Formas Bilineares e Sesquilineares em Álgebra Linear Avançada

Álgebra Linear Avançada Responsável pelo Conteúdo Profª Dra Ana Lucia Nogueira Junqueira Revisão Textual Profª Dra Selma Aparecida Cesarin Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Definir Formas Bilineares e Formas Sesquilineares Desenvolver Formas Ortogonais Formas Hermitianas e Formas Simpléticas Apresentar Matrizes Unitárias e Hermitianas Simétricas OBJETIVOS DE APRENDIZADO Introdução Formas Bilineares Forma Sesquilinear Formas Ortogonais e Hermitianas A Forma Normal de Schur Formas de Jordan Formas Simpléticas Uma Aplicação As Equações de Hamilton e a Álgebra Linear Simplética Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Determine um horário fixo para estudar Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Aproveite as indicações de Material Complementar Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Seja original Nunca plagie trabalhos Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia o horário fixo como seu momento de estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliará sua interpretação e auxiliará no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizado UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Introdução O que é Álgebra Linear Álgebra Linear é um ramo da Matemática que lida com equações lineares e funções lineares que são representadas por meio de matrizes e de vetores Em palavras mais simples Álgebra Linear ajuda você a entender termos geométricos como planos em dimensões mais altas e realizar operações matemáticas nesses planos Por definição a Álgebra lida principalmente com escalares entidades unidimen sionais mas a Álgebra Linear usa vetores e matrizes entidades que têm dois ou mais componentes dimensionais para lidar com equações lineares e funções A Álgebra Linear também pode ser definida como a versão estendida da Álgebra Você deve se recordar do que é uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita Dados dois espaços vetoriais U e V sobre um corpo F uma transformação linear entre U e V é uma função f U V satisfazendo 1 2 1 2 f f f α β α β u u u u para todos os vetores 1 2 u u U e todos escalares α β F Agora considere V um espaço vetorial sobre Uma forma linear é uma transfor mação linear f V Exemplo 1 Considere a função 3 f 2 3 x y z x y z É uma forma linear que pode ser representada na forma matricial 2 1 3 x x y y z z Além disso se f V é uma forma linear 1 2 α n v v v é uma base de V e β w é base de então 1 2 n 1 n f a a a α β 8 9 Daí se v V é tal que 1 2 n x x x α v então vale que f f α β α β v v Vamos então ampliar e generalizar esses conceitos Formas Bilineares Agora podemos passar a tratar de Formas Bilineares Definição 1 Seja V um espaço vetorial real Uma forma bilinear é uma aplicação f V V definida por v w f v w tal que Para todo w fixado f v w é uma forma linear em v isto é 1 2 1 2 f f f v v w v w v w f a v w af v w Para todo v fixado f v w é uma forma linear em w isto é 1 2 1 2 f f f v w w v w v w f b bf v w v w Exemplo 2 É uma forma bilinear a seguinte função 2 2 2 f 1 1 2 2 1 2 1 2 2 x y x y x x y y De fato temos que 1 2 1 1 2 2 3 3 f f x y x y x y u w w 1 1 2 3 2 3 f x y x x y y 1 2 3 1 2 3 2 x x x y y y 1 2 1 2 1 3 1 3 2 2 x x y y x x y y 9 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas 1 1 2 2 1 1 3 3 f x y x y f x y x y 1 1 2 2 1 1 2 2 f x y x y f x y x y α α α 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 x x y y x x y y f x y x y α α α α Portanto para cada u fixado f é linear em w Analogamente provase que a cada w fixado f é linear em u Exemplo 3 Seja V um espaço vetorial com produto interno Podemos definir a forma bilinear f V V por f v w v w O fato de f ser bilinear é uma consequência direta das propriedades de produto interno Exemplo 4 Considere a matriz 2 0 0 4 2 0 0 0 2 M Podemos associar a M uma forma bilinear 3 3 f definida por 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 0 0 4 2 0 0 0 2 y f x x x y y y x x x y y 1 1 2 1 2 2 3 3 2 4 2 2 x y x y x y x y A bilinearidade de f decorre das propriedades de soma e produto bilinearidade matrizes Observe que nesse exemplo temos 3 V e a base é a canônica Veremos que toda forma bilinear pode ser escrita na forma matricial em relação à uma base de V Matriz de uma Forma Bilinear Sejam V um espaço vetorial e f V V uma forma bilinear Dada uma base 1 2 α n v v v de V associamos a f uma matriz f α α denominada matriz da firma bilinear f na base α do seguinte modo Se 1 1 2 2 n x x x n v v v v e 1 1 2 2 n w y y y n v v v 1 1 2 2 1 1 2 2 n n f f x x x y y y n n v w v v v v v v 1 n i j i j f x y f i j v w v v 10 11 Que pode assim ser representada 1 1 1 1 1 1 n n f f y f x x f f y n n n n v v v v v w v v v v t f f α α α α v w v w Exemplo 5 Seja 2 2 f a forma bilinear dada por 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 5 f v w f x x y y x y x y x y Então se 1 2 α e e é a base canônica de 2 temos 1 1 1 2 2 1 2 2 1 0 2 5 f e e f e e f f e e f e e α α Portanto podemos escrever a forma bilinear na forma matricial 1 1 2 2 1 0 2 5 y f v w x x y Ou seja t f v w v f w α α α α Exemplo 6 Seja 3 3 f a forma bilinear definida por 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 3 2 4 2 2 f x x x y y y x y x y x y x y Verifique que se 1 2 3 α e e e é a base canônica de 3 então a matriz 2 0 0 4 2 0 0 0 2 f M α α Compare com o exemplo 4 Exemplo 7 Considere a forma bilinear definida por 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 f x x y y x y x y x y Obtenha a matriz f λ sendo 1 10 2 11 λ v v a base de 2 11 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Queremos encontrar 1 1 1 2 2 1 2 2 f f f f f λ v v v v v v v v então temos 10 10 211 310 10 2 f 10 11 211 311 01 1 f 11 10 211 310 10 2 f 11 11 211 311 11 0 f Portanto 2 1 2 0 f λ Forma Bilinear Simétrica Definição 2 Uma forma f V V é simétrica se f v w f w v para todo v w V Exemplo 8 Seja um produto interno em V então a forma bilinear definida por f v w v w é simétrica pois v w w v Exemplo 9 Seja 2 2 f dada por 1 1 1 2 2 2 3 2 f x y x y x y v w sendo 1 2 v x x e 1 2 w y y Calculando 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 3 2 f f y y x x y x y x y x w v Como f v w f w v então f é uma forma bilinear simétrica Observe que a sua matriz é simétrica 1 1 2 2 1 3 3 2 y f x x y v w Esse resultado vale em geral e pode ser enunciado pelo teorema a seguir Teorema 1 Uma forma f V V é simétrica se e somente se a matriz f α α é simétrica Demonstração Deixada como exercício Tente 12 13 Já sabemos que uma função n g que transforma um vetor v n em um número real é uma forma linear quadrática dada por v t A v onde A é uma matriz simétrica n n associada à forma linear quadrática g isto é g A Agora dado V espaço vetorial real e f V V uma forma bilinear simétrica a função q V definida por q v f v v é chamada forma quadrática associada à forma bilinear f Observe que em relação a uma base α de V g pode ser expressa da forma t q f α α α α v v v Onde f α α é uma matriz simétrica Exemplo 10 Seja 2 q definida por 2 2 10 q q x y x xy y v Sabemos que 2 2 2 a b x q x y ax bxy y c d y v Logo 1 5 1 a b c Assim substituindo temos 1 5 5 1 x q x y y v Observe ainda que g é uma forma quadrática associada à forma bilinear f 2 1 1 2 1 5 5 1 x f x y y v w Com 1 1 x y v α 2 2 x y α w e 1 5 5 1 f α α e α a base canônica de 2 Veja que Dessa maneira temos 1 1 1 1 1 5 5 1 x q f x y y v v v com α a base canônica de 2 Esse procedimento pode ser aplicado a uma forma quadrática genérica 2 q definida por 2 2 q x y Ax Bxy Cy Construímos assim sua forma matricial 2 2 B A x f x y x y B y C 13 Exemplo 11 Considere q R³ R definida por q x y z 3x² 2xy 4y² 5yz Relativamente à base canônica do R³ q é dada na forma matricial q x y z x y z 3 1 0 1 4 52 0 52 0 Observe ainda que q x y z constante é a equação geral de uma cônica no espaço Veja a aplicação a seguir Considere a forma bilinear q x y z 3x² 2y² 3z² 2xz 4y 6 Vamos reduzir a equação 3x² 2y² 3z² 2xz 4y 6 de forma a identificar a quadrica que ela representa Essa equação pode ser escrita na seguinte forma matricial XAX KX 6 0 sendo X x y z K 0 4 0 e A 3 0 1 0 2 0 0 1 0 3 Seja pA λ det A λI 0 2 λ 0 1 0 3 λ pA λ λ³ 8λ² 20λ 16 As raízes de pA λ são 2 e 4 sendo 2 uma raiz dupla Considere o sistema linear referente à raiz 2 A 2I 0 Duas soluções unitárias desse sistema são u1 12 0 12 e u2 0 1 0 15 Seja 3 1 2 1 1 0 2 2 u u u Assim 1 2 3 Q u u u forma uma base de 3 asso ciada à matriz A Dessa maneira com uma mudança de coordenadas dada por X Q X com x X y z a equação quadrática dada se transforma em 2 2 2 1 4 4 2 x y z Que é a equação de um elipsoide cujo gráfico pode ser visto na Figura a seguir Figura 1 Gráfi co do elipsoide Fonte Wikimedia Commons Exemplo 12 Considere a forma linear 3 q definida por 2 2 2 2 3 q x y z x y z É fácil verificar que 2 0 0 0 1 0 0 0 3 x q x y z x y z y z 15 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Diagonalização de uma Forma Quadrática Já vimos que qualquer que seja a forma quadrática q V sempre existe uma base ortonormal de V em relação à qual a matriz de q é diagonal ou seja a matriz de q terá uma forma semelhante à forma do Exemplo 12 Antes de formalizar vamos diagonalizar a matriz da forma quadrática do Exemplo 10 dada por 2 2 10 q q x y x xy y v Vamos procurar uma base β de modo que 1 1 x y β v 2 2 1 1 2 1 q x y λ λ v 1 1 1 1 2 1 0 0 x q x y y λ λ v Temos que 1 5 5 1 x q x y x y y Ou equivalentemente t q x y q v α α α α v Sendo α a base canônica do 2 Como a matriz q α α é simétrica ela é diagonalizável admitindo um conjunto de auto vetores ortonormais Para encontrar os autovalores basta achar as raízes do polinômio característico ou seja 2 1 5 0 λ cujos autovalores são 1 λ 6 e 2 4 λ o que implica autovetores respectivamente da forma 1 x x v e 2 x x v Assim uma base ortonormal β de autovetores será dada pelos vetores 1 1 1 2 2 v e 2 1 1 2 2 v Se I β α é a matriz de mudança de base então q I q I α β β α α α β β sendo 6 0 0 4 q β β 16 17 Substituindo em t q q α α α α v v v obtemos t q I q I β β α α α β β α v v v Mas como I β α é ortogonal pois as bases α e β são ortonormais vale que 1 t I I I β α β α β α Portanto t t q I q I q α β α β β α β β α β β β v v v v v Em outras palavras sendo 1 1 x y β v podemos expressar 1 2 2 1 1 1 1 1 6 0 6 4 0 4 x q x y x y y v Vejamos ainda alguns conceitos necessários antes da apresentarmos a formalização Sabemos que uma aplicação linear de um espaço vetorial nele mesmo é chamada de operador linear Definição 3 Seja V é um espaço vetorial com produto interno Um operador linear T V V é chamado de operador autoadjunto se V u v tivermos T T u v u v Acerca de operadores autoadjuntos temos os seguintes resultados importantes Dada β uma base ortonormal de V se a matriz T β β for simétrica então T é um operador autoadjunto Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais Mostre Todo operador autoadjunto é diagonalizável Teorema Espectral Veremos mais à frente Agora podemos formalizar o conceito pelo Teorema a seguir Teorema 2 Seja f v q v v uma forma quadrática em V Existe uma base ortonormal β de V tal que Se 1 2 n y v y y β então 2 2 2 1 1 2 2 n n q y y y λ λ λ v 17 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Demonstração Se α é uma base ortonormal de V então t f q q α α α α v v v v v Logo a matriz q β β é uma matriz simétrica e portanto corresponde a um operador autoadjunto T V V que tem como matriz T q α α α α Como um operador autoadjunto pode ser diagonalizado mediante uma base β de autovetores ortonormais então temos 1 0 0 n q T I I α α β α α α α β λ λ 1 1 0 0 n I I α α β β λ λ 1 0 0 t n I I α α β β λ λ Uma vez que α e β são bases ortonormais e portanto I α β é uma matriz ortogonal Então temos 1 0 0 t t n q v v I I v α α α β β α λ λ 1 1 0 0 0 0 t t n n I v I v v v α α β α β α β β λ λ λ λ 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 0 0 n n n n n y y y y y y y λ λ λ λ λ Essa diagonalização de formas quadráticas forma normal tem muitas aplicações e uma delas é na classificação das cônicas 18 19 Forma Sesquilinear Definição 4 Seja V um espaço vetorial real ou complexo Uma forma sesquilinear em V é uma função f V V um corpo tal que f a af f u v w u w v w f a af f u v w u v v w Para todo u v w V e todo a com a o conjugado de a Se V é um espaço vetorial sobre e f uma forma sesquilinear então f é uma forma bilinear Teorema 3 Seja V um espaço de dimensão finita com produto interno e seja f uma forma em V então existe um único operador linear T em V tal que f v w T v w Para quaisquer v w V A aplicação f T é um isomorfismo do espaço das formas em V V V Demonstração Seja w V um vetor Então a aplicação v f v w é um funcional linear Logo existe um único vetor wV tal que f v w v w para qualquer v V Assim definimos uma função U V V por U w w Então 1 2 1 2 1 2 f a U a af f v w w v w w v w v w 1 2 1 2 a U U aU U v w v w v w w Para quaisquer 1 2 v w w V e escalares em Então U é um operador linear em V e seja T U um operador tal que f v w T v w Segue então que f T v w v w para qualquer w V e então T T A associação entre operadores bilineares e as forma bilineares em V é linear 19 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Definição 5 Se f é uma forma e 1 2 B n v v v é uma base ordenada de V de entradas Ajk f k j v v é denominada matriz de f na base ordenada B Formas Ortogonais e Hermitianas Antes de darmos continuidade vamos fazer algumas considerações sobre espaços vetoriais complexos O produto interno no espaço vetorial complexo é denominado produto hermitiano e o espaço vetorial complexo com o produto interno é chamado de espaço hermitiano No caso de espaço vetorial sobre os reais com produto interno é chamado de es paço euclidiano No produto interno hermitiano ao contrário da comutatividade vale que u v v u logo λ λ u v u v Portanto requer cuidado especial a ordem da operação no caso de complexos Por exemplo a projeção ortogonal de u sobre v é dada por 2 v v u v na qual a ordem é essencial ter 2 v u v u v v projeção ortogonal que permite realizar ortonormalização de GrammSchmit entre outros No espaço n o produto interno canônico é assim definido 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n z z z w w w z w z w z w Note a conjugação do segundo termo no segundo membro No caso de espaço vetorial sobre de dimensão finita considere uma base β Usando as coordenadas do vetor nessa base temos o conjugado do vetor como sendo conjugado de suas coordenadas na base 1 2 1 2 β n n z z z z z z Note ainda que o conjugado do vetor depende da base escolhida mas vale que α β α β o que é bastante útil para trabalhar em espaços vetoriais complexos Dada uma matriz A com elementos complexos a matriz conjugada transposta da matriz A cuja notação é A é dada por t A A sendo que os elementos de A são os conjugados complexos dos elementos correspondentes em A É bom destacar que se A é uma matriz real então vale t A A 20 21 Exemplo 13 Se 5 7 0 3 9 1 i A i então 5 7 0 3 9 i A i i e portanto 5 7 3 0 9 t i i A A i Propriedades da transposta conjugada Se A e B são matrizes complexas e k é um número complexo são válidas as seguintes propriedades A A A B A B kA kA AB B A As demonstrações são diretas por meio da manipulação das propriedades elemen tares da álgebra matricial e ficam a cargo do leitor Matriz Complexa Unitária Quando trabalhamos com matrizes reais dizemos que uma matriz A é ortogonal se e somente se 1 t A A Já quando tratamos de matrizes complexas as matrizes tais que 1 A A são chamadas de Matrizes Unitárias Exemplo 14 Vamos mostrar que a matriz 1 1 1 1 1 2 i i A i i é unitária Vamos fazer a operação A A 2 1 1 1 1 4 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 4 0 1 2 4 4 i i i i A A I i i i i Logo 1 A A daí A é uma matriz unitária Definição 6 Uma forma em V é dita Hermitiana se para quaisquer v w V temos que f v w f w v Teorema 4 Seja V um espaço vetorial complexo e f uma forma em V tal que f v v é real para cada v V Então f é Hermitiana Demonstração Sejam v w V 21 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Queremos verificar que f v w f w v Veja que f f f f f v w v w v v v w w v w w Como f f f v w v w v v w w são número reais portanto temos que f v w f w v é um número real Fazendo o mesmo raciocínio para viw no lugar de vw obtemos que f v w f w v Corolário 1 Seja T um operador linear em um espaço vetorial complexo V de dimensão finita Então T é autoadjunto se e somente se T v w é real para cada v V Definição 7 Uma forma f em um espaço vetorial real ou complexo V é Positiva se 0 f v v para cada v V Positiva definida se 0 f v v para cada v 0 Negativa se 0 f v v para cada v V Negativa definida se 0 f v v para cada v 0 Definição 8 Seja V um espaço vetorial e f uma forma bilinear em V Dizemos que f é alternada se 0 f v v para cada v V f é antissimétrica se f u v f v u para quaisquer u v V f é simétrica se f u v f v u para quaisquer u v V A mesma terminologia é utilizada para matrizes simétricas Sabemos que uma matriz S é simétrica se tS S Uma matriz simétrica S é positiva definida se para todo vetor u 0 temos que tu S 0 u Vejamos agora outro importante resultado o Teorema Espectral Teorema 5 Teorema Espectral para matrizes simétricas S uma matriz real e simétrica Então todos os autovalores de S são reais e existe uma base ortonormal de autovetores reais de S 22 23 Em termos de Formas Bilineares podemos expressar o Teorema Espectral da maneira a seguir Corolário 2 Seja f uma forma bilinear simétrica real Então existe uma base ortonormal 1 2 n u u u e existem números reais 1 2 n λ λ λ tais que i i f λ i i v w u v u w Demonstração Vamos começar mostrando que os autovalores de uma matriz simétrica são sempre reais Para tal precisamos dos resultados a seguir Lema 1 Seja S uma matriz real e simétrica Então todo autovalor de S é real Demonstração Seja S uma matriz real e simétrica e considere u 0 um autovetor de S Então temos que Su λu sendo que tanto λ como u podem ser complexos Multiplicando ambos os membros da igualdade pela esquerda pela matriz linha que é transposta do complexo conjugado de v obtemos 2 2 2 1 2 n S v v v λ λ t t v v v v Sendo que 1 2 n v v v denotam as entradas a matriz v e z denota o módulo de um número complexo z Agora tomamos a transposição dos dois lados da igualdade o que nos dá 2 2 2 1 2 t n S v v v λ tv v Note que o lado direito não se altera com essa ação É uma matriz 1 x 1 que não foi afetada pela transposição Tomemos agora o complexo conjugado dos dois lados da equação 2 2 2 1 2 t n S v v v λ tv v Como S é real e simétrica temos que tS S e portanto comparando e temos 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n v v v v v v λ λ Como v é não nulo podemos cancelar 2 2 2 1 2 0 n v v v e daí concluímos que λ λ portanto λ é real o que completa a demonstração 23 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Lema 2 Seja S uma matriz real e simétrica Seja u um autovetor de S Então para todo v u temos que S v u Demonstração 0 S S λ u v u v u v Agora estamos prontos para concluir a demonstração do Teorema espectral por indução Hipótese de Indução O teorema é válido para matrizes n n O caso inicial é simples se S é uma matriz 1 x 1 então existe um único autovalor de S associado ao autovetor 1 Assumimos então que o teorema é válido para matrizes de ordem n Seja então uma matriz de ordem n 1 Essa matriz tem pelo menos um autovalor 1λ real lema 1 e pelo menos um autovetor 1u com 1 u 1 Seja 1 W u e seja 1 2 n v v v uma base ortonormal de W Pelo lema 2 todo vetor de W é levado por S em um vetor de W Definimos ij T S t i j v v então a matriz T é real e simétrica e por indução admite uma base ortonormal de autovetores digamos 2 3 1 n u u u associados aos autovalores reais 2 3 1 n λ λ λ Temos portanto para todo 12 1 i n que S i λ i u u Além disso como 1 W u 1 2 1 n u u u é base ortonormal de n1 Assim o teorema está demonstrado Vale ressaltar que em sistemas complexos dizemos que uma matriz quadrada é Her mitiana quando é igual à sua conjugada transposta ou seja A A Na verdade matrizes hermitianas são uma extensão das matrizes reais simétricas Veja por exemplo a matriz 1 2 1 2 1 2 1 2 a a i b b i A c c i d d i A conjugada transposta é dada por 1 2 1 2 1 2 1 2 a a i c c i A b b i d d i Se a matriz é hermitiana A A então concluímos que 1 1 2 1 2 1 a b b i A b b i d 24 25 Podemos expandir esse resultado para matrizes de ordem n Dessa maneira se uma matriz é hermitiana então são válidas as seguintes afirmações i Os elementos da diagonal principal de A são números reais ii Os elementos ij a da iésima linha e jésima coluna é o conjugado complexo do elemento que está na jésima linha e na iésima coluna Disso resulta que toda matriz real simétrica é também hermitiana pois satisfaz as propriedades enunciadas Daí o teorema a seguir é uma extensão da propriedade i de matrizes simétricas Teorema 6 Se A é uma matriz hermitiana seus autovalores são números reais Demonstração Seja λ um autovalor de A e 1 1 2 2 n n a b i a b i a b i v o seu respectivo autovetor Se multiplicarmos pela direita ambos os membros da equação A v λ v pelo vetor v obtemos 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n A a b a b a b λ λ λ v v v v v v Além disso A A A v v v v v v Donde concluímos que v A v é uma matriz hermitiana 1 x 1 Isso implica que v A v é um número real Logo λ é um número real Teorema 7 Se A é uma matriz hermitiana de ordem n os autovalores são ortogonais aos seus respectivos autovetores Demonstração Vamos mostrar que autoves associados a autovalores distintos são ortogonais Tomemos 1 1 1 A u λ u e 2 2 2 A u λ u sendo 1 2 u u vetores não nulos em n 1 2 λ λ e distintos Multiplicando pela direita po 2 tu ambos os lados da equação obtemos 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 t t t A A A A λ λ t t t t u u u u u u u u u u u u Daí temos que 1 2 2 1 0 λ λ tu u Como 1 2 λ λ isto implica 2 1 0 tu u 25 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Teorema 8 Teorema Espectral Se A é uma matriz hermitiana de ordem n A é unitariamente diagonalizável Demonstração Seja Q uma matriz unitária então QQ I E seja D uma matriz diagonal Queremos mostrar que A Q DQ Consideremos o operador hermitiano A L Seja B a base padrão do espaço vetorial V Sabemos por hipótese que existe uma base ortonormal para V que consiste nos autovetores de A L Uma vez que a base consiste somente de autovetores a base contém a dimensão dim V dada por vetores linearmente independentes então LA é uma matriz diagonal Mas sabemos que LA A então 1 A A L Q DQ B Como Q é uma matriz unitária então 1 Q Q Portanto A Q DQ O fato de as matrizes hermitianas serem unitariamente diagonalizáveis as torna parte de uma classe mais ampla de matrizes denominadas Matrizes Normais Uma matriz quadrada se diz normal se ela comuta com sua conjugada transposta ou seja AA A A O principal teorema das matrizes normais afirma que uma matriz complexa A é nor mal se e somente se ela é unitariamente diagonalizável Omitimos esta demonstração mas o leitor pode tentar fazêla Segue um Quadro Comparativo das propriedades das matrizes estudadas Quadro 1 Comparativo matrizes simétricas reais e hermitianas complexas A matriz real simétrica A matriz Hermitiana complexa Autovalores de A são reais Autovalores de A são reais Autovetores correspondentes aos respectivos autovalores são ortogonais Autovetores correspondentes aos respectivos autovalores são ortogonais Existe uma matriz ortogonal P tal que Pt AP é uma matriz diagonal Existe uma matriz ortogonal P tal que Pt AP é uma matriz diagonal A Forma Normal de Schur Operadores simétricos são diagonalizáveise o que podemos falar sobre as matrizes A Matriz de Jordan 0 1 0 0 J não é diagonalizável nem mesmo utilizando núme ros complexos Por outro lado utilizando Álgebra Linear sobre os números complexos conseguimos diagonalizar matrizes como 26 Entretanto temos dificuldades com matrizes como Essa matriz é similar sobre os complexos à matriz Embora não seja diagonal a matriz acima é triangular superior o que a torna mais desejável para resolver recorrências e equações diferenciais mas o fato de utilizarmos Álgebra Linear complexa nos dá mais liberdade Podemos inclusive exigir que a similaridade seja dada por uma matriz unitária Teorema 9 Teorema de Schur Seja A uma matriz real ou complexa de tamanho n x n Então existe uma matriz unitária complexa Q tal que A QRQ onde R é triangular superior Rj λj e λ1 λ2 λn são os autovalores de A incluindo multiplicidade e Q Q Lembrese de que uma matriz unitária ou hermitiana é tal que Q Q Demonstrando por indução Hipótese de indução o teorema é válido para dimensão n O caso inicial é trivial Q 1 Vamos assumir que o teorema é válido para dimensão n Seja A a matriz real ou complexa de tamanho n1 x n1 Pelo Teorema Fundamental da Álgebra A tem pelo menos um autovalor λ C Seja u o autovetor correspondente com μ1 λ e seja W u1 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas E o teorema vale para dimensão n 1 O Teorema de Schur é referido como a triangularização de uma matriz quadrada com entradas complexas ou de uma matriz quadrada com entradas reais e autovalores reais Na prática pode não ser muito fácil achar a decomposição de Schur pois ela exige o conhecimento de autovalores e autovetores da matriz Vejamos um exemplo Exemplo 15 Encontre a decomposição de Schur da matriz 7 2 12 3 A Encontrando os autovalores de A temos que 7 2 det 1 3 12 3 A I λ λ λ λ λ Para 1 λ temos o autovetor normalizado 1 1 1 3 10 v Para 3 λ temos o autovetor normalizado 2 1 1 2 5 v Precisamos encontrar a transformação de A na nova base ortonormal 1 2 u u Vamos escolher para 3 λ o vetor 1 1 1 2 5 u Vamos achar uma base ortonormal Para tal queremos achar 2 x y u tal que 1 2 0 u u Logo temos 1 2 0 2 5 x y x y Escolhendo 1 2 y x Portanto norma lizando temos 2 2 1 1 5 u Dessa maneira representando a matriz 1 2 1 2 1 5 U Para expressar a transformação de Schur da matriz A na base 1 2 B u u fazemos 1 t AB U AU U AU 1 2 7 2 1 2 1 1 2 1 12 3 2 1 5 5 AB 31 8 1 2 1 2 1 2 1 5 15 70 3 14 1 0 5 0 1 5 28 Portanto encontramos a matriz triangular superior T e a matriz unitária U tal que A Que é a decomposição de Schur da matriz A Exemplo 16 Considere a matriz A O polinômio característico de A é detA λI Ao autovalor λ 6 corresponde o autovetor normalizado v Usando esse vetor como primeira coluna de uma matriz unitária P e considerando as outras colunas na forma mais simples possível como por exemplo P temos que A1 PAP Consideremos a seguir a submatriz 2 x 2 de A1 definida por B1 Os autovalores de B1 são 10 e 5 O autovetor normalizado associado ao autovalor λ 10 é u Usando esse autovetor como primeira coluna de uma matriz unitária 2 x 2 como por exemplo podemos formar uma segunda matriz unitária 3 x 3 assim UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas 1 0 0 2 2 1 0 3 3 1 2 2 0 3 3 V Aplicando essa matriz a 1A obtemos 1 2 10 6 3 6 0 10 2 0 0 5 V AV que é a forma de Schur desejada Note que se tivéssemos iniciado a construção da forma de Schur com o outro auto vetor associado ao outro autovalor teríamos obtido outra forma de Schur Disso concluise que não existe uma única forma de Schur associada a uma matiz Algumas considerações importantes sobre polinômio característico e polinômio mínimo ou minimal Dada uma matriz quadrada A de ordem n já sabemos que o polinômio característico de A é dado por det pA x x I A e satisfaz 0 pA A Esse polinômio é mônico e tem grau n Entretanto para algumas matizes A é possível ter polinômio de grau menor não nulo claro com a mesma propriedade O único polinômio mônico de grau menor ou igual a n com a mesma propriedade é denominado polinômio mínimo ou minimal de A e denotado por pm x Se V é um espaço finitamente gerado sobre um corpo e T V V um operador linear então Tp x e mT x têm as mesmas raízes a menos de multiplicidade Além disso T é diagonalizável se e somente se o polinômio minimal só admite raí zes simples isto é 1 1 T k k m x x x x λ λ λ com 1 2 k λ λ λ todos os autovalores distintos entre si Exemplo 17 Seja 4 4 T um operador linear definido por 1 2 3 4 1 0 00 T x x x x x Então T não é diagonalizável De fato 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 00 0000 T x x x x T T x x x x T x Logo segue que 2 0 T ou seja T é raiz de 2x e portanto 2x é um múltiplo de mT x Como os únicos divisores de 2x são x e 2x e T não anula o primeiro então 2 mT x x e portanto T não é diagonalizável pois 0 não é raiz simples de mT x 30 Formas de Jordan Sabemos que nem todo operador é diagonalizável Por exemplo se V é um espaço vetorial de dimensão 2 o operador T V V cuja matriz em relação à base α é não é diagonalizável pois seu polinômio característico é λ² 1 não possui raizes reais e portanto não possui autovetores porque não possui autovalores Entretanto se o espaço vetorial V for complexo e consideramos a mesma matriz o polinômio característico passará a ter duas raizes distintas i e i e portanto o operador será diagonalizável Se β for a base desses autovetores então Então o polinômio característico de T é pλ λ iλ iλ 1² portanto seus autovalores são λ1 i λ2 i λ3 1 com multiplicidade 2 Não é possível encontrar dois autovetores L i e assim T é não diagonalizável Porém quando um operador linear não diagonalizável e V for um espaço vetorial complexo poderemos sempre achar uma base β de V tal que assuma uma forma especial chamada forma de Jordan Essa forma é obtida por blocos denominados blocos de Jordan do tipo Um operador T pode ser posto na Forma de Jordan se seu polinômio mínimo e característico se fatoram em polinômios lineares Isso é sempre verdadeiro se trabalhamos no corpo dos complexos Em qualquer caso podemos sempre estender o corpo básico a um corpo em que esses polinômios fatoramse em fatores lineares Assim num sentido amplo todo operador tem uma forma canônica de Jordan e toda matriz é semelhante a uma matriz na forma canônica de Jordan No entanto a demonstração do Teorema de Jordan não é muito simples e exige muitos conceitos e preposições anteriores Nesse sentido vamos indicar sem demonstrar uma sequência de resultados necessários para se chegar à compreensão do teorema e sua prova Veja a seguir Um bloco de Jordan Jsλ é uma matriz em MsK dada por Jsλ λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 λ Uma matriz J em MnK é uma matriz de Jordan se J é formada por blocos de Jordan Jnλ1 Jnλ2 Jnλs colocados sob forma diagonal da seguinte maneira J Jnλ1 0 0 Jnλ2 0 0 0 Jnλs J também é denotado por J Jnλ1 Jnλ2 Jnλs i1s Jnλi Seja ϕ V V um operador linear nilpotente ou seja existe p ℕ tal que ϕp 0 Então existe uma base B de V tal que a matriz de ϕ em relação à base B é dada por ϕB Jnλ10 Jn0 Jn0 para naturais ni Teorema 10 Forma de Jordan Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n e seja ϕ V V um operador linear Então existe uma base B de V tal que ϕB é uma matriz de Jordan Demonstração Pela observação da proposição 1 existe um polinômio Px x λ1n1x λ2n2x λsns tal que Pϕ 0 onde todos os λi i 1 2 s são autovalores de ϕ Pela Proposição 1 temos que Logo se Bi é base de Vi temos que B i1sBi é base de V Como ϕVi Vi i 1 2 s a matriz de ϕB é da forma Ai A2 As onde Ai ϕBi é a matriz de ϕVi Vi Vi na base Bi Além disso para cada i 1 2 s o operador ϕ λiI é nilpotente pois ϕ λiI 0 Portanto pela Proposição 2 podemos escolher para cada i uma base Bi de Vi tal que E o Teorema está provado Veja em mais detalhes uma matriz A de ordem n semelhanta a uma matriz de Jordan de mesma ordem compartilha tanto seu polinômio característico quanto seu autovalor Então investigar isso requer encontrar se existir uma matriz P MnK invertível tal que P1AP J com P tendo a seguinte forma P X1 X2 Xn onde Xi é o iésimo vetor coluna de P Dessa maneira teremos AP PJ Logo se a K é um autovalor de A temos Teorema 11 Uma matriz A Mn K é semelhante a um bloco de Jordan J Mn K com autovalor λ a se e somente se existem vetores coluna em Mn Kn X1 X2 Xn satisfezendo A aI X1 O A aI X2 X1 A aI Xn Xn1 Observação Dada uma matriz A Mn K o posto da matriz A aIn fornece a quantidade de autovalores L I associados ao autovalor λ De fato supondo A TB segue que nullTB n postoTB dimkerTB aIn dimVλ sendo Vλ o conjunto dos autovalores associado ao autovalor λ Exemplo 18 Determine se possível a base e o bloco de Jordan da seguinte matriz A 1 0 0 1 1 1 1 0 1 O polinômio característico é PAλ 1 λ 0 0 1 1 λ 1 1 0 1 λ 1 λ3 Portanto PAλ 0 λ 1 é autovalor L I associado a λ 1 Digamos que seja X1 O posto da matriz A I3 0 0 0 1 0 1 1 0 0 é 2 Logo há apenas 3 2 1 autovalor L I associado a λ 1 Então para formar a matriz P X1 X2 X3 precisamos ter dois autovetores generalizados X2 e X3 utilizando o que vimos no teorema De A I3 X1 O X1 0 0 é autovetor de A associado a λ 1 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas De 3 2 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 x A I X X y x z z Escolhendo x 0 temos 1 z Daí 2 0 1 X y com y Fazendo 0 y temos 2 0 0 1 X é um autovetor generali zado de A associado ao autovalor 1 λ e L I com 1 X De 3 3 2 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 x A I X X y x z z Escolhendo 1 x temos 1 z Assim 3 1 1 X y com y Fazendo y 0 temos 3 1 0 1 X é um autovetor gene ralizado de A associado ao autovalor 1 λ e L I com 1 2 X e X Assim 1 2 3 X X X é base de Jordan de A Logo 1 2 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 P X X X Observe que det 1 0 P Logo P é invertível e sua inversa é 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 P verifique Assim como 1 P AP J obtemos 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 J que é um bloco de Jordan de ordem 3 cujo autovalor é 1 λ Antes de calcularmos a forma de Jordan de uma matriz vejamos algumas observações O número de blocos de Jordan 1 iJ λ dentro da forma de Jordan J de uma matriz A é igual ao número de vetores LI associados ao autovalor iλ isto é é igual à multiplici dade algébrica do polinômio mínimo A i q λ que é o posto da matriz i A λ I A ordem do maior bloco de Jordan i i J λ associado à iλ é in o expoente de i λ λ em qA λ isto é a multiplicidade algébrica de iλ no polinômio mínimo Em outras palavras a ordem do maior bloco de Jordan i i J λ é A i m λ em qA λ 36 Os passos para determinação de J são Determinar o polinômio característico PAλ Determinar o polinômio mínimo qAλ Estudar a natureza dos autovalores associados à J Encontrar os autovetores de modo a encontrar a base ortonormal de vetores L I do respectivo bloco Jλλ Montar a matriz de Jordan J formada pela composição dos blocos de Jordan Exemplo 19 Determine o tipo da forma de Jordan da matriz A cujos polinômios característico e mínimo são PAλ 1 λ3 2 λ2 e qAλ 1 λ2 2 λ Portanto λ 1 aparece três vezes na diagonal de J e λ 2 aparece duas vezes na diagonal de J que tem ordem 5 Como a ordem do maior bloco de Jordan associado à λ 1 é de ordem 2 uma vez que m11 2 em qAλ e os blocos de Jordan associados à λ 2 têm ordem 1 vez que m42 1 em qAλ então temos 4 blocos de Jordan dois associados a λ 1 um de ordem 2 e outro de ordem 1 e dois blocos associados a λ 2 ambos de ordem 1 Assim a forma de Jordan dessa matriz é do tipo J 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 2 Agora considere que a matriz A tem PAλ 1 λ4 e qAλ 1 λ3 e que A possui três autovetores L I Como A possui três vetores L I temos que J possui três blocos de Jordan Nesse caso as possibilidades são Um bloco de Jordan de ordem 3 e dois blocos de Jordan de ordem 2 Dois blocos de Jordan de ordem 3 e um bloco de Jordan de ordem 1 Logo nos dois últimos exemplos faltam informações para determinar de fato qual é a forma de Jordan da matriz sabendo apenas seus polinômios característico e mínimo o tamanho do maior bloco de Jordan ou ainda o número de vetores L I da matriz podemos apenas dizer quais são as possibilidades No exemplo a seguir veremos como determinar exatamente a forma de Jordan de uma matriz Exemplo 20 Determinar a forma de Jordan da seguinte matriz A 5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 7 2 0 0 12 3 O polinômio característico de A é PAλ 5 λ 1 0 0 0 1 λ 0 0 0 0 7 λ 2 0 0 12 3 λ PAλ λ4 8λ3 23λ2 28λ 12 PAλ λ 1λ 2λ2 5λ 6 λ 1λ 2²λ 3 Logo λ1 1 λ2 2 λ3 3 são autovalores de A respectivamente com ma1 1 ma2 2 ma3 1 Os candidatos a polinômio mínimo são qAλ λ 1λ 2λ 3 ou o próprio pAλ Testando A I4A 2I4A 3I4 temos 4 1 0 0 3 1 0 0 2 1 0 0 9 2 0 0 3 0 0 4 0 0 6 2 0 5 2 0 0 0 12 4 0 0 0 1 0 0 2 5 0 0 6 0 0 0 0 0 Como A não anula q₄λλ1λ2λ3 então temos que q₄λλ1λ2²λ3 Nesse caso J₁1 tem ordem 1 J₂2 tem ordem 2 e J₃3 tem ordem 1 Vamos então encontrar os respectivos autovetores De AI₄X₁0 temos 4 1 0 0 9 2 0 0 0 0 6 2 0 0 0 12 tem posto 3 basta ver que as duas últimas linhas são proporcionais portanto tem apenas np431 autovetor associado a λ₁1 e apenas um bloco de Jordan t3 temos X₁0 autovetor LI de A associado a λ₁1 De A2I₄X₂0 temos 3 1 0 0 9 3 0 0 0 0 5 2 0 0 0 12 X₂y que fazendo y3 temos X₂3 0 0 De A2I₄X₃X₂ temos 3 1 0 0 9 3 0 0 0 0 5 2 0 0 0 12 X₃13 13y 0 0 0 com y0 e fazendo y1 obtemos X₃0 0 0 1 De A3I₄X₄0 temos 2 1 0 0 9 4 0 0 0 0 4 2 0 0 0 12 X₄0 com t0 Fazendo t2 obtemos X₄0 0 1 2 Observe que quatro vetores encontrados são LI e portanto temos a matriz P formada pelos respectivos vetores coluna P0 1 0 0 0 3 1 0 1 0 0 1 3 0 0 2 cuja inversa é P¹0 0 2 1 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 1 Daí obtemos JP¹AP0 0 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 0 0 12 3 3 0 2 41 Uma forma simplética sobre V é uma forma bilinear antissimétrica e não degenerada ω sobre V Observação Um espaço vetorial simplético possui dimensão par De fato seja 1 n ij i j A a a matriz associada a ω com respeito a uma dada base de V Então tA A pois ω é antissimétrica det 0 A pois ω é não degenerada Isto implica que det 1 det n t A det A det A A E segue disto que 1 1 n Logo n é par Definição 12 Um espaço vetorial simplético é um par V ω no qual V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre e ω é uma forma simplética sobre V Note que pelo fato de V V ω ser bilinear cada u V induz um funcional linear u v u v ω ω e a forma bilinear não degenerada ω induz um isomorfimo canônico V V ψω definido por u ψω u ω Exemplo 21 Em 2n n n é simplética a forma bilinear ω definida por 1 n j j j j j p q p q p q p q ω Tal forma é chamada forma simplética canônica sobre n n Uma versão livre de coordenadas é a forma simplética sobre V U U definida por x y y x x y U U ω ξ η ξ η ξ η definida para qualquer espaço veto rial de dimensão finita U sobre Proposição 3 Seja V ω um espaço vetorial simplético com dimensão 2n Então existe uma base 1 2 1 2 n n e e e f f f de V com 0 i j i j e e f f ω ω e i j ii ω e f δ para todo 12 i j n Dizemos que é uma base simplética para V 41 Observe que a forma de Jordan da matriz A tem um bloco de ordem 1 associado ao autovalor 1 um bloco de ordem 2 associado ao autovalor 2 e um bloco de ordem 1 associado ao autovalor 3 Dessa maneira podemos encontrar a matriz de Jordan de uma matriz Formas Simpleticas Definição 11 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo K o qual a menos que seja dito o contrário será tomado como sendo o corpo dos reais UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Definição 13 Uma aplicação linear 1 1 2 2 V V ϕ ω ω entre espaços vetoriais simpléticos é dita simplética se 1 2 x y x y ω ω ϕ ϕ para todo x y V Um isomorfismo linear simplético é chamado de simplectomorfismo Como 1 ω é não degenerada toda aplicação linear simplética é automaticamente injetora Mas não é sobrejetora em geral Como mostra a inclusão de um subespaço simplético W V Proposição 4 Seja V ω um espaço vetorial simplético O conjunto Sp V GL V éumsimplectomorfismo ω ϕ ϕ Possui uma estrutura de grupo com a operação de composição Chamamos Sp V ω o grupo simplético de V ω Exemplo 22 Sejam V ω um espaço simplético e 1 2 1 2 n n e e e f f f uma base simplética para V Então a aplicação linear V V ϕ definida por i i e f ϕ e i i f e ϕ para todo 12 i n é um simplectomorfismo Exemplo 23 Sejam V ω um espaço simplético Para todo isomorfismo linear ϕ GL V a aplicação V V ϕ ω tal que x y x y ω ϕ ϕ é uma forma simplética que torna ϕ um simplectomorfismo en tre V ω e V ϕ ω Da existência de bases simpléticas temos o exposto a seguir Corolário 3 Se V ω é um espaço vetorial simplético com dim 2 V n então V ω é simplec tomorfo à 2 2 n ω n onde 2 n y x y x J ω com o produto interno euclidiano usual em 2n e a forma de Jordan é J Idn Idn 0 0 A ideia da demonstração é tomar uma base simplética 1 2 1 2 n n e e e f f f de V e definir 2 V ϕ da seguinte forma 42 43 1 n i i i i i x y x e y f ϕ Note que a base canônica de 2 2 n ϕ n é um isomorfismo linear que leva uma base simplética em outra Então é um simplectomorfismo Em particular temos 2 1 i i n n i i i x y x y u v u v ϕ O resultado segue daí após algumas resoluções algébricas Decomposições matriciais são métodos que reduzem uma matriz em partes consti tuintes facilitando o cálculo de operações matriciais mais complexas ou seja escreve como um produto de matrizes mais simples Fazer isso revela as suas estruturas e características e ajuda a interpretar seu significado Uma Aplicação As Equações de Hamilton e a Álgebra Linear Simplética A Geometria Simplética é uma forma de estudar espaços de fase da Mecânica Clássica Sejam F U um campo de forças conservativos onde 3 U é suave e 1 2 3 q t q t q t q t é uma curva descrevendo o movimento de uma partícula de massa 1 m sob a ação da força F qt R3 Figura 2 Trajetória de uma partícula de massa m 1 Fonte Adaptada de TEREK 2018 p 3 O movimento da partícula é governado pela Segunda Lei de Newton F m a 43 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Nesse caso específico temos a equação diferencial de segunda ordem t q t U q em 3 Definindo i i p q temos as coordenadas q p em 6 e um sistema de equações i i i i q t p t U p t q t q Formado por equações diferenciais de primeira ordem no espaço de posições e momen tos em 6 chamado de espaço fase do sistema A evolução temporal do sistema é determinada por uma única função de seis variáveis Defina o Hamiltoneano do sistema 6 H por 3 2 1 1 2 i i H q p p U q Daí é possível deduzir que i i H U q p q q q e i i U q p p p Então as equações de podem ser reescritas da seguinte forma i i i i H q t q t p t p H p t q t p t q Tais equações são chamadas de as Equações de Hamilton Para cada 6 q p temos 6 i i H H H q p q p q p q p Defina um campo de vetores H X por 6 H i i H H X q p q p q p p q Dessa maneira teremos que 3 3 0 0 H Id X q p H q p Id Agora as equações de Hamilton podem ser lidas assim H t X t α α com 6 t q t p t α Ou seja as soluções das equações de Hamilton são dadas por curvas integrais do campo de vetores H X 44 45 As curvas integrais de H X estão contidas em superfícies de nível do Hamiltoniano 6 H conforme a Figura a seguir R c qp Figura 3 Conservação de energia Fonte Adaptada de TEREK 2018 p 4 Para escrever H t X t α α de um modo geométrico observe que a forma de Jordan 3 3 0 0 Id J Id é antissimétrica Em particular J corresponde à forma bilinear antissimétrica em 6 Ω R R R 6 6 dada por x y xJy Ω onde é o produto interno euclidiano usual de 6 Além disso temos que det J 0 o que significa que Ω é não degenerada Note que H X é caracterizado pela relação Ù H DH Y X Y para todo campo de vetores 6 Y Em outras palavras H X é o gradiente simplético de H ou Ω gradiente Conclusão A equação H t X t α α faz sentido em qualquer espaço vetorial munido de uma forma bilinear antissimétrica e não degenerada Em Síntese Conclua num espaço de uma lauda o conteúdo visto na disciplina retomando os princi pais pontos abordados e a sua importância finalizando com os conhecimentos adquiri dos pelosas alunoas após a conclusão da leitura Relebramos o que é uma transformação linear para definirmos as tranformações biline ares e tratamos de ver como são suas matrizes o que são formas simétricas e antissimé tricas e como fazer a diagonalização dessas matrizes Aliás vale ressaltar a relevância dos autovalores e respectivos autovetores no processo de diagonalização Daí abordamos Formas Sesquilineares que são uma extensão das formas bilineres Demos continuidade considerando espaços vetoriais complexos para podermos tratar de Formas Ortogonais e Hermitianas e também aposentar o Teorema Espectral para matri zes simétricas 45 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Vale ressaltar que em sistemas complexos dizemos que uma matriz quadrada é Hermi tiana quando é igual à sua conjugada transposta Com isso podemos dizer que matrizes hermitianas são uma extensão das matrizes reais simétricas e também que teoremas espectrais são fundamentais na Álgebra Linear por garantir a existência de uma base ortonormal de autovetores para alguns tipos de opera dores Isto implica que o operador seja diagonalizável o que facilita bastante os cálculos Vimos então a Forma de Schur que serviu de base para tratarmos das Formas de Jordan Na verdade isso se resume em podermos decompor uma matriz numa forma em blocos triangulares superiores ou inferiores tendo os autovalores na diagonal cujos tama nhos dos blocos dependem de uma base da matriz original a partir de autovetores ori ginais ou generalizados Isso tudo revela a importância de extrairmos esses vetores linearmente independentes para formar a base a partir do polinômio característico e do mínimo de acordo com o grau e o posto da matriz gerada por eles Por fim tratamos de Formas Simpléticas que são Formas Bilineares antissimétricas e não degeneradas sobre um espaço vetorial de dimensão finita apresentando ao final uma aplicação de Geometria Simplética num estudo de espaços de fase da Mecânica Clássica dado pelas equações de Hamilton Penso que fizemos uma boa imersão nessas temáticas mais avançadas da Álgebra Linear Esperamos caroa alunoa que você tenha aroveitado 46 47 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Vídeos Aula 9 Álgebra Linear e Multilinear Roldão da Rocha UFABC O vídeo é bastante didático e pode ajudar no entendimento de Formas Bilineares httpsyoutubes6959SYmlQ Algebra Linear Revisão Forma de Jordan em matriz 2x2 O vídeo trata da Forma de Jordan para matriz de ordem 2 httpsyoutube5jMIXrLp05A Álgebra Linear Revisão Forma Canônica de Jordan caso 3x3 O vídeo trata da Forma de Jordan para matriz de ordem 3 httpsyoutubeWIGowL9wfbA Leitura Teorema de Decomposição Primária O trabalho aborda Operadores Diagonalizáveis o Teorema de CayleyHamilton o Teo rema de Decomposição Primária ou de JordanChevalley a apresentação em blocos por meio de TDP operadores nilpotentes e forma canônica de Jordan além de algumas aplica ções Tem 52 páginas e muitas referências Recomendamos por abordar muitos dos tópicos que tratamos httpsbitly3Um3pcX 47 UNIDADE Formas Bilineares Formas Sesquilineares Ortogonais Hermitianas e Simpléticas Referências BEZERRA L H BAZÁN F S V Álgebra Linear II Florianópolis UFSCEAD CEDCFC 2005 91p BOLDRINI J L et al Álgebra Linear 3 ed São Paulo HARBRA 1980 409p HOFFMAN K KUNZE R Álgebra Linear São Paulo Polígono 1971 356p MALAJOVICK G Álgebra Linear Quarta revisão Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro 2011 Versão eletrônica preliminar 2021 206p Disponível em httpswwwlabmaufrjbrgregoriolivrosalglinpdf Acesso em 06052022 SANTOS J Matrizes reais Simétricas e Matrizes Hermitiana Universidade Fede ral de Uberlândia 2016 12p Disponível em httpswwwresearchgatenetpublica tion305432308MatrizesReaisSimetricaseMatrizesHermitianasDefinicoese Propriedades Acesso em 06052022 VALERIANO L R A Geometria Grassmanniana Lagrangeana e o índice de Mas lov 2010 54p Dissertação Mestrado em Matemática Departamento de Matemática Universidade Federal de Pernambuco Recife 2010 Disponível em httpsrepositorio ufpebrbitstream12345678971681arquivo6421pdf Acesso em 06052022 TEREK I Geometria Simplética Notas de aula IMEUSP 2018 Disponível em ht tpswwwimeuspbrterektextosnotasgspdf Acesso em 06052022 48 Cruzeiro do Sul Educacional