Flambagem de Colunas - Estabilidade Estrutural em Mecânica dos Sólidos

SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 514 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 221 Introdução Os elementos estruturais que compõem um sistema são projetados para suportar carregamentos externos com segurança e economia de forma que a edificação manufatura ou máquina exerça com plenitude suas funções Dessa forma é de grande importância que os engenheiros projetem os elementos estruturais de maneira que os possíveis modos de falha da estrutura sejam consistentemente considerados Os elementos estruturais podem falhar de diversas formas segundo seu tipo suas condições de vinculação os carregamentos atuantes e os materiais que os compõem Até o presente momento foram estudadas falhas relacionadas ao esgotamento da capacidade portante do elemento Esse estudo foi conduzido empregandose critérios de falha sendo a falha caracterizada quando o estado de tensão atuante torna negativa a equação do critério de falha Outro tipo de falha referese ao deslocamento excessivo da estrutura o qual está relacionado às suas condições de utilização Nesse caso embora a estrutura ainda possua capacidade de absorção de carregamento externo o deslocamento excessivo dos elementos estruturais impossibilita o correto funcionamento do sistema estrutural impedindo por consequência que este atenda às suas finalidades Neste capítulo será estudado um tipo de falha relacionado à instabilidade de elementos estruturais comprimidos Elementos estruturais longos e esbeltos carregados axialmente em compressão poderão defletirse lateralmente e falhar por flexão em vez de falhar por compressão direta Às falhas decorrentes da deflexão lateral de elementos comprimentos dáse o nome de flambagem A flambagem pode ser facilmente observada aplicandose uma compressão em uma régua flexível conforme mostrado na Fig 221 Inicialmente a régua permanece SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 515 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas retilínea no entanto a partir de uma intensidade crítica da força compressiva ocorre a deflexão lateral A flambagem pode também ser observada em uma treliça plana composta por duas barras segundo ilustração da Fig 221 Nesse caso a deflexão lateral é observada a partir de uma intensidade crítica do esforço normal no elemento Figura 221 Flambagem de elementos axialmente comprimidos É importante ressaltar que o fenômeno da flambagem não está limitado a colunas sujeitas a esforços de compressão Este tipo de falha pode ocorrer em vários tipos de estruturas podendo tomar várias formas Para fins ilustrativos uma viga fletida poderá flambar lateralmente devido à ação das tensões de compressão em partes de sua seção transversal como mostrado na Fig 222 Já em tubos cilíndricos ações decorrentes do impacto podem gerar a flambagem de suas paredes como ilustrado na Fig 222 Durante o processo de flambagem o carregamento é aumentado progressivamente até que este atinja um valor crítico denominado de carga crítica crítico P A partir desta intensidade de carga a estrutura perde sua estabilidade defletindo se lateralmente de forma súbita Devese ressaltar que até esse momento as barras comprimidas analisadas eram sujeitas apenas à deformação axial Porém após ser SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 516 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas ultrapassado o valor de crítico P existe uma deflexão lateral e o elemento estrutural inicialmente comprimido e com deslocamentos direcionados apenas ao longo de seu eixo passa a comportarse como viga ou seja com deslocamentos perpendiculares ao seu eixo Devido ao seu caráter súbito as falhas por flambagem são frequentemente catastróficas o que faz com que seja de extrema importância prevenilas Figura 222 Outros tipos de flambagem 222 Condições de Estabilidade ao Equilíbrio Problemas envolvendo elementos estruturais incluem em sua grande maioria a aplicação de condições de equilíbrio Até o presente momento foram consideradas apenas as equações e as condições que conduziam à situação de equilíbrio Porém nada foi dito a respeito da estabilidade dessas condições Considerando estruturas sujeitas à flambagem a abordagem da estabilidade do equilíbrio é de grande importância para a compreensão do fenômeno A estabilidade ao equilíbrio pode ser ilustrada de forma simples considerandose o equilíbrio de uma esfera posicionada sobre três superfícies diferentes conforme mostrado na Fig 223 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 517 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Por meio dessa figura observase que nas três situações consideradas a esfera encontra se em equilíbrio ou seja F 0 e M 0 Figura 223 Estabilidade ao equilíbrio Conforme mostra a ilustração a da Fig223 constatase que a esfera encontrase no fundo de um vale na condição de equilíbrio estático Nessa situação se a esfera for ligeiramente deslocada para qualquer um de seus lados e em seguida for solta intuitivamente percebese que ela retornará ao fundo do vale e à condição de equilíbrio estático Embora seja introduzida uma perturbação no sistema este retorna à condição de mínima energia e ao equilíbrio Dizse que nessa situação o equilíbrio é estável uma vez que após a introdução da perturbação a condição de equilíbrio alcançada é igual à observada na condição não deslocada Caso a esfera esteja localizada sobre uma superfície plana como apresentado na ilustração b da Fig 223 a aplicação de um deslocamento conduz a esfera à outra posição Em sua nova posição posição deslocada a esfera estará em equilíbrio estático assim como em sua configuração inicial Porém após a aplicação do deslocamento perturbação verificase que o equilíbrio é somente possível se for considerada a configuração deslocada do sistema Dizse que nessa condição o equilíbrio é neutro uma vez que o equilíbrio é verificado considerandose a configuração deslocada do sistema Finalmente na ilustração c da Fig 223 apesar da esfera encontrarse em equilíbrio em sua posição inicial qualquer deslocamento aplicado ao sistema fará com que a esfera se afaste cada vez mais da posição de equilíbrio inicial Nessa condição SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 518 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas dizse que o equilíbrio é instável já que qualquer perturbação no sistema por menor que seja resulta na perda de equilíbrio do sistema Baseandose nas condições de estabilidade ao equilíbrio apresentadas anteriormente as etapas presentes no processo de flambagem podem ser melhor estudadas Quando o elemento estrutural está submetido a um carregamento axial que gera um esforço normal inferior à carga crítica crítico P o equilíbrio da estrutura é estável Nessa situação a flambagem não ocorre e o deslocamento observado é apenas axial Após a retirada do carregamento atuante a estrutura retoma sua configuração inicial Quando o esforço normal atuante no elemento estrutural é superior a crítico P a flambagem ocorre Nessa situação será observado o deslocamento lateral do elemento e o equilíbrio somente será possível considerando a configuração deslocada do sistema Nesse caso o equilíbrio é instável já que a nova posição de equilíbrio é consideravelmente diferente da configuração inicial Quando o carregamento axial atuante gera um esforço normal que seja igual a crítico P temse a interface entre os equilíbrios estável e instável Nesse ponto o equilíbrio é neutro já que é ainda possível efetuar o equilíbrio do elemento na posição não deslocada Porém nesse ponto ocorre a bifurcação do equilíbrio ou seja para esforços maiores que crítico P a configuração final não é definida 223 Flambagem de Euler para colunas biarticuladas Neste item será apresentada a equação para a determinação de crítico P considerando colunas cujos extremos sejam articulados Para investigar a condição de estabilidade dessas colunas utilizase uma coluna ideal delimitada em seus extremos por pinos conforme apresenta a Fig 224 Para a formulação do problema as seguintes hipóteses serão assumidas 1 A coluna é perfeitamente reta e feita de um material elástico linear 2 A coluna é livre para girar em suas extremidades 3 A coluna é simétrica em relação ao plano xy e qualquer deflexão lateral da coluna ocorre neste plano SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 519 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 4 A coluna é carregada por uma força axial compressiva P aplicada no centro de gravidade da seção Figura 224 Colunas biarticulada Condição de equilíbrio Com relação ao valor da carga P aplicada admitese que 1 Se P for menor que crítico P a coluna permanecerá reta e terá seu comprimento reduzido pela ação de uma tensão axial uniforme de compressão Nessa situação o equilíbrio é estável 2 Se P for igual a crítico P então o equilíbrio na posição não deslocada ainda é possível Nesse caso o equilíbrio é neutro Para a obtenção do valor da carga crítica crítico P efetuase o equilíbrio de corpo rígido da coluna assumindose a atuação da carga axial P e uma configuração geométrica ligeiramente fletida da coluna Considerando o diagrama de corpo livre apresentado na última ilustração da Fig 224 podese efetuar o equilíbrio da coluna em sua configuração deformada Dessa forma temse 0 0 0 0 x z F P A A P M Pv x M x M x Pv x 221 Com base no estudo dos deslocamentos de elementos estruturais fletidos apresentado no capítulo anterior temse que a seguinte equação é válida SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 520 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 2 2 d v M dx EI 222 Assim substituindo na Eq222 o valor do momento fletor determinado na Eq221 temse 2 2 2 2 2 2 0 d v x Pv x d v x d v M P v x dx EI dx EI dx EI 223 A Eq223 é a equação diferencial que governa a configuração deslocada de uma coluna delimitada por apoios articulados Tratase de uma equação diferencial ordinária homogênea linear e de segunda ordem As condições de contorno que a solução dessa equação deve obedecer são as seguintes 0 0 0 v v L 224 A presença do termo v x na equação diferencial Eq223 indica que a solução desta equação não é obtida integrandoa duas vezes Na verdade uma solução de forma simples para esta equação somente é possível se o termo EI for constante ao longo do comprimento do elemento Nessa situação a equação diferencial tornase ordinária e com coeficientes constantes Sendo 2 P EI podese reescrever a Eq223 como 2 2 2 0 0 d v x P v x v x v x dx EI 225 A solução homogênea desta equação diferencial é conhecida sendo igual a 1 2 sen cos v x C x C x 226 Assim o problema poderá ser formulado se as constantes 1 C e 2 C forem determinadas Essas constantes deverão obedecer às condições de contorno do problema as quais estão apresentadas na Eq224 Portanto aplicando as condições expressas na Eq224 temse 1 2 2 1 2 1 0 0 sen 0 cos 0 0 0 0 sen cos 0 sen 0 v C C C v L C L C L C L 227 Com base no resultado apresentado na Eq227 constatase que se ambas constantes 1 C e 2 C forem nulas a deflexão lateral v x será também nula para todos os pontos que compõem a coluna Consequentemente a configuração deslocada final será retilínea e o fenômeno da flambagem não terá sido levado em consideração SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 521 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Como se deseja obter uma configuração de equilíbrio alternativa devese considerar um valor de que satisfaça a segunda condição de contorno v L 0 assumindo que a constante 1 C seja diferente de zero ou seja deve satisfazer a equação característica Assim 1 1 sen 0 sendo 0 temse sen 0 com 123 C L C n L n L 228 Sendo 2 P EI podese reescrever o resultado apresentado na Eq228 como 2 2 2 2 2 2 n P n n EI P L EI L L 229 O valor da carga atuante P que desencadeia o processo de flambagem é obviamente o menor valor dado pela Eq229 ou seja a flambagem ocorrerá quando a variável n for igual à unidade Portanto a carga crítica de flambagem é dada por 2 2 2 2 2 crítico crítico n EI EI P P L L 2210 A Eq2210 é conhecida como carga de flambagem de Euler e recebe este nome devido ao matemático suíço Leonhard Euler 17071783 o qual foi o primeiro pesquisador a estabelecer uma teoria de flambagem para colunas de eixo retilíneo A função que representa a configuração deslocada da coluna é denominada de modo de flambagem O primeiro modo de flambagem 1 n pode também ser chamado de modo fundamental de flambagem como ilustrado na Fig 225 Embora a coluna possa teoricamente flambar em seu segundo modo ou seja com n 2 e 2 2 4 crítico EI P L isso é somente possível com a presença de algum suporte lateral localizado na posição x L 2 que provoque o travamento lateral da coluna nesse ponto fazendo com que o primeiro modo de flambagem seja prevenido A configuração deslocada da flambagem em modo 2 é ilustrada na Fig 225 O termo 1 C representa o deslocamento máximo vMAX que ocorre no ponto médio da coluna Devese notar que a carga crítica é independente da resistência do material ou seja de sua tensão de escoamento ou de ruptura Esta carga como mostrado na Eq2210 depende apenas das dimensões da coluna I e L e da rigidez do material ou SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 522 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas de seu módulo de elasticidade longitudinal E Por esta razão considerando que a flambagem ocorra em regime elástico as colunas feitas por exemplo de aço de alta resistência não apresentam vantagens em relação àquelas feitas de aço de baixa resistência uma vez que o módulo de elasticidade longitudinal é aproximadamente o mesmo para ambos os aços Deve ser ressaltado que a capacidade portante de uma coluna cresce com o aumento dos momentos de inércia de sua seção transversal Assim colunas eficientemente projetadas são aquelas onde a maior parte da área de sua seção transversal encontrase afastada tanto quanto possível de seus eixos principais de inércia Por esta razão em colunas seções transversais de alma vazada são mais econômicas que seções maciças Modo 1 Modo 2 Figura 225 Dois primeiros modos de flambagem de uma coluna biarticulada É importante também enfatizar que o processo de flambagem ocorrerá relativamente ao eixo principal em torno do qual atua a menor inércia da seção SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 523 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas transversal conforme ilustra a Fig 226 Consequentemente durante o dimensionamento das seções transversais desses elementos estruturais os engenheiros devem preferencialmente atender à condição de momentos principais de inércia idênticos Por esta razão seções quadradas circulares e compostas por perfis do tipo H são frequentemente selecionados para as colunas Figura 226 Flambagem em torno do eixo aa eixo principal de menor inércia 224 Aspectos de Projeto Para o desenvolvimento de projetos estruturais de colunas tornase interessante a definição de duas variáveis geométricas relativas à seção transversal do elemento estrutural A primeira dela é denominada raio de giração sendo definida como I r A 2211 Como toda seção transversal possui dois eixos principais de inércia haverão dois valores de raio giração sendo cada um deles referenciado a um eixo principal A segunda propriedade geométrica de grande utilidade em projetos de colunas é conhecida como índice de esbeltez Este índice representa uma medida da SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 524 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas flexibilidade da coluna quanto à flambagem podendo ser classificado como longo intermediário ou curto O índice de esbeltez é definido como L r 2212 Assim como o raio de giração existem dois valores para o índice de esbeltez sendo cada um deles relacionado a um eixo principal de inércia Quão maior for o valor do índice de esbeltez maior será a tendência da flambagem ocorrer em relação a este eixo principal Por meio das grandezas definidas nas Eq2211 e Eq2212 podese obter uma expressão que permita a determinação da intensidade da tensão normal que causa a flambagem da coluna Esta equação é obtida utilizandose a Eq2210 Dessa forma 2 2 2 2 2 2 2 crítico crítico crítico crítico crítico P EI Er E A L A L 2213 A partir do resultado apresentado na Eq2213 podese construir um diagrama cujos eixos sejam crítico e Segundo os valores adotados para as propriedades geométricas da seção transversal o comprimento da coluna e a tensão de escoamento do material constatase que a coluna poderá falhar por escoamento da seção transversal antes da falha por instabilidade geométrica flambagem Este diagrama para dois materiais estruturais correntemente empregados na construção de manufaturas aço e alumínio é apresentado na Fig 227 Figura 227 Variação da tensão normal de falha com o índice de esbeltez da coluna Nos trechos horizontais do diagrama apresentado na Fig 227 observase que a falha estrutural ocorre devido ao escoamento da seção transversal Já nos trechos curvos denominado de hipérbole de Euler a falha se dá devido à flambagem da coluna SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 525 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas e não por escoamento do material De forma a melhor utilizar o material estrutural e a disposição geométrica da coluna devese procurar projetar colunas cujo par resulte no encontro entre os trechos linear e hiperbólicos apresentados na Fig 227 Nessa situação temse a condição de máxima utilização da capacidade portante do material e máxima capacidade portante da coluna resultando portanto na máxima eficiência do sistema 225 Exemplo 1 Uma coluna biarticulada de comprimento igual a 40 metros está submetida a uma força compressiva aplicada no centro de gravidade de sua seção transversal Sabendo que o material que compõe esta coluna possui módulo de elasticidade longitudinal igual a 70 E GPa e tensão de escoamento igual a 270 E MPa determine a intensidade máxima da carga axial que pode ser aplicada na coluna sem que a falha da estrutura seja observada A seção transversal da coluna está apresentada na Fig 228 cujas dimensões estão representadas em mm Figura 228 Seção transversal da coluna a ser analisada Dimensões em mm Para a resolução desse exemplo devese determinar o valor da carga crítica por meio da Eq2210 Em seguida devese verificar se a tensão mobilizada pela carga crítica é menor que a tensão de escoamento do material Em caso afirmativo a maior força axial que poderá ser aplicada na coluna sem a ocorrência da falha será a própria SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 526 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas carga crítica Caso contrário a força axial máxima será igual à força que conduz ao escoamento a seção transversal da coluna As propriedades geométricas da seção transversal são iguais a 2 2 2 6 2 45 40 13351767 13351767 10 A A mm A m 4 4 6 4 6 4 45 40 121 10 121 10 4 I I mm I m 121 106 30104 0030104 13351767 r r mm r m 40 13287 0030104 Devido à simetria da seção transversal em relação a todas as suas direções observase que os valores do momento de inércia do raio de giração e do índice de esbeltez serão iguais em relação a todas as direções Portanto a carga crítica pode ser calculada como 2 2 6 6 2 2 70 10 121 10 52 247 4 crítico crítico crítico EI P P P kN L A tensão normal produzida pela aplicação da carga crítica é igual a 6 52 247 3913131 3913131 13351767 10 Pcrítico KPa MPa A Como a tensão mobilizada pela aplicação de crítico P é menor que a tensão de escoamento da seção constatase que a maior força axial que poderá ser aplicada sem a observação da falha da estrutura é igual a 52247 kN 226 Exemplo 2 Uma coluna de comprimento igual a 20 m e extremidades articuladas possui seção transversal quadrada Sabendo que esta coluna é constituída de pinho cujo módulo de elasticidade longitudinal e tensão de ruptura são iguais a 13 E GPa e 12 u MPa respectivamente determine as dimensões da seção transversal da coluna a qual é ilustrada na Fig 229 se esta deve resistir a uma força axial de 100 kN aplicada no centro de gravidade de sua seção transversal sem a ocorrência da falha SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 527 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Para que a falha não ocorra nesta coluna as dimensões da seção transversal devem ser tais que não conduzam nem a flambagem nem a ruptura Dessa forma as dimensões da seção transversal serão determinadas de forma que essas duas condições de falha sejam atendidas ou melhor impedidas Considerando primeiramente a flambagem devese determinar o valor da carga crítica por meio da Eq2210 Assim Figura 229 Seção transversal da coluna a ser analisada 3 4 12 12 aa a I I Por meio da Eq810 temse 2 2 6 4 2 2 13 10 100 007821 7821 2 12 crítico EI a P a m a cm L Verificando a condição a ruptura temse 3 2 100 12 10 009129 9129 P a m a cm A a Com base nos valores obtidos para o comprimento do lado da seção transversal da coluna considerando os modos de falha de flambagem e ruptura da seção observase que o valor que previne ambos os modos de falha é o maior deles ou seja 9129 a cm Com esse valor de comprimento de lado a tensão mobilizada pelo carregamento atuante é igual à tensão de ruptura e a carga que gera a flambagem é maior que a carga aplicada 227 Exemplo 3 Uma coluna biarticulada com comprimento igual a 35 m e seção transversal retangular conforme indicado na Fig 2210 é feita de um material que possui módulo de elasticidade longitudinal igual a 130 E GPa Para esta coluna determine as SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 528 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas propriedades geométricas de sua seção transversal e as cargas críticas de flambagem em relação aos planos principais de inércia Figura 2210 Seção transversal da coluna a ser analisada Dimensões em cm As propriedades geométricas da seção transversal são iguais a 2 2 20 50 1000 010 A A cm A m 3 4 4 4 4 50 20 333333 10 333333 10 12 z z z I I cm I m 3 5 4 3 4 20 50 208333 10 208333 10 12 y y y I I cm I m Os raios de giração são dados por 333333 10 4 0057735 57735 010 z z z z z I r r r m r cm A 208333 10 3 014434 14434 010 y y y y y I r r r m r cm A Já os índices de esbeltez são dados por 35 606218 0057735 z z z z L r 35 24 2483 014434 y y y y L r Como a esbeltez em torno do eixo z é maior a coluna flambará primeiramente em torno desse eixo Para mostrar essa constatação serão determinados os valores das cargas críticas em relação a cada um dos eixos principais de inércia y e z Em relação ao eixo z a carga crítica será menor que em relação ao eixo y Aplicando a Eq2210 temse SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 529 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 2 2 6 4 2 2 130 10 333333 10 3491285 35 crítico crítico crítico Z Z Z EIz P P P kN L 2 2 6 3 2 2 130 10 208333 10 21820519 35 crítico crítico crítico y Y Y Y EI P P P kN L Dessa forma assim como já previsto pela análise do índice de esbeltez constata se que a flambagem ocorrerá primeiramente em torno do eixo z que é o eixo que contém a menor inércia uma vez que crítico crítico Z Y P P 228 O Efeito das Condições de Extremidade na Flambagem de Colunas Nos itens anteriores o problema da flambagem foi formulado e expressões para a determinação da carga crítica e tensão crítica foram obtidas Devese enfatizar que todo o equacionamento apresentado é válido para colunas cujas extremidades sejam articuladas Dessa forma podese questionar o que ocorre quando essa condição não é obedecida Quais são os valores da carga crítica para outros tipos de vinculação que não a articulação Esse problema será discutido neste item Inicialmente será apresentada a análise da flambagem para uma coluna engastada em um extremo e livre no extremo oposto Para as demais condições de contorno os resultados serão obtidos por indução Para a determinação da expressão da carga crítica de uma coluna engastada livre devese considerar a coluna mostrada na Fig 2211 a qual é engastadalivre e submetida a uma carga axial de compressão aplicada no centro de gravidade de sua seção transversal Por meio das equações de equilíbrio de corpo rígido obtémse a expressão do momento fletor atuante ao longo do comprimento da coluna Assim como mostrado na última ilustração da Fig 2211 temse 0 0 M z P v x M x M x P v x 2214 Utilizando as equações diferenciais do estudo da linha elástica conforme apresentado no capítulo anterior verificase que a deflexão lateral da coluna pode ser expressa por 2 2 2 2 2 2 0 P v x d v x d v x d v M P P v x dx EI dx EI dx EI EI 2215 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 530 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Figura 2211 Colunas engastada livre Condição de equilíbrio Sendo 2 P EI podese reescrever a Eq2215 como 2 2 2 2 2 2 2 2 0 d v x d v x v x v x dx dx 2216 A equação diferencial apresentada na Eq2216 é não homogênea uma vez que o termo presente em seu segundo membro é não nulo A solução desta equação diferencial consiste na adição de uma solução particular à sua solução homogênea Dessa forma a solução da Eq2216 é dada por 1 2 sen cos v x C x C x 2217 As constantes 1 C e 2 C que aparecem na Eq2217 serão determinadas considerando as condições de contorno atuantes nas extremidades da coluna Como se trata de uma coluna engastada livre temse que 0 0 0 0 dv v dx 2218 Por meio da primeira condição de contorno apresentada na Eq2218 obtémse 1 2 2 0 0 sen 0 cos 0 0 v C C C 2219 Utilizando a segunda condição de contorno apresentada na Eq2218 temse SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 531 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 1 2 1 2 1 0 0 cos sen 0 cos 0 sen 0 0 0 dv C x C x dx C C C 2220 A partir das constantes determinadas nas Eq2219 e Eq2220 podese escrever a equação da deflexão lateral da coluna como cos 1 cos v x x v x x 2221 No topo da coluna o deslocamento lateral atuante é igual a Para que essa condição seja atendida verificase que 1 cos cos 0 v L L L 2222 A solução trivial da Eq2222 conduz a um valor nulo para o deslocamento na extremidade da coluna ou seja 0 Quando a solução trivial é adotada a flambagem não é representada uma vez que a deflexão lateral da coluna é nula Portanto para que esse fenômeno seja representado a solução da Eq2222 deve assumir a seguinte forma cos 0 sendo 0 temse cos 0 com 1 23 2 L n L n L 2223 Sendo 2 P EI podese reescrever o resultado apresentado na Eq2223 como 2 2 2 2 2 2 2 4 4 n P n n EI P L EI L L 2224 Considerando o primeiro carregamento que gera a flambagem da coluna ou seja aquele cujo 1 n temse 2 2 2 2 2 1 4 crítico crítico EI EI P P L L 2225 Comparando a Eq2225 com a Eq2210 ou seja as equações que resultam as cargas críticas de flambagem para colunas engastadalivre e biarticuladas respectivamente constatase que a coluna engastadalivre suporta apenas um quarto da carga que poderia ser aplicada a uma coluna biarticulada antes da flambagem O formato dessas equações é o mesmo porém diferenciamse pela presença do escalar 4 no denominador Essas equações poderiam ser reescritas assumindose um comprimento equivalente para cada uma das colunas Nesse caso a coluna engastada SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 532 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas livre possui comprimento equivalente igual ao dobro do comprimento da coluna biarticulada De forma a obter uma expressão única para a análise da flambagem de colunas independentemente de suas condições de vinculação devese empregar o conceito de comprimento equivalente de colunas o qual será introduzido no item seguinte 229 Comprimento Equivalente Conforme demonstrado previamente neste capítulo a fórmula da flambagem de Euler Eq2210 foi desenvolvida assumindose uma coluna cujas extremidades eram biarticuladas O parâmetro L que surgiu nesta equação representa o comprimento da coluna o qual é igual à distância entre os pontos onde o momento fletor atuante é nulo Caso a coluna considerada esteja vinculada de outra maneira que não a bi articulação a fórmula de Euler pode ainda ser aplicada como apresentado no item anterior No entanto para estas condições de vinculação o parâmetro L deve ser avaliado de forma a representar a distância entre os pontos da coluna onde o momento fletor atuante seja nulo Esta distância é denominada de comprimento equivalente da coluna eL Para colunas biarticuladas eL é igual ao próprio comprimento da coluna Já para o caso de colunas vinculadas na condição engastadalivre o comprimento equivalente é igual a duas vezes o comprimento da coluna Para outros tipos de condições de vinculação podese determinar o comprimento equivalente resolvendose uma equação diferencial baseada na deflexão lateral da coluna Esse procedimento será omitido nessas notas apenas para evitar a repetição de cálculos já amplamente apresentados nos itens 223 e 228 Porém para os casos clássicos da mecânica dos sólidos a determinação dos valores do comprimento equivalente pode ser efetuada com base na seguinte relação eL KL 2226 onde K é denominado de fator de extremidade Para as condições de vinculação clássicas o valor do parâmetro K é dado pelas ilustrações apresentadas na Fig 2212 Considerando o fator de extremidade podese escrever a fórmula da flambagem de Euler de uma maneira geral como SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 533 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 2 2 2 2 e crítico crítico EI EI P P L KL 2227 Com base também no fator de extremidade podese definir o índice de esbeltez de em sua forma geral como eL KL r r 2228 Figura 2212 Determinação do fator de extremidade 2210 Exemplo 4 A coluna apresentada na Fig 2213 é fixa em sua base e vinculada por cabos em seu topo Sabendo que o perfil que compõe a seção transversal da coluna possui as seguintes propriedades geométricas 3 2 6 4 6 4 75 10 613 10 232 10 x y A m I m I m e que o material que forma a coluna possui as seguintes propriedades mecânicas 70 215 E E GPa MPa SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 534 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Determine o valor da máxima força axial de compressão que pode ser aplicada no centro de gravidade da seção transversal da coluna sem que a falha estrutural seja observada Figura 2213 Coluna a ser analisada Como a coluna será submetida a uma força axial de compressão devese verificar se a falha estrutural não ocorrerá com relação ao escoamento da seção transversal à flambagem em torno do eixo x e à flambagem em torno do eixo y Assumindo primeiramente como cenário de falha o escoamento da seção transversal verificase que a máxima intensidade da força aplicada poderá será igual a 3 3 215 10 75 10 16125 critico E critico critico P P P kN A 2229 Considerando a falha por flambagem em torno do eixo x podese aplicar a Eq2227 para a determinação da carga crítica Em relação a este eixo a análise deve ser conduzida considerando a coluna como engastadalivre Assim 2 2 6 6 2 2 70 10 613 10 423505 2 5 crítico crítico crítico X X X EIx P P P kN KL 2230 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 535 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Analisando agora a falha por flambagem em torno do eixo y constatase que em relação a este eixo a coluna encontrase engastadarotulada Por meio da Eq2227 sabese que a carga crítica da coluna para a flambagem em torno deste eixo é dada por 2 2 6 6 2 2 70 10 23 2 10 1308 428 07 5 crítico crítico crítico y Y Y Y EI P P P kN KL 2231 Assim a máxima força axial compressiva que pode ser aplicada à coluna é o menor valor entre as cargas críticas apresentadas nos resultados das Eq2229 Eq2230 e Eq2231 Portanto a carga crítica da coluna é igual a 423505 Pcrítico kN e o modo de falha principal é a flambagem em torno do eixo x Devese ressaltar que embora o momento de inércia da seção transversal em torno do eixo y seja menor que o momento de inércia em torno do eixo x o que poderia induzir o analisa a pensar que o eixo y seria o eixo mais propenso à flambagem as condições de vinculação atuantes nos extremos da coluna tornaram a esbeltez equivalente em torno do eixo x maior Somente para verificação podese aplicar a Eq2228 para a determinação dos valores dos índices de esbeltez equivalentes Assim 6 3 2 5 110611 613 10 75 10 X X X x KL r 6 3 07 5 62930 232 10 75 10 Y Y Y y KL r Dessa forma a coluna irá flambar em torno do eixo cuja esbeltez seja maior 2211 Exemplo 5 A coluna apresentada na Fig 2214 é formada por um aço cujo módulo de elasticidade longitudinal é igual a 29000 E ksi e tensão de escoamento igual a 60 E ksi Assumindo que as vigas de contraventamento posicionadas ao longo do comprimento da coluna permitam o giro da coluna naquele ponto mas não seu deslocamento lateral e que a seção transversal da coluna possua as seguintes propriedades geométricas 2 4 4 443 291 932 x y A in I in I in SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 536 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas determine a carga crítica da coluna Para a determinação da carga crítica da coluna apresentada na Fig 2214 devem ser considerados os cenários de falha referentes ao escoamento da seção transversal a flambagem em torno do eixo x e a flambagem em torno do eixo y Figura 2214 Coluna a ser analisada Iniciando a análise considerando como cenário de falha o escoamento da seção transversal observase que a máxima intensidade da força aplicada poderá será igual a 60 443 2658 critico E critico critico P P P kip A 2232 Analisando agora a falha por flambagem em torno do eixo x a carga crítica pode ser determinada utilizandose a Eq2227 Com base nas condições de vinculação da coluna apresentadas na Fig 2214 temse 2 2 2 2 29000 291 401667 05 288 crítico crítico crítico X X X EIx P P P kip KL 2233 Considerando a falha por flambagem em torno do eixo y constatase que esta é também dada pela Eq2227 Assim 2 2 2 2 29000 932 262538 07 144 crítico crítico crítico y Y Y Y EI P P P kip KL 2234 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 537 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Assim a carga crítica da coluna é o menor valor entre as cargas obtidas nas Eq2232 Eq2233 e Eq2234 Portanto a carga crítica da coluna é igual a 262538 Pcrítico kip e o modo de falha principal é a flambagem em torno do eixo y Portanto nessa coluna mesmo com as vigas de contraventamento posicionadas para reduzir o comprimento equivalente de flambagem em torno do eixo y o modo de falha crítico ainda é a flambagem em torno do eixo y 2212 Flambagem de Colunas na Presença de Momento Fletor No estudo de estabilidade de colunas apresentado até o momento as estruturas analisadas e suas condições de contorno eram ideais ou seja as colunas eram perfeitamente retilíneas e a força compressiva aplicada estava posicionada no centro de gravidade da seção transversal da coluna Tais condições são na verdade idealizadas uma vez que os elementos estruturais dificilmente serão perfeitamente retilíneos e o ponto de aplicação da carga axial compressiva nunca será exatamente o centro de gravidade da seção transversal De forma a considerar essas imperfeições que são inerentes ao processo de fabricação do sistema estrutural e de seus elementos devese analisar o problema da estabilidade de colunas comprimidas assumindose que a carga axial esteja aplicada com uma dada excentricidade em relação ao centro de gravidade da seção transversal da coluna Para formular o problema da estabilidade de colunas submetidas a forças excêntricas devese considerar a coluna apresentada na Fig 2215 Tratase de uma coluna solicitada por uma força compressiva de intensidade P a qual encontrase aplicada com uma excentricidade e em relação ao centro de gravidade da seção transversal Nessa estrutura assumese que o giro seja permitido em seus extremos ou seja a coluna é biarticulada Além disso considerase que o material que compõe a coluna possua comportamento mecânico elástico linear Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido à coluna mostrada na Fig 2215 determinase a expressão do momento fletor atuante ao longo de seu comprimento Dessa forma considerando a última ilustração da Fig 2215 obtémse 0 0 M z Pe Pv x M x M x Pe Pv x 2235 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 538 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Por meio das equações diferenciais que permitem a determinação da linha elástica de estruturas fletidas conforme apresentado nas Eq2119 do capítulo anterior verificase que a deflexão lateral da coluna pode ser expressa por 2 2 2 2 2 2 0 d v x Pe Pv x d v x d v M P P e v x dx EI dx EI dx EI EI 2236 Figura 2215 Coluna com carregamento aplicado de forma excêntrica em relação ao centro de gravidade Sendo 2 P EI podese reescrever a Eq2236 como 2 2 2 2 2 2 0 0 d v x d v x P P e v x e v x dx EI EI dx 2237 Deve ser destacado que na situação analisada caso a excentricidade seja nula ou seja se e 0 a solução do problema é a mesma obtida para a flambagem de Euler discutida anteriormente A solução homogênea da equação diferencial apresentada na Eq2237 é a seguinte 1 2 sen cos v x C x C x 2238 Como o termo livre da Eq2237 é não nulo sua solução requer a inclusão de uma solução particular Para o caso em estudo a solução particular é dada por vp x e 2239 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 539 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Portanto a solução geral da Eq2237 é obtida sobrepondose as soluções homogênea e particular Dessa forma a solução geral da Eq2237 pode ser assim escrita 1 2 sen cos v x C x C x e 2240 As constantes 1 C e 2 C que aparecem na Eq2240 são determinadas utilizando as condições de contorno do problema Sabendo que a coluna é biarticulada temse que as seguintes condições de contorno devem ser atendidas 0 0 0 v v L 2241 Aplicando as condições de contorno expressas na Eq2241 obtêmse 1 2 2 1 2 1 0 0 sen 0 cos 0 0 0 sen cos 0 sen cos 1 0 v C C e C e v L C L C L e C L e L 2242 Sabendo que as seguintes identidades trigonométricas são válidas 2 sen 2sen cos 2 2 1 cos sen 2 2 L L L L L 2243 Podese reescrever a última das Eq2242 como 1 1 2 1 1 sen cos 1 0 sen 1 cos 2sen cos 2sen tan 2 2 2 2 C L e L C L e L L L L L C e C e 2244 Com base nas constantes determinadas nas Eq2242 e Eq2244 podese escrever a solução para a deflexão da coluna da seguinte maneira tan sen cos 2 tan sen cos 1 2 L v x e x e x e L v x e x x 2245 Devido às condições de contorno da coluna constatase intuitivamente que a deflexão máxima ocorrerá na metade de seu comprimento Portanto o valor da deflexão máxima é assim obtido SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 540 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas max 2 max tan sen cos 1 2 2 2 2 sen 2 cos 1 2 cos 2 L L L v L v e L L v e L 2246 Simplificando a Eq2246 obtémse 2 2 max max max sen cos cos 1 2 2 2 1 cos cos 2 2 sec 1 2 L L L v e v e L L L v e 2247 Devese ressaltar que diferentemente de colunas onde a força axial esteja aplicada no centro de gravidade da seção transversal flambagem de Euler as quais defletemse lateralmente apenas se P iguala ou excede a carga de flambagem de Euler a deflexão lateral de um elemento carregado excentricamente ocorre independentemente da intensidade da carga compressiva P Lembrado que 2 P EI constatase que o deslocamento máximo pode ser assim reescrito max sec 1 2 P L v e EI 2248 Com base no termo entre colchetes da Eq2248 observase que este tornase singular quando o cosseno retorna um valor nulo fazendo com que a secante tornese infinito Sabendo que isso ocorre para ângulos múltiplos de 90 constatase que o deslocamento tornase singular quando 2 2 P L EI 2249 Embora a deflexão lateral da coluna jamais atinja na prática um valor infinito ela tornase inaceitavelmente grande próximo ao valor apresentado na Eq2249 Portanto a carga aplicada não deve ser de magnitude tal que satisfaça a Eq2249 Então a carga axial que conduz a estrutura a um deslocamento singular é a seguinte 2 2 2 2 critico P L EI P EI L 2250 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 541 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas O resultado apresentado na Eq2250 é o mesmo obtido pela Eq2210 o qual determina a carga crítica para o caso de colunas com cargas não excêntricas Com base na Eq2250 podese igualar o produto EI à carga crítica da seguinte forma 2 2 2 2 critico critico P L EI P EI L 2251 Substituindo o resultado mostrado na Eq2251 na expressão do deslocamento máximo Eq2248 obtémse max max 2 2 sec 1 sec 1 2 2 critico critico P L P v e v e P L P 2252 A Eq2252 é uma forma alternativa de se expressar a deflexão máxima para uma coluna submetida a uma força excêntrica A partir dessa equação podese construir um diagrama que associe o deslocamento máximo à Pcritico para diversos valores de excentricidade Este diagrama está apresentado na Fig 2216 podendose notar que quão maior for a excentricidade da carga menor será Pcritico para um mesmo deslocamento máximo Figura 2216 Diagrama que associa o deslocamento máximo à critico P À medida que a intensidade da força aplicada P se aproxima do valor da carga de flambagem de Euler critico P a deflexão lateral da coluna aumenta sem limite No SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 542 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas limite quando a excentricidade e tende a zero a curva se torna duas linhas retas que representam as configurações retilínea critico P P e flambada critico P P 2213 Tensão Normal Máxima na Presença de Força Axial Excêntrica Quando uma coluna está submetida a um carregamento axial aplicado de forma excêntrica em relação ao centro de gravidade de sua seção transversal os esforços solicitantes presentes serão normal e de flexão Assim tornase importante a determinação da tensão normal máxima atuante a qual é mobilizada pela ação conjunta desses dois esforços solicitantes de forma a avaliar a segurança da estrutura em relação à ruptura do material que a compõe A tensão normal decorrente da ação do momento fletor será máxima na seção exposta ao máximo valor de momento fletor Para o caso da coluna biarticulada submetida a um carregamento axial excêntrico discutido no item anterior observase que o momento fletor máximo ocorrerá na seção onde a deflexão lateral da coluna for máxima Dessa forma para o caso em questão essa seção ocorre no centro da coluna ou na coordenada x L 2 O deslocamento nessa seção é dado por max sec 1 2 2 L L v v e 2253 Com base na equação que expressa a variação do momento fletor ao longo do comprimento da coluna Eq2235 constatase que o momento fletor nessa seção será igual a 2 2 sec 1 2 sec 2 L MAX L MAX L M x Pe Pv x M x Pe Pe L M x Pe 2254 A tensão normal atuante na seção mais solicitada ao momento fletor é obtida aplicandose o princípio da superposição dos efeitos Dessa forma a tensão normal provocada pela ação do momento fletor é adicionada à tensão normal causada pela ação do esforço normal como mostrado na Fig 2217 Dessa forma a tensão normal máxima pode ser calculada como SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 543 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas max max M P c A I 2255 onde o parâmetro c representa a distância entre a fibra mais comprimida e o centro de gravidade da seção transversal Figura 2217 Aplicação da sobreposição dos efeitos para a determinação da tensão normal máxima Com base no resultado apresentado na Eq2254 podese reescrever a Eq2255 como max sec 2 L Pe P c A I 2256 Lembrando que I r A e 2 P EI temse max max 2 2 sec 2 1 sec 2 P L Pe EI P P ec L P c A r A A r r EA 2257 Na Eq2257 o parâmetro L representa o comprimento livre da coluna em seu plano de flexão Para colunas cujos extremos sejam não rotulados devese empregar o comprimento equivalente da coluna conforme indicado na Fig 2212 e expresso pela Eq2226 Outro ponto que deve ser enfatizado e a dependência não linear entre a intensidade da carga aplicada e a tensão normal máxima na coluna Conforme expressa a Eq2257 max depende da secante de P Isso faz com que o princípio da superposição dos efeitos não seja válido para a sobreposição dos efeitos de diferentes cargas P Nesse caso as diferentes cargas P devem ser adicionadas antes da determinação da tensão normal mobilizada por estas Portanto com relação ao projeto de colunas os coeficientes de segurança devem ser aplicados sobre as cargas e não sobre as tensões SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 544 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 2214 Exemplo 6 A coluna apresentada na Fig 2218 é composta por um aço cujo módulo de elasticidade longitudinal é igual a 200 E GPa e tensão de escoamento igual a 250 E MPa Sabendo que a intensidade da carga aplicada é de 90 P kN e que a esta é aplicada com uma excentricidade de 100 e mm determine o valor máximo da tensão normal compressiva atuante na coluna A seção transversal possui as seguintes propriedades geométricas 2 37871 A mm 6756 zr mm e 7874 c mm Figura 2218 Estrutura a ser analisada A coluna a ser analisada é do tipo engastada livre Assim com base na Eq2226 e na Fig 2212 constatase que seu comprimento equivalente é igual a 2 5 10 e e e L KL L L m Aplicando a Eq2257 obtémse SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 545 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas max 2 3 3 max 2 6 3 6 6 3 max max 1 sec 2 90 100 10 7874 10 10 90 1 sec 37871 10 2 6756 10 200 10 37871 10 6756 10 8302337 83023 e z z L P ec P A r r EA kPa MPa Como a tensão normal atuante é menor que a tensão de escoamento do material observase que este encontrase em uma condição segura 2215 Exemplo 7 Determine a intensidade do momento fletor máximo atuante no elemento de barra geral ilustrado na Fig 2219 Tratase de uma barra geral solicitada por um carregamento uniformemente distribuído de intensidade P sendo axialmente solicitada por duas forças F Esta barra encontrase bi apoiada em seus extremos Figura 2219 Estrutura a ser analisada Para a obtenção da expressão do momento fletor devese efetuar o equilíbrio dessa barra em sua configuração deformada Efetuando uma secção distante x do extremo esquerdo da barra obtémse a configuração e ações apresentadas na Fig 2220 Impondo sobre as ações apresentadas nessa figura as condições de equilíbrio de corpo rígido temse 2 0 0 2 2 2 2 z PL x M x F v x Px M x PLx Px M x Fv x SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 546 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Figura 2220 Diagrama de corpo livre Devese destacar que no equilíbrio de corpo rígido efetuado anteriormente o deslocamento v x foi considerado com sinal negativo Tal procedimento foi considerado pelo fato do deslocamento segundo a convecção adotada para o equacionamento apresentar sinal negativo quando orientado nesta direção Portanto por meio da equação da linha elástica podese escrever que 2 2 2 2 2 1 2 2 d v x d v M PLx Px Fv x dx EI dx EI Sendo ² F EI podese reescrever a equação anterior no seguinte formato 2 2 2 2 2 2 Fv x PLx Px P v x v x v x Lx x EI EI EI EI 2258 A solução geral da Eq 2258 é obtida somandose à sua solução homogênea uma solução particular A solução homogênea como anteriormente apresentado neste capítulo é a seguinte 1 2 cos sen vH x C x C x 2259 Já a solução particular pode ser assim escrita ² ² 2 2 p P PLx Px v x F F F 2260 Portanto a solução de deslocamento assume a seguinte forma 1 2 ² cos sen ² 2 2 P PLx Px v x C x C x F F F SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 547 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas Sugerese que o leitor verifique que a solução proposta na equação anterior atende à Eq 2258 As constantes 1 C e 2 C são determinadas por meio das condições de contorno do problema Dessa forma 1 2 1 0 0² 0 0 0 cos 0 sen 0 ² 2 2 ² P PL P P v v C C C F F F F 2 ² ² 0 cos sen ² ² 2 2 P P PL PL v L v L L C L F F F F 2 2 1 cos sen 1 cos ² ² sen L P P C L L C F F L Lembrando que a seguinte relação trigonométrica é válida 1 cos tg 2 sen L L L Podese escrever que 2 ² 2 P L C tg F Portanto a expressão final do deslocamento assume a seguinte forma ² cos tg sen ² ² 2 ² 2 2 P P L P PLx Px v x x x F F F F F Consequentemente a expressão que resulta a variação do momento fletor ao longo do comprimento da barra pode ser assim escrita ² ² cos tg sen ² ² 2 ² 2 2 2 2 P P L P PLx Px PLx x M x F x x P F F F F F ² ² cos tg sen ² ² 2 ² 2 2 2 2 P P L P PLx Px PLx Px M x x x cos tg sen ² ² 2 ² P P L P M x x x cos tg sen 1 ² 2 P L M x x x O momento fletor será máximo quando o deslocamento v x for máximo ou seja no centro do vão Portanto nesse ponto o momento fletor possui a seguinte magnitude SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 548 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas sen 2 cos sen 1 2 ² 2 2 cos 2 L L P L L M L cos² sen² 1 2 2 1 1 2 ² 2 ² cos cos 2 2 L L L P L P M M L L De forma a tornar a expressão anterior um pouco mais interessante do ponto de vista de análise podese multiplicar tanto seu numerador quanto seu denominador pelo fator ² 8 L Assim ² 1 8 ² 1 2 8 ² ² 2 8 cos 2 m L L P L PL M M C L L Sendo m C igual a 8 1 1 ² cos 2 Cm L L O parâmetro m C pode ser interpretado como um coeficiente de majoração correspondente aos efeitos de segunda ordem Se 1 m C observase o caso elástico linear ou seja o deslocamento v x é nulo Já quando 2 2 L temse singularidade no valor do deslocamento no meio do vão 2216 Dados Para Projeto Como mostrado anteriormente Eq2257 nas colunas submetidas a carregamentos axiais excêntricos a relação entre a tensão normal atuante e a força axial esforço normal é não linear Dessa forma a determinação da intensidade da carga que gera o escoamento de uma dada seção da coluna é uma tarefa muitas vezes difícil SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 549 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas De forma a facilitar a análise desse problema objetivando o desenvolvimento de projetos podem ser empregados ábacos de interação ou mesmo programas de computador Nesse contexto deve ser calculada a taxa de excentricidade a qual é definida pela seguinte relação 2 e ec T r 2261 Em seguida devese escolher o material que comporá a coluna Com base na tensão de escoamento desse material determinase a intensidade de P por meio de um processo de tentativas uma vez que a equação da secante é do tipo transcendental Para fins de projeto essa solução pode ser obtida com o auxílio de programas de computador eou ábacos de iteração Nos procedimentos de projetos utilizamse com frequência ábacos de interação como o apresentado na Fig 2221 Devese enfatizar que a carga P é aquela que causará na coluna a tensão de compressão máxima na fibra interna de sua seção transversal de sua configuração deslocada côncava Devido à aplicação de P com uma excentricidade esta carga será sempre menor que a carga crítica determinada por meio da fórmula de Euler Eq2227 a qual assume a condição pouco realista de que a coluna será carregada axialmente Uma vez obtido o valor da carga P podese aplicar um fator de segurança adequado de forma a especificar uma carga limite segura para a coluna Figura 2221 Ábaco de interação para aço A36 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 550 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas 2217 Exemplo 8 A coluna mostrada na Fig 2222 está submetida a uma carga P aplicada de forma excêntrica em relação ao centro de gravidade de sua seção transversal Sabendo que o aço que compõe a coluna possui o módulo de elasticidade longitudinal igual a 29000 E ksi e tensão de escoamento igual a 36 E ksi determine o valor máximo da intensidade da carga P que pode ser aplicada sem que a coluna observe a falha estrutural A seção transversal da coluna é formada por um perfil do tipo w8x40 que possui as seguintes propriedades geométricas 2 4 117 491 4125 353 y x A in I in c in r in A coluna em questão irá falhar se houver a flambagem em torno do eixo y ou o escoamento do material em decorrência da carga excêntrica aplicada Figura 2222 Estrutura a ser analisada Para a análise da flambagem em torno do eixo y constatase que o problema é de flambagem de Euler Assim aplicando a Eq2227 e sabendo que em relação a este eixo a coluna encontrase engastada apoiada obtémse 2 2 2 2 29000 491 1383115 070 144 y crítico crítico crítico EI P P P kip KL Com relação ao eixo x verificase que a carga está aplicada de forma excêntrica ao centro de gravidade da seção Portanto em relação a este eixo não ocorrerá flambagem mas sim um aumento gradativo da deflexão lateral da coluna Em relação a este eixo a carga máxima é obtida determinandose a tensão normal máxima atuante SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 551 Capítulo 22 Estabilidade Estrutural Flambagem de Colunas dada pela Eq2257 Sabendo que em relação a este eixo a coluna é engastadalivre temse max 2 2 1 sec 2 9 4125 2 144 36 1 sec 117 2 353 29000 117 353 4212 1 2979sec 00700 x x P ec KL P A r r EA P P P P A última equação é do tipo transcendental e deve ser resolvida por tentativas ou por um método de minimização Utilizando um método de minimização unidimensional obtémse que a solução da equação é 884 P kip Portanto a maior intensidade da carga P que pode ser aplicada sem que a falha estrutural seja observada é a menor entre as cargas críticas determinadas Assim a maior carga que pode ser aplicada é 884 P kip