Equacoes Diferenciais - Guia Completo e Exercicios Resolvidos

Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑛0 an2𝑥n2 a2 𝑥2 a3𝑥3 a4𝑥4 y 𝑛0 an xx0 n a0 a1 xx0 an xx0 n y 𝑛0 an𝑥n 𝑛2 an𝑥n a2 𝑥2 a3𝑥3 a4𝑥4 𝑛2 an𝑥n 0849 y 𝑛0 anxn a0 a1𝑥 a2 𝑥2 a3 𝑥3 anxn 𝑐1y1 𝑐2y2 y a0 a2 𝑥2 a1𝑥 a3 𝑥3 𝐶1 𝑛0 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝐶2 𝑛1 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 0849 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson y a1 2a2𝑥1 3a3𝑥2 y 2a2 6a3𝑥1 12a4𝑥2 𝒏𝟎 n 2 n 1an2 xn 𝒏𝟎 an xn 𝟎 𝒏𝟎 n 2 n 1 an2 an xn 𝟎 0849 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑛1 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝑚0 1 m a1 2𝑚 1 x2m1 a1 𝑚0 1 m 2𝑚 1 x2m1 𝑛0 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝑚0 1 ma0 2𝑚 x2m a0 𝑚0 1 m 2𝑚 x2m Assim y a0 𝑚0 1 m 2m x2m a1 𝑚0 1 m 2𝑚 1 x2m1 Mas 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑚0 1𝑚𝑥2𝑚 2𝑚 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑚0 1𝑚𝑥 2𝑚1 2𝑚 1 0849 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson EXERCÍCIOS Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝐲 𝐲 𝟎 y 𝑛0 anxn y 𝑛1 n anxn1 𝑛1 𝑛anxn1 𝑛0 anxn 0 𝑛0 𝑛 1an1xn 𝑛0 anxn 𝑛0 𝑛 1an1 an xn 0 an1 an n 1 𝑛 0123 a1 a0 1 a2 a1 2 a0 2 a3 a2 3 a0 6 a4 a3 4 a0 24 an1 1𝑛1 a0 n 1 y 𝑛0 1𝑛1a0xn n 1 a0 𝑛0 1𝑛1xn n 1 Ou y a0 1 𝑥 1 2 𝑥2 1 6 𝑥3 1 24 𝑥4 a0𝑒𝑥 y a0 a1𝑥 a2𝑥2 a3𝑥3 a4𝑥4 a5𝑥5 0849 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝟏 𝐱 𝐲 𝐲 𝟎 y 𝑛0 anxn y 𝑛1 n anxn1 y 𝑛2 nn 1 anxn2 1 𝑥 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑛0 anxn 0 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑥 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑛0 anxn 0 𝑛0 n 2 n 1 an2xn 𝑛2 n n 1 anxn1 𝑛0 anxn 0 𝑛0 n 2 n 1 an2xn 𝑛1 n 1 n an1xn 𝑛0 anxn 0 2a2a0 𝑛1 n 2 n 1 an2 n 1 n an1 an xn 0 2a2 𝑛1 n 2 n 1 an2xn 𝑛1 n 1 n an1xn a0 𝑛1 anxn 0 0849 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 2a2 a0 0 a2 a0 2 a3 2a2 a1 32 2 a0 2 a1 6 a0 a1 6 a4 23a3 a2 34 6 a0 a1 6 a0 2 12 a0 a1 a0 2 12 a0 2a1 24 a5 34a4 a3 45 12 a0 2a1 24 a0 a1 6 20 2a0 6 5a1 6 20 2a0 5a1 120 y a0 a1𝑥 a0 2 𝑥2 a0 a1 6 𝑥3 a0 2a1 24 𝑥4 2a0 5a1 120 x5 y a0 𝟏 1 𝟐 𝒙2 𝟏 𝟔 𝒙3 𝟏 𝟐𝟒 𝒙4 1 𝟔𝟎 x5 a1 𝒙 1 𝟔 𝒙3 1 𝟏𝟐 𝒙4 𝟏 𝟐𝟒 𝒙5 2a2a0 𝑛1 n 2 n 1 an2 n 1 n an1 an xn 0 an2 n 1 n an1 an n 2 n 1 𝑛 123 y a0 a1𝑥 a2𝑥2 a3𝑥3 a4𝑥4 a5𝑥5 0849 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝟒 𝒙𝟐 𝒚 𝟐𝒚 𝟎 y 𝑛0 anxn y 𝑛1 n anxn1 y 𝑛2 nn 1 anxn2 4 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑛2 nn 1 anxn 2 𝑛0 anxn 0 4 𝑛0 n 1 n 2 an2xn 𝑛2 nn 1 anxn 2 𝑛0 anxn 0 42a26a3x 2a0a1x 𝑛2 4 n 2 n 1 an2 n1 nan 2an xn 0 8a2 2a0 0 a2 a0 4 24a3 2a1 0 a3 a1 12 an2 n 1 𝑛 2 4 n 2 n 1 an 𝑛2 𝑛 2 4 n 2 n 1 an an2 n 1 n 2 4 n 2 n 1 an n 2 4 n 2 an 𝑛 234 0849 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝟒 𝒙𝟐 𝒚 𝟐𝒚 𝟎 an2 n 1 𝑛 2 4 n 2 n 1 an 𝑛2 𝑛 2 4 n 2 n 1 an n 1 n 2 4 n 2 n 1 an n 2 4 n 2 an 𝑛 234 a4 0 44 a2 0 a6 a8 a5 1 20 a3 1 240 a1 a7 3 28 a5 3 24028 a1 1 2240 a1 y a0 a1𝑥 a0 4 𝑥2 a1 12 𝑥3 a1 240 𝑥5 a1 2240 x7 y a0 1 1 4 𝑥2 a1 𝑥 1 12 𝑥3 1 240 𝑥5 1 2240 𝑥7 y a0 a1𝑥 a2𝑥2 a3𝑥3 a4𝑥4 a5𝑥5 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Exercício y xy y 0 x0 0 Por série de potência y a0 a1𝑥 anxn 𝑛0 anxn Derivando em relação a x y 𝑛1 n anxn1 𝑥 y 𝑛1 n anxn Derivando mais uma vez em relação a x y 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑛0 n 2n 1 an2 xn Substituindo na EDO y xy y 0 𝑛0 n 2 n 1 an2 xn 𝑛1 n an xn 𝑛0 an xn 0 21 a2 x0 𝑛1 n 2 n 1 an2 xn 𝑛1 n an xn a0 x0 𝑛1 an xn 0 2 a2 a0 𝑛1 n 2 n 1 an2 n an an xn 0 2 a2 a0 𝑛1 n 2 n 1 an2 n 1 an xn 0 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Para esta equação ser verdade para qualquer x 2 a2 a0 a2 a0 2 n 2 n 1 an2 n 1 an an2 n 1 n 2 n 1 an 1 n 2 an Para os índices impares a3 a1 3 a5 a3 5 a1 53 a7 a5 7 a1 753 a3 2a1 23 2a1 3 a5 24 a1 2453 2 22 a1 5 a7 246 a1 246753 3 23 a1 7 Ou seja a2m1 m2m 2𝑚 1 a1 𝑚 012 𝑛1 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝑚0 m2m 2𝑚 1 a1x2m1 Ou 𝑛1 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝑎1 a3 𝑥3 a5 𝑥5 a7 𝑥7 𝑎1 a1 3 𝑥3 a1 15 𝑥5 a1 105 𝑥7 𝑛1 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝑎1 1 1 3 𝑥3 1 15 𝑥5 1 105 𝑥7 2 a2 a0 𝑛1 n 2 n 1 an2 n 1 an xn 0 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson Para os índices pares a2 a0 2 a4 a2 4 a0 42 a6 a4 6 a0 642 a2 a0 2 a4 a0 222 a6 a0 233 Ou seja a2m 1 2m𝑚 a0 𝑚 012 𝑛0 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝑚0 1 2m𝑚 a0x2m 𝑛0 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 anxn 𝑎0 a2 𝑥2 a4 𝑥4 a6 𝑥6 𝑎0 a0 2 𝑥2 a0 8 𝑥4 a0 48 𝑥6 𝑎0 1 1 2 𝑥2 1 8 𝑥4 1 48 𝑥6 an2 1 n 2 an Assim y a0 𝑚0 1 2mm x2m a1 𝑚0 2mm 2𝑚1 x2m1 c1𝑦1 c2𝑦2 y 𝑎0 1 1 2 𝑥2 1 8 𝑥4 1 48 𝑥6 𝑎1 1 1 3 𝑥3 1 15 𝑥5 1 105 𝑥7 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝑥2 1 y xy y 0 x0 0 y 𝑛0 anxn y 𝑛1 n anxn1 y 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑛0 n 2n 1 an2 xn 𝑥2 1 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑥 𝑛1 nan xn1 𝑛0 an xn 0 𝑥2 𝑛2 nn 1 anxn2 𝑛0 n 2 n 1 an2 xn 𝑥 𝑛1 nan xn1 𝑛0 an xn 0 𝑛2 nn 1 anxn 𝑛0 n 2 n 1 an2 xn 𝑛1 n an xn 𝑛0 an xn 0 𝑛2 nn 1 anxn 2 a2 6a3𝑥 𝑛2 n 2 n 1 an2 xn a1𝑥 𝑛2 n an xn a0a1𝑥 𝑛2 an xn 0 6a3𝑥 2 a2 a1𝑥 a1𝑥 a0 𝑛2 nn 1an n 2 n 1 an2 nan an xn 0 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 6a3𝑥 2 a2 a0 𝑛2 n 2 n 1 an2 n 1 n1 an xn 0 6a3 0 a3 0 2 a2 a00 a2 a0 2 n 2 n 1 an2 n 1 an an2 n 1 n1 n 2 n 1 an 1n n 2 an 𝑛 234 a4 a2 4 a0 42 a5 2a3 5 0 a6 3a4 6 3a0 642 a7 4a5 7 0 a8 5a6 8 35 a0 8642 a9 6a7 9 0 a10 7a8 10 357 a0 108642 6a3𝑥 2 a2 a1𝑥 a1𝑥 a0 𝑛2 nn 1an n 2 n 1 an2 nan an xn 0 𝑦 n0 anxn a0 a1x a2x2 a3x3a4 x4 a5 x5 a6 x6a7x7a8x8 a9 x9a10x10 y a0 1 1 2 x2 1 8 x4 1 16 x6 5 128 x8 7 256 x10 a1 x y1 1 1 2 x2 1 8 x4 1 16 x6 5 128 x8 7 256 x10 y2 x 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson 𝒚1 𝟏 1 2 𝒙𝟐 1 8 𝒙𝟒 1 16 𝒙𝟔 5 128 𝒙𝟖 7 256 𝒙𝟏𝟎 x2 1 y1 xy1 y1 0 y1 1 1 2 x2 1 8 x4 1 16 x6 5 128 x8 7 256 x10 y1 0 2 2 x1 4 8 x3 6 16 x5 85 128 x7 107 256 x9 y1 0 2 2 x0 34 8 x2 56 16 x4 785 128 x6 9107 256 x8 x2 1 34 8 𝑥2 56 16 𝑥4 785 128 𝑥6 9107 256 𝑥8 ቀ1 34 8 𝑥2 56 16 𝑥4 785 128 𝑥6 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson x2 3 2 𝑥4 56 16 𝑥6 785 128 𝑥8 9107 256 𝑥10 ቀ1 3 2 𝑥2 56 16 𝑥4 𝑦2 𝑥 𝑦2 1 𝑦2 0 𝑥2 1𝑦2 x𝑦2 𝑦2 0 𝑥2 1 0 x 1 𝑥0 0850 Equações Diferenciais Parte 2 Prof Valdson