Lista 8 - Teste de Hipótese - Estatística 2021 1

Página | 1 8ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 Prof. Mariana Pereira de Melo Teste de Hipótese para duas populações Ex. 01) Uma das maneiras de medir o grau de satisfação dos empregados de uma mesma categoria quanto à política salarial é por meio do desvio padrão de seus salários. A fábrica A diz ser mais coerente na política salarial do que a fábrica B. Para verificar essa afirmação, sorteou-se uma amostra de 10 funcionários não especializados de A, e 15 de B, obtendo-se os desvios padrões sA = 1.000 reais e sB = 1.600 reais. Qual seria a sua conclusão? Ex. 02) Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas fábricas. Essa qualidade será definida pela uniformidade com que o produto é produzido em cada fábrica. Tomaram-se duas amostras, uma de cada fábrica, medindo-se o comprimento dos produtos (o resumo dos resultados está no quadro abaixo). A qualidade das duas fábricas é a mesma? Em seguida, teste a hipótese de que as médias dos comprimentos dos produtos produzidos pelas duas fábricas são iguais. Ex.03) Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação, uma amostra aleatória, de 50 homens e 50 mulheres de um grande complexo industrial, produziu os seguintes resultados: Que conclusões você poderia tirar para a população de homens e mulheres dessa indústria? (Indique as suposições feitas para resolver o problema.) Ex.04) Diversas políticas em relação às filiais de uma rede de supermercados estão associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar esse parâmetro para duas novas filiais, por meio de duas amostras de 50 clientes cada. As médias obtidas foram 62 e 71, respectivamente. Sabe-se que o desvio padrão, em ambos os casos, deve ser da ordem de 20 unidades. É possível afirmar que o gasto médio nas duas filiais seja o mesmo? Caso contrário, dê um intervalo de confiança para a diferença. Ex.05) Uma fábrica de embalagens para produtos químicos está estudando dois processos para combater a corrosão de suas latas especiais. Para verificar o efeito dos tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados estão no quadro abaixo (em porcentagem de corrosão eliminada). Qual seria a conclusão sobre os dois tratamentos? Página | 2 Ex.06) Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém- formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formados em Administração de Empresas. Com os resultados abaixo, expressos em salários mínimos, quais seriam suas conclusões? Ex.07) Para investigar a lealdade de consumidores a um determinado produto, sorteou-se uma amostra de 200 homens e 200 mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de fidelidade 100 homens e 120 mulheres. Os dados trazem evidências de diferença de grau de fidelidade entre os sexos? Em caso afirmativo construa um intervalo de confiança para a diferença. Ex.08) Em uma amostra de 500 famílias da cidade A, constatou-se que 298 haviam comprado, durante os últimos 30 dias, o refrigerante Meca-Mela em sua nova versão incolor. Na cidade B esse número foi de 147 em 300 famílias entrevistadas. Na cidade A foi feita uma campanha publicitária através da rádio local, e não na cidade B. Os resultados trazem evidências de que as campanhas locais aumentam as vendas? Ex.09) Um partido afirma que a porcentagem de votos masculinos a seu favor será 10% a mais que a de votos femininos. Em uma pesquisa feita entre 400 homens, 170 votariam no partido, enquanto que entre 625 mulheres, 194 lhe seriam favoráveis. A afirmação do partido é verdadeira ou não? Caso rejeite a igualdade, dê um IC para a diferença. Ex.10) Para investigar os resultados do segundo turno de uma eleição estadual tomaram-se duas amostras de 600 eleitores cada: uma da capital e outra do interior. Da primeira, 276 disseram que votariam no candidato A, enquanto que 312 eleitores do interior também o fariam. (a) Estime a proporção de eleitores da capital que votariam em A. Dê um IC. (b) Existe diferença nas proporções entre capital e interior? (c) Qual a proporção esperada de votos que irá receber o candidato A no estado? (d) De uma amostra de 120 indivíduos da classe A e B, 69 são favoráveis a eleição em dois turnos, enquanto que em uma amostra de 100 indíviduos da classe C, 48 é que são favoráveis. Existe evidência e diferenças de opiniões em relação à classe social? Ex.11) Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade de seus trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e contou o número de peças produzidas durante uma semana sem intervalo e uma semana com intervalo. Os resultados sugerem se há ou não melhora na produtividade? Caso haja melhora, qual deve ser o acréscimo médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica? Ex.12) Numa indústria deseja-se testar se a produtividade média dos operários do período diurno é igual à produtividade média dos operários do período noturno. Para isso, colheram-se duas amostras, uma de cada período, observando-se a produção de cada operário. Os resultados obtidos foram os seguintes: De acordo com esses resultados, quais seriam suas conclusões? Ex.13) Num levantamento feito com os operários da indústria mecânica, chegou-se aos seguintes números: salário médio = 3,64 salários mínimos e desvio padrão = 0,85 salário mínimo. Suspeita-se que os salários da subclasse formada pelos torneiros mecânicos são diferentes dos salários do conjunto todo, tanto na média como na variância. Página | 3 Que conclusões você obteria se uma amostra de 25 torneiros apresentasse salário médio igual a 4,22 salários mínimos e desvio padrão igual a 1,25 salário mínimo? Ex.14) Uma amostra de 100 trabalhadores de uma fábrica grande demora, em média, 12 minutos para completar uma tarefa, com um desvio padrão de dois minutos. Uma amostra de 50 trabalhadores de uma outra fábrica demora, em média, 11 minutos para completar a mesma tarefa, com desvio padrão igual a três minutos. (a) Construa um IC de 95% para a diferença entre as duas médias populacionais. (b) Deixe bem claro quais as suposições feitas para a solução apresentada. Ex.15) Deseja-se testar se dois tipos de ensino profissional são igualmente eficazes. Para isso, sortearam-se duas amostras de operários; a cada uma, deu-se um dos tipos de treinamento e, no final, submeteram-se os dois grupos a um mesmo teste. Que tipo de conclusão você poderia tirar, baseando-se nos resultados abaixo? Ex.16) Um médico deseja saber se uma certa droga reduz a pressão arterial média. Para isso, mediu a pressão arterial em cinco voluntários, antes e depois da ingestão da droga, obtendo os dados do quadro abaixo. Você acha que existe evidência estatística de que a droga realmente reduz a pressão arterial média? Que suposições você fez para resolver o problema? Ex.17) Uma amostra de 100 lâmpadas elétricas produzidas pela fábrica A indica uma vida média de 1.190 horas, com desvio padrão de 90 horas. Uma amostra de 75 lâmpadas produzidas pela fábrica B indica uma vida média de 1.230 horas, com desvio padrão de 120 horas. Admitindo que as variâncias populacionais sejam diferentes, você acha que existe diferença entre as vidas médias populacionais das lâmpadas produzidas pelas fábricas A e B? Ex.18) De 400 moradores sorteados de uma grande cidade industrial, 300 são favoráveis a um projeto governamental, e de uma amostra de 160 moradores de uma cidade cuja principal atividade é o turismo, 120 são contra. (a) Você diria que a diferença de opiniões nas duas cidades é estatisticamente significante? (b) Qual seria um IC de 90% para a proporção de favoráveis ao projeto nas duas cidades? Ex.19) Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, preparam-se dois tipos de montagem: cruzado (A), onde a cola é posta em forma de X, e quadrado (B), onde a cola é posta apenas nas quatro bordas. Os resultados da resistência para duas amostras de 10 cada estão abaixo. Que tipo de conclusão poderia ser tirada? Ex.20) Numa pesquisa sobre a opinião dos moradores de duas cidades, A e B, com relação a um determinado projeto, obteve-se: Construa um IC para a diferença de proporções de opiniões nas duas cidades. Página | 4 Ex.21) Duas máquinas A e B, são usadas para empacotar pó de café. A experiência passada garante que o desvio padrão para ambas é de 10 g. Porém, suspeita-se que elas têm médias diferentes. Para verificar, sortearam-se duas amostras: uma com 25 pacotes da máquina A e outra com 16 pacotes da máquina B. As médias foram, respectivamente, 𝑥̅𝐴 = 502,74 g e 𝑥̅𝐵 = 496,60 g. Com esses números, e com o nível de 5%, qual seria a conclusão do teste 𝐻0: 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵? Ex.22) Na região sul da cidade, 60 entre 400 pessoas preferem a bebida Meca-Mela entre as demais similares. Na região norte, a proporção é de 40 entre 225 entrevistados. Baseado no resultado dessa amostra, você diria que a proporção de todos os moradores nas duas regiões é a mesma? Use α = 0,05. Ex.23) Uma pesquisa mercadológica sobre fidedignidade a um produto foi realizada em dois anos consecutivos, com duas amostras independentes de 400 donas de casa em cada uma delas. A preferência pela marca em questão foi de 33% e 29%, respectivamente. Os resultados trazem alguma evidência de mudança de preferência? Ex.24) Deseja-se comparar a durabilidade de amortecedores fabricados pelas empresas A e B. A medida observada é o índice de resistência de cada peça testada em laboratório, que é assumido ter a mesma variabilidade nas duas empresas. Os resultados obtidos são apresentados a seguir. Empresa A: 115, 123,134, 120, 121 Empresa B: 125, 126, 120, 130, 128. Fazendo as suposições necessárias, qual a conclusão ao nível 2%? Ex.25) Considere o teste de hipóteses H0: μ1 = μ2 contra H1: μ1 ≠ μ2, com variâncias conhecidas 𝜎1 = 10 e 𝜎2 = 5. Suponha que os tamanhos de amostra sejam 𝑛1 = 10 e 𝑛2= 15 e que 𝑥̅1= 4,7 e 𝑥̅2= 7,8. Use α = 0,05. (a) Teste a hipótese e encontre o p-valor. (b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança. (c) Qual é o poder do teste no item (a) para uma diferença verdadeira nas médias de 3? Ex.26) Dois tipos de plásticos são adequados para uso por um fabricante de componentes eletrônicos. A resistência à quebra desse plástico é importante. É sabido que 𝜎1= 𝜎2 = 1,0 psi. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 𝑛1= 10 e 𝑛2= 12, obtemos 𝑥̅1= 162,5 e 𝑥̅2= 155,0. A companhia não adotará o plástico 1, a menos que sua resistência média à quebra exceda aquela do plástico 2 por, no mínimo, 10 psi. (a) Baseado na informação da amostra, eles deveriam usar o plástico 1? Use α = 0,05 para decidir algo. Encontre o p-valor. (b) Calcule um intervalo de confiança de 95% para a diferença de médias. Ex.27) O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos 𝑛1= 15 e 𝑛2= 17 são selecionadas e as médias e variâncias das amostras são 𝑥̅1= 8,73, 𝑠1 2= 0,35, 𝑥̅2= 8,68 e 𝑠2 2= 0,40, respectivamente. Suponha que 𝜎1 2 = 𝜎2 2 e que os dados sejam retirados de uma população normal. (a) Há evidência que confirme a afirmação de que as duas máquinas produzem bastões com diferentes diâmetros médios? Use α = 0,05 para chegar a essa conclusão. Encontre o p-valor. (b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença no diâmetro médio dos bastões. Interprete esse intervalo. Ex.28) Dois fornecedores fabricam uma engrenagem de plástico usada em uma impressora a laser. A resistência ao impacto (medida em lbf-ft) dessas engrenagens é uma característica importante. Uma amostra aleatória de 10 engrenagens do fornecedor 1 resulta em 𝑥̅1= 290 e 𝑠1= 12, enquanto a outra amostra aleatória de 16 engrenagens do segundo fornecedor resulta em 𝑥̅2= 321 e 𝑠2= 22. (a) Há evidência suficiente para concluir que a variância da resistência ao impacto seja diferente para os dois fornecedores? Use α = 0,05. (b) Há evidência confirmando a afirmação de que o fornecedor 2 fornece engrenagens com maiores resistências médias ao impacto? Use α = 0,05, considere que ambas as populações sejam normalmente distribuídas e use o resultado do item (a) para encontrar o teste apropriado para comparação das médias (Caso 1 ou Caso 2). (c) Os dados confirmam a afirmação de que a resistência média ao impacto de engrenagens provenientes do fornecedor 2 é no mínimo 25 lbf-ft maior que aquela do fornecedor 1? Faça as suposições adotadas no item (b). Página | 5 (d) Construa uma estimativa do intervalo de confiança para a diferença na resistência média ao impacto e explique como esse intervalo poderia ser empregado para responder à questão colocada referente às diferenças entre os fornecedores. Ex.29) Um artigo em IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility (2002, Vol. 2, pp. 667-670) quantificou a absorção de energia eletromagnética e o efeito térmico resultante proveniente de telefones celulares. Os resultados experimentais foram obtidos a partir de experimentos in vivo, conduzidos em ratos. Os valores da pressão sanguínea arterial (mmHg) para o grupo de controle (8 ratos) durante o experimento são 𝑥̅1= 90, 𝑠1= 5 e para o grupo de teste (9 ratos) são 𝑥̅2= 115 e 𝑠2= 10. (a) Há evidência que suporte a afirmação de que o grupo de teste tem uma pressão sanguínea maior? Use α = 0,05 e considere que ambas as populações sejam distribuídas normalmente, porém as variâncias não sejam iguais. Qual é o p-valor para esse teste? (b) Calcule um intervalo de confiança para responder à questão do item (a). (c) Os dados confirmam a afirmação que a pressão sanguínea média do grupo de teste é no mínimo 15 mmHg maior que a grupo de controle? Faça as mesmas suposições do item (a). Ex.30) Dez indivíduos participaram de um programa de modificação alimentar para estimular a perda de peso. Seus pesos antes e depois da participação no programa são mostrados na lista a seguir. (a) Há evidência para confirmar a afirmação de que esse programa particular de modificação alimentar seja efetivo na redução do peso médio? Use α = 0,05. (b) Há evidência para confirmar a afirmação de que esse programa particular de modificação alimentar resultará em uma perda média de peso de no mínimo 10 libras? Empregue α = 0,05. Ex.31) Um artigo em Journal of Aircraft (Vol. 23, 1986, pp. 859-864) descreve uma nova formulação do método de análise de placa equivalente, que é capaz de modelar estruturas de aviões, tais como vigas-caixão nas asas de aviões, e que produz resultados similares ao método de análise por elementos finitos, que é mais laborioso computacionalmente. Frequências naturais de vibração para a estrutura das vigas-caixão nas asas de aviões são calculadas usando ambos os métodos, sendo os resultados mostrados a seguir para as sete primeiras frequências naturais. Página | 6 (a) Os dados sugerem que os dois métodos fornecem o mesmo valor médio para a frequência natural de vibração? Use α = 0,05. Encontre o p-valor. (b) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a diferença média entre os dois métodos. Ex.32) Para uma distribuição F, encontre o seguinte: (a) f 0,25; 5; 10 (b) f 0,10; 24; 9 (c) f 0,05; 8; 15 (d) f 0,75; 5; 10 (e) f 0,90; 24; 9 (f) f 0,95; 8; 15 Ex.33) Duas companhias químicas podem fornecer uma matéria-prima, cuja concentração de determinado elemento é importante. A concentração média para ambos os fornecedores é a mesma, porém suspeitamos de que a variabilidade na concentração pode diferir entre as duas companhias. O desvio-padrão da concentração em uma amostra aleatória de 𝑛1= 10 bateladas produzidas pela companhia 1 é 𝑠1= 4,7 gramas por litro, enquanto para a companhia 2, uma amostra aleatória de 𝑛2= 16 bateladas resulta em 𝑠2= 5,8 gramas por litro. Há evidência suficiente para concluir que as variâncias das duas populações difiram? Use α = 0,05. Ex.34) Na eleição presidencial de 2004, pesquisas no crítico estado de Ohio forneceram os seguintes resultados: para pessoas consultadas com grau universitário, 53% votaram em Bush e 46% votaram em Kerry. Havia 2020 pessoas consultadas. (a) Há uma diferença significativa nessas proporções? Use α = 0,05. Qual é o p-valor? (b) Calcule um intervalo de confiança de 95% para a diferença das duas proporções e comente o emprego desse intervalo para responder à questão do item (a). Ex.35) Dois tipos diferentes de solução de polimento estão sendo avaliados para possível emprego em uma operação de polimento na fabricação de lentes intraoculares usadas no olho humano depois de uma operação de catarata. Trezentas lentes foram polidas usando a primeira solução de polimento e, desse número, 253 não tiveram defeitos induzidos pelo polimento. Outras 300 lentes foram polidas usando a segunda solução de polimento, e 196 lentes foram satisfatórias com relação ao acabamento. (a) Há qualquer razão para acreditar que as duas soluções de polimento diferem? Use α = 0,01. Qual é o p-valor para esse teste? (b) Discuta como essa questão poderia ser respondida usando um intervalo de confiança para p1 – p2. Ex.36) De uma amostra aleatória de 500 adultos residentes em uma vila, 385 foram favoráveis ao aumento do limite de velocidade para 75 mph em uma autoestrada, enquanto em outra amostra de 400 adultos, residentes em outra vila, 267 foram favoráveis a esse aumento do limite de velocidade. (a) Esses dados indicam que há uma diferença entre os residentes das duas vilas no tocante ao apoio para aumentar o limite de velocidade? Use α = 0,05. Qual é o p-valor para esse teste? (b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença das duas proporções. Forneça uma interpretação prática desse intervalo. Gabarito Lista 8 2) Uniformidade associa-se a variância m1 = 21 m2 = 17 x̄1 = 21,15 x̄2 = 21,42 S₁² = 0,0412 S₂² = 0,1734 Admitindo α = 5% : F₀,16,0,25% = 2,68 F₀,16,97,5% = 1 / F₁₆,0,025% RC = {F₀ ∈ IR | F₀ < 0,39 ou F₀ > 2,68} H₀ : σ² = σ²₀ H₁ : σ² ≠ σ²₀ Sob H₀, F₀ = S₁² / S₂² F₀ = 0,0412 / 0,1734 = 0,24 ~ F₃₀,16 Como F₀ = 0,24 ∈ RC, rejeita-se H₀. Portanto, há evidências de que a qualidade dos duas fábricas não igual. Caso II : σ²A ≠ σ²B H₀ : μA = μB Sob H₀, t₀ * = (x̄₁ - x̄₂) - (μ₁ - μ₂) t₀ * = (21,15 - 21,42) - 0 v = 22,09 ~ 22 Assumindo α = 5% : RC = {t₀ * ∈ IR | t₀* < -2,074 ou t₀* > 2,074} Como t₀* = 0,272 ∋ RC, não se rejeita H₀. Portanto, há evidências de que a média dos duas fábricas são iguais. mL = 7 mA = 8 x̄L = 9,87 x̄A = 9,225 s²L = 5,92 s²A = 0,788 testando a variância das populações : Assumindo α = 5% : F₀,7,5% = 5,02 F₀,7,97,5% = 1 / F₃₆,0,025% RC = {F₀ ∈ IR | F₀ < 0,175 ou F₀ > 5,02} Como F₀ ∋ RC, rejeita-se H₀. Portanto, há evidências de que as variâncias das populações são diferentes. testando a média das populações : H₀ : μL = μA H₁ : μL ≠ μA v = 7,39 ≈ 7 t₀ * = 0,664 ~ t₇ Assumindo α = 5% : RC = {t₀* ∈ IR | t₀* < -2,365 ou t₀* > 2,365} Como t₀* ∋ RC, não se rejeita H₀. Portanto, há evidências de que não há influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados. 9) p̂M = 170 / 400 = 0,425 p̂F = 194 / 625 = 0,3104 mM = 400 mF = 625 H₀ : pM - pF = 0,1 H₁ : pM - pF ≠ 0,1 Sob H₀, y₀ = (p̂₁ - p̂₂) - d₀ RC = {y₀ ∈ IR | y₀ < -2,96 ou y₀ > 2,96} Como y₀ ∋ RC, não se rejeita H₀. Portanto, há evidências de que a afirmação do partido é verdadeira. 12) mO = 15 mN = 15 x̄O = 12 x̄N = 10 s²O = 35,71 s²N = 105,71 testando a variância : H₀ : σ²ᵢ = σ²N H₁ : σ²ᵢ ≠ σ²N Sob H₀, F₀ = 35,71 / 105,71 ~ F₁₄,14 Assumindo α = 5% : F₁₄,14,2,5% = 2,98 F₁₄,14,97,5% = 1 / F₁₄,14,2,5% RC = {F₀ ∈ IR | F₀ < 0,336 ou F₀ > 2,98} Como F₀ ∋ RC, não se rejeita H₀. Portanto, há evidências de que as variâncias são iguais. testando as médias: H0: \mu_0 = \mu_n H1: \mu_0 \neq \mu_n S^2 = \frac{(m_1-1)S_1^2 + (m_2-1)S_2^2}{m_1+m_2-2} S^2 = \frac{(15-1)\cdot 35,71 + (15-1)\cdot 105,74}{15+15-2} S = 8,41 Sob H0, t0 = \frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2) - \Delta_0}{S\sqrt{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}}} \sim t_{m_1+m_2-2} t0 = \frac{(42-10) - 0}{8,41\sqrt{\frac{1}{15} + \frac{1}{15}}} t0 = 9,6513 \sim t_{28} Assumindo \alpha = 5%: RC = \{ t0 \epsilon \mathbb{R} | t0 < -2,048 \text{ ou } t0 > 2,048 \} Como t0 \notin RC, não se rejeita H0. Portanto, há evidências de que a produtividade média dos períodos diurno e noturno é igual. 23) Teste de hipótese para uma única população (subclasse = amostra da população). \mu = 3,64 \quad m = 25 \sigma^2 = 0,85^2 \quad \overline{x} = 4,22 s^2 = 1,25^2 testando a variância: H0: \sigma^2 = 0,25^2 H1: \sigma^2 \neq 0,25^2 Sob H0, q0 = \frac{(m-1) s^2}{\sigma^2} \sim \chi_{m-1}^2 q0 = \frac{(25-1)\cdot 1,25^2}{0,25^2} \sim \chi_{24}^2 q0 = 51,903 \sim \chi_{24}^2 Assumindo \alpha = 5%: \chi_{24,0,5%}^2 = 39,364 \chi_{24,97,5%}^2 = 12,401 RC = \{ q0 \epsilon \mathbb{R} | q0 < 12,401 \text{ ou } q0 > 39,364 \} Como q0 \epsilon RC, rejeita-se H0. Há evidências de que \sigma^2 \neq 0,25^2. testando a media: H0: μ = 3,64 H1: μ ≠ 3,64 Sob H0, t0 = \frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{m}} \sim t_{m-1} t0 = \frac{4,20 - 3,64}{\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{25}}} \sim t_{24} t0 = 0,36 ~ t_{24} Assumindo \alpha = 5%: RC = \{ t0 \epsilon \, IR \mid t0 < -2,064 \text{ ou } t0 > 2,064 \} Como t0 \epsilon RC, rejeita-se H0. Portanto, há evidências de que os salários da subclasse de tratoristas mecânicos são diferentes dos salários do conjunto todo. 25) \sigma_1 = 10 \quad \sigma_2 = 5 m = 10 \quad m2 = 15 \overline{x}_1 = 4,7 \quad \overline{x}_2 = 7,8 \alpha = 0,05 a) H0: \mu_1 = \mu_2 H1: \mu_1 \neq \mu_2 Sob H0, z0 = \frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2) - \Delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m_1} + \frac{\sigma_2^2}{m_2}}} \sim N(0,1) z0 = \frac{4,7 - 7,8 - 0}{\sqrt{\frac{10^2}{10} + \frac{5^2}{15}}} \sim N(0,1) z0 = -0,91 ~ N(0,1) p-valor = 2 \times 0,18141 = 0,36282 \approx 36,28% \alpha = 5% Como p-valor > \alpha, não se rejeita H0. b) IC(\mu_1 - \mu_2, \, 95%) = \left( (\overline{x}_1 - \overline{x}_2) \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m_1} + \frac{\sigma_2^2}{m_2}} \right) z_{0,05/2} = 1,96 = ( (4,7 - 7,8) \pm 1,96 \times \sqrt{\frac{10^2}{10} + \frac{5^2}{15}} ) = (-9,79; 3,59) c) \pi(\mu_1-\mu_2 = 3) = P((\overline{x}_1-\overline{x}_2) \epsilon RC | H0 \text{ é falso}) RC = \{ z0 \epsilon \mathbb{R} | z0 < -1,96 \text{ ou } z0 > 1,96 \} \quad (\alpha = 5%) z0 = \frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2) - \Delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m_1} + \frac{\sigma_2^2}{m_2}}} \Rightarrow 1,96 = \frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2) - 0}{\sqrt{\frac{10^2}{10} + \frac{5^2}{15}}} \and 1,96 = \frac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2) - 0}{\sqrt{\frac{10^2}{10} + \frac{5^2}{15}}} (\overline{x}_1-\overline{x}_2) = -6,69 (\overline{x}_1-\overline{x}_2) = 6,69 \pi(3) = P((\overline{x}_1-\overline{x}_2) < -6,69 \text{ ou } (\overline{x}_1-\overline{x}_2) > 6,69 | \mu_1 - \mu_2 = 3) \pi(3) = P \left( z < \frac{-6,69 - 3}{\sqrt{\frac{10^2}{10} + \frac{5^2}{15}}} \right) + P \left( z > \frac{6,69 - 3}{\sqrt{\frac{10^2}{10} + \frac{5^2}{15}}} \right) = P(z < -2,84) + P(z > 1,08) = 0,142333 29) m_c = 8 \quad m_+ = 9 \overline{x}_c = 90 \quad \overline{x}_+ = 115 s_c = 5 \quad s_+ = 10 a) H0: \mu_+ \leq \mu_c H1: \mu_+ > \mu_c Sob H0, t0^* = \frac{(115 - 90) - 0}{\sqrt{\frac{s_+^2}{m_+} + \frac{s_c^2}{m_c}}} \sim t_{v} v = \frac{\left(\frac{s_+^2}{m_+}\right)^2}{7} + \frac{\left(\frac{s_c^2}{m_c}\right)^2}{8} = \frac{\left(\frac{10^2}{9}\right)^2}{7} + \frac{\left(\frac{5^2}{8}\right)^2}{8} v = 12,04 \approx 12 t0^* = 6,626 \sim t_{12} Portanto, p-valor < 0,05% Como p-valor < \alpha, rejeita-se H0. Dessa forma, há evidências de que o grupo de teste tem uma pressão sanguínea maior. b) IC(\mu_+ - \mu_c, \, 95%) = \left( (\overline{x}_+ - \overline{x}_c) - t_{12,\alpha} \times \sqrt{\frac{s_+^2}{m_+} + \frac{s_c^2}{m_c}} \right) t_{12,5.5\%} = 1,782 = ( (115 - 90) - 1,782 \times \sqrt{\frac{10^2}{9} + \frac{5^2}{8}} ) = (28,28; \infty) \Delta_0 = 0 \notin IC, portanto, rejeita-se H0. c) H0: μT - μC ≥ 15 H1: μT - μC < 15 Sob H0, t0* = (μS - 90) - 15 ------------------------- ∼ t62 √(σ² / 9 + 5² / 8) t0* = 2,65 ∼ t62 Como α = 5%: RC = {t0* ∈ |R| t0* < 1,782} t0* ∉ RC, logo não se rejeita H0. Portanto, há evidências de que a pressão sanguínea média do grupo de teste é no mínimo 15 mmHg maior que a do grupo de controle. 31) Mesma população em duas situações diferentes D̅ = Σ di ----- m Sd² = Σ di² - m D̅² -------------------- m - 1 m = ? α = 5% d1 = 14,76 - 14,58 = 0,18 d2 = 49,10 - 48,52 = 0,58 d3 = 99,99 - 97,22 = 2,77 d4 = 117,53 - 113,99 = 3,54 d5 = 181,82 - 174,73 = 6,49 d6 = 220,14 - 212,72 = 7,42 d7 = 294,8 - 277,38 = 17,42 Σ di = 38,4 Σ di² = 421,21 D̅ = 38,4 / 7 = 5,49 Sd² = 421,21 - 7 * 5,49² --------------------- = 35,04 7 - 1 H0: μd = 0 H1: μd ≠ 0 Sob H0, t0 = D̅ - 0 ---------- ∼ t m-1 √ Sd² / m = 5,49 - 0 --------------- ∼ t6 √ 35,04 / 7 = 2,4538 ∼ t6 Portanto, 4% < p-valor < 5% Como p-valor < α = 5%, rejeita-se H0. Logo, há evidências de que os métodos não fornecem o mesmo valor médio para a frequência. b) IC (μd, 95%) = [D̅ ± t6,12 * √(Sd² / m)] t6,25% = 2,447 = (5,49 ± 2,447 * √(35,04 / 7)) = (0,0152 ; 10,9648) 33) m1 = 10 m2 = 16 s1 = 4,7 s2 = 5,8 α = 0,05 F9,15,2,5% = 3,12 F9,15,97,5% = 1 ---------------- F15,9,2,5% = 3,77 = 0,265 F0 = 0,657 ∼ F9,15 RC = {F0 ∈ |R| F0 < 0,265 ou F0 > 3,12} Como F0 = 0,657 ∉ RC, não se rejeita H0. Portanto, há evidências de que os variâncias não diferem.