Cálculo Diferencial e Integral em Duas Variáveis

CALCULO 3 I CONSTRUIR O GRAFICO LIMITADO POR y x x² y² 2 b ESCREVEM DUAS INTEGRAIS EM CARTESIANAxôy c ESCREVER EM COORDENADAS POLARES d CALCULE A INTEGRAL QUANDO fxy 1x²y² e QUE REPRESENTA A INTEGRAL DUPLA QUANDO z fxy 1 II DETERMINE O VOLUME DO SOLIDO LIMITADO NO PLANO z 0 POR x y 1 x 0 y 0 A CIMA POR z x² y² III CONSIDERE O DOMINIO DO PLANO a LIMITADO POR x² y² r² r 0 b COMO SE COMPORTARIA O DOMINIO DE QUANDO FAÇO r c QUANDO r 0 I CONSTRUIR O GRAFICO LIMITADO POR y x x² y² 2 a O grafico de x² y² 2 descreve o disco de raio R com R 2 Então veja que plotando y x e λ termos que Determinação dos pontos ab Com efeito y x x² x² 2 2x²2 x 1 a 1 Logo x 1 y²1 y 1 Logo b 1 e Note que θf π θo Onde a região pedida isto é o conjunto dado por D xy ℝ² x² y² 2 e y x é representado pela área hachurada de azul b Seja z fxy uma função integrável Então a integral em D é dada por D fxydA Se dA dy dx segue que temos o seguinte 0 x 1 e x y 2 x² 1 x 0 e x y 2 x² Ou seja ficamos com D fxydA ₀¹ x2x² fxydydx ¹⁰ ˣ2x² fxydydx 2 ₀¹ x2x² fxydydx Por outro lado se dA dy dx ficamos com 0 y 1 x² y² 2 com x y x 2 y² y x 2 y² y x 2 y² e 2 y² x y se x 0 e x 0 em respectiva ordem Então a integral é D fxydA ₀¹ y2y² fxydxdy ₀¹ 2y²ˣ fxydxdy 2 ₀¹ y2y² fxydxdy c Em coordenadas polares r θ temos x r cosθ x² y² r² 2 0 r 2 y r senθ e dA r dr dθ Do gráfico temos que tg θo ba 1 Θo Π4 e Θf Π θo Π Π4 3Π4 Então temos disso que Dro rθ ℝ² 0 r 2 e Π4 θ 3Π4 Portanto temos que a integral de fxy é D fxydA Dro fr cosθ r senθ r dr dθ π4³π4 ₀2 fr cosθ r senθ r dr dθ a O domínio região limitada por x² y² r com r 0 é dado por D xy ℝ² x² y² r² para r ℝ₀ Então nesse caso o domínio são os pontos do disco x² y² r² b Se r Então o domínio D passa a ser o conjunto de pontos do disco de raio r infinito ou seja o domínio D se extende maximalmente de modo que se r então D passa a ser todo plano euclidiano isto é D ℝ² c Quando r 0 x² y² 0 então x y 0 Logo se r 0 então o domínio D passa a ser um único ponto que é a origem 00 isto é D 00 II DETERMINE O VOLUME DO SÓLIDO LIMITADO NO PLANO z 0 POR x y 1 x 0 y 0 ACIMA POR z x² y² Aqui temos que z x² y² z r² em coordenadas polares Logo a condição x y 1 com x 0 e y 0 nos dá y 1 x Graficamente isto é Logo temos que 0 x 1 e 0 y 1 x Daí temos que o volume pedido será V ₀¹ ₀¹ˣ zxy dy dx ₀¹ ₀¹ˣ x² y² dy dx ₀¹ y x² y³3₀¹ˣ dx ₀¹ 1 x x² 1 x³3 dx ₀¹ 1 x3 4 x² 2 x 1 dx 13 ₀¹ 4 x² 2 x 1 4 x³ 2 x² x dx 13 ₀¹ 4 x³ 2 x² x 1 dx 13 x⁴4 x³3 x²2 x₀¹ 13 1 13 12 1 13 32 23 1318 V 1318 II CONSIDERE O DOMÍNIO DO PLANO a LIMITADO POR x² y² r² r 0 b COMO SE COMPORTARIA O DOMÍNIO DE QUANDO FAÇO r c QUANDO r 0 r a O domínio região limitada por x² y² r com r 0 é dado por D xy ℝ² x² y² r² para r ℝ₀ Então nesse caso o domínio são os pontos do disco x² y² r² b Se r Então o domínio D passa a ser o conjunto de pontos do disco de raio r infinito ou seja o domínio D se extende maximalmente de modo que se r então D passa a ser todo plano euclidiano isto é D ℝ² c Quando r 0 x² y² 0 então x y 0 Logo se r 0 então o domínio D passa a ser um único ponto que é a origem 00 isto é D 00