Transformada de Fourier de Tempo Discreto - Definições, Propriedades e Exercícios

Transformada de Fourier de Tempo Discreto Antes vamos revisitar assuntos já estudados Transformada de Fourier de Tempo Contínuo xt X jw F F1 Fxt Xjw FXjw xt Fxt xtejwt dt Xjw F1Xjw 12π Xjwejwt dw Propriedades Linearidade Deslocamento no tempo Deslocamento na frequência Diferenciação Integração Escalonamento no tempo Relação de Parseval A Transformada de Fourier de Tempo Discreto xn Xejw F F1 Fxn Xejw F1Xejw xn Fxn xnejwn Xejw n F1Xejw 12π Xejwejwn dw 2π xn Diferenças em relação à Transformada de Fourier de tempo contínuo A periodicidade da Transformada de Fourier de tempo discreto O intervalo de integração finito na equação de síntese da Transformada de Fourier de tempo discreto Periodicidade da Transformada de Fourier de Tempo Discreto Xejw é 2π periódica De fato Consideremos o par xn Xejw F F1 Xejw Fxn xnejwn n Assim Xejw2π xnejw2πn n Xejw2π xnejwn ej2πn n I Mas ej2πn cos2πn j senπn 1 II Substituindo II em I temos Xejw2π xnejwn 1 n Xejw2π Xejw propriedades 1 Linearidade X1n F X1ejw I X2n F X2ejw II aX1n bX2n F aX1ejw bX2ejw Demonstração Por I temos X1ejw Σ x1n ejwn Fx1n n to Por II temos X2ejw Σ x2n ejwn Fx2n n to FaX1n bX2n Σ aX1n bX2n ejwn n to Σ aX1nejwn bX2n ejwn n to a Σ X1n ejwn b Σ X2n ejwn n to aX1ejw bX2ejw Portanto aX1n bX2n F aX1ejw bX2ejw 2 Deslocamento no Tempo Xn F X1ejw I Xnn0 F Xejw ejwn0 II Demonstração Por I temos Fxn Σ xn ejwn Xejw n to FXnn0 Σ xnn0 ejwn n to mudança de variável m nn0 Σ xm ejwmn0 m to FXnn0 Σ xn ejwn ejwn0 n to FXnn0 Xejw ejwn0 Assim Xnn0 F Xejw ejwn0 3 Deslocamento na Frequência Xn F Xejw ejw0 n Xn F Xejww0 Demonstração FXn Σ xn ejwn n to Xejw Fejw0 n Xn Σ ejw0 n xn ejwn n to Σ xn ejww0 n n to Xejww0 Assim ejw0 n xn F Xejww0 4 Diferenciação Xn F Xejw Xn Xn1 F 1 ejw Xejw Exercício 1 Demonstre a propriedade de reversão no tempo xn F Xejω xn F Xejω 2 Determine o transformada de Fourier de tempo discreto para os sinais a seguir a δn b δnk c an μn para a1 Solução 1 Fxn Σ n to xn ejwn Xejω Fxn Σ n to xn ejwn Mudança de variável m n Σ m to xm ejwm Σ m to xm ejwm Fxn Σ n to xn ejwn Fxn Σ n to xn ejωn Assim xn F Xejω Demonstração Fxn Σ n to xn ejwn Xejω Fxn xn1 Fxn Fxn1 propriedade de linearidade Xejω Xejω ejω propriedade de deslocamento no tempo Xejω Xejω ejω 1 ejω Xejω Assim xn xn1 F 1 ejω Xejω Exercício Demonstre a propriedade de convolução xn F Xejω hn F Hejω xnhn F Xejω Hejω Demonstração Fxn Σ n to xn ejwn Xejω Fhn Σ n to hn ejwn Hejω xnhn Σ k to xk hnk Fxnhn Σ n to xnhn ejwn Σ n to Σ k to xk hnk ejwn Σ k to Σ n to hnk ejwn xk Fhnk propriedade do deslocamento no tempo Σ k to Hejω ejωk xk Hejω Σ k to xk ejωk Xejω Hejω Xejω Xejω Hejω Assim Fxnhn Xejω Hejω xnhn F Xejω Hejω Algoritmo PDS Partial Distortion Search x 1 0 2 ŵ1 2 3 1 ŵ2 1 1 2 ŵ3 7 5 4 ŵ4 1 3 5 dx ŵ1 1 22 0 32 2 12 27 dx ŵ2 1 12 0 12 2 22 1 dmin 1 indice 2 dx ŵ3 1 72 1 dx ŵ4 1 12 0 32 1 x 9 9 5 comp 6 n de op aritmeticas n de op logicas 2a xn δn Fxn n xn ejwn Xejw Xejw n δn ejwn δ0 ejw0 1 δn F 1 2b xn δnk Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo ao exer cício anterior temos δn F 1 δnk F 1 ejwk δnk F ejwk 2c xn an μn Xejw n xn ejwn n0 an μn ejwn n0 an ejwn n0 aejwn 1 aejw aejw2 aejw3 Soma dos termos de uma PG com razão al jw Apê garante convergência aejw 1 aejw 1 a 1 Xejw 1 1 aejw an μn F 11 aejw para a 1 Um pouco mais sobre complexidade computacional QV Ex ŵ1 2 3 1 x 1 0 2 ŵ2 1 1 2 ŵ3 7 5 4 ŵ4 1 3 5 dx ŵ1 1 22 0 32 2 12 27 dx ŵ2 1 12 0 12 2 22 1 dx ŵ3 1 72 0 52 2 42 93 dx ŵ4 1 12 0 32 2 52 58 dmin 1 dx ŵ2 Qx ŵ2 x 12 12 8 comp 3