Produto Escalar e Ortogonalidade em Álgebra Linear

ÁLGEBRA LINEAR Marcelo Maximiliano Danesi O produto escalar de u por v também pode ser representado pela expressão u v Vamos fazer alguns cálculos para nos habituarmos com essa operação a Dados os vetores a 13 b 22 calcule a b b Dados os vetores c 211 d 520 calcule c d c Dados os vetores u 1x12 v 2203 calcule x de forma que u v 4 Solução a 13 22 1 2 3 2 2 6 8 b 211 520 2 5 1 2 1 0 10 2 0 12 c Primeiro calculamos o produto escalar 1x12 2203 1 2 x 2 1 0 2 3 2 2x 0 6 8 2x Assim se u v 4 então 8 2x 4 e x 2 O produto escalar define a noção de distância euclidiana de ℝn através do módulo Dado uℝn o módulo de u é dado pelo numero real não negativo u definido por u u u O módulo de um vetor corresponde ao teorema de Pitágoras em ndimensões Vejamos alguns exemplos a Calcule a se a 122 b Calcule x se u 4 x01 v 132 e u 2 v O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 2 Solução a a 122 122 12 22 22 9 3 b Resolvendo u 2 v 4 x 0 1 4 x 0 1 2 1 3 2 1 3 2 4 x2 02 122 22 12 32 222 4 x2 1 4 14 4 x2 55 4 x 55 x 455 Isto é a equação admite as soluções x1 4 55 e x2 4 55 Propriedades do produto escalar e ortogonalidade Dados u v w ℝn e α ℝ valem as propriedades 1 u u 0 e u u 0 somente se u 0 2 u v v u comutatividade 3 u v w u v u w distributividade em relação à soma vetorial 4 α u v α u v u α v associatividade 5 u u u 2 6 u u 1 7 u v 180º então u v u v cosθ onde θ é o ângulo entre os vetores u e v tal que 0 θ 180º Para o que segue a última propriedade listada é a que mais nos interessa tanto que destacaremos a sua principal consequência Dizemos que u v ℝn são vetores ortogonais se e somente se u v 0 isto é se o ângulo entre eles é de 90º Quando u v são vetores ortogonais podemos escrever que u v 3 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade a Dados a 301 e b 182 determine se a e b são ortogonais b Dados u 252 e v 322 determine se u e v são ortogonais c Calcule x se u 4 x01 e v 312 são vetores ortogonais Solução a a e b são ortogonais se e somente se a b 0 Vejamos se esse é o caso a b 301 182 3 0 2 1 Logo a e b não são ortogonais b u e v são ortogonais se e somente se u v 0 Vejamos se esse é o caso u v 252 322 6 10 4 0 c u 4 x01 e v 312 são vetores ortogonais se 4 x 0 1 3 1 2 0 4 x 3 0 1 1 2 0 14 3x 0 3x 14 x 143 Isto é u e v são ortogonais apenas se x 143 O aluno pode perguntarse por que usamos a expressão ortogonal ao invés de perpendicular para caracterizar o ângulo reto entre dois vetores e se essas expressões são equivalentes Algumas referências como Anton e Rorres 2012 p 143 dão essas expressões como equivalentes enquanto que outras como Lay Lay e McDonald 2018 p 43 colocam como não Para evitar conflitos usamos apenas a expressão ortogonal que é um consenso e evitamos a polêmica O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 4 Complemento ortogonal Em outro momento falamos dos subespaços vetoriais determinados por um conjunto de vetores e sobre como determinar uma base e a sua dimensão Contudo não tratamos de como completar a base desse subespaço a fim de gerar o resto desse espaço ℝn A seguir definiremos esse resto e responde remos a questão Se E é um subespaço vetorial de ℝn então o conjunto de todos os vetores de ℝn que são ortogonais a cada vetor em E é denominado complemento ortogonal de E e denotado por E u ℝn u v 0 para todo v E Antes de termos um exemplo é importante destacar que E é um subespaço vetorial e se E ℝn então E 0 Em ℝ3 se considerarmos os vetores v 1 341 v 2 021 v 3 212 Temos que 1 O subespaço E gerado pela base B1 v 1 v 2 tem dimensão 2 Em particular se v E então existem α1 α2 ℝ tal que v α1v 1 α2v 2 2 O subespaço F gerado pela base B2 v 3 tem dimensão 1 Em particular se u F então existe α3 ℝ tal que u α3v 3 3 v 3 v 1 pois v 3 v 1 212 341 6 4 2 0 4 v 3 v 2 pois v 3 v 2 212 021 0 2 2 0 5 Todo vetor u F é ortogonal a todo vetor v E Para verificar essa afirmação basta escrever esses vetores nas suas bases e usar as propriedades do produto escalar u v α3v 3 α1v 1 α2v 2 α3v 3 α1v 1 α3v 3 α2v 2 α3α1v 3 v 1 α3α2 v 3 v 2 α3α10 α3α20 0 5 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 6 Por definição F é o complemento ortogonal de E isto é F E 7 v 1 v 2 v 3 é uma base do ℝ3 então não existe outro vetor que possa pertencer ao E que não seja múltiplo de v 3 Já abordamos o problema de determinar uma base e a dimensão de um subespaço gerado a partir de um conjunto de vetores A questão que temos agora é dada uma base de um subespaço como determinar uma base do seu complemento ortogonal Resolveremos essa questão com o seguinte método Em ℝn dados um subespaço E ℝn e uma base B u 1 u 2 u m de E então E tem como base o conjunto solução da equação matricial Ax 0 onde A é a matriz m n formada pelos vetores linha de B Isto é A u 1 u 2 u m mn Em ℝ3 calcule uma base para o complemento ortogonal do subespaço gerado pelos vetores v 1 341 v 2 021 Pelo método proposto precisamos descrever o conjunto solução do problema 3 4 1 0 2 1 23 31 21 x1 x2 x3 0 0 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 6 Escrevendo esse problema na forma matricial aumentada ANTON RORRES 2012 p 6 3 4 1 0 0 2 1 0 usamos o método de Gauss somando 2 vezes a segunda linha à primeira 3 0 3 0 0 2 1 0 multiplicando a primeira linha por 13 e a segunda linha por 12 1 0 1 0 0 1 12 0 Isso significa que x3 é uma variável livre e podemos escrever o sistema na forma 1 x1 1 x3 0 1 x2 12 x3 0 x3 x3 ou ainda x1 x3 x2 12 x3 x3 x3 Portanto as soluções x1x2x3 podem ser escritas como múltiplas do vetor 1121 de acordo com o exemplo anterior Este exemplo serviu para nos mostrar que o método proposto corresponde ao que a teoria pede Vamos a outro exemplo para vermos mais detalhes do cálculo 7 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade Em ℝ5 calcule uma base para o complemento ortogonal do subespaço E gerado pelos vetores v 1 34211 v 2 50121 Pelo método proposto precisamos descrever o conjuntosolução do problema 3 4 2 1 1 5 0 1 2 1 25 21 51 x1 x2 x3 x4 x5 0 0 Escrevendo esse problema na forma matricial aumentada 3 4 2 1 1 0 5 0 1 2 1 0 usamos o método de Gauss multiplicando a primeira linha por 5 e a segunda linha por 3 15 20 10 5 5 0 15 0 3 6 3 0 Observe que começamos escrevendo o mínimo múltiplo comum entre as posições da primeira coluna para evitar trabalharmos com frações muito complicadas nas próximas etapas isso não é obrigatório mas facilita Em seguida somamos a primeira linha à segunda 15 20 10 5 5 0 0 20 7 1 2 0 somamos 1 vez a segunda linha à primeira 15 0 3 6 3 0 0 20 7 1 2 0 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 8 multiplicamos a primeira linha por 115 e a segunda linha por 120 1 0 15 25 15 0 0 1 720 120 110 0 Isso significa que x3x4x5 são variáveis livres e podemos escrever o sistema na forma 1 x1 15 x3 25 x4 15 x5 0 1 x2 720 x3 120 x4 110 x5 0 x3 x3 x4 x4 x5 x5 ou ainda na forma vetorial x1 x2 x3 x4 x5 x3 x4 x5 15 x3 25 x4 15 x5 720 x3 120 x4 110 x5 x3 x4 x5 15 720 1 0 0 15 110 0 0 1 25 120 0 1 0 Portanto as soluções x1x2x3x4x5 podem ser escritas como combinações lineares dos vetores 1 5 7 20 100 1 5 1 10 001 2 5 1 20 010 que constituem uma base do complemento ortogonal de E Uma alternativa estética seria reescrever a base de E tomando múltiplos desses vetores isto é outra base de E seria 472000 810200 210010 É importante notar que o complemento ortogonal realmente completa o subespaço vetorial em relação ao espaço ambiente Vejamos a seguir algumas propriedades que mais bem descrevem essa relação 9 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade Se E ℝn é um subespaço vetorial de dimensão m n então 1 Se E ℝn então E 0 e esse conjunto têm dimensão 0 2 E E 0 3 E E 4 dimE dimE n 5 Se u ℝn então existem v E w E tal que u v w Conjuntos ortogonais e ortonormais Na seção anterior falamos da decomposição do espaço vetorial ℝn em dois subespaços ortogonais Agora abordaremos a ortogonalidade de um conjunto de vetores Dado um conjunto de vetores C v 1 v 2 v l ℝn dizemos que C é um conjunto ortogonal se os vetores de C são dois a dois ortogonais isto é v i v j 0 se i j Uma propriedade interessante dos conjuntos ortogonais é que eles são sempre linearmente independentes Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são ortogonais a B1 14 03 b B2 62 39 c B3 34 86 11 d B4 143 725 416 e B5 232 623 51822 Solução a Como 14 03 1 12 0 B1 não é um conjunto ortogonal b Como 62 39 18 18 0 B2 é um conjunto ortogonal c Como B3 é um subconjunto do ℝ2 com três vetores não nulos pelo menos um dele é combinação linear dos demais isto é é linearmente dependente Portanto esse conjunto não pode ser ortogonal d Precisamos calcular todas as combinações para termos certeza de que eles são dois a dois ortogonais 143 725 7 8 15 0 725 416 28 2 30 0 143 416 4 4 18 0 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 10 Portanto B4 não é um conjunto ortogonal e Novamente calculamos todas as combinações 232 623 12 6 6 0 232 51822 10 54 44 0 623 51822 30 36 66 0 Portanto B5 é um conjunto ortogonal Dado um conjunto de vetores G w 1 w 2 w l ℝn dizemos que G é um conjunto ortonormal se G for um conjunto ortogonal e w i 1 para todo i 1 l Caso tenhamos um conjunto ortogonal C v 1 v 2 v l ℝn podemos construir um conjunto ortonormal G w 1 w 2 w l dividindo cada vetor de C pelo seu módulo Isto é w i para todo i 1 l v i v i Esse processo é chamado de normalização do conjunto C Converta o conjunto ortogonal B5 232 623 51822 num conjunto ortonormal Solução Cada vetor do conjunto precisa ser dividido pelo seu módulo Assim v 1 232 232 1 22 32 22 232 232 1 17 2 17 3 17 2 17 v 2 623 623 1 62 22 32 623 623 1 49 6 7 2 7 3 7 11 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade v 3 51822 51822 1 52 182 222 51822 51822 1 833 5 833 18 833 22 833 Portanto 2 17 3 17 2 17 6 7 2 7 3 7 5 833 18 833 22 833 é um conjunto ortonormal Método de GramSchmidt Até o momento estávamos caracterizando subespaços por meio de bases não necessariamente ortogonais Essas bases serviam para calcular uma decom posição dos vetores desses subespaços mas esse caminho não era direto e requeria certa quantidade de cálculos Em seguida veremos como o uso de bases ortogonais facilita em muito esse processo Seja C v 1 v 2 v m uma base ortogonal do subespaço vetorial E se v E então podemos reescrever v como uma combinação linear dos vetores de C de forma que v a1 v 1 a2 v 2 am v m onde ai v v i v i v i Chamamos essa combinação linear de decomposição ortogonal de v na base C e ela só é possível quando C é um conjunto ortogonal O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 12 Dado o conjunto ortogonal B 232 623 51822 como decompor o vetor v 11319 em relação a B Verifique que a igualdade é verdadeira Solução Vamos calcular os coeficientes ai da forma 11319 a1 232 a2 623 a3 51822 onde a1 11319 232 232 232 22 9 38 4 9 4 25 17 a2 11319 623 623 623 66 6 57 36 4 9 129 49 a3 11319 51822 51822 51822 55 54 418 25 324 484 309 833 Logo 11319 232 623 51822 5 17 129 49 309 833 A igualdade acima é verdadeira pois 232 623 51822 25 17 129 49 309 833 50 17 75 17 774 49 387 49 1545 833 258 49 5562 833 6798 833 50 17 50 49 774 17 1545 833 75 49 258 17 5562 833 50 49 387 17 6798 833 9163 833 2499 833 15827 833 11319 Como o exemplo mostra o cálculo dos coeficientes é praticamente imediato quando usamos uma base ortogonal Contudo antes de prosseguirmos com o problema de calcular bases ortogonais precisamos definir alguns elementos para entendermos melhor as consequências da decomposição ortogonal 13 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade Dados um subespaço vetorial E ℝn e uma base ortogonal v 1 v 2 v l de E se u ℝn então existem v E w E tal que u v w Nessas condições dizemos que v E é a projeção de u no subespaço E w E é a projeção de u no complemento ortogonal de E e escrevemos v projE u w projE u Calculamos essas componentes por meio de projE u a1 v 1 a2 v 2 al v l projE u u projE u onde para todo i 1 l ai u v i v i v i No caso particular de E ser gerado por um único vetor v dizemos que a projeção de u na direção de v é o vetor proj u v v u v v v Em ℝ5 considere o subespaço vetorial E gerado pela base ortogonal v 1 34211 v 2 10123 Se u 39459 calcule projv 1 u projE u e projE u O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 14 Solução a proj u v 1 u v 1 v 1 v 1 v 1 39459 34211 34211 34211 34211 34211 31 31 1 34211 34211 b projE u u v 1 v 1 v 1 u v 2 v 2 v 2 v 1 v 2 34211 30 10123 34211 2 10123 50 34211 20246 54055 c projE u u projE u 39459 54055 85404 Repare que projE u 85404 é de fato ortogonal aos demais vetores em E Nosso problema agora é como a partir de uma base B u 1 u 2 u l cons truir uma base ortogonal C v 1 v 2 v l de forma que o gerado de B coincida com o gerado de C Esse processo é chamado de ortogonalização do conjunto B O método de GramSchmidt é uma forma de ortogonalizarmos conjuntos de vetores Esse método usa a projeção em subespaços para reescrever cada vetor do conjunto dado A saber pelo método de GramSchmidt dada a base B u 1 u 2 u l calculamos os vetores da base ortogonal C v 1 v 2 v l por meio das relações v 1 u 1 v 2 u 2 v 1 u 2 v 1 v 1 v 1 v 3 u 3 v 1 v 2 u 3 v 1 v 1 v 1 u 3 v 2 v 2 v 2 v l u l v 1 v 2 u l v 1 v 1 v 1 u l v 2 v 2 v 2 u l v l1 v l1 v l1 v l1 15 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade Para o conjunto de vetores u 1 2123 u 2 3446 u 3 0573 u 4 43113 ℝ4 aplique o método de GramSchmidt e encontre uma base ortogonal desse mesmo espaço Solução Usando o algoritmo calculamos v 1 u 1 2123 v 2 u 2 v 1 3446 v 1 u 2 v 1 v 1 v 1 3446 2123 2123 2123 3446 2123 3446 2 2123 36 18 3446 4246 1200 v 3 u 3 v 1 v 2 0573 v 1 v 2 u 3 v 1 v 1 v 1 u 3 v 2 v 2 v 2 18 18 10 5 0573 2123 2 1200 4250 v 4 u 4 v 1 v 2 v 3 u 4 v 1 v 1 v 1 u 4 v 2 v 2 v 2 u 4 v 3 v 3 v 3 43113 v 1 v 2 v 3 36 18 10 5 45 45 43113 2 2123 2 1200 4250 2123 Assim C v 1 2123 v 2 1200 v 3 4250 v 4 2123 é a base associada a B pelo método de GramSchmidt Fatoração matricial QR Dada uma matriz m n formada por n vetores coluna linearmente indepen dentes aplicar o método de GramSchmidt a essas colunas corresponde a escrever essa matriz como um produto de duas matrizes muito especiais O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 16 Essa fatoração apresenta várias aplicações nos algoritmos computacionais e no cálculo de autovalores Vejamos a seguir como são essas matrizes e como calcular essa decomposição Dada uma base B u 1 u 2 u n de um subespaço E do ℝm n m a matriz A m n formada pelos vetores coluna de B a saber A u 1 u 2 u nmn Ela pode ser fatorada como o produto de uma matriz Q m n formada pelos vetores coluna de uma base ortonormal G w 1 w 2 w n do subespaço E e uma matriz R n n triangular superior invertível de maneira que Q w 1 w 2 w nmn R u 1 w 1 0 0 0 0 u 2 w 1 u 2 w 2 0 0 0 u 3 w 1 u 3 w 2 u 3 w 3 0 0 u n w 1 u n w 2 u n w 3 u n w n 0 nn e A Q R Vamos aproveitar o exemplo anterior em que em ℝ4 dada a base B u 1 2123 u 2 3446 u 3 0573 u 4 43113 calculamos pelo método de Gram Schmidt a base ortogonal C v 1 2123 v 2 1200 v 3 4250 v 4 2123 Repare que se quisermos a fatoração QR da matriz A 2 3 0 4 1 4 5 3 2 4 7 11 3 6 3 3 17 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade precisamos normalizar os vetores de C para escrevermos a matriz Q Para tanto calculamos os vetores da base ortonormal G w 1 w 2 w 3 w 4 tomando w i para todo i 1234 v i v i Isto é w 1 2123 2123 v 1 v 1 1 2123 1 18 2 18 1 18 2 18 3 18 w 4 2123 2123 v 4 v 4 1 2123 1 18 2 18 1 18 2 18 3 18 w 2 1200 1200 v 2 v 2 1 1200 1 5 1 5 2 5 00 w 3 4250 4250 v 3 v 3 1 4250 1 45 4 45 2 45 5 45 0 Assim a matriz Q é dada por Q 218 15 445 218 118 25 245 118 218 0 545 218 318 0 0 318 Agora podemos calcular os elementos da matriz R explicitamente de forma que R u 1 w 1 0 0 0 0 u 2 w 1 u 2 w 2 0 0 0 u 3 w 1 u 3 w 2 u 3 w 3 0 0 u 4 w 1 u 4 w 2 u 4 w 3 u 4 w 4 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 18 Calculando elemento por elemento temos u 3 w 3 0573 0 4 45 2 45 5 45 0 10 45 35 45 0 45 45 u 4 w 3 43113 4 45 2 45 5 45 0 16 45 55 45 6 45 0 45 45 u 2 w 1 3446 2 18 1 18 2 18 3 18 6 18 4 18 8 18 18 18 36 18 u 1 w 1 2123 2 18 1 18 2 18 3 18 4 18 1 18 4 18 9 18 18 18 u 4 w 4 43113 2 18 1 18 2 18 3 18 8 18 3 18 22 18 9 18 18 18 u 3 w 1 0573 0 2 18 1 18 2 18 3 18 5 18 14 18 9 18 18 18 u 4 w 1 43113 2 18 1 18 2 18 3 18 3 18 22 18 9 18 8 18 36 18 u 2 w 2 3446 1 5 2 5 00 0 0 3 5 8 5 5 5 u 4 w 2 43113 1 5 2 5 00 0 0 4 5 6 5 10 5 u 3 w 2 0573 0 1 5 2 5 00 0 0 10 5 10 5 Assim a matriz R é dada por R 18 18 18 18 18 18 45 45 45 45 36 18 36 18 0 0 0 0 0 0 5 5 10 5 10 5 19 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade Portanto a decomposição QR da matriz A é 2 3 0 4 1 4 5 3 2 4 7 11 3 6 3 3 218 15 445 218 118 25 245 118 218 0 545 218 318 0 0 318 18 18 18 18 18 18 45 45 45 45 36 18 36 18 0 0 0 0 0 0 5 5 10 5 10 5 Uma observação que podemos fazer a respeito dos cálculos do exemplo acima é que apesar da quantidade de cálculos em cada etapa esses cálculos são diretos e independentes Dentro de um algoritmo computacional essas características permitem uma distribuição desses cálculos em vários proces sadores trabalhando em paralelo assegurando um cálculo bastante rápido Para o conjunto de vetores B u 1 213 u 2 3810 ℝ3 aplique o método de GramSchmidt para obter uma base ortogonal e calcule a fatoração QR da matriz A formada pelos vetores coluna de B Solução É importante ressaltar que para fatoração QR A não é necessariamente quadrada e B é obrigatoriamente um conjunto linearmente independente Vamos aos cálculos a Calculamos os vetores do conjunto ortogonal C v 1 v 2 fazendo v 1 u 1 213 v 2 u 2 v 1 3810 v 1 3810 213 u 2 v 1 v 1 v 1 3810 213 213 213 28 14 3810 2 213 3810 426 1104 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 20 b Calculamos os vetores do conjunto ortonormal G w 1 w 2 fazendo w 1 213 213 v 1 v 1 1 213 1 14 2 14 1 14 3 14 w 2 1104 1104 v 2 v 2 1 1104 1 117 1 117 10 117 4 117 Isso nos dá a matriz Q Q 214 1117 114 10117 314 4117 c Calculamos os elementos da matriz R explicitamente de forma que R u 1 w 1 u 2 w 1 0 u 2 w 2 Elemento por elemento temos u 1 w 1 213 2 14 1 14 3 14 4 14 1 14 9 14 14 14 u 2 w 1 3810 2 14 1 14 3 14 6 14 8 14 30 14 28 14 u 2 w 2 3810 1 117 10 117 4 117 3 117 80 117 40 117 117 117 Assim a matriz R é dada por R 1414 2814 0 117117 Portanto a decomposição QR da matriz A é 2 3 1 8 3 10 214 1117 114 10117 314 4117 1414 2814 0 117117 21 O espaço vetorial ℝn ortogonalidade Uma aplicação da decomposição QR é o cálculo da solução aproximada de problemas de mínimos quadrados Esses problemas surgem com frequência na engenharia estatística economia e em outras áreas para o ajuste de curvas controle de qualidade etc Veja em Anton e Rorres 2012 p 366 371 e 376 mais sobre essas aplicações ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 786 p LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra linear e suas aplicações 5 ed Rio de Janeiro LTC 2018 480 p O espaço vetorial ℝn ortogonalidade 22