Lista 9 - Análise de Variância - Estatística 2021-1

∑_(i=1)^j (ni * yij^2) = 6 * 12,33^2 + 6 * 8,03^2 + 6 * 11,73^2 = 2124,62 SQ tot = 2158,12 - 18 * 10,697^2 = 98,455 SQ dent. = 2158,12 - 2124,62 = 33,5 SQ ent. = 2124,62 - 10,697^2 = 64,955 Construindo a ANOVA: EV | gl | SQ | QM | F Entre | 2 | 64,955 | 32,4775 | 14,544 Dentro | 15 | 33,5 | 2,233 (Se^2) total | 17 | 98,455 | 5,791 (St^2) Sob H0, Fo = 14,5441 ~ F_2, 15 Admitindo α = 5%: F_2, 15, 5% = 3,68 RC: {Fo é tal | Fo > 3,68} Fo ∈ RC, logo rejeita-se H0. Portanto há evidências de que a média da perda de peso depende do acordo com o regime. Avaliando as médias para a par: α* = 5% ⇒ 1,667%≅ t_0,233,15 * σⱼ = σⱼ* IC(μ1 - μ2; 98,333%) = (12,33-8,03) ± σy* √(2,233 (1/6 + 1/6)) = (4,97; 6,63) 0 ∉ IC ⇒ μ1 - μ2 > 0 ⇒ μ1 > μ2 IC(μ2 - μ3; 98,333%) = (8,03 - 11,73) ± σⱼ* √(2,233 (1/6 + 1/6)) = (-6,03; -1,37) 0 ∉ IC ⇒ μ2 - μ3 < 0 ⇒ μ2 < μ3 IC(μ1 - μ3; 98,333%) = (12,33 - 11,73) ± σⱼ* √(2,233 (1/6 + 1/6)) = (-1,73; 2,93) 0 ∉ IC ⇒ μ1 - μ3 = 0 ⇒ μ1 = μ3 Portanto, μ1 = μ3 > μ2. 07) Desenvolvendo como Y a variável resposta contínua (perda de peso). H0 : μ1 = μ2 = μ3 H1 : μi ≠ μj, para pelo menos um par (i,j) k = 3 n = n1 + n2 + n3 = 3 * 6 = 18 ȳ1. = 74 / 6 = 12,33 ȳ2. = 48,2 / 6 = 8,03 ȳ3. = 70,4 / 6 = 11,73 ȳ = (6 * 12,33 + 8,03 + 11,73) / 18 = 10,697 ∑_(j=1)^k ∑(i=1)^6 yij = 891,94 ∑_(j=1)^k ∑_(i=1)^6 yij^2 = 392,3 ∑_(j=1)^k ∑_(i=1)^6 yij^2 = 328,58 ∑_(i=1)^6 ∑_(j=1)^k yij^2 = 2158,12 Método 1 Método 2 Método 3 3 8 4 7 6 7 10 4 2 7 9 5 2 9 8 10 5 9 4 6 9 6 4 5 Σx_i 224 199 496 Ex.09) Quer-se testar o efeito do tipo de embalagem sobre as vendas do sabonete Sebo. As embalagens são as seguintes: A: a tradicional embalagem preta B: cartolina vermelha C: papel alumínio rosa Escolheram-se três territórios de venda, com potenciais de vendas supostamente idênticos. Cada tipo de embalagem foi designado aleatoriamente a uma região e as vendas observadas durante 4 semanas, obtendo-se os resultados da tabela abaixo. Quais seriam suas conclusões e críticas a esse experimento? Réplicas (semana) A B C 1 20 12 13 2 15 21 25 3 23 19 21 4 12 21 29 Total 56 88 88 Ex.10) Num curso de extensão universitária, entre outras informações, obteve-se informação sobre salário e área de formação acadêmica, com os seguintes resultados: Formação n_i x̄ s Humanas 65 28,75 5,63 Exatas 12 35,21 5,46 Biológicas 8 43,90 5,10 Aqui, n_i indica a frequência, x̄ o salário médio, e s o desvio padrão amostral. Teste a hipótese de que os salários médios nessas três áreas é o mesmo. Ex.11) Suspeita-se que quatro livros, escritos sob pseudônimo, são de um único autor. Uma pequena investigação inicial selecionou amostras de páginas de cada um dos livros, contando-se o número de vezes que determinada construção sintática foi usada. Com os resultados abaixo, quais seriam as suas conclusões? Caso rejeite a hipótese de igualdade de médias, realize comparações entre as médias duas a duas (comparações múltiplas) e, por fim, ordene os livros de acordo com o número médio de vezes que a construção sintática foi usada. Livros 1 2 3 4 28 29 26 30 31 33 24 27 17 35 22 24 25 28 25 27 22 28 23 25 24 29 24 34 Página | 3 Ex.12) Conduziu-se um estudo-piloto para determinar qual o intervalo de normalidade para o peso de crianças com dez anos de idade. Usando-se uma amostra de 50 crianças, encontrou-se o peso X de cada uma delas, com os seguintes resultados: Σx_i = 1.639,5 kg e : Σx_i^2 = 56.950,33 kg^2. Com esses dados, quais seriam os limites de um intervalo para que crianças com dez anos de idade fossem consideradas como tendo peso normal? Ex.13) Queremos comparar três hospitais, através da satisfação demonstrada por pacientes quanto ao atendimento, durante o período de internação. Para tanto, foram selecionados, aleatoriamente, pacientes com grau de enfermidade semelhante. Cada paciente preencheu um questionário e as respostas geraram índices variando de 0 a 100, indicando o grau de satisfação. Os resultados foram: Hospital A B C Tamanho da amostra 15 17 10 Média amostral 80,7 59,6 72,3 Desvio padrão 13,1 103,1 106,5 (a) Baseando-se nos dados apresentados, teste a igualdade das variâncias para os hospitais A e B. Use α = 0,10. (b) Teste se as médias populacionais são iguais. Qual sua conclusão? Use α = 0,05. (c) Caso rejeite a hipótese de igualdade de médias (item b), realize comparações entre as médias duas a duas (comparações múltiplas) e, por fim, ordene os hospitais de acordo com a satisfação média dos pacientes em relação aos atendimentos. Página | 4 Gabarito Lista 9 (a) H0: μ1 = μ2 = μ3 H1: μi ≠ μj, para pelo menos um par (i,j) X̄ = 3 (número de populações) N = 50 + 20 + 10 = 80 (tamanho dos amostras total) x̄1 = Σx̄i/mi => x̄1 = 111,50/50 = 8,23 x̄2 = 71/20 = 3,55 x̄3 = 89,30/10 = 8,43 x̄ = Σ(x̄i.mi)/n = x̄ = 203,50 + 3,55.20 + 8,43.10 = 8,225 SQt = ΣΣxij² = 59,928 SQt'entrée = 321,566 SQt dentro = 25,416 Construindo a tabela de análise de variância (ANOVA): FV gl SQ MQ F Entre 3-1 = 2 321,566 321,566/2 = 160,783 Centro 80-3 = 77 25,416 25,416/77 = 0,33 Total 80-1 = 79 346,982 346,982/79 = 4,39 F0 = 487,22 ~ F2,77 Como a ANOVA considera o F0 uma quantificação do ganho de precisão do modelo 1, a região crítica é composta apenas pela calda superior, mesmo se o teste de hipótese sendo bilateral. Admitindo α = 5%: F2,77;5% = 3,14 RC = {F0 ≤ k | F0 > 3,14} F0 é RC, logo rejeita-se H0. Portanto, há evidências de que o grau de escolaridade influencia os rendimentos. b) IC(μ, 95%) = (x̄ ± t0,975(σ/√n)) = (8,43 ± 2,634(0,33/√10)) = (8,021; 8,84) c) Analisando as médias par a par através de intervalos de confiança com a correção de bonferroni: IC(μi - μj; 100(1-α')%) = (x̄i-x̄j ± tα',n-k SE√(1/m1 + 1/m2)) α' = 0,05/m = 1,66% tα,025 = 2,45 IC(μS - μF; 98,333%) = (8,43 - 8,023) ± 2,45(√(1/10 + 1/50)0,33) = (5,712; 6,688) O ∉ IC => μS - μF > 0 => μS > μF IC(μS - μM; 98,333%) = (8,43 - 3,55) ± 2,45(√(1/10 + 1/∞)0,23) = (4,335; 5,425) O ∉ IC => μS - μM > 0 => μS > μM IC(μF - μM; 98,333%) = (8,023 - 3,55) ± 2,45(√(1/50 + 1/∞)0,33) = (-1,692; -0,948) O ∉ IC => μF - μM < 0 => μF < μM Portanto, μS > μM > μF. 11) Denotando como X o variável resposta continua (construção sintética). H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ H₁: μ₁ ≠ μ₉, para pelo menos um par (i,j) k = 4 n = 7 + 5 + 8 + 7 = 27 x̄₁ = 173/7 = 24,72 x̄₂ = 149/5 = 29,8 x̄₃ = 198/8 = 24,75 x̄₄ = 230/7 = 32,86 x̄ = (7.24,72 + 5.29,8 + 8.24,75 + 7.32,86)/27 ≈ 27,778 Σᵢ xⱼ² = 4297⁵ Σⱼ xⱼ = 4515 Σ x₃² = 4992 Σ xⱼ² = 7660 Σⱼ xⱼ² = 21562 Σ(x̄ᵢ²) = 7.24,72² + 5.29,8² + 8.24,75² + 7.32,86² = 21173,25 SQ tot = 21562 - 27,27,778² = 728,33 SQ atm = 21562 - 21173,25 = 388,75 SQ Ent = 21173,25 - 27,27,778² = 339,58 Construindo a ANOVA: FV gl SQ QM F Entre 3 339,58 113,19 6,698 Dentro 23 388,75 16,90 (s²e) total 26 728,33 28,01 (s²) Sob H₀, Fo = 6,698 ~ F₃,₂₃ Resumindo v = 5%: F₃,₂₃,₅% = 3,03 RC: { Fo ∈ IR | Fo > 3,03 } Fo ∈ RC, logo rejeita-se H₀. Portanto, há evidências de que os quatro livros não são de um único autor. Analisando os médios por o par: v² = 5% = 0,833% (μ) IC(μ₁ - μ₂; 99,16%) = (24,71 - 29,8) ± 2,9√16,90(1/7 + 1/5) = (-20,07; 4,29) 0 ∉ IC ⇨ μ₁ - μ₂ ≠ 0 ⇨ μ₁ = μ₂ IC(μ₁ - μ₃; 99,16%) = (29,8 - 24,75) ± 2,9√16,90(1/5 + 1/8) = (-1,75; 11,846) 0 ∉ IC ⇨ μ₁ - μ₃ = 0 ⇨ μ₁ = μ₃ IC(μ₂ - μ₄; 99,16%) = (24,75 - 32,86) ± 2,9√16,90(1/8 + 1/7) = (-14,28; -1,94) 0 ∉ IC ⇨ μ₃ - μ₄ < 0 ⇨ μ₃ < μ₄ IC(μ₄ - μ₂; 99,16%) = (32,86 - 24,72) ± 2,9√16,90(1/7 + 1/7) = (1,78; 14,52) 0 ∉ IC ⇨ μ₁ - μ₁ = 0 ⇨ μ₁₁ > μ₂ IC(μ₁ - μ₃; 99,16%) = (24,71 - 24,75) ± 2,9√16,90(1/7 + 1/5) = (-6,42; 6,13) 0 ∈ IC ⇨ μ₁ - μ₃ = 0 ⇨ μ₁ = μ₁ IC(μ₂ - μ₄; 99,16%) = (29,8 - 32,86) ± 2,9√16,90(1/5 + 1/7) = (-10,04; 3,92) 0 ∉ IC ⇨ μ₁ - μ₄ = 0 ⇨ μ₁ = μ₄ Portanto, μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₂ μ₄ = μ₂ < μ₁ μ₄ = μ₄ 12) m = 50 x: peso de cada criança. Σixi : 1639,5 kg Σix²i : 56950,33 kg² x̄ : \frac{1639,5}{50} = 32,79 s² : \frac{56950,33 - 50.32,79²}{49} = 65,125 Assumindo α = 5% : t_{0,05%,49} ≈ 2,009 IC(μ, 95%) : \Bigg(32,79 ± 2,009 \sqrt{\frac{65,125}{50}}\Bigg) = (30,497; 35,083) 13) a) α : 10% H₀ : \sigma²x = \sigma²y H₁ : \sigma²x ≠ \sigma²y S²A = 113,3 S²B = 101,4 mA = 10 mB = 15 Sob H₀, F₀ = \frac{113,3}{101,4} = 1,12 ~ F_{9,14} Como α = 10% : F_{9,14,95%} = 2,65 F_{14,9,95%} = \frac{1}{F_{9,14,95%}} = \frac{1}{2,65} = 0,33 RC : { F₀ ∈ IR | F₀ < 0,33 ou F₀ > 2,65 } Como F₀ = 1,12 ∉ RC, não se rejeita H₀. Portanto há evidências de que as variâncias são iguais. b) H₀ : μ₁ = μ₂ = μ₃ H₁ : μi ≠ μj para pelo menos um par (i,j) K = 3 m = 10 + 15 + 13 = 38 x̄A = 80,7 x̄B = 59 x̄C = 70,3 x̄ : \frac{10.80,7 + 15.59 + 13.70,3}{38} = 69,06 S² : \frac{\sum^{n}_{i=1} x²i - n.x̄²}{(m-1)} ⇒ \frac{8}{9}\sum^{i=1}_{15}(10-1).113,3 + 10.80,7² = 66.144,6 \frac{8}{9}\sum^{i=1}_{15}(15-1).104,4 + 15.59² = 53.634,6 \frac{8}{9}\sum^{i=1}_{15}(13-1).106,5 + 13.70,3² = 69.232,7