Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear - Matrizes, Determinantes e Transformações Lineares

Questão 01 Obtenha o determinante da matriz inversa de A1 0 2 0 3 0 2 0 1 det A1 115 det A1 19 det A1 19 det A1 9 det A1 9 Questão 02 Seja o sistema linear homogêneo Obtenha suas soluçãoões 2xy3z0 x2y3z0 xy4z0 S y 4 y 2y S y 4 y 2y S y 4 y y 2 S y 4 y 5y S 0 0 0 Questão 03 Seja T P2 M22 definida por Tpx p0 2p1 0 p3 onde p é a 1ª derivada de px e p é a 2ª derivada de px Considere as afirmações I II e III I α 0 2 0 0 1 2 0 0 0 2 0 2 é uma base para a ImT II T é injetora III T é sobrejetora Das alternativas abaixo indique a que faz a CORRETA relação com as afirmações Verifique As afirmações II e III são falsas e a afirmação I é verdadeira As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira Pelo menos duas afirmações são verdadeiras Todas as afirmações são verdadeiras Questão 04 Seja V R4 e S1 xyzt R4 x y 0 e z t 0 e S2 xyzt R4 x z 0 e x y t 0 Determine S1 S2 Verifique S1 S2 1 1 0 0 S1 S2 0 0 1 1 S1 S2 0 1 1 1 S1 S2 1 1 0 0 S1 S2 0 0 0 0 Questão 05 Seja T R4 M2 dada por Tabcda c c b b a d Considere as afirmações I II e III I T é apenas injetora II T é apenas sobrejetora III T é um isomorfismo Das alternativas abaixo indique a que faz a CORRETA relação com as afirmações Verifique A afirmação III é verdadeira e as afirmações I e II são falsas Pelo menos duas afirmações são verdadeiras A afirmação II é verdadeira e as afirmações I e III são falsas Todas as afirmações são verdadeiras A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas Questão 01 Sobre as propriedades envolvendo determinantes Considere as afirmações I II e III I Se a matriz A possui uma linha ou coluna nula então det A0 II Se a matriz A tem duas linhas ou colunas iguais então det A0 III Se na matriz A uma linha ou coluna é múltipla de outra linha coluna então det A0 Das alternativas abaixo indique a que faz a CORRETA relação com as afirmações A afirmação III é verdadeira e as afirmações I e II são falsas Todas as afirmações são verdadeiras As afirmações II e III são verdadeiras e a afirmação I é falsa As afirmações I e III são verdadeiras e a afirmação II é falsa A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas Questão 02 Seja 2 x y 34 5 2 1 Obtenha os valores reais x e y x 2 y 4 x 2 y 72 x 2 y 72 x 2 y 4 x 2 y 4 Questão 03 Dada a transformação linear T R3 R2 tal que Txyz 10x 20y 30z x 2y 3z Obtenha a matriz da transformação T Verifique T 10 20 30 1 2 3 T 10 1 20 2 30 3 T 10 1 20 2 30 3 T 10 20 30 1 2 3 T 10 20 30 1 2 3 Questão 06 O sistema nas incógnitas a b e c é possível e determinado SPD Determine os termos independentes α β e γ sabendo que sua solução é 122 a b c α 2b c β 3c γ α 1 β 2 γ 6 α 3 β 2 γ 6 α 1 β 3 γ 3 α 1 β 3 γ 3 α 3 β 2 γ 6 Questão 07 Seja o subespaço S 110 1 1 210 e o produto interno usual no R4 Assinale a alternativa que corresponde a S Calcule S xy2y x y xy R S xyx 2yx y xy R S xyx 2yx y xy R S xyx 2yx y xy R S xy2yy xy R Questão 08 Seja a equação x² 2x 4x 2x 721 Determine x que satisfaz a equação Calcule x 3 x 1 x 9 x 9 x 3 Questão 09 Encontre uma base para NT sabendo que T R³ R³ tal que Txyz xy0 Verifique α 100 α 011 α 010 α 001 α 110 Questão 10 Determine a matriz Y a partir da equação matricial dada por 7 2 1 6 4 3 2Y11 0 3 8 12 5 Y9 1 1 4 1 4 Y9 1 1 1 4 4 Y9 1 1 1 4 4 Y9 1 1 4 1 4 Y9 1 1 1 4 4 Part 2 Questão 06 Determine o posto a nulidade e a classificação do seguinte sistema x 3y z 1 x y z 7 Determine O PA 2 null A 3 SPI O PA 1 null A 3 SPD O PA 1 null A 2 SPD O PA 2 null A 1 SPI O PA 2 null A 1 SI Questão 07 Sejam os subespaços de R5 W1 x y z t w x z w 0 x w 0 W2 x y z t w y z t 0 e W3 x y z t w 2x t 2w 0 Considere as afirmações I II e III I α 1 0 0 0 1 é uma base para o subespaço W1 W2 W3 II W1 W2 é soma direta III dim dim W1 W2 2 Das alternativas abaixo indique a que faz a CORRETA relação com as afirmações Determine O Pelo menos duas afirmacões são falsas O Todas as afirmacões são verdadeiras O As afirmacões I e III são verdadeiras e a afirmacão II é falsa O As afirmacões I e II são verdadeiras e a afirmacão III é falsa O As afirmacões II e III são verdadeiras e a afirmacão I é falsa Questão 08 Determine o subespaço vetorial W de M2 gerado por A 1 1 0 1 2 1 3 4 Determine O W x y x y 5x 2y3 x y R O W x y x y 5x 2y3 x y R O W x y x y 5x 2y3 x y R O W x y x y 5x 2y3 x y R O W x y x y 5x 2y3 x y R Obtenha os autovalores do operador linear S R3 R3 representado pela matriz S 1 1 4 3 2 1 2 1 1 λ₁ 1 λ₂ 3 e λ₃ 2 λ₁ 1 λ₂ 3 e λ₃ 2 λ₁ 0 λ₂ 3 e λ₃ 2 λ₁ 0 λ₂ 3 e λ₃ 2 λ₁ 1 λ₂ 3 e λ₃ 2 Calcule o determinante de X A I₂ onde A 4 3 1 2 det det X 12 det det X 0 det det X 6 det det X 6 det det X 12 Determine a matriz Y a partir da equação matricial dada por 7 2 1 6 4 3 2Y 11 0 3 8 12 5 Y9 1 1 1 4 4 Y9 1 1 1 4 4 Y9 1 1 1 4 4 Y9 1 1 4 1 4 Y9 1 1 4 1 4 De acordo com os conceitos de autovalores e autovetores Considere as afirmações I II e III I O número de vezes que um autovalor aparece é chamado de multiplicidade geométrica desse autovalor II O número de autovetores LIs associados a um autovalor é chamado de multiplicidade algébrica III Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes Das alternativas abaixo indique a que faz a CORRETA relação com as afirmações As afirmações II e III são falsas e a afirmação I é verdadeira Pelo menos duas afirmações são verdadeiras As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira As afirmações I e III são falsas e a afirmação II é verdadeira Todas as afirmações são verdadeiras Seja T R3 R3 uma transformação linear onde Txyz 2x y z x y z x y z Considere as afirmações I II III I O conjunto β 211 111 111 é uma base para a Im T II Im T 211 111 111 III Im T R3 Das alternativas abaixo indique a que faz a CORRETA relação com as afirmações Pelo menos duas afirmações são falsas A afirmação II é falsa e as afirmações I e III são verdadeiras A afirmação I é falsa e as afirmações II e III são verdadeiras Todas as afirmações são verdadeiras A afirmação III é falsa e as afirmações I e II são verdadeiras Questão 05 Determine o subespaço vetorial W de M2 gerado por A 1 1 0 1 2 1 3 4 Determine O W x y x y 5x 2y 3 xy R O W x y x y 5x 2y 3 xy R O W x y x y 5x 2y 3 xy R O W x y x y 5x 2y 3 xy R O W x y x y 5x 2y 3 xy R Questão 06 Dada a transformação T R3 R3 definida por Txyz x yx 3y 2z2y T é um operador Verifique O Operador transposto O Operador autoadjunto O Operador antisimétrico O Operador ortogonal O Operador inverso Questão 07 Dada a transformação linear T R3 R2 tal que Txyz 10x 20y 30z x 2y 3z Obtenha a matriz da transformação T Verifique O T 10 20 30 1 2 3 O T 10 20 30 1 2 3 O T 10 20 30 1 2 3 O T 10 1 20 2 30 3 O T 10 1 20 2 30 3 Seja o subespaço S 1101 1210 e o produto interno usual no R4 Assinale a alternativa que corresponde a S Calcule O S xy2yy xy R O S xyx 2yx y xy R O S xyx 2yx y xy R O S xy2yx y xy R O S xyx 2yx y xy R Questão 09 Obtenha S o T sabendo que T R2 R3 tal que Txyz x y y x y x e S R3 R tal que Sxyz x y z Calcule O S o Txy 3x 3y O S o Txy 3x 3y O S o Txy 3x 3y O S o Txy x 3y O S o Txy x 3y Questão 10 Com relação aos tipos de matrizes Considere as afirmações I II e III I Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada e todos os elementos da sua diagonal principal são nulos II Seja B uma matriz de ordem n se B BT então B é uma matriz antisimétrica III Uma matriz triangular superior possui todos os elementos nulos abaixo da sua diagonal secundária Das alternativas abaixo indique a que faz a CORRETA relação com as afirmações O As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira O Todas as afirmações são verdadeiras O As afirmações II e III são falsas e as afirmação I é verdadeira O As afirmações I e III são falsas e a afirmação II é verdadeira O Pelo menos duas afirmações são verdadeiras Parte 1 Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 7 Questão 8 Questão 9 Questão 10 Parte 2 Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 7 Questão 8 Questão 9 Questão 10 Parte 3 Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 7 Questão 8 Questão 9 Questão 10