b13 b23 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11b11 a21b21 a12b12 a22b22 a13b13 a23b23 Observe que não calculamos as entradas fora da diagonal principal porque elas não serão necessárias para o cálculo do traço que calcula somente a soma dos elementos da diagonal principal Assim trBTA a11b11 a21b21 a12b12 a22 b22 a13b13 a23b23 5 Espaços vetoriais produtos internos gerais Uma forma alternativa de definir esse funcional é escrevendo que se A aijmn e B bijmn então A B a11b11 a12b12 a21b21 amnbmn sendo a última forma dada pelo somatório do produto de todos os termos de mesmo índice mais prática para a verificação das propriedades de produto interno Assim dados U uij V vij W wij Mmnℝ e α ℝ 1 e a igualdade vale se e somente se uij 0 para todo i j e portanto U 0 2 3 4 De fato é um produto interno em Mmnℝ e a norma de acordo com é dada por Em M23ℝ calcularemos o produto interno e a norma de algumas matrizes dadas U 1 0 2 2 1 1 V 0 3 1 2 0 1 W 6 2 1 2 1 1 Espaços vetoriais produtos internos gerais 6 Produto interno em C0a b Usando a teoria do cálculo em C0a b com o espaço das funções contínuas reais definidas no intervalo a b um produto interno pode ser definido por Mostramos a seguir que essa função de fato satisfaz as propriedades necessárias pois dados u ux v vx w wx C0a b e α ℝ 1 pois a integral de uma função positiva é positiva e a igualdade vale se e somente se ux 0 pois u é função contínua 2 3 Calculamos U U 1 1 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 11 U V 1 0 0 3 2 1 2 2 1 0 1 1 1 U W 1 6 0 2 2 1 2 4 1 5 1 1 0 V V 0 0 3 3 1 1 2 2 0 0 1 1 15 V W 0 6 3 2 1 1 2 4 0 5 1 1 0 W W 6 6 2 2 1 1 4 4 5 5 1 1 0 73 De acordo com esse produto interno a norma dessas matrizes é U U U 11 V V V 15 W W W 73 7 Espaços vetoriais produtos internos gerais 4 Portanto de fato é um produto interno no C0a b e a norma de acordo com é dada por Para mostrarmos como esse produto interno funciona no que segue fixamos a 1 e b 1 de modo que a b 1 1 é um intervalo simétrico em torno de x 0 Assim dados u x v x2 w x3 podemos calcular que x x 1 1 x x dx 1 1 x2 dx x3 3 1 1 13 3 13 3 2 3 x x2 1 1 x x2 dx 1 1 x3 dx 0 x4 4 1 1 14 4 14 4 x2 x3 1 1 x2 x3 dx 1 1 x5 dx 0 x6 6 1 1 16 6 16 6 x x3 1 1 x x3 dx 1 1 x4 dx x5 5 1 1 15 5 15 5 2 5 x3 x3 1 1 x3 x3 dx 1 1 x6 dx x7 7 1 1 17 7 17 7 2 7 x2 x2 1 1 x2 x2 dx 1 1 x4 dx 2 5 Espaços vetoriais produtos internos gerais 8 De acordo com esse produto interno a norma dessas funções é x x x 2 3 x2 x2 x2 2 5 x3 x3 x3 2 7 Ortogonalidade Seja E um espaço vetorial munido do produto interno Dados u v E dizemos que u v são ortogonais com respeito ao produto interno se e somente se u v 0 e denotamos por u v Assim como na definição de produto interno é importante ressaltar que ortogonalidade não é uma propriedade intrínseca ou fora de qualquer con venção mas que depende do produto interno definido em E Se E aceita dois produtos internos distintos então por uma medida dois vetores podem ser ortogonais e por outra medida não Em ℝ2 dados os vetores u 2 3 v 3 2 w 5 2 e os produtos internos u1 u2 v1 v2 u1 u2 v1 v2 u1v1 u2v2 u1 u2 v1 v2D 3u1v1 5u2v2 repare que 1 com respeito ao produto escalar os vetores u e v são ortogonais pois u v 2 3 3 2 2 3 3 2 0 9 Espaços vetoriais produtos internos gerais 2 com respeito ao produto interno D os vetores u e v não são ortogonais pois u v D 3 2 3 5 3 2 12 Contudo em relação a D os vetores u e w são ortogonais uma vez que u w D 3 2 5 5 3 2 0 Nas condições da definição de ortogonalidade podemos afirmar as se guintes propriedades 1 0 v para todo v E 2 u v se e somente se v u 3 se u v para todo v E então u 0 4 se u v e α ℝ então α u v Além disso dado C u1 u2 un E dizemos que C é um conjunto ortogonal se os vetores de C são dois a dois ortogonais isto é se ui uj 0 se i j Citando o exemplo anterior em M23ℝ com o produto interno A B trBTA podemos afirmar que para as seguintes matrizes U 1 0 2 2 1 1 V 0 3 1 2 0 1 W 6 2 1 4 5 1 Espaços vetoriais produtos internos gerais 10 calculamos que U V 1 U W 0 V W 0 Dessa forma U e V não são ortogonais enquanto que U W e V W Adicionalmente pelas propriedades podemos afirmar que qualquer múltiplo de U é ortogonal a qualquer múltiplo de W Conjuntos ortogonais em C0L L Usando a teoria do cálculo seja L 0 e I L L um intervalo simétrico em torno de x 0 Em C0I retomamos o produto interno definido por e analisamos a ortogonalidade entre funções contínuas usando a propriedade da integral que afirma o seguinte 1 Se fx é função par uma função f I ℝ é dita par se fx fx para todo x I então para todo a 0 2 Se gx é função ímpar uma função g I ℝ é dita ímpar se gx gx para todo x I então para todo a 0 11 Espaços vetoriais produtos internos gerais Estendendo o exemplo anterior podemos afirmar que um conjunto line armente independente do subespaço das funções ímpares em C0L L é o conjunto B x x3 x5 x7 x9 Contudo esse conjunto não é ortogonal Um conjunto ortogonal desse subespaço é fornecido pelos polinômios de Legendre C P1 P3 P5 dados por Em C01 1 podemos verificar explicitamente que os polinômios de Legendre P1 P3 P5 são dois a dois ortogonais Para isso calculamos P1 P3 1 1 x 5x3 3x dx 1 1 x4 dx 1 1 x2 dx 0 1 2 5 2 5 2 2 5 3 2 3 2 2 3 P1 P3 1 1 x 63x5 70x3 15x dx 1 1 x6 dx 1 1 x4 dx 1 1 x2 dx 1 8 63 8 70 8 15 8 0 63 8 2 7 70 8 2 5 15 8 2 3 P3 P5 1 1 5x3 3x 63x5 70x3 15x dx 1 1 x8 dx 1 1 x6 dx 1 1 x4 dx 1 1 x2 dx 1 5 1 5 45 16 315 16 539 16 285 16 2 9 0 315 2 2 7 539 16 2 5 285 16 2 3 45 16 Para o cálculo daws integrais vale lembrarse de que as integrais de x6 x4 e x2 foram calculadas anteriormente e que 1 1 x8 dx 29 13 Espaços vetoriais produtos internos gerais Os polinômios de Legendre surgem das soluções da equação de Legendre uma equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem e podem ser descritos diretamente de várias maneiras Uma delas é por meio da fórmula de Rodrigues que calcula para cada n ℕ o polinômio de Legendre de grau n Pnx x2 1n 1 n 2n dn dxn É um resultado bastante importante que tanto B quanto C são bases do subespaço das funções ímpares de CL L o subespaço de C0L L das funções que possuem derivadas de todas as ordens ANTON RORRES 2012 Por outro lado um conjunto ortogonal no subespaço das funções pares é o conjunto Para mostrarmos que essas funções são duas a duas ortogonais precisamos de algumas propriedades do cálculo 1 Dados p q ℝ 2 Se k ℤ e k 0 então Espaços vetoriais produtos internos gerais 14 Assim dadas as funções n1 n2 ℕ n1 n2 temos que n1 n2 0 e Esse paralelo que fizemos serve para mostrar dois conjuntos ortogonais diferentes em C0L L que requerem diferentes abordagens para que essa ortogonalidade seja verificada Em termos de aplicações toda função em CL L pode ser escrita como uma combinação linear de polinômios via série de Taylor e Maclaurin ou via série de Legendre sendo esta última especialmente importante no eletromagnetismo e na solução do potencial elétrico com simetria axial De forma alternativa toda função em CL L pode ser escrita como uma combinação linear das funções via série de Fourier sendo essa decomposição importante no estudo de ondas eletromag néticas ondas mecânicas mecânica de fluidos termodinâmica e inúmeros outros problemas e uma das principais ferramentas das ciências aplicadas ANTON 2012 ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 Leituras recomendadas ANTON H BIVENS I C DAVIS S L Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 2 v LAY D LAY S MACDONALD J Álgebra linear e suas aplicações 5 ed Rio de Janeiro LTC 2018 LIMA E Álgebra linear 9 ed Rio de Janeiro IMPA 2016 Referência 15 Espaços vetoriais produtos internos gerais