Estatística- Lista

1ª Questão O numero de pedidos de um determinado produto no depósito de uma loja durante determinada semana está indicado a seguir Testar a hipótese do numero de pedidos não depender do dia da semana ao nível de significância de 5 Dia da Sem Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado nº de pedidos 15 7 4 11 6 17 2ª Questão Testar se o nascimento de homens e mulheres é igualmente provável a partir de uma amostra de 120 casais que tiveram 4 crianças escolhidos ao acaso No de meninos 0 1 2 3 4 No de familias 9 19 63 22 7 3ª Questão a De 1991 para 1996 o preço unitário de determinado produto vendido pela firma XYZ aumentou em 20 e a quantidade vendida sofreu um decréscimo de 70 Qual a variação da receita bruta obtida pela XYZ com esse produto de 1991 para 1996 b A tabela abaixo apresenta compras de dois suprimentos para determinada máquina nos meses de janeiro fevereiro e marco Verifique a variação dos preços de janeiro para fevereiro segundo Fisher Suprimento janeiro fevereiro março preço SR quantidade preço SR quantidade preço SR Quantidade A 10 10 15 15 20 20 B 8 12 9 10 6 10 4ª Questão Um estudo foi elaborado com o objetivo de se determinar a associação entre a produção de gás e o tempo de armazenagem do produto A partir dos dados que foram coletados a determine e interprete o coeficiente de correlação b determine a correlação supondo que a produção de gás aumentou em 2 m³ enquanto o tempo de armazenagem triplicou c verificar a significância estatística do coeficiente de correlação estimado Produção m³ 6 8 10 11 14 14 16 15 17 18 Armazém hs 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 5ª Questão Dadas as informações fictícias abaixo podese a escolha dentre as variáveis consumo de energia X e lucratividade do mercado de ações Z a variável que melhor explicaria a produção industrial Y justifique a resposta b mostre o ajuste linear para explicar a produção industrial Y de acordo com sua escolha através de X ou Z 1 1 2 3 4 Y 2 5 7 5 X 8 7 6 5 Z 0 1 1 4 QUESTÃO 01 Para testar a hipótese de que o número de pedidos não depende do dia da semana ao nível de significância de 5 utilizamos o Teste QuiQuadrado de Aderência As etapas são as seguintes Hipótese Nula H₀ O número de pedidos é igual em todos os dias da semana 𝑝segunda 𝑝terça 𝑝sábado Hipótese Alternativa H₁ O número de pedidos varia entre os dias da semana Total 15 7 4 11 6 17 60 𝐸𝑖 Total Número de dias 60 6 10 para cada dia 𝜒2 𝑂𝑖 𝐸𝑖2 𝐸𝑖 Onde 𝑂𝑖 é a frequência observada e 𝐸𝑖 é a frequência esperada 𝜒2 15 102 10 7 102 10 4 102 10 11 102 10 6 102 10 17 102 10 25 10 9 10 36 10 1 10 16 10 49 10 25 09 36 01 16 49 136 Graus de liberdade 𝑑𝑓 6 1 5 Nível de significância 𝛼 005 o valor crítico é 𝜒crítico 2 1107 Como 𝜒2 136 1107 rejeitamos a hipótese nula Há evidência estatística de que o número de pedidos depende do dia da semana QUESTÃO 02 Para testar se o nascimento de homens e mulheres é igualmente provável assumimos uma distribuição Binomial com 𝑛 4 filhos e 𝑝 05 Utilizamos o Teste QuiQuadrado de Aderência Hipótese Nula H₀ A probabilidade de nascer homem ou mulher é igual 𝑝 05 Hipótese Alternativa H₁ A probabilidade não é igual 𝑝 05 Para 𝑋 Bin405 𝑃𝑋 0 4 0 054 116 00625 𝑃𝑋 1 4 1 054 416 025 𝑃𝑋 2 4 2 054 616 0375 𝑃𝑋 3 4 3 054 416 025 𝑃𝑋 4 4 4 054 116 00625 𝐸𝑖 120 𝑃𝑋 𝑖 𝐸0 120 00625 75 𝐸1 120 025 30 𝐸2 120 0375 45 𝐸3 120 025 30 𝐸4 120 00625 75 𝜒2 𝑂𝑖 𝐸𝑖2 𝐸𝑖 𝜒2 9 752 75 19 302 30 63 452 45 22 302 30 7 752 75 225 75 121 30 324 45 64 30 025 75 03 40333 72 21333 00333 136999 137 Graus de liberdade 𝑑𝑓 5 1 4 Nível de significância 𝛼 005 o valor crítico é 𝜒crítico 2 9488 Como 𝜒2 137 9488 rejeitamos a hipótese nula Há evidência estatística de que a probabilidade de nascer homem ou mulher não é igual QUESTÃO 3 a Sejam 𝑃0 e 𝑄0 o preço unitário e a quantidade vendida em 1991 respectivamente A receita bruta inicial é dada por 𝑅0 𝑃0 𝑄0 Em 1996 temos Preço unitário 𝑃1 𝑃01 020 120𝑃0 Quantidade vendida 𝑄1 𝑄01 070 030𝑄0 A receita bruta em 1996 é 𝑅1 𝑃1 𝑄1 120𝑃0 030𝑄0 036𝑃0𝑄0 036𝑅0 A variação percentual da receita bruta é 𝑅1 𝑅0 𝑅0 100 036𝑅0 𝑅0 𝑅0 100 064 100 64 A receita bruta diminuiu 64 de 1991 para 1996 b O índice de preços de Fisher é definido como 𝐼𝐹 𝐼𝐿 𝐼𝑃 onde 𝐼𝐿 é o índice de Laspeyres e 𝐼𝑃 é o índice de Paasche O índice de Laspeyres base janeiro pesos janeiro 𝐼𝐿 𝑝1 𝑖𝑞0 𝑖 𝑝0 𝑖 𝑞0 𝑖 Numerador 15 10 9 12 150 108 258 Denominador 10 10 8 12 100 96 196 𝐼𝐿 258 196 13163 O índice de Paasche base janeiro pesos fevereiro 𝐼𝑃 𝑝1 𝑖𝑞1 𝑖 𝑝0 𝑖 𝑞1 𝑖 Numerador 15 15 9 10 225 90 315 Denominador 10 15 8 10 150 80 230 𝐼𝑃 315 230 13696 O índice de Fisher é 𝐼𝐹 13163 13696 18022 13424 A variação dos preços de janeiro para fevereiro segundo Fisher foi de 3424 QUESTÃO 4 a O coeficiente de correlação de Pearson é dado por 𝑟 𝑥𝑖 𝑥𝑦𝑖 𝑦 𝑥𝑖 𝑥2𝑦𝑖 𝑦2 Calculando as médias 𝑥 6 8 10 11 14 14 16 15 17 18 10 129 10 129 𝑦 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 10 26 10 26 Calculando os somatórios necessários 𝑥𝑖 𝑥𝑦𝑖 𝑦 376 𝑥𝑖 𝑥2 1429 𝑦𝑖 𝑦2 104 𝑟 376 1429 104 376 148616 376 3855 0975 O coeficiente de correlação de 0975 indica uma correlação positiva muito forte entre a produção de gás e o tempo de armazenagem b Se a produção de gás aumenta em 2 m³ 𝑥 𝑥 2 e o tempo de armazenagem triplica 𝑦 3𝑦 o coeficiente de correlação permanece inalterado pois 𝑟𝑥𝑦 𝑟𝑥𝑦 0975 O coeficiente de correlação é invariante sob transformações lineares das variáveis c Para verificar a significância estatística utilizamos o teste t 𝑡 𝑟 𝑛 2 1 𝑟2 Com 𝑛 10 𝑟 0975 𝑡 0975 8 1 09752 0975 8 0049 097516327 0975 1278 1246 Com 8 graus de liberdade e nível de significância 𝛼 005 o valor crítico é 𝑡00258 2306 Como 𝑡 1246 2306 rejeitamos a hipótese nula 𝐻0 𝜌 0 O coeficiente de correlação é estatisticamente significativo ao nível de 5 5ª QUESTÃO letra a Para determinar qual variável melhor explica a produção industrial Y calcularemos o coeficiente de correlação linear entre YX e YZ Organizando os dados 𝑛 4 𝑌 19 𝑋 24 𝑍 6 𝑌2 103 𝑋2 158 𝑍2 18 𝑌𝑋 108 𝑌𝑍 32 O coeficiente de correlação é dado por 𝑟 𝑛𝑋𝑌 𝑋𝑌 𝑛𝑋2 𝑋2𝑛𝑌2 𝑌2 Para a correlação YX 𝑟𝑌𝑋 4 108 24 19 4 158 2424 103 192 𝑟𝑌𝑋 432 456 632 576412 361 24 56 51 24 2856 𝑟𝑌𝑋 24 5344 0449 Para a correlação YZ 𝑟𝑌𝑍 4 32 6 19 4 18 624 103 192 𝑟𝑌𝑍 128 114 72 36412 361 14 36 51 14 1836 𝑟𝑌𝑍 14 4285 0327 Como 𝑟𝑌𝑋 0449 𝑟𝑌𝑍 0327 a variável consumo de energia X melhor explica a produção industrial Y apresentando correlação negativa mais forte letra b O modelo de regressão linear simples é 𝑌 𝑎 𝑏𝑋 onde 𝑏 𝑛𝑋𝑌 𝑋𝑌 𝑛𝑋2 𝑋2 24 56 3 7 𝑎 𝑌 𝑏𝑋 𝑛 19 3 7 24 4 19 72 7 4 𝑎 133 72 7 4 205 28 Portanto o ajuste linear é 𝑌 205 28 3 7 𝑋 ou equivalentemente 𝑌 7321 0429𝑋 Este modelo indica que para cada unidade adicional de consumo de energia a produção industrial diminui em aproximadamente 0429 unidades refletindo a correlação negativa identificada