Sistemas de Equações Lineares e EDOs: Autovalores, Autovetores e Soluções

1 Sistema de equações lineares Seja o sistema de equações lineares a11𝑥1 a12𝑥2 a13𝑥3 a1n𝑥𝑛 𝑏1 a21𝑥1 a22𝑥2 a23𝑥3 a2n𝑥𝑛 𝑏2 an1𝑥1 an2𝑥2 an3𝑥3 ann𝑥𝑛 𝑏𝑛 Ou simplesmente utilizando notação matricial 𝐴𝑥 𝑏 Este sistema linear pode ser definido por 𝐴𝑥 𝑏 𝜆𝑥 𝐴𝑥 𝜆𝑥 0 𝐴 𝜆𝐼 𝑋 0 são autovalores constantes e X os correspondentes autovetores vetores Para calcular os autovalores fazse det 𝐴 𝜆𝐼 0 𝐴 𝜆𝐼 𝑋 0 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 0837 Exemplo ቊ 3𝑥1 𝑥2 0 4𝑥1 2𝑥2 0 𝐴 3 1 4 2 Então 𝐴 𝜆𝐼 𝑋 0 Ou 3 1 4 2 𝜆 0 0 𝜆 𝑥1 𝑥2 0 0 3 𝜆 1 4 2 𝜆 𝑥1 𝑥2 0 0 Calculando autovetores para cada autovalor 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 2 1 1 4 4 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 4𝑥1 4𝑥2 0 0 𝑥1 𝑥2 0 𝑥1 𝑥2 𝑋1 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥1 𝑥1 1 1 1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 1 det 3 𝜆 1 4 2 𝜆 𝜆2 𝜆 2 0 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆2 1 4 1 4 1 𝑥1 𝑥2 4𝑥1 𝑥2 4𝑥1 𝑥2 0 0 4𝑥1 𝑥2 0 4𝑥1 𝑥2 𝑋2 𝑥1 1 4 1 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 1 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson EDO linear homogênea com coeficientes constantes Solução por sistema de equações diferenciais 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson b EDO linear de segunda ordem y ay by 0 𝑦 𝑐1y1 𝑐2y2 Solução para y1 Fazendo 𝑈1 𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑦1 𝑢1 𝑦1 𝑢2 𝑢2 𝑦1 Substituindo na EDO obtêmse u2 au2 bu1 0 Podese montar o sistema de equações ൝u1 0u1 𝑢2 u2 bu1 au2 Matricialmente temse 𝑈1 𝐴𝑈1 𝑑 𝑑𝑥 𝑈1 𝑢1 𝑢2 0 1 𝑏 𝑎 𝑢1 𝑢2 O mesmo se aplica para 𝑦2 Fazer 𝑈2 𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑦2 𝑢1 𝑦2 𝑢2 𝑢2 𝑦2 a EDO de primeira ordem Considere a EDO de primeira ordem y ay 0 A solução desta EDO é y c1y1 c1eax Através de substituições 𝑢1 𝑦 𝑢1 𝑦 u1 au1 0 𝑢1 𝑎 𝑢1 𝑑 𝑑𝑥 𝑢1 𝑈 𝐴𝑈 𝜆𝑈 𝐴𝑈 𝜆𝑈 0 𝐴 𝜆𝐼 𝑈 0 𝑎 𝜆 𝑢1 0 𝑎 𝜆 0 𝜆1 𝑎 Comparando com y c1eax Obtêmse y u1 c1e𝜆1x 𝑈 𝐴𝑈 𝜆𝑈 𝐴𝑈 𝜆𝑈 0 𝐴 𝜆𝐼 𝑈 0 𝑎 𝜆 𝑢1 0 𝑎 𝜆 0 𝜆1 𝑎 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson c Sistema de EDO de ordem n Generalizando para uma EDO de ordem n 𝑑 𝑑𝑥 𝑈 𝑈 𝐴𝑈 U e𝜆xԦ𝑣 e U 𝜆e𝜆xԦ𝑣 Substituindo em 𝑈 𝐴𝑈 Obtemse 𝜆e𝜆x Ԧ𝑣 𝐴e𝜆x Ԧ𝑣 Usando propriedade de matrizes 𝜆 Ԧ𝑣 𝐴 Ԧ𝑣 Ou seja 𝐴 𝜆𝐼 Ԧ𝑣 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 Ԧ𝑣 0 𝐴 𝜆𝐼 0 Assim obtêmse cada autovalorautovetor que estão relacionados a um vetor U e que correspondem a cada uma das soluções da EDO 𝑦1 𝑎 yn 𝑈𝑗 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑛 𝑦𝑗 𝑦𝑗 𝑦𝑗 𝑛1 y ciyi ciUi 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 33 Sistema de EDO Seja o sistema de duas equações em termos de 𝑥1 𝑡 𝑒 𝑥2𝑡 ቊ𝑥1 𝑎11𝑥1 𝑎12𝑥2 𝑥2 𝑎21𝑥1 𝑎22𝑥2 Resolvendo matricialmente 𝑋 𝐴𝑋 𝜆𝑋 𝐴 𝜆𝐼 𝑋 0 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝜆 0 0 𝜆 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑎11 𝜆 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝜆 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑑𝑒𝑡 𝑎11 𝜆 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝜆 𝜆2 𝑎𝜆 𝑏 0 Solução 𝑋 𝑥1 𝑥2 c1𝑋1 c2𝑋2 c1e𝜆1𝑡𝑉1 c2e𝜆2𝑡𝑉2 34 Resolução do sistema de equações a Sistema de segunda ordem y ay by 0 𝑢1 𝑦 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑢2 𝑦 ൝u1 0u1 𝑢2 u2 bu1 au2 𝐴 𝜆𝐼 𝑋 0 𝐴 𝜆𝐼 𝜆2 𝑎𝜆 𝑏 0 1 𝜆1 𝜆2 reais 𝐴 𝜆1𝐼 𝑉1 0 e 𝐴 𝜆2𝐼 𝑉2 0 𝑈 𝑢1 𝑢2 c1U1 𝑐2U2 𝑦 𝑦 𝑈 c1e𝜆1x𝑉1 𝑐2e𝜆2x𝑉2 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Solução usando operador diferencial L D2 2𝐷 3 0 Exercício y 2y 3y 0 A solução para esta EDO a partir do operador diferencial com raízes da equação característica m1 3 e m2 1 cuja solução é definida por y c1e3x c2ex Solução usando sistema de equações 𝑢1 𝑦 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑢2 𝑦 Assim u2 2u2 3u1 0 Podese montar o seguinte sistema de EDO ൝u1 0𝑢1 𝑢2 u2 3u1 2u2 Matricialmente temse 𝑢1 𝑢2 0 1 3 2 𝑢1 𝑢2 𝑈 𝐴𝑈 𝜆𝑈 A solução para U será U𝑖 e𝜆𝑖x𝑣𝑖 𝐴 𝜆𝐼 𝑈 0 0 1 3 2 𝜆 0 0 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝜆 1 3 2 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 det 𝜆 1 3 2 𝜆 𝜆2 2𝜆 3 0 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 3 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 0837 Calculando autovetores para cada autovalor 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 1 𝐴 𝜆𝐼 𝑉 0 𝜆 1 3 2 𝜆 𝜈1 𝜈2 0 0 𝑦 1 1 3 3 𝑣1 𝑣2 𝑣1 𝑣2 3𝑣1 3𝑣2 0 0 𝑣1 𝑣2 𝑉1 𝑣2 𝑣2 1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣2 1 A solução U então será obtida por 𝑈 c1𝑈1 c2𝑈2 c1e𝜆1𝑥𝑉1 c2e𝜆2𝑥𝑉2 𝑈 𝑢1 𝑢2 c1e𝑥 1 1 c2e3𝑥 1 3 ൝u1 𝑦 c1e𝑥 c2e3𝑥 u2 𝑦 𝑐1e𝑥 3c2e3𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆2 3 3 1 3 1 𝑣1 𝑣2 3𝑣1 𝑣2 3𝑣1 𝑣2 0 0 𝑣2 3𝑣1 𝑉2 𝑣1 3𝑣1 1 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Exercício ቊ𝑥1𝑡 4𝑥1𝑡 3𝑥2𝑡 𝑥2𝑡 8𝑥1𝑡 6𝑥2𝑡 𝑥1 𝑥2 4 3 8 6 𝑥1 𝑥2 𝑋 𝐴𝑋 𝜆𝑋 A solução para U será X𝑖 e𝜆𝑖t 𝑣𝑖 𝐴 𝜆𝐼 𝑋 0 4 3 8 6 𝜆 0 0 𝜆 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑑𝑒𝑡 4 𝜆 3 8 6 𝜆 4 𝜆 6 𝜆 24 𝜆2 2𝜆 0 𝜆1 0 𝑒 𝜆2 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 0 𝐴 𝜆𝐼 𝑉 0 4 3 8 6 𝜈1 𝜈2 0 0 ൝ 4𝑣1 3𝑣2 0 𝑣1 3 4 𝑣2 𝑉1 𝑣2 3 4 1 3 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣2 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆2 2 6 3 8 4 𝜈1 𝜈2 0 0 ቊ6𝑣1 3𝑣2 0 𝑣2 2𝑣1 𝑉2 𝑣1 1 2 1 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 𝑿 c1𝑿𝟏 c2𝑿𝟐 c1e𝜆1𝑡𝑉1 c2e𝜆2𝑡𝑉2 𝑋 𝑥1 𝑥2 c1e0𝑡 3 4 c2e2𝑡 1 2 ൝ x1 3c1 c2e2𝑡 x2 4𝑐1 2c2e2𝑡 Prova ൝x1 2c2e2𝑡 x2 4c2e2𝑡 ൝4𝑥1𝑡 3𝑥2𝑡 12c1 4c2e2𝑡 12c1 6c2e2𝑡 2c2e2𝑡 8𝑥1𝑡 6𝑥2𝑡 24c1 8c2e2𝑡 24c1 12c2e2𝑡 4c2e2𝑡 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 2 𝜆1 𝜆2 reais Um vez que U1 e𝜆1𝑥𝑉1 Fazse U2 𝑥𝑉1 𝑛 e𝜆1𝑥 𝑥e𝜆1𝑥 𝑉1 e𝜆1𝑥𝑛 Obtémse matricialmente de 𝑑 𝑑𝑥 U2 U2 𝐴U2 U2 𝑒𝜆1𝑥𝑉1 𝑥𝑒𝜆1𝑥𝜆1𝑉1 𝜆1𝑒𝜆1𝑥𝑛 𝐴 𝑥e𝜆1x𝑉1 e𝜆1x𝑛 𝑒𝜆1𝑥 𝑉1 𝑥𝜆1𝑉1 𝜆1𝑛 e𝜆1𝑥 𝐴𝑥𝑉1 𝐴𝑛 𝑉1 𝐴𝑥𝑉1 𝐴𝑛 𝑥𝜆1𝑉1 𝜆1𝑛 𝑥 𝐴 𝜆1𝐼 𝑉1 𝐴 𝜆1𝐼 𝑛 ൝ 𝐴 𝜆1𝐼 𝑉1 0 𝑗á 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝐴 𝜆1𝐼 𝑛 𝑉1 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑛 U2 𝑥e𝜆1𝑥 𝑉1 e𝜆1𝑥 𝑛 U e𝜆xԦ𝑣 𝑑 𝑑𝑥 𝑈 𝑈 𝐴𝑈 𝜆e𝜆x Ԧ𝑣 𝐴e𝜆x Ԧ𝑣 𝜆 Ԧ𝑣 𝐴 Ԧ𝑣 𝐴 𝜆𝐼 Ԧ𝑣 0 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Exercício y 4y 4y 0 Solução usando operador diferencial L D2 4𝐷 4 0 A solução para esta EDO a partir do operador diferencial com raízes da equação característica m1 m2 2 cuja solução é definida por y c1e2x c2xe2x u2 4u2 4u1 0 Podese montar o seguinte sistema de equações ൝ u1 0𝑢1 𝑢2 u2 4u1 4u2 Solução usando sistema de equações 𝑒 𝑢2 𝑦 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢1 𝑦 𝑈 𝑢1 𝑢2 0 1 4 4 𝑢1 𝑢2 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑈 𝑢1 𝑢2 0 1 4 4 𝑢1 𝑢2 𝑈 𝐴𝑈 𝜆𝑈 A solução para U será 𝐴 𝜆𝐼 𝑈 0 0 1 4 4 𝜆 0 0 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝜆 1 4 4 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝑑𝑒𝑡 𝜆 1 4 4 𝜆 𝜆2 4𝜆 4 0 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 2 Calculando autovetores para cada autovalor 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 2 2 1 4 2 𝑣1 𝑣2 2𝑣1 𝑣2 4𝑣1 2𝑣2 0 0 𝑣2 2𝑣1 𝑉1 𝑣1 𝑣2 𝑣1 2𝑣1 𝑉1 𝑣1 1 2 1 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 U1 e𝜆1x𝑉1 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆2 2 U2 𝑥e𝜆1x𝑉1 e𝜆1x𝑛 𝐴 𝜆𝐼 𝑛 𝑉1 2 1 4 2 𝑛1 𝑛2 1 2 ቊ 2𝑛1 𝑛2 1 4𝑛1 2𝑛2 2 𝑛2 1 2𝑛1 𝑈 c1e2𝑥 1 2 c2 xe2𝑥 1 2 e2𝑥 0 1 ቐ u1 𝑦 c1e2x c2xe2x u2 𝑦 2𝑐1e2𝑥 c22xe2x c2e2x 𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛1 1 2𝑛1 0 1 𝑛1 2𝑛1 0 1 𝑛1 1 2 0 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛1 0 Uma vez que U2 𝑥e𝜆1𝑥𝑉1 e𝜆1𝑥𝑛 Então U2 xe2𝑥 1 2 e2𝑥 0 1 𝑈 c1U1 c2U2 𝜆 1 4 4 𝜆 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Temse então 𝜆1 𝛼 𝑖𝛽 𝑒 𝜆2 𝛼 𝑖𝛽 Resolvendo 𝐴 𝜆𝑖𝐼 𝑣𝑖 0 Para Ԧ𝑣 0 Obtemse os vetores 𝑣1 𝑎 𝑖𝑏 𝑒 𝑣2 𝑎 𝑖𝑏 Sabendo que U e𝜆𝑥 Ԧ𝑣 Então para 1 temse U1 e 𝛼𝑖𝛽 𝑥 𝑎 𝑖𝑏 Por expansão de Taylor obtémse e 𝛼𝑖𝛽 𝑥 e𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑖s𝑒𝑛 𝛽𝑥 Assim U1 e𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑖s𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑎 𝑖𝑏 U1 e𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑏 𝑖e𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑏 Da mesma maneira para 2 obtémse U2 e 𝛼𝑖𝛽 𝑥 𝑎 𝑖𝑏 U2 e𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑖s𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑎 𝑖𝑏 U2 e𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑖s𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑎 𝑖𝑏 U2 e𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑏 𝑖e𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑏 U e𝜆xԦ𝑣 𝑑 𝑑𝑥 𝑈 𝑈 𝐴𝑈 𝜆e𝜆x Ԧ𝑣 𝐴e𝜆x Ԧ𝑣 𝜆 Ԧ𝑣 𝐴 Ԧ𝑣 𝐴 𝜆𝐼 Ԧ𝑣 0 3 𝝀12 𝜶 𝒊𝜷 complexo conjugado 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Para obter duas soluções para U no campo dos reais fazse U1 U1 U2 2 e𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 Ԧ𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑏 e U2 U1 U2 2i e𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 Ԧ𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑏 Finalmente U 𝑢1 𝑢2 c1U1 c2U2 U c1e𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 Ԧ𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑏 c2e𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 Ԧ𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑏 U1 e𝛼x 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑏 𝑖e𝛼x 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑏 U2 e𝛼x 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑏 𝑖e𝛼x 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑏 U1 𝑢1 𝑢2 U2 𝑢1 𝑢2 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Exercício y 2y 2y 0 Solução usando operador diferencial L D2 2𝐷 2 0 A solução para esta EDO com raízes da equação característica m1m2 1i é definida por y c1e𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c2e𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Solução usando sistema de equações y 2y 2y 0 u2 2u2 2u1 0 u2 2u2 2u1 Podese montar o seguinte sistema de equações ൝u1 0u1 u2 u2 2u1 2u2 Matricialmente temse 𝑈 𝑢1 𝑢2 0 1 2 2 𝑢1 𝑢2 𝑈 𝐴𝑈 𝜆𝑈 A solução para U será 𝐴 𝜆𝐼 𝑈 0 0 1 2 2 𝜆 0 0 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝜆 1 2 2 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝑑𝑒𝑡 𝜆 1 2 2 𝜆 𝜆2 2𝜆 2 0 𝜆 1 𝑖 𝛼 𝑖𝛽 𝑢2 𝑦 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑢1 𝑦 U e𝜆xԦ𝑣 𝑈 𝐴𝑈 𝐴 𝜆𝐼 Ԧ𝑣 0 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Calculando autovetores para cada autovalor 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 1 𝑖 1 𝑖 1 2 1 𝑖 𝑣1 𝑣2 1 𝑖𝑣1 𝑣2 2𝑣1 1 𝑖𝑣2 0 0 𝑣2 1 𝑖𝑣1 𝑉1 𝑣1 1 𝑖𝑣1 𝑣1 1 1 𝑖 1 1 𝑖 0 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 𝑎 𝑖𝑏 Resulta em U1 e𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 0 1 U2 e𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 0 1 Finalmente 𝑈 c1𝑈1 c2𝑈2 U 𝑐1e𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 0 1 ou seja ൝u1 𝑦 c1e𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c2e𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 u2 𝑦 c1e𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c1e𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 c2e𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 c2e𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝜆 1 2 2 𝜆 U1 e𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 Ԧ𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 𝑏 U2 e𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 Ԧ𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝑏 𝜆 1 𝑖 𝛼 𝑖𝛽 𝑐2e𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 0 1 U e𝜆xԦ𝑣 𝑈 𝐴𝑈 𝐴 𝜆𝐼 Ԧ𝑣 0 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson EXERCÍCIOS Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑥1 𝑥2 1 3 3 1 𝑥1 𝑥2 1 3 3 1 𝜆 0 0 𝜆 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑑𝑒𝑡 1 𝜆 3 3 1 𝜆 1 𝜆 2 9 𝜆2 2𝜆 8 𝜆1 2 𝑒 𝜆2 4 𝑝𝑎𝑟𝑎𝜆1 2 3 3 3 3 𝜈1 𝜈2 0 0 ቊ3𝑣1 3𝑣2 0 𝑣2 𝑣1 𝑉1 𝑣1 1 1 1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎𝜆2 4 3 3 3 3 𝜈1 𝜈2 0 0 ቊ3𝑣1 3𝑣2 0 𝑣2 𝑣1 𝑉2 𝑣1 1 1 1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 𝑋 c1𝑋1 c2𝑋2 c1e𝜆1𝑡𝑉1 c2e𝜆2𝑡𝑉2 𝑋 𝑥1 𝑥2 c1e2𝑡 1 1 c2e4𝑡 1 1 ൝x1 c1e2𝑡 c2e4𝑡 x2 𝑐1e2𝑡 c2e4𝑡 ቊ𝑥1 𝑡 𝑥1 𝑡 3𝑥2𝑡 𝑥2 𝑡 3𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson ቊ𝑥1 𝑡 𝑥1 𝑡 3𝑥2𝑡 𝑥2 𝑡 3𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 ൝x1 c1e2𝑡 c2e4𝑡 x2 𝑐1e2𝑡 c2e4𝑡 ൝x1 2c1e2𝑡 4c2e4𝑡 x2 2c1e2𝑡 4c2e4𝑡 ൝𝑥1 𝑡 3𝑥2 𝑡 c1 e2𝑡 3e2𝑡 c2 e4𝑡 3e4𝑡 2c1e2𝑡 4c2e4𝑡 3𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 c1 3e2𝑡 e2𝑡 c2 3e4𝑡 e4𝑡 2c1e2𝑡 4c2e4𝑡 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x1 𝑥1 𝑥2 x2 𝑥2 3𝑥3 x3 𝑥1 𝑥2 1 1 0 0 1 3 1 1 0 𝜆 0 0 0 𝜆 0 0 0 𝜆 1 𝜆 1 0 0 1 𝜆 3 1 1 𝜆 1 𝜆 1 𝜆 𝜆 3 3 1 𝜆 1 𝜆2 𝜆 3 3 3𝜆 0 𝜆3 4𝜆 𝜆𝜆2 4 0 𝜆1 0 𝜆2 2 𝑒 𝜆3 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 0 1 1 0 0 1 3 1 1 0 𝜈1 𝜈2 𝜈3 ቊ 𝜈1 𝜈2 𝜈2 3𝜈3 ቊ𝜈1 3𝜈3 𝑉1 3 3 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆2 2 1 1 0 0 3 3 1 1 2 𝜈1 𝜈2 𝜈3 ቊ𝜈1 𝜈2 𝜈2 𝜈3 ቊ𝜈1 𝜈3 𝑉1 1 1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆3 2 3 1 0 0 1 3 1 1 2 𝜈1 𝜈2 𝜈3 ቊ3𝜈1 𝜈2 𝜈2 3𝜈3 ቊ𝜈1 𝜈3 𝑉1 1 3 1 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x1 𝑥1 𝑥2 x2 𝑥2 3𝑥3 x3 𝑥1 𝑥2 X C1e0t 3 3 1 C2e2t 1 1 1 C3e2t 1 3 1 ൞ x1 3C1 2C2e2t C3e2t x2 3C1 C2e2t 3C3e2t x3 C1 C2e2t C3e2t ൞ a 0 3C1 C2 C3 b 0 3C1 C2 3C3 c 1 C1 C2 C3 C1 Τ 1 4 C2 Τ 3 8 C3 Τ 3 8 ൞ x1 Τ 3 4 C1 Τ 3 8 e2t Τ 3 8 e2t x2 Τ 3 4 Τ 3 8 e2t Τ 9 8 e2t x3 Τ 1 4 Τ 3 8 e2t Τ 3 8 e2t 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑢1 𝑦 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑢2 𝑦 𝑢2 𝑢1 0 ൝ u1 0𝑢1 𝑢2 u2 3u1 2u2 0 1 1 0 𝜆 0 0 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝜆 1 1 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝑑𝑒𝑡 𝜆 1 1 𝜆 𝜆2 1 0 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 1 𝜆 1 1 𝜆 𝜈1 𝜈2 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 1 1 1 1 1 𝜈1 𝜈2 0 0 ቊ𝑣1 𝑣2 0 𝑣2 𝑣1 𝑉1 𝑣1 1 1 1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆2 1 1 1 1 1 𝜈1 𝜈2 0 0 ቊ𝑣1 𝑣2 0 𝑣2 𝑣1 𝑉2 𝑣1 1 1 1 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 𝑦 𝑦 0 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝜆1 1 𝑒 𝜆2 1 𝑉1 1 1 𝑒 𝑉2 1 1 𝑈 c1𝑈1 c2𝑈2 c1e𝜆1𝑥𝑉1 c2e𝜆2𝑥𝑉2 𝑈 𝑢1 𝑢2 c1e𝑥 1 1 c2e𝑥 1 1 ൝ u1 c1ex c2ex 𝑦 u2 𝑐1ex c2ex 𝑦 𝑦 c1ex c2ex 𝑦 c1ex c2ex ቊ2 C1 C2 0 C1 C2 C1 C2 1 𝑦 ex ex 𝑦 𝑦 0 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑥1 𝑥2 3 4 1 1 𝑥1 𝑥2 3 4 1 1 𝜆 0 0 𝜆 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑑𝑒𝑡 3 𝜆 4 1 1 𝜆 3 𝜆 1 𝜆 4 𝜆2 2𝜆 1 𝜆1 𝜆2 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 1 2 4 1 2 𝜈1 𝜈2 0 0 ቊ2𝑣1 4𝑣2 0 𝑣1 2𝑣2 𝑉1 𝑣2 2 1 2 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣2 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆2 1 𝐴 𝜆1𝐼 𝑛 𝑉1 2 4 1 2 n1 n2 2 1 n1 2n2 1 n1 1 2n2 n 1 2n2 n2 1 0 2n2 n2 1 0 n2 2 1 1 0 para n2 0 ቊ𝑥1 𝑡 3𝑥1 𝑡 4𝑥2𝑡 𝑥2 𝑡 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝜆1 𝜆2 1 𝑉1 2 1 n 1 0 X c1et 2 1 c2 tet 2 1 et 1 0 ቐx1 2c1et 2c2𝑡et et x2 c1et c2𝑡et ൝x1 2c1et 2c2 tet 3et c2et x2 c1et c2 xex ex ൝3x1 4x2 c1 6et 4et c2 6𝑡et 3et 4𝑡et 2c1et c2 2𝑡et 3et x1 x2 c1 2et et c2 2𝑡et et 𝑡et c1et c2 𝑡et et ቊ𝑥1 𝑡 3𝑥1 𝑡 4𝑥2𝑡 𝑥2 𝑡 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑢1 𝑦 𝑢1 𝑦 𝑢2 𝑢2 𝑦 𝑢2 𝑢1 0 ൝u1 0𝑢1 𝑢2 u2 u1 0u2 0 1 1 0 𝜆 0 0 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝜆 1 1 𝜆 𝑢1 𝑢2 0 0 𝑑𝑒𝑡 𝜆 1 1 𝜆 𝜆2 1 0 𝜆12 0 𝑖 𝑖𝛽 𝜆 1 1 𝜆 𝜈1 𝜈2 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆1 0 𝑖 𝑖 1 1 𝑖 𝜈1 𝜈2 0 0 ቊ𝑖𝑣1 𝑣2 0 𝑣2 𝑖𝑣1 𝑉1 𝑣1 1 𝑖 1 0 𝑖 0 1 Ԧ𝑎 𝑖𝑏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣1 1 𝑦 𝑦 0 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝜆 12 0 𝑖 𝑖𝛽 𝑉1 1 0 𝑖 0 1 Ԧ𝑎 𝑖𝑏 U c1ex cos βx Ԧ𝑎 sen βx 𝑏 c2ex sen βx Ԧ𝑎 cos βx 𝑏 U c1e0x cos x 1 0 sen x 0 1 c2e0x sen x 1 0 cos x 0 1 ቊu1 c1cos x c2sen x 𝑦 u2 c1sen x c2cos x 𝑦 𝑦 𝑐1𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 c1sen x c2cos x ቊ1 C1 2 C2 C1 1 𝑒 C2 2 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 𝑦 0 0837 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson