Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra 1 - Grupos e Homomorfismos

segundo trabalho de álgebra 1 defina Q Q 0 razoinais mostre que Q x Q dado por Q x Q x Q x Q Q x Q ab ed ac be d é grupo cujo neutro é 10 2 mostre que o conjunto das funções polinomiais de grau 1 de IR em IR é grupo cuja operação é a com posição de funções 3 seja G um grupo finito mostre que dado x G existe n Z n 1 tq un e 4 mostre que A cos θ i sen θ θ IR é subgrupo de C C C 0 5 mostre que G a b b a ab IR a e b não são ambos nulos é um subgrupo de GL2IR 6 sejam G H grupos e ϕ G H homomorfismo qualquer mostre que se G p primo então ϕ é o homomorfismo nulo ou injeto 7 mostre que se f G H é homomorfismo A é grupo abeliano e N é subgrupo de G que contém ker f então N é normal em G 8 seja ϕ G H x homomorfismo de grupos Se A é subgrupo de H então ϕ1 A é subgrupo de G que contém ker ϕ e vale ϕϕ1 A A im ϕ 9 Enuncie demonstre o 1 teorema de Isomorfismo para grupos 10 dizemos que G é um pgrupo se G é finito e G pn n 1 a mostre que x ZG x2 x3 ZG b Existe algum subgrupo de G que tem ordem p Ordem pn m n c mostre que ZG e ZG tem ao menos p elementos d Em S3 exiba elementos de ordem 1 2 e 3 Seja Q Q10 munido da seguinte operação Q x Q x Q x Q Q x Q ab cd ac bc d Vejamos que Q x Q é um grupo Sejam ab cd ef Q x Q i ab cd ef ac bc d ef ace bc de f ace bce de f Por outro lado ab cd ef ab ce de f ace bce de f ace bce de f Logo é associativa ii Suponha que exista e1 e2 Q x Q tal que a b e1 e2 e1 e2 a b a b Logo ae1 be1 e2 a b ou seja ae1 a 1 be1 e2 b 2 De 1 e1 1 2 be1 e2 b e2 0 Portanto o elemento neutro é 1 0 iii a b Q x Q suponha que exista a b Q x Q tal que a b a b a b a b 1 0 Logo a a b a b 1 0 ou seja a a 1 1 b a b 0 2 De 1 a 1a De 2 b b a b b 1a Logo o simétrico de a b Q x Q é 1a ba Portanto Q x Q é um grupo cujo o elemento neutro é 10 2 Seja G f IR IR fx ax b a 0 munido de operação composição de Funções sejam f ax b g cx d e h mx n G f g h x f g x h x acx ad b h acmx acn ad b Por outro lado f g h x f x g h x f x cmx cn d acmx acn ad b Logo o é associativa iii O elemento neutro é a Função identidade Id IR IR Id x x x IR Pois f Id f Id f iii Se f G então seu simétrico é f¹ G Pois f f¹ f f¹ Id Portanto G é um grupo 3 Sejam G um grupo Finito e μ G Considere todos as potências inteiras positivas de μ ou seja μ μ² μ³ μⁿ com n Z n 0 Cada uma dessas potências é um elemento de G Como G é Finito então essas potências não são todas distintas Logo podemos supor μᵇ μʳ com b r Agora temos μᵇ μʳ μᵇ μʳ μʳ μʳ μᵇʳ μ⁰ μᵇʳ e μⁿ e com n b r Portanto existe n Z com n 0 tal que μⁿ e Seja A cosθ i senθ θ IR T C A Φ Pois tomando θ 0 temos 1 0i A Dado cosθ i senθ A note que cosθ i senθ cosθ i senθ cos²θ sen²θ 1 ou seja todo cosθ i senθ A possui um inverso multiplicativo Sejam cosθ i senθ cosα i senα A temos cosθ i senθ cosα i senα¹ cosθ i senθ cosα i senα cos²α sen²α cosθ cosα i cosθ senα i senθ cosα senθ senα cosθ cosα senθ senα i senθ cosα cosθ senα cosθ α i senθ α A Portanto A é um subgrupo de C Seja G a b ab IR a e b ambos não nulos b a Sejam a1 b1 a2 b2 G b1 a1 b2 a2 Sabemos que a2 b2¹ 1 a2² b2² a2 b2 b2 a2 Logo a1 b1 a2 b2¹ a1 b1 1 a2² b2² a2 b2 b2 a2 1 a2² b2² a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 a2b1 a1b1 b1b2 a1a2 1 a22 b22 a1 a2 b1 b2 a2 b1 a1 b2 a2 b1 a1 b2 a1 a2 b1 b2 G Portanto G é um subgrupo de GL2 IR 6 Sejam G H grupos e 𝜙 G H um homomorfismo qualquer Suponha que G p p primo Afirmação Im 𝜙 é um divisor de G De fato basta observar que G Nuc𝜙 𝜙G Logo G Nuc𝜙 𝜙G Como 𝜙G G e G p1 comprimo Então 𝜙G 1 ou p Se 𝜙G 1 então 𝜙 é um homomorfismo nulo Se 𝜙G p então 𝜙 é injetor 7 Sejam f G H um homomorfismo H um grupo abeliano e N um subgrupo de G que contém Ker f Sejam a G e b N Temos f a1 b a f b a1 a f b f e f b e f b a1 N a N Portanto N é normal à G Seja G HX um homomorfismo de grupos Suponha que A é um subgrupo de H Queremos mostrar que l1A é um subgrupo de G que contém ker l i l1A Pois e le Logo e l1A Além disso como e ker l e e l1A então ker l l1A ii Sejam a b l1A então existem x y A tal que la x e lb y ab1 lab1 la x lb1 x y1 Como x y1 A pois A é subgrupo então a b1 l1A Portanto l1A é um subgrupo de G 9 Teorema de Isomorfismo para grupos Seja f G L um homomorfismo sobrejetor Se N ker f então GN L Prova Primeiro vamos determinar um isomorfismo de GN em L onde aN fa Vamos ver se de fato é uma aplicação Suponha aN bN Então b1a N portanto fb1a u u é neutro de L Mas fb1a fb1 fa fb1 fa Logo fb1 fa u e fa fbu fb Portanto a correspondência aN fa é uma aplicação Seja σ GN L aplicação dada por σaN fa Suponha que fa fb com ab G Então fb1 fa fb1 fb u Logo fb1 fa u ou seja b1 a N e portanto aN bN Logo σ é injetora σ é sobrejetora De fato se y H então y f1a com a G Tomando x aN GN σx σaN f1a y σ é um homomorfismo de grupos σaNbN σabN f1ab f1a f1b 10 a Se G é um pgrupo finito tal que G pn n 1 Suponha x ZG Como a ordem de x é uma potência de p segue que xn ZG n 1 b Existe subgrupo de G de ordem p pois p pn Existe subgrupo de G de ordem pm com m n Pois pm pn Basta notar que pm é um fator de pn p p p p m vezes n vezes c Suponha que ZG e Pelo equação das classes G ZG G CGx Sabemos GZG e G G CGx Como G é um pgrupo e ZG 1 e G p então ZG tem pelo menos p elementos d Tabela operação em S3 Elementos de ordem 1 identidade e 2 1 2 3 2 3