Série de Fourier de Tempo Discreto DFTD: Exercícios Resolvidos e Propriedades

Série de Fourier de Tempo Discreto xn kN ak ejkω₀n I ak 1N nN xn ejkω₀n II com ω₀ 2πN Observaçõs Na Eq I K N indica que K varia em um intervalo de N inteiros consecutivos A Eq I é chamada Equação de síntese e é conhecida como Série de Fourier de Tempo Discreto SFTD E Eq II é chamada Equação de análise sendo ak os coeficientes da Série de Fourier O sinal de tempo Discreto xn nas Equações I e II é Nperiódico ou seja xn xn N Os coeficientes da série de Fourier de tempo discreto têm período N De fato ak 1N nN xn ejkω₀n akN 1N nN xn ejkNω₀n akN 1N nN xn ejkω₀n ejNω₀n ω₀ 2πN ω₀N 2π jNω₀n j2πn ejNω₀n ej2πn cos2πn j sen2πn 1 akN 1N nN xn ejkω₀n ak Exercício Seja xn um sinal Nperiódico com SFTD dado por xn kN ak ejkω₀n em que ak 1N nN xn ejkω₀n com ω₀ 2πN Seja yn um sinal Nperiódico com SFTD dado por yn kN bk ejkω₀n em que bk 1N nN yn ejkω₀n com ω₀ 2πN Demonstre as propriedades a seguir a Linearidade de SFTD xn F ak yn F bk A xn B yn F A ak B bk b Deslocamento no Tempo xnn0 F ak ejkω0n0 c Deslocamento na Frequência ejMω0n xn F akM d Conjugação xn F ak e Reflexão no tempo xn F ak f Simetria conjugada para sinais reais Se xn é real então ak ak Reak Reak Imak Imak ak ak x ak x ak g Se xn é real e par então ak é real e par h Se xn é real e ímpar então ak é puramente Imaginário e ímpar i Relação de Parseval para sinais periódicos 1N Σ xn2 Σ an2 nN kN Solução a Vamos provar a linearidade de SFTD xn F ak Fxn ak 1N Σ xn ejkω0n I nN F1ak xn Σ ak ejkω0n II kN Fyn bk 1N Σ yn ejkω0n III nN F1bk yn Σ bk ejkω0n IV kN ω0 2πN FA xn B yn 1N Σ A xn B yn ejkω0n nN A 1N Σ xn ejkω0n B 1N Σ yn ejkω0n nN A ak B bk CQD b Vamos demonstrar a Propriedade de Deslocamento no Tempo xn F ak xnn0 F ak ejk w0 n0 w0 2 piN Demonstração ak Fxn 1N sumnN xn ejk w0 n 7 xn F1ak sumkN ak ejk w0 n II Fxnn0 1N sumnN xnn0 ejk w0 n m nn0 jkw0mn0 1N summN xm e jk w0 n jk w0 n jk w0 n0 Fxnn0 1N sumnN xn e jk w0 n e jk w0 n0 ejkw0 n0 1N sumnN xn ejk w0 n ejkw0 n0 ak ak ejkw0 n0 cqd c Vamos demonstrar a Propriedade de Deslocamento na Frequência xn F ak ejM w0 n F akM Demonstração xn F ak ak Fxn 1N sumnN xn ejk w0 n FejM w0 n xn 1N sumnN ejM w0 n xn ejk w0 n 1N sumnN xn ejkM w0 n akM cqd d Vamos demonstrar a Propriedade de Conjugação xn F ak xn F ak Demonstração xn F ak ak Fxn 1N sumnN xn ejkw0 n w0 2 piN Fxn 1N sumnN xn ejkw0 n 1N sumnN xn ejkw0 n conjugado do produto so produto dos conjugados 1N sumnN xn ejkw0 n conjugado da soma e na soma dos conjugados 1N sumnN xn ejk w0 n ak ak cqd e Vamos demonstrar a propriedade de Reflexao no Tempo xn F ak xn F ak Demonstração xn F ak ak Fxn 1N Σ nN xn ejkω₀n ω₀ 2πN Fxn 1N Σ nN xn ejkω₀n m n 1N Σ mN xm ejkω₀m Fxn 1N Σ nN xn ejkω₀n 1N Σ nN xn ejkω₀n Fxn ak cod f Vamos demonstrar a propriedade de Simetria Conjugat para Sinais Reais Se xn é real então ak ak Reck Reak Σ um ak Im ak ak ak x ak x ak Demonstração xn F ak ak Fxn 1N Σ nN xn ejkω₀n I ω₀ 2πN Se xn é real então xn é de forma xn xRn j xFn0 xn xRn Assim xn xn Logo Fxn Fxn II Pela I Fxn ak III Vamos determinar Fxn Fxn 1N Σ nN xn ejkω₀n 1N Σ nN xn ejkω₀n 1N Σ nN xn ejkω₀n 1N Σ nN xn ejkω₀n ak Fxn ak IV Pela II III e IV tem ak ak V Seja ak ak ej psiak VI Neste caso ak ak ej psiak VII ak ak ej psiak VIII Se ak ak pois VI e VII tem ak ak ej psiak j psiak herefore psin j psiak Seja ak Reak j Im ak IX Neste caso ak Re ak j Im ak X ak Re ak j Im ak XI Da VI IX e XI tem Re ak Re ak Im ak Im ak cqd g Vamos demonstrar que se xn é real e par então ak é real e par Demonstração ak Fxn frac1N sumnN xn ejk w0 n com w0 frac2 piN Se xn é real segue que xn é da forma xn xRn j xIn xn xRn Se xn é par segue que xn xn ou seja xRn xRn Assim ak Fxn FxRn frac1N sumnN xRn ejk w0 n ak frac1N sumnfracN2 xRn ejk w0 n xR0 sumn1fracN2 xRn ejk w0 n ak frac1N sumn1fracN2 xRn ejk w0 n xR0 sumn1fracN2 xRn ejk w0 n ak frac1N sumn1fracN2 xRn cos k w0 n j sumn1fracN2 xRn sin k w0 n xR0 sumn1fracN2 xRn cos k w0 n j sumn1fracN2 xRn sin k w0 n Levando em conta o fato de que xRn xRn temos ak frac1N sumn1fracN2 xRn cos k w0 n xRn cos k w0 n xR0 j sumn1fracN2 xRn sin k w0 n xRn sin k w0 n ak frac1N xR0 frac2N sumn1fracN2 xRn cos k w0 n Como xRn é real para todo n e cos KW0 n é real segue que aK é real Verifiquemos a periodicidade aK 1N xR0 2N n1N2 xRn cos KW0 n aK 1N xR0 2N n1N2 xRn cosKW0 n aK 1N xR0 2N n1N2 xRn cos KW0 n aK aK Assim aK é real COD b Vamos provar que se xn é real e ímpar então aK é puramente imaginário e ímpar Demonstração aK Fxn 1N nN xn ejKnω0 n com ω0 2πN Seja xn xRn e jxIn Se xn é real segue que xn xRn Se xn é ímpar segue xn xn ou seja xRn xRn Assim aK 1N nN xRn ejKnω0 n aK 1N n1N2 xRn cos Knω0 n j n1N2 xRn sen Knω0 n xR0 n1N2 xRn cos Knω0 n j n1N2 xRn sen Knω0 n Como xRn xRn temos aK 1N xR0 2j n1N2 xRn sen Knω0 n Com xRn é ímpar xR0 0 logo aK j 2N n1N2 xRn sen Knω0 n I Como N xRn e sen Knω0 n são reais segue que aK é puramente imaginário Na I aK j 2N n1N2 xRn sen fn ω0 n j 2N n1N2 xRn sen Knω0 n aK aK Logo aK é ímpar COD i Vamos demonstrar a relação de Parseval 1N xn² ak² nN kN Demonstração ak Fxn 1N xn ejkw₀n nN xn F¹ak ak ejkw₀n kN com w₀ 2πN ak² akak ak 1N xn ejkw₀n kN kN kN ak 1N xn ejkw₀n kN nN 1N ak ejkw₀n xn nN kN 1N xn xn nN ak² 1N xn² kN nN QD