Aula 8: Sequências e Séries Numéricas Complexas

Pae Complementos de Matematica Aula 8 Sequéncias e séries numericas complexas Uma sequéncia infinita 21Z2 Zn de nuimeros complexos tem um limite z se dado qualquer nimero positivo e existir algum inteiro positivo no tal que Zn zZ se nnNo Teorema Suponha que Z Xn iYn n 12ezxiy Entao lim Z Z ncoo se e somente se Jimave e jimi y 5s 1 Exemplo 1 A sequéncia z 1 ia converge para 1 Uma série infinita yizn ZtZte2Zy4 n1 de numeros complexos converge a soma S se a sequéncia N yz Z1Z2ZnN n1 das somas parciais convergir a S nesse caso escrevemos y ZnS n1 Se uma série ndo convergir dizemos que ela diverge Teorema Suponhamos que 2 Xn in eS X iY Entao y ZnS n1 se e somente se Fue e Yney n1 n1 1 Dizemos que a série co Zn n1 é absolutamente convergente se a série co yl n1 dos numeros reais z for convergente Temos que 1 Se uma série de nimeros complexos converge entéo 0 enésimo termo converge a zero se n tende ao infinito 2 A convergéncia absoluta de uma série de nimeros complexos implica a convergéncia dessa série Muitas vezes para mostrar qua a soma de uma série 6 um dado numero S é conveniente definir 0 resto py depois de N termos usando as somas parciais a saber py S Sy Assim S Sy pn e como Sn S pn O vemos que uma série converge a um numero S se e somente se a sequéncia dos restos tende a zero Exemplo 2 Verifique que co h 1 z se zl 1z n0 Teorema de Taylor Suponha que uma fungao f seja analitica em um disco z Zo Ro centrado em Zp e de raio RoEntao fz tem uma representagdo em série de poténcias co n fe Y az 20 12201 Ro n0 onde fre an n 012 Essa é qa expansao de fz em uma série de Taylor centrada no ponto Zo Temos que qualquer funcao analitica em um ponto zp deve possuir uma série de Taylor centrada em zp De fato se f for uma funcao analitica em Zo entao f sera analitica em alguma vizinhanga de zp e podemos usar essa vizinhanca para encontrar o valor de Rp que aparece no enunciado do teorema de Taylor Em particular se f for inteira a série converge a fz em cada ponto z do plano finito ou seja a condicdo de validade da expansao passa a ser z Zo ov 2 Exemplo 3 1 co To yz zl 1 n0 Exemplo 4 co gn e 5 z cv n0 Exemplo 5 oe ant 1y sens di Ont Di Exemplo 6 ce z2n n cosz yi 1 Oni n0 Exemplo 7 e7 1 1 1 2z Bop zn tg Okio Exemplo 8 1222 1 1 at epi zt B te OKI 1 B27 Bz Teorema de Laurent Suponha que uma fungdao f seja analitica em um dominio anelar R z ZoR2 centrado em Zp e seja C um caminho fechado simples qualquer dessa regido orientado positivamente e com Zp em seu inte rior Entaéo em cada ponto do dominio fz tem a representagdo em série co co b f Yi anz 20 Guay Ri z Zol Ro n0 n1 onde 1 fod zdz f 012 0 Oni f Goze e 1 1 zdz b n 12 2mi Jc Z Z 3 Essa representacao e chamada de serie de Laurent Exemplo 9 A funcao fz z 1 z 1 que tem o ponto singular z 1 e analıtica nos domınios D1 z 1 e D2 1 z Nesses domınios fz tem representac oes em series de potˆencias de z Exemplo 10 A funcao fz 1 z i2 ja esta na forma de uma serie de Laurent centrada em z0 i 4