Prova de Álgebra Linear - Espaços Vetoriais e Subespaços

Disciplina Álgebra Linear Período 20221 Professora Juliana Aragão Curso LCC SI Avaliação 2 1 Sejam 𝑉 ℝ2 𝑢 𝑥1 𝑥2 𝑉 e 𝑣 𝑦1 𝑦2 𝑉 Defina em 𝑉 as operações de adição 𝑢 𝑣 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 e multiplicação por escalar 𝑎𝑢 𝑎𝑥1 𝛼 1 𝑎𝑥2 Pedese a Se 𝑢 21 e 𝑣 31 calcule 𝑢 2𝑣 a Determine o elemento neutro da soma b Encontre o inverso aditivo do vetor 𝑤 𝑥 𝑦 c Verifique se 𝑉 munidos destas operações é um espaço vetorial 2 Seja 𝑉 𝑀2𝑥2 e 𝑊 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎 𝑑 a Verifique se as matrizes 𝐴 1 2 3 1 e 𝐵 2 1 1 1 pertencem a 𝑊 b 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 Em caso positivo encontre uma base para este subespaço Qual a dimensão do subespaço 3 Sejam 𝑉 ℝ3 e 𝑢1 123 𝑢2 321 𝑢3 1 2 5 vetores em 𝑉 a Encontre o subespaço gerado por 𝑢1 𝑢2 e 𝑢3 Encontre uma base para este subespaço Qual a dimensão do subespaço b Determine o valor de k de modo que 4 𝑘 1 𝑢1 𝑢2 𝑢3 4 Sabendo que 𝑑𝑖𝑚𝑃3 4 mostre que 𝛼 1 𝑥2 𝑥 𝑥2 1 𝑥 1 𝑥3 é uma base de 𝑃3 Escreva o vetor 𝑝 1 𝑥 𝑥2 𝑥3 como combinação linear dos elementos desta base Questão 01 a Com a multiplicação escalar definida no enunciado se v 3 1 então 2v 23 alpha 1 21 alpha 5 2 Assim u 2 v 2 1 alpha 5 2 2 alpha 5 1 1 2 alpha 4 1 a vec0 y1 y2 é elemento neutro se e somente se x vec0 x Rightarrow x1 y1 1 x2 y2 x1 x2 Rightarrow x1 y1 1 x1 x2 y2 x2 Rightarrow y1 1 y2 0 Assim o elemento neutro para a soma é vec0 1 0 b Seja barw a b se w barw vec0 então x a 1 1 y b 0 Rightarrow a x 2 b y Assim o inverso de w x y é barw x 2 y c Não se alpha eq 1 então não se tem 1 u u pois para u x1 x2 1 u x1 alpha 1 x2 e portanto 1 u u Leftrightarrow alpha 1 Agora se alpha 1 então a u a x1 a x2 e neste caso não vale a distributividade au v a u a v pois por um lado au v ax1 y1 1 x2 y2 a x1 a y1 a a x2 a y2 mas por outro lado a u a v a x1 a x2 a y1 a y2 a x1 a y1 1 a x2 a y2 Questão 02 a A matriz A in W pois os elementos da sua diagonal principal são iguais a 1 mas B otin W pois o elementos da sua diagonal principal são 2 e 1 e 2 eq 1 b Sim pois é claro que 0 0 0 0 in W1 além disso se A a b c d e B e f g h estão em W então a d e e h e portanto a matriz A B ae bf cg dh in W pois ae dh e para alpha in mathbbR qualquer temos que alpha A alpha a alpha b alpha c alpha d in W pois alpha a alpha d Para encontrar uma base para W veja que toda matriz em W é da forma a b c a a 1 0 0 1 b 0 1 0 0 c 0 0 1 0 portanto W é gerado pelas três matrizes E1 1 0 0 1 E2 0 1 0 0 E3 0 0 1 0 Como E1 E2 E3 é claramente LI segue é base de W Questão 03 a Vemos diretamente que u3 u2 2 u1 assim o subespaço gerado por u1 u2 u3 é igual ao gerado apenas por u1 u2 Como u1 1 2 3 u2 3 2 1 e 12 2 eq 6 23 segue que u1 u2 é um conjunto LI Temos assim que u1 u2 é base do subespaço gerado por u1 u2 e u3 o qual tem portanto dimensão 2 b 4 k 1 in u1 u2 u3 u1 u2 se e somente se os vetores 4 k 1 u1 u2 são LD o que ocorre se e somente se o determinante da matriz abaixo é zero A 4 k 1 1 2 3 3 2 1 Como det A 8k 20 e 8k 20 0 Leftrightarrow k frac52 Portanto o valor de k para o qual 4 k 1 in u1 u2 u3 é k frac52 Questão 04 Seja alpha u1 u2 u3 u4 onde u1 1 x2 u2 x x2 u3 1 x e u4 1 x3 Como dimP3 4 para mostrar que alpha é base é suficiente mostrar que u1 u2 u3 e u4 são LI Em relação a base canônica de P3 1 x x2 x3 temos u1 1 0 1 0 u2 0 1 1 0 u3 1 1 0 0 e u4 1 0 0 1 Como det 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 3 segue que u1 u2 u3 e u4 são LI e portanto α é base de P3 b Como p 1 x x2 x3 x x2 1 x3 1 x2 x x 1 x3 1 x2 1 x 1 x3 As coordenadas de p na base α são 1 0 1 1