EDO Homogênea-Solução e Equações de Euler-Cauchy

Solução da EDO homogênea Ly 0 y 𝑥𝑟 Consideremos a EDO linear de segunda ordem considerando 𝑎21 𝑎1𝛼 𝑒 𝑎0𝛽 com operador L x2D2 𝛼xD 𝛽 ou seja Ly 0 resulta em x2y 𝛼xy 𝛽y 0 é uma EDO de segunda ordem com solução y c1𝑦1 c2y2 Seja yi 𝑥𝑟𝑖 Assim 𝐿𝑦 𝐿 𝑥𝑟 x2 𝑥𝑟 𝛼x 𝑥𝑟 𝛽 𝑥𝑟 0 𝐿 𝑥𝑟 x2 𝑟𝑟 1𝑥𝑟2 𝛼x 𝑟𝑥𝑟1 𝛽 𝑥𝑟 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑟𝑟 1𝑥𝑟 𝛼𝑟𝑥𝑟 𝛽𝑥𝑟 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑥𝑟 𝑟𝑟 1 𝛼𝑟 𝛽 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑟2 𝛼 1𝑟 𝛽 0 𝐹𝑟 𝑟2 𝛼 1𝑟 𝛽 𝑟 𝑟1𝑟 𝑟2 𝑟12 𝛼 1 𝛼 1 2 4𝛽 2 Obs Caso seja a EDO ax2y 𝑏xy 𝑐y 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑎x2 𝑟𝑟 1𝑥𝑟2 𝑏x 𝑟𝑥𝑟1 𝑐 𝑥𝑟 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑎𝑟2 𝑏 𝑎𝑟 𝑐 0 𝑟12 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 2 4𝑎𝑐 2𝑎 1 Equação de Euler ou Cauchy Seja a EDO linear 𝑎𝑛xnyn 𝑎𝑛1xn1yn1 𝑎2x2y 𝑎1xy 𝑎0y 0 rx Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 0841 a 𝛥 𝛼 1 2 4𝛽 0 r1 r2 reais 𝑦1 𝑥𝑟1 𝑦2 𝑥𝑟2 𝑦 𝑐1𝑥𝑟1 𝑐2𝑥𝑟2 Exercício x2y 3xy 3y 0 x 0 Resolução x2y 𝛼xy 𝛽y 0 y 𝑥𝑟 y 𝑟𝑥𝑟1 y 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 Substituindo na EDO x2 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 3x 𝑟𝑥𝑟1 3 𝑥𝑟 0 𝑥𝑟 𝑟 𝑟 1 3 𝑟 3 0 𝑟 𝑟 1 3 𝑟 3 0 r2 2𝑟 3 0 𝑟1 1 𝑒 𝑟2 3 y 𝑐1𝑥 𝑐2𝑥3 𝑥 0 𝑟12 𝛼 1 𝛼 1 2 4𝛽 2 𝑟2 𝛼 1𝑟 𝛽 0 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑟12 𝛼 1 𝛼 1 2 4𝛽 2 b 𝛥 𝛼 1 2 4𝛽 0 r1 r2 𝛼1 2 reais 𝑦1 𝑥𝑟1 A segunda solução pode ser obtida pelo método de redução de ordem Mas seguindo outra sequencia 𝐿 𝑦 𝐿 𝑥𝑟 x2 𝑥𝑟 𝛼x 𝑥𝑟 𝛽 𝑥𝑟 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑥𝑟 𝑟𝑟 1 𝛼𝑟 𝛽 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑥𝑟 𝑟2 𝛼 1𝑟 𝛽 0 Mas 𝑟2 𝛼 1𝑟 𝛽 𝑟 𝑟1𝑟 𝑟1 𝑟 𝑟12 0 𝐿 𝑥𝑟 𝑥𝑟𝑟 𝑟12 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑥𝑟 𝑒ln 𝑥𝑟 𝑒𝑟ln 𝑥 𝑟 𝑥𝑟 𝑟 𝑒𝑟ln 𝑥 𝑒𝑟ln 𝑥 ln 𝑥 𝑥𝑟ln 𝑥 Assim 𝑟 𝐿 𝑥𝑟 𝑟 𝑥𝑟𝑟 𝑟12 Temse que 𝐿 𝑥𝑟ln 𝑥 0 ൝ 𝑟 𝐿 𝑥𝑟 𝑟 𝑥 𝑥𝑟 𝑥 𝑟 𝑥𝑟 𝐿 𝑟 𝑥𝑟 𝐿 𝑥𝑟ln 𝑥 0 Como 𝐿 𝑦2 0 e 𝐿 𝑥𝑟1ln 𝑥 0 Podese afirmar que 𝑦2 𝑥𝑟1ln 𝑥 𝑦 𝑐1𝑥𝑟1 𝑐2𝑥𝑟1ln 𝑥 𝐿 𝑥𝑟 𝑥𝑟𝑟 𝑟12 Observação Para EDO linear de ordem 3 caso tenha mais de duas raízes reais e iguais devese multiplicar seguidamente por ln 𝑥 Exemplo 𝑟2 𝛼 1𝑟 𝛽 𝑟 𝑟12 0 x3y a2x2y a1xy a0y 0 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑟1 r2 r3 𝑟 y c1xr c2xr𝑙𝑛 𝑥 c3xr 𝑙𝑛 𝑥 2 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Substituindo na EDO vxr2 2𝑟vxr1 𝑟𝑟 1vxr 𝛼 vxr1 𝑟vxr 𝛽vxr 0 vxr2 2𝑟 𝛼 vxr1 𝑟𝑟 1 𝛼𝑟 𝛽 vxr 0 vxr2 vxr1 vxrx2 vxrx 0 xrx vx v 0 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 x2y 𝛼xy 𝛽y 0 y xr x2 𝑥𝑟 𝛼x 𝑥𝑟 𝛽 𝑥𝑟 𝑥𝑟 𝑟𝑟 1 𝛼𝑟 𝛽 0 r r1 r2 𝛼1 2 2𝑟 𝛼 1 2𝑟 𝛼 1 Segunda solução 𝑦2 𝑣𝑦1 y2 v xr 𝑟vxr1 y2 vxr 𝑟vxr1 𝑟 vxr1 𝑟 1vxr2 y2 vxr 2rvxr1 rr 1vxr2 MÉTODO DE REDUÇÃO DE ORDEM du dx x u 0 d𝑢 x udx 0 du u dx x 0 ln 𝑢 ln 𝑥 𝐶1 𝑢 x 𝐶 𝑢 𝑣 𝐶 𝑥 𝑒 𝑣 𝐶ln 𝑥 𝑦2 𝐶ln 𝑥 𝑦1 𝐶ln 𝑥 𝑥𝑟1 𝑦 𝑐1𝑦1 𝑐2𝑦2 𝑦 𝑐1𝑥𝑟1 𝑐2𝐶ln 𝑥 𝑥𝑟1 𝑦 𝑐1𝑥𝑟1 𝑐2𝑥𝑟1ln 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶 1 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Exercício x2y 5xy 4y 0 x 0 Resolução x2y 𝛼xy 𝛽y 0 y 𝑥𝑟 y 𝑟𝑥𝑟1 y 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 Substituindo na EDO x2 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 5x 𝑟𝑥𝑟1 4 𝑥𝑟 0 𝑥𝑟 𝑟 𝑟 1 5 𝑟 4 0 r2 4𝑟 4 0 𝑟1 2 𝑒 𝑟2 2 y 𝑐1𝑥2 𝑐2𝑥2ln𝑥 𝑥 0 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑌2 𝑥 𝑎i𝑏 𝑌1 𝑥𝑎 cos 𝑏ln𝑥 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑏ln𝑥 𝑌2 𝑥𝑎 cos 𝑏ln𝑥 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑏ln𝑥 𝑌1 𝑥 𝑎i𝑏 𝑒 𝑎i𝑏 ln𝑥 𝑒𝑎ln𝑥𝑒i𝑏ln𝑥 𝑥𝑎 cos 𝑏ln𝑥 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑏ln𝑥 𝑒 𝑎i𝑏 ln𝑥 𝑒𝑎ln𝑥𝑒i𝑏ln𝑥 𝑥𝑎 cos 𝑏ln𝑥 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑏ln𝑥 𝛥 𝛼 1 2 4𝛽 0 r1 r2 complexo conjugado 𝑎 i𝑏 𝑎 i𝑏 𝛼 1 2 𝑖 4𝛽 𝛼 1 2 2 Fazendo combinações lineares destas duas soluções obtêmse 𝑦1 𝑌1𝑌2 2 𝑥𝑎cos 𝑏ln𝑥 𝑦2 𝑌1𝑌2 2𝑖 𝑥𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑏ln𝑥 𝑊 𝑦1 𝑦2 𝑏𝑥2𝑎1 0 𝑦 𝑐1𝑥𝑎cos 𝑏ln𝑥 𝑐2𝑥𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑏ln𝑥 𝑥𝑖 𝛽𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 cos θ cos θ sen θ sen θ 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Exercício x2y xy y 0 x 0 Resolução x2y 𝛼xy 𝛽y 0 y 𝑥𝑟 y 𝑟𝑥𝑟1 y 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 Substituindo na EDO x2 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 x 𝑟𝑥𝑟1 𝑥𝑟 0 𝑥𝑟 𝑟 𝑟 1 𝑟 1 0 r2 1 0 𝑟12 0 𝑖 𝑎 𝑏𝑖 𝑦 𝑐1𝑥𝑎cos 𝑏ln𝑥 𝑐2𝑥𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑏ln𝑥 y 𝑐1cos ln𝑥 𝑐2𝑠𝑒𝑛 ln𝑥 𝑥 0 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Fazendo 𝑥 𝑒𝑡 𝑦𝑡 𝑒𝑡 𝑟 𝑒𝑟𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑒𝑡 Assim a EDO x2y 𝛼xy 𝛽y rx sai de yx para yt resultando em y 𝑎y 𝑏y rt Usando a regra da cadeia 𝑦 𝑑 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑦 𝑑 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒𝑡 Caso a EDO não seja homogênea usar a mudança de variáveis para transformar em uma EDO de coeficientes constantes e na sequencia encontrar a solução particular Consideremos a EDO linear de segunda ordem x2y 𝛼xy 𝛽y 0 rx Solução para EDO homogênea yx 𝑥𝑟 x2 d dx dy dx 𝛼x dy dx 𝛽y rx 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Substituindo em x2y 𝛼xy 𝛽y rx 𝑒2𝑡 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝛼𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝛽𝑦 𝑟𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝛼 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝛽𝑦 𝑟𝑡 𝑦 𝛼 1 𝑦 𝛽𝑦 𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦𝑡 No final para encontrar 𝑦𝑥 fazer a substituição inversa 𝑥 𝑒𝑡 𝑡 𝑙𝑛 𝑥 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑦𝑝 𝐴0𝑒𝑡𝑡 𝑦𝑝 𝐴0 𝑒𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑦𝑝 𝐴0 2𝑒𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝐴0 2𝑒𝑡 𝑒𝑡𝑡 2𝐴0 𝑒𝑡 𝑒𝑡𝑡 3𝐴0𝑒𝑡𝑡 𝐴0 4𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝐴0 1 4 𝑦𝑝 Τ 1 4 𝑒𝑡𝑡 Τ 1 4 𝑥𝑙𝑛 𝑥 y 𝒄𝟏𝒙 𝒄𝟐𝒙𝟑 𝟏 𝟒 𝒙𝒍𝒏 𝒙 𝑥 0 Exercício x2y 3xy 3y x x 0 Solução da EDO homogênea x2y 𝛼xy 𝛽y 0 y 𝑥𝑟 y 𝑟𝑥𝑟1 y 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 r2 2𝑟 3 0 𝑟1 1 𝑒 𝑟2 3 yh 𝑐1𝑥 𝑐2𝑥3 𝑥 0 Solução particular Fazendo 𝑥 𝑒𝑡 𝑡 𝑙𝑛 𝑥 obtémse 𝑦 𝛼 1 𝑦 𝛽𝑦 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑦𝑡 𝑦 2𝑦 3𝑦 𝑒𝑡 𝑚1 1 𝑒𝑚2 3 𝑚𝑎𝑠 𝑦ℎ 𝐶1𝑒𝑡 𝐶2𝑒3𝑡 𝐶1𝑒𝑡 𝐶2 𝑒𝑡 3 𝐶1𝑥 𝐶2 𝑥 3 𝑦𝑝 𝐴0𝑒𝑡 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x3y 𝑎x2y 𝑏xy 𝑐y x3 d dx 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑎x2 d dx dy dx 𝑏x dy dx 𝑐y rx 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝑦 𝑑 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑦 𝑑 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒𝑡 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x3y 𝑎x2y 𝑏xy 𝑐y x3 d dx 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑎x2 d dx dy dx 𝑏x dy dx 𝑐y rx 𝑦 𝑑 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 d dx 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑 𝑑𝑡 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑦 2𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑3𝑦 𝑑𝑡3 2𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒𝑡 𝑦 e3t d3y dt3 3e3t d2y dt2 2e3t 𝑑𝑦 𝑑𝑡 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑦 𝑑 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 e3t d3y dt3 3e3t d2y dt2 2e3t 𝑑𝑦 𝑑𝑡 x3y 𝑎x2y 𝑏xy 𝑐y e3t e3t d3y dt3 3e3t d2y dt2 2e3t 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑎e2t 𝑒2𝑡 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑒2𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑏et 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑐𝑦 d3y dt3 3 d2y dt2 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑎 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑐y rt 𝑦 3y 2y 𝑎 y y 𝑏𝑦 𝑐𝑦 rt 𝑦 a 3y 2 𝑎 𝑏 𝑦 𝑐𝑦 rt 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson EXERCÍCIOS Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 0 3 2 2 y xy y x 4 1 1 1 y y y 𝑥𝑟 y 𝑟𝑥𝑟1 y 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 2x2 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 x 𝑟𝑥𝑟1 3 𝑥𝑟 0 𝑥𝑟 2𝑟 𝑟 1 𝑟 3 0 2r2 𝑟 3 0 𝑟12 1 124 4 𝑦 𝐶1𝑥 3 2 𝐶2𝑥1 𝑥 0 𝑦 3 2 𝐶1𝑥 1 2 𝐶2𝑥2 1 𝐶1 𝐶2 4 3 2 𝐶1 𝐶2 5 5 2 𝐶1 𝐶1 2 𝑒 𝐶2 1 𝑦 2𝑥 Τ 3 2 𝑥1 𝑥 0 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x2y xy y 0 𝑥 0 y 𝑥𝑟 y 𝑟𝑥𝑟1 y 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 x2 𝑟 𝑟 1 𝑥𝑟2 x 𝑟𝑥𝑟1 𝑥𝑟 0 𝑥𝑟 𝑟 𝑟 1 𝑟 1 0 r2 1 0 r12 0 4 2 r12 0 i 𝑦 𝑐1 e0xcos 1 ln 𝑥 𝑐2 e0xsen 1 ln 𝑥 𝑦 𝑐1 cos ln 𝑥 𝑐2 sen ln 𝑥 𝑥 0 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson y2y y 𝑙𝑛 𝑒𝑡 𝑡 𝑥 𝑒𝑡 𝑚22m 1 0 𝑚1 𝑚2 1 𝑦ℎ 𝑐1𝑒t 𝑐2𝑡𝑒t 𝑜𝑢 𝑦ℎ 𝑐1x 𝑐2𝑥𝑙𝑛 𝑥 𝑦𝑝 𝐴1𝑡 𝐴0 𝑦𝑝 𝐴1 𝑦𝑝 0 2𝐴1 𝐴1𝑡 𝐴0 𝑡 𝐴1 1 𝑒 2𝐴1 𝐴0 0 𝐴0 2 𝑦𝑝 𝑡 2 𝑙𝑛 𝑥 2 y 𝑐1x 𝑐2𝑥𝑙𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 2 𝑥 0 y 𝑐1x 𝑐2𝑥𝑙𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 2 y 𝑐1 𝑐2𝑙𝑛 𝑥 𝑐2 1 𝑥 y 𝑐2 𝑥 1 𝑥2 x2y xy y x2 𝑐2 𝑥 1 𝑥2 x𝑐1 𝑐2𝑙𝑛 𝑥 𝑐2 1 𝑥 𝑐1x 𝑐2𝑥𝑙𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 2 𝑐2𝑥 1 𝑐1𝑥 𝑐2𝑥𝑙𝑛 𝑥 𝑐2𝑥 1 𝑐1𝑥 𝑐2𝑥𝑙𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 2 𝑙𝑛 𝑥 x2y xy y ln 𝑥 𝑥 0 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson y3y 2y 3𝑒2𝑡 2𝑡 𝑥 𝑒𝑡 𝑚23m 2 0 𝑚1 1 𝑒 𝑚2 2 𝑦ℎ 𝑐1𝑒t 𝑐2𝑒2t 𝑜𝑢 𝑦ℎ 𝑐1x 𝑐2𝑥2 𝑦𝑝 𝐴0𝑡𝑒2𝑡 𝐴1𝑡 𝐴2 𝑦𝑝 𝐴0𝑒2𝑡 2𝐴0𝑡𝑒2𝑡 𝐴1 𝑦𝑝 2𝐴0𝑒2𝑡 2𝐴0𝑒2𝑡 4𝐴0𝑡𝑒2𝑡 𝑒2𝑡 4𝐴0𝑡 4𝐴0 32𝐴0𝑡 𝐴0 2𝐴0𝑡 3 𝐴1 2 𝐴1𝑡 𝐴2 3𝑒2𝑡 2𝑡 𝐴0𝑒2𝑡 3𝑒2𝑡 𝐴0 3 2𝐴1 2 𝐴1 1 𝑒 3𝐴1 2𝐴0 0 𝐴2 3𝐴1 2 3 2 𝑦𝑝 3𝑡𝑒2𝑡 𝑡 Τ 3 2 y 𝑐1𝑒t 𝑐2𝑒2t 3𝑡𝑒2𝑡 𝑡 3 2 y 𝑐1𝑥 𝑐2𝑥2 3𝑥2𝑙𝑛𝑥 𝑙𝑛𝑥 3 2 𝑥 0 𝑥2y2xy 2y 3𝑥2 2𝑙𝑛𝑥 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x3y x2y2xy 2y 2𝑥4 𝑥 0 𝑥 𝑒𝑡 y 13y212y 2y 2𝑒4𝑡 y 2y y 2y 2𝑒4𝑡 m3 2𝑚2m 2 0 m3𝑚 2 2𝑚2 𝑚m21 2𝑚2 1 𝑚2 1m2 0 𝑚1 1 𝑚2 1 𝑒 𝑚3 2 𝑦ℎ 𝑐1𝑒t 𝑐2𝑒t 𝑐3𝑒2t 𝑜𝑢 𝑦ℎ 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥 𝑐3𝑥2 𝑦𝑝 𝐴0𝑒4𝑡 𝑦𝑝 4𝐴0𝑒4𝑡 𝑦𝑝 16𝐴0𝑒4𝑡 𝑦𝑝 64𝐴0𝑒4𝑡 y 2y y 2y 𝐴0𝑒4𝑡 64 32 4 2 2𝑒4𝑡 𝐴0 1 15 𝑦𝑝 1 15 𝑒4𝑡 1 15 𝑥4 y 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥 𝑐3𝑥2 1 15 𝑥4 𝑥 0 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x3y x2y2xy 2y 2𝑥4 𝑥 0 y 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥 𝑐3𝑥2 1 15 𝑥4 𝑥 0 y 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥 𝑐3𝑥2 1 15 𝑥4 y 𝑐1𝑥2 𝑐2 2𝑐3𝑥 4 15 𝑥3 y 2𝑐1𝑥3 2𝑐3 12 15 𝑥2 y 6𝑐1𝑥4 24 15 𝑥 x3y x2y2xy 2y x3 6𝑐1𝑥4 24 15 𝑥 x22𝑐1𝑥3 2𝑐3 12 15 𝑥2 2x𝑐1𝑥2 𝑐2 2𝑐3𝑥 4 15 𝑥3 2𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥 𝑐3𝑥2 1 15 𝑥4 6𝑐1𝑥1 24 15 x4 2𝑐1𝑥1 2𝑐3𝑥2 12 15 𝑥4 2𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥 2𝑐3𝑥2 4 15 𝑥4 2𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥 𝑐3𝑥2 1 15 𝑥4 𝑥4 24 15 12 15 8 15 2 15 𝑥22𝑐3 4𝑐3 2𝑐3 𝑥1 6𝑐1 2𝑐1 2𝑐1 2𝑐1 𝑥2𝑐2 2𝑐2 2𝑥4 0841 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson