Exercício de Calculo 4

Escola Politécnica de Pernambuco Departamento Básico Disciplina Equações Diferenciais Prof Valdson Simões Trabalho Escolar 1º EE 20251 Regras para a realização do trabalho 1Dever ser realizada de forma manuscrita individual e legível Serão aceitas apenas respostas devidamente justificadas com todos os cálculos necessários 2 Os alunos deverao colocar o nome no início da prova Qualquer desenvolvimento diferente do exposto nas aulas devera ser detalhado passo a passo Questes 1 Considere a equação diferencial y 2x 2y 32 2 2x 2y 3 Encontre a solucão geral desta EDO redutível a variáveis separadas usando a substituição r 2x 2y 3 10 2 Considere a EDO x2 y xy 4y lnx x 0 Encontre a solucão da EDO e prove que a soluçao está correta 10 1 y 2x 2y 32 22x 2y 3 r 2x 2y 3 r drdx 2 2y y r 2 2 y r 2 1 Substituindo na equacoo inicial y 2x 2y 32 2 2x 2y 3 r2 1 r2 2r r 2r2 4r 2 r drdx drdx 2r2 4r 2 12r2 4r 2 dr dx 2r2 4r 2 2 r2 2r 1 2 r 12 12 1r 12 dr dx 12 1 r 1 x c 1r 1 2x 2c 2x c r 12x c 1 2x 2y 3 Isolando γ₁ γ₁x 14x c x 2 2 Homogenea x2 y xy 4y 0 E uma equaco de Cauchy Euler Com x eu podemos reescrevela como λ 1 λ λ 4 0 λ2 λ λ 4 0 λ2 4 0 λ 2 Solucao Homogenea γₙ c₁ e2u c₂ e2u x eu u lnx γₙ c₁ x2 c₂ x2 γₙ c₁ x2 c₂ x2 Solucao particular γₚ A u B γₚ 0 x2 γₚ 4γₚ lnx 4A u B lnx 4 A lnx 4 B lnx 4A 1 A 14 4 B 0 B 0 γₚ u 4 lnx 4 Solucao geral γx c₁ x2 c₂ x2 lnx 4 Derivadas y 2 C₁ x 2 C₂x³ 14x y 2 C₁ 6 C₂x⁴ 14x² Usando na equação inicial x² y x y 4 y 0 x² 2 C₁ 6 C₂x⁴ 14x² x 2 C₁ x 2 C₂x³ 14x 4 C₁ x² C₂x² lnx4 lnx 2 C₁ x² 6 C₂x² 14 2 C₁ x² 2 C₂x² 14 4 C₁ x² 4 C₂x² lnx lnx 14 14 lnx lnx 0 0 A solução encontrada está correta 1 y 2 x 2 y 3² 2 2 x 2 y 3 r 2 x 2 y 3 r drdx 2 2 y y r 22 y r2 1 Substituindo na equação inicial y 2 x 2 y 3² 2 2 x 2 y 3 r2 1 r² 2 r r 2 r² 4 r 2 r drdx drdx 2 r² 4 r 2 12 r² 4 r 2 dr dx 2 r² 4 r 2 2r² 2 r 1 2 r 1² 12 1r 1² dr dx 12 1r 1 x c 1r 1 2 x 2 c 2 x c₁ r 12 x c₁ 1 2 x 2 y 3 Isolando y yx 14 x c₁ x 2 2 homogênea x² y xy 4y 0 É uma equação de Cauchy Euler Com x eu podemos reescrevêla como λ 1λ λ 4 0 λ² λ λ 4 0 λ² 4 0 λ 2 solução homogênea yh C₁ e²ᵘ C₂ e²ᵘ x eᵘ u lnx yh C₁ x² C₂ x² yh C₁ x² C₂x² solução particular yp A u B yp 0 x² yp 4 yp lnx 4 A u B lnx 4 A lnx 4 B lnx 4 A 1 A 14 4 B 0 B 0 yp u4 lnx4 solução geral yx C₁ x² C₂x² lnx4 Derivadas y 2C1x 2C2x3 14x y 2C1 6C2x4 14x2 Usando na equação inicial x2 y xy 4y 0 x22C1 6C2x4 14x2 x2C1x 2C2x3 14x 4C1x2 C2x2 lnx4 lnx 2C1x2 6C2x2 14 2C1x2 2C2x2 14 4C1x2 4C2x2 lnx lnx 14 14 lnx lnx 0 0 A solução encontrada está correta