Mecanica dos Solidos I - Deslocamentos em Vigas e Linha Elastica

SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 457 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 211 Introdução Nos projetos de engenharia estrutural o estabelecimento de limites para os valores das deflexões ou deslocamentos de elementos estruturais submetidos a esforços de flexão é de grande importância Os valores dos deslocamentos dos pontos materiais pertencentes aos elementos estruturais estão diretamente relacionados ao bom desempenho da estrutura e também ao conforto e bem estar de seus usuários Embora a condição de equilíbrio seja atendida em diversas situações ou seja o colapso não é observado o deslocamento excessivo da estrutura pode causar sua inutilização Como mostrado na Fig 211 o deslocamento excessivo de uma viga pertencente ao sistema estrutural de um edifício pode resultar no mal funcionamento de portas e janelas além do descolamento dos revestimentos das paredes e das lajes Assim nessas situações a estrutura não atende às suas condições de serviço Figura 211 Deslocamentos excessivos em estruturas SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 458 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Existem diversos métodos para a determinação dos deslocamentos de elementos de barra geral fletidos Dentre estes será apresentado nestas notas o método conhecido como Linha Elástica A linha elástica referese à forma exibida pelo eixo de um elemento de barra geral composto por material elástico em sua configuração deslocada Para fins ilustrativos podem ser analisadas qualitativamente as linhas elásticas dos elementos de viga apresentados na Fig 212 Nesses elementos atuam ações externas que produzem flexão conduzindo a estrutura a uma configuração deslocada em relação à sua posição original A linha formada pela união dos pontos pertencentes ao eixo da viga na posição deslocada define a linha elástica Nas ilustrações apresentadas na Fig 212 as linhas na cor azul representam as linhas elásticas Figura 212 Linha elástica em vigas O estudo da linha elástica que será apresentado neste capítulo visa à avaliação dos deslocamentos de elementos estruturais do tipo vigas Portanto objetivase determinar para os pontos localizados sobre o eixo da viga o deslocamento perpendicular ao eixo da viga e suas rotações Para a determinação das expressãoões que representam a linha elástica devese considerar as condições de vinculação atuantes na estrutura Se em um dado ponto localizado na ordenada x ao longo do comprimento da viga o deslocamento v for nulo como nos apoios fixo e móvel e também nos engastes temse v x 0 Por outro lado se a rotação for nula neste ponto como ocorre nos engastes temse que 0 dv x v x dx Além disso os valores dos esforços solicitantes momento fletor e esforço cortante ao longo dos pontos da viga devem também ser considerados Para as vigas mostradas na Fig 212 constatase que o momento fletor nos pontos onde atuam os apoios do tipo fixo é nulo Com relação ao esforço cortante verificase que seu valor é igual a F para a primeira das vigas mostradas na Fig 212 no ponto localizado na extremidade do balanço ou seja no ponto onde a força concentrada é aplicada SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 459 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica O conjunto formado pelos valores dos deslocamentos das rotações e dos esforços solicitantes conhecidos ao longo dos pontos da estrutura analisada é denominado condições de contorno aplicadas a estrutura As condições de contorno serão utilizadas para a determinação das expressões que definem a linha elástica Para encerrar a parte introdutória deste capítulo devese dedicar atenção especial aos pontos cuja rotação seja nula Estes pontos representam inflexões na curva de deslocamento portanto serão nesses pontos em que os deslocamentos apresentarão seus valores extremos máximos ou mínimos locais ou globais Dessa forma os valores extremos dos deslocamentos que serão utilizados para as verificações de projeto devem ser calculados nos pontos onde a rotação é nula Para a segunda viga mostrada na Fig 212 constatase que o deslocamento máximo ocorre no ponto A localizado no centro do vão Não por acaso nesse ponto a rotação é nula 212 Equação da Linha Neutra Para que o cálculo dos deslocamentos em vigas via linha elástica seja possível devese inicialmente formular o problema associando as deformações no plano da seção transversal aos carregamentos atuantes e aos esforços solicitantes produzidos por estes Para tal fim podese considerar a viga de seção transversal constante mostrada na Fig 213 a qual está em equilíbrio quando submetida a um conjunto de ações externas Figura 213 Viga submetida a um conjunto de ações externas Assumindo que a viga obedeça ao regime de pequenos deslocamentos podese aproximar sua configuração deslocada por um arco de círculo Dessa forma um elemento infinitesimal de comprimentodx irá apresentar antes e depois da deformação as configurações mostradas na Fig 214 Por meio dessa figura observase que a SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 460 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica deformação normal no elemento varia conforme o ponto analisado percorre a altura da seção transversal Figura 214 Elemento infinitesimal da viga Antes e após a deformação Utilizando a definição de deformação normal verificase que a deformação normal ao longo de uma dada fibra dessa seção pode ser calculada por ds ds ds 211 Conforme mostrado na Fig 214 temse que antes da deformação ds dx Após a deformação a configuração deslocada da viga será aproximada por um arco de círculo Assim o conjunto de pontos que compõe a fibra que permanece com comprimento dx isto é a fibra que mantémse indeformada pode ser definido a partir de um arco de círculo de raio e centro O Uma vez que d define o ângulo entre os lados do elemento infinitesimal considerado a abertura do arco de círculo temse que ds dx d 212 De forma semelhante o comprimento deformado de uma dada fibra ds pode ser definido em função do arco de círculo de raio e centro O Assim para as fibras deformadas temse que ds y d 213 Com base nas Eq212 e Eq213 podese reescrever a Eq211 como SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 461 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 0 lim d y d d y d 214 Como o problema envolve apenas a flexão em torno do eixo z sabese que as tensões normais neste caso estão associadas ao momento fletor atuante por meio da seguinte relação M y I 215 Utilizando a lei de Hooke E e a Eq214 podese reescrever a Eq215 da seguinte forma 1 M M y M M y E y E y I I I EI 216 A Eq216 relaciona o valor inverso do raio do arco de círculo também conhecido como curvatura ao momento fletor atuante O próximo passo para a obtenção da formulação da linha elástica envolve a associação da curvatura ao deslocamento da viga Para tal fim devese considerar um elemento representativo da linha elástica de uma viga como mostrado na Fig 215 Figura 215 Elemento representativo da linha elástica Conforme mostrado na Fig 215 é o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de deflexão ou linha elástica em um dado ponto O ângulo possui valor positivo se medido no sentido antihorário Assumindose que a viga obedeça ao regime de pequenos deslocamentos e pequenas rotações o comprimento infinitesimal da linha elástica ds pode ser assim calculado ds d 217 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 462 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Portanto a curvatura pode ser escrita como 1 d ds 218 Com base na Eq218 e admitindose o sistema cartesiano clássico a curvatura é positiva se a concavidade da linha elástica estiver voltada para o sentido positivo do eixo y sendo negativa em caso contrário como mostra a Fig 216 Figura 216 Sinais para a curvatura da linha elástica A inclinação da curva de deflexão é igual à sua primeira derivada ou seja dv dx Com base na Fig 215 verificase que geometricamente a inclinação da curva de deflexão é dada pela variação do deslocamento dv dividido pelo incremento do comprimento da linha elástica ao longo do eixo x dx Como dv e dx são infinitesimais podese escrever que tan dv dx 219 Essa formulação assume que a viga obedeça ao regime de pequenos deslocamentos e consequentemente ao de pequenas rotações Isso faz com que tanto os deslocamentos quanto as rotações sejam muito pequenos Portanto admitese que a curva de deflexão seja praticamente horizontal Como consequência dessa hipótese tem se que ds dx 2110 Assim a curvatura expressa pela Eq218 passa a ser dada por 1 d dx 2111 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 463 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Uma vez que a Eq2110 é verdadeira pelas hipóteses consideradas temse que o ângulo é muito pequeno Nessa condição sabese que tan Com base nesta informação podese reescrever a Eq219 como tan dv dv dx dx 2112 Derivando a Eq2112 em relação ao comprimento da linha elástica temse 2 2 d d v dx dx 2113 Utilizando os resultados apresentados nas Eq2111 e Eq2113 obtémse 2 2 1 d v dx 2114 A Eq2114 relaciona a curvatura ao deslocamento da viga Para que o deslocamento seja relacionado ao esforço solicitante atuante devese utilizar a Eq216 a qual expressa a curvatura em função do momento fletor atuante Igualando as curvaturas dadas pelas Eq216 e Eq2114 temse 2 2 d v M dx EI 2115 A Eq2115 pode ser integrada sucessivamente para a obtenção do deslocamento da viga e consequentemente da expressão da linha elástica desde que sejam conhecidas as variações do momento fletor M do módulo de elasticidade longitudinal E e do momento de inércia da seção transversal em torno do eixo z I ao longo do comprimento da barra A Eq2115 pode ainda ser escrita em função do esforço cortante V ou do carregamento distribuído q atuante na viga Para a obtenção dessas expressões devem ser utilizadas as relações diferenciais apresentadas no capítulo 5 As relações diferenciais preveem que na situação de equilíbrio as seguintes condições são válidas dM V dx dV q dx 2116 Portanto com base nas relações diferenciais mostradas na Eq2116 podese reescrever a Eq2115 na seguinte forma 2 2 3 3 2 2 3 3 1 d v M d d v d M d v dM d v V dx EI dx dx dx EI dx EI dx dx EI 2117 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 464 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 3 3 4 4 2 3 3 4 4 1 d v M d v V d d v d V d v dV d v q dx EI dx EI dx dx dx EI dx EI dx dx EI 2118 Portanto as equações que permitem a determinação das deflexões em vigas e consequentemente da linha neutra são as mostradas na Eq2119 2 2 d v M v dx EI 3 3 d v V v dx EI 4 4 d v q v dx EI 2119 Em muitas aplicações de engenharia é comum a utilização de elementos estruturais cujas seções transversais variem suas dimensões ao longo de seu comprimento Nessa situação o momento de inércia que depende das dimensões da seção transversal deverá ser expresso considerando tal variação Portanto nesses casos devese integrar sucessivamente uma das Eq2119 considerando a variação das dimensões da seção transversal Como resultado das integrações sucessivas das Eq2119 surgem termos livres que necessitam ser determinados em função das condições de contorno atuantes na viga As condições de contorno referemse a pontos onde os deslocamentos rotações ou esforços solicitantes são conhecidos Para a viga mostrada na Fig 217 constatase que as condições de contorno são as seguintes Figura 217 Viga engastada apoiada v A 0 v B 0 0 dv A v A dx 2120 Em pontos onde ocorrem descontinuidades como nos pontos de atuação de ações pontuais forças ou momentos e pontos em que ocorrem mudanças nas dimensões da seção transversal condições de compatibilidade de deslocamentos devem ser incluídas na análise Para a viga mostrada na Fig 218 têmse as seguintes condições de contorno Figura 218 Viga biapoiada com carga pontual SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 465 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 2 2 2 0 0 0 0 AC CB AC CB v A v B d v A EI v A EI M A dx d v B EI v B EI M B dx v C v C v C v C 2121 2121 Exemplo 1 Determine a expressão da linha elástica para a viga mostrada na Fig 219 Calcule também o deslocamento máximo da viga e os valores das rotações nos apoios Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 219 Viga a ser analisada Para a solução deste exemplo devese determinar a expressão que relaciona o momento fletor atuante ao sistema de coordenadas posicionado no apoio A Para isso devese inicialmente calcular as reações de apoio Devido à simetria da estrutura verificase facilmente que estas são iguais a 2 A B qL R R Assim para uma seção genérica distante de x do apoio A como ilustrado na Fig 2110 podese expressar o momento fletor efetuandose o equilíbrio de corpo rígido Portanto Figura 2110 Determinação da equação do momento fletor SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 466 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 0 0 2 2 2 2 qL x qL q M x qx M x M x x x Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 temse 2 2 2 2 2 1 2 2 d v M d v qL q x x dx EI dx EI 2122 Integrando a Eq2122 em relação ao comprimento da viga obtémse 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 4 6 d v qL q dv qL q dx x x dx x x C dx EI dx EI 2123 Integrando a Eq2123 em relação ao comprimento da viga temse 2 3 3 4 1 1 2 1 1 4 6 12 24 dv qL q qL q dx x x C dx v x x C x C dx EI EI 2124 Para que as constantes de integração 1 2 C eC sejam determinadas devese aplicar as condições de contorno do problema As duas constantes de integração são determinadas utilizandose duas condições de contorno do problema Assim sabese que 0 0 0 v A v v B v L Com a primeira das condições de contorno obtémse 3 4 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 12 24 qL q v A v C C C EI Já a aplicação da segunda delas resulta em 3 4 3 1 1 1 0 0 12 24 24 qL q q v B v L L L C L C L EI Dessa forma a expressão do deslocamento da viga fica assim escrita 3 4 3 1 12 24 24 qL q q v x x L x EI 2125 As rotações são calculadas com base na primeira derivada da Eq2125 Assim a expressão que relaciona as rotações de todos os pontos da viga é a seguinte 2 3 3 1 4 6 24 dv qL q q x x L dx EI 2126 Para o apoio A a rotação é dada por 3 2 3 3 0 0 1 0 0 4 6 24 24 dv A dv dv qL q q q L L dx dx EI dx EI SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 467 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Já a rotação do apoio B é igual a 3 2 3 3 1 4 6 24 24 dv B dv L dv L qL q q q L L L L dx dx EI dx EI O deslocamento máximo ocorre nos pontos onde a rotação é nula Assim para a viga em questão o deslocamento máximo ocorrerá em 2 3 3 2 3 3 1 0 6 4 0 4 6 24 dv x qL q q x x L Lx x L dx EI 2127 Resolvendo o polinômio cúbico mostrado na Eq2127 obtêmse as seguintes raízes 1 2 3 1 1 3 3 2 2 2 L x L L x L L x Constatase facilmente que as raízes 1 2 x e x resultam em valores para coordenadas x que não pertencem ao domínio da viga portanto não são soluções possíveis para o problema O ponto onde ocorre o deslocamento máximo é o ponto dado pela raiz 3x Assim o deslocamento máximo ocorre no centro do vão 2122 Exemplo 2 Determine o deslocamento e a rotação para o ponto B da viga engastada mostrada na Fig 2111 Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 2111 Viga a ser analisada Para a determinação da equação da linha elástica será utilizada a primeira das equações mostradas na Eq2119 Assim devese obter uma expressão que relacione o valor do momento fletor à ordenada x ao longo do comprimento da viga Esta equação é escrita com base nas reações de apoio da viga Para a viga em análise as reações de apoio são as apresentadas na Fig 2112 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 468 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2112 Reações de apoio Efetuando o equilíbrio de corpo rígido considerando as reações de apoio apresentadas na Fig 2112 podese escrever o valor do momento fletor ao longo da viga o qual resulta em 2 2 2 0 0 2 2 2 2 qL x qL q M qLx qx M x M x qLx x Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 temse 2 2 2 2 2 2 1 2 2 d v M d v qL q qLx x dx EI dx EI 2128 Integrando a Eq2128 uma vez em relação à variável x obtémse 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 2 2 6 d v qL q dv qL qL q dx qLx x dx x x x C dx EI dx EI 2129 Integrando a Eq2129 em relação ao comprimento da viga temse 2 2 3 1 2 3 2 4 1 2 1 2 2 6 1 6 4 24 dv qL qL q dx x x x C dx dx EI qL qL q v x x x C x C EI 2130 As duas constantes de integração 1 2 C e C que surgiram do processo de integrações sucessivas devem ser determinadas com base nas condições de contorno do problema Com base na Fig 2111 observase que as condições de contorno são as seguintes 0 0 0 0 dv v dx Utilizando a primeira condição de contorno apresentada acima obtémse 2 3 2 4 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 6 4 24 qL qL q v C C C EI Com a segunda condição de contorno determinase 1 C Assim SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 469 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 2 3 1 1 0 1 0 0 0 0 2 2 6 dv qL qL q C C dx EI Portanto as expressões dos deslocamentos e rotações para os pontos que constituem a viga são 2 3 2 4 2 2 3 1 6 4 24 1 2 2 6 qL qL q v x x x EI dv qL qL q x x x dx EI 2131 Avaliando as expressões mostradas na Eq2131 para a extremidade do balanço obtémse 2 4 3 2 4 2 3 2 3 1 6 4 24 8 1 2 2 6 6 qL qL q qL v L L L L v L EI EI dv L dv L qL qL q qL L L L dx EI dx EI Percebese intuitivamente que os valores de deslocamento e rotação calculados na extremidade do balanço são os valores máximos atuantes na viga em análise 2123 Exemplo 3 Determine a expressão da linha elástica para a viga mostrada na Fig 2113 Além disso calcule o deslocamento e a rotação no ponto B Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 2113 Viga a ser analisada Para a resolução deste exemplo será utilizada a terceira expressão mostrada na Eq2119 a qual depende da variação do carregamento distribuído ao longo do comprimento da viga q Como o carregamento distribuído considerado varia linearmente ao longo do comprimento da viga podese escrever sua variação como SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 470 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 0 0 q q q L x Assim podese escrever a terceira expressão da Eq2119 como 4 4 0 0 0 0 4 4 1 1 q q d v d v q x x q dx L EI dx L EI 2132 Integrando a Eq2132 ao longo do comprimento da viga obtémse 4 3 2 0 0 0 0 1 4 3 1 1 2 q q d v d v dx x q dx x q x C dx L EI dx L EI 2133 Integrando a Eq2133 novamente em relação ao comprimento da viga resulta em 3 2 2 3 2 0 0 0 0 1 1 2 3 2 1 1 2 6 2 q q q d v d v dx x q x C dx x x C x C dx L EI dx L EI 2134 Efetuando a integração da Eq2134 em relação à x obtémse a expressão das rotações dos pontos que compõem a viga Assim 2 3 2 0 0 1 2 2 4 3 2 0 0 1 2 3 1 6 2 1 24 6 2 q q d vdx x x C x C dx dx L EI q q C dv x x x C x C dx L EI 2135 Finalmente integrando a Eq2135 em relação ao comprimento da viga obtém se a expressão da linha elástica Dessa forma 4 3 2 0 0 1 2 3 5 4 3 2 0 0 1 2 3 4 1 24 6 2 1 120 24 6 2 q q C dvdx x x x C x C dx dx L EI q q C C v x x x x C x C L EI 2136 A Eq2136 representa a equação da linha elástica a qual envolve quatro constantes de integração 1 2 3 C C C e 4 C Estas constantes são determinadas com base em quatro condições de contorno do problema Para a viga mostrada na Fig 2113 têmse as seguintes condições de contorno 2 3 2 3 0 0 0 0 0 0 d v L d v L dv v EI M L EI V L dx dx dx 2137 Utilizando a primeira das condições de contorno mostradas na Eq2137 obtémse 5 4 3 2 0 0 1 2 3 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 120 24 6 2 q q C C v C C C L EI SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 471 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Por meio da segunda condição de contorno apresentada na Eq2137 podese determinar o valor de 2 C Assim 4 3 2 0 0 1 2 3 3 0 1 0 0 0 0 0 0 24 6 2 dv q q C C C C dx L EI Com base na última condição de contorno mostrada na Eq2137 que prevê que o esforço cortante seja nulo na extremidade do balanço temse 3 2 0 0 0 1 1 3 1 0 2 2 d v L q q L L q L C C dx L EI Finalmente utilizando a condição de contorno que prevê que o momento fletor seja nulo no ponto B temse 2 2 3 2 0 0 0 0 2 2 2 0 6 2 2 6 d v L q q q L q L L L L C C dx L Dessa forma com base nas constantes de integração determinadas anteriormente as equações que descrevem o deslocamento e a rotação da viga são escritas como 2 5 4 3 2 0 0 0 0 2 4 3 2 0 0 0 0 1 120 24 12 12 1 24 6 4 6 q q q L q L v x x x x L EI q q q L q L dv x x x x dx L EI 2138 Com base na Eq2138 verificase que os valores do deslocamento e da rotação no ponto B são iguais a 2 4 5 4 3 2 0 0 0 0 0 2 3 4 3 2 0 0 0 0 0 1 120 24 12 12 30 1 24 6 4 6 24 q q q L q L q L v B v L L L L L v L L EI EI dv B dv L dv L q q q L q L q L L L L L dx dx L EI dx EI 2124 Exemplo 4 Determine as expressões que representam o deslocamento e a rotação dos pontos da viga mostrada na Fig 2114 Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 472 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2114 Viga a ser analisada Assumindo que a reação do apoio A atue no sentido de y negativo e a reação do apoio B atue no sentido de y positivo podese efetuar o equilíbrio de corpo rígido desta viga o qual resulta em 3 3 0 0 2 2 B B M A P L R L R P 3 1 0 0 2 2 y A A F P P R R P Para a determinação das expressões do deslocamento e da rotação será utilizada a primeira das equações mostradas na Eq2119 Como o apoio B está posicionado de forma interna à viga verificase que a equação do momento fletor deverá ser avaliada nos intervalos 3 0 2 x L e L x L Assim 0 0 0 2 2 3 3 3 0 0 2 2 2 2 P P Para x L M x M x M x x P P PL Para L x L M x x L M x M x Px Considerando inicialmente o intervalo 0 x L podese escrever que 2 2 2 2 1 2 d v M d v P x dx EI dx EI 2139 Integrando a Eq2139 uma vez em relação à variável x obtémse 2 2 1 2 1 1 2 4 d v P dv P dx x dx x C dx EI dx EI 2140 Integrando a Eq2140 em relação ao comprimento da viga temse 2 3 1 1 2 1 1 4 12 dv P P dx x C dx v x C x C dx EI EI 2141 As duas constantes de integração 1 2 C e C que surgiram do processo de integrações sucessivas devem ser determinadas com base nas condições de contorno do SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 473 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica problema No intervalo considerado constatase a partir da Fig 2114 que temse as seguintes as condições de contorno 0 0 0 v v L Utilizando a primeira condição de contorno apresentada acima obtémse 3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 12 P v C C C EI Com a segunda condição de contorno do intervalo temse 2 3 1 1 1 0 12 12 P PL v L L C L C EI Dessa forma as expressões dos deslocamentos e rotações para os pontos que constituem a viga no intervalo 0 x L são 2 3 2 2 1 12 12 1 4 12 P PL v x x EI dv P PL x dx EI 2142 Considerando agora o intervalo 32 L x L podese escrever a primeira das expressões mostradas na Eq2119 como 2 2 2 2 1 3 2 d v M d v PL Px dx EI dx EI 2143 Integrando a Eq2143 em relação à variável x obtémse 2 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 d v PL dv P PL dx Px dx x x C dx EI dx EI 2144 Integrando a Eq2144 em relação ao comprimento da viga temse 2 3 2 1 1 2 1 3 1 3 2 2 6 4 dv P PL P PL dx x x C dx v x x C x C dx EI EI 2145 As duas constantes de integração 1 2 C eC que surgiram na Eq2145 são determinadas com base nas condições de contorno do problema No intervalo considerado observamse as seguintes condições de contorno 2 3 2 3 3 3 0 0 2 2 d v L d v L v L EI M L EI V L P dx dx SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 474 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Porém constatase por meio da Eq2145 que as constantes de integração dependem apenas linearmente da variável x Dessa forma as duas últimas condições de contorno apresentadas neste intervalo não conduzem à determinação de 1 2 C eC Para que a viga apresente continuidade sobre o apoio B temse que a rotação neste ponto deve ser igual para ambos os intervalos que concorrem a este ponto Assim surge uma condição de continuidade igual a AB BC dv L dv L dx dx Sabendo que a expressão de dvAB dx é dada pela Eq2142 obtémse 2 2 2 2 1 1 1 1 3 5 4 12 2 2 6 AB BC dv L dv L P PL P PL PL L L L C C dx dx EI EI Como o deslocamento é nulo sobre o ponto B x L determinase a constante 2 C como 2 3 3 2 2 2 1 3 5 0 6 4 6 4 P PL PL PL v L L L L C C EI Portanto as expressões que relacionam o deslocamento e a rotação aos pontos posicionados ao longo do comprimento da viga no intervalo 32 L x L são as seguintes 2 3 3 2 2 2 1 3 5 6 4 6 4 1 3 5 2 2 6 P PL PL PL v x x x EI dv P PL PL x x dx EI 2125 Exemplo 5 Sabese que a equação que exprime o deslocamento dos pontos de uma viga biapoiada é a mostrada na Eq2146 Com base nesta equação determine o carregamento distribuído que deu origem a este deslocamento e também os esforços cortantes nos pontos 0 x e x L 5 3 3 5 6 0 2 3 5 3 90 q v L x L x Lx x EIL 2146 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 475 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica De acordo com a última das expressões mostradas na Eq2119 temse que 4 4 d v q v dx EI Portanto o carregamento distribuído q é obtido derivandose quatro vezes a Eq2146 em relação à variável x Assim 5 3 3 5 6 0 2 5 3 2 4 5 0 2 2 3 3 4 0 2 2 3 3 2 3 0 3 2 4 2 0 4 2 3 5 3 90 3 15 15 6 90 30 60 30 90 30 180 120 90 360 360 90 q v L x L x Lx x EIL q dv L L x Lx x dx EIL q d v L x Lx x dx EIL q d v L Lx x dx EIL q d v Lx x dx EIL 2147 Com base na última das expressões mostradas na Eq2147 temse 4 2 2 0 0 4 2 2 4 360 360 90 q q d v q Lx x q Lx x dx EIL EI L Assim é um carregamento parabólico Os valores dos esforços cortantes nos pontos 0 x e x L são dados por 3 3 3 3 d v V d v V EI dx EI dx Para o ponto x 0 temse 3 2 3 0 0 2 30 180 0 120 0 90 3 q q L V L L EI V EIL Já para o ponto x L obtémse 3 2 3 0 0 2 30 180 120 90 3 q q L V L LL L EI V EIL 213 Vigas Submetidas à Ações Concentradas Em muitas aplicações de engenharia estruturas são solicitadas por ações concentradas ao longo de seu comprimento Estas ações concentradas são normalmente forças e momentos atuantes em um ou mais pontos materiais que compõem a estrutura Em problemas desse tipo ocorrem descontinuidades nas expressões que definem o SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 476 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica momento fletor e o esforço cortante Portanto em problemas onde ações concentradas estão presentes as equações que definem o deslocamento e a rotação devem ser escritas entre os trechos onde as descontinuidades estão presentes Apesar dos esforços solicitantes nos pontos onde as ações concentradas atuam poderem ser descontínuos o deslocamento e a rotação nesses pontos devem ser contínuos Devese garantir a continuidade da estrutura de forma que os pontos materiais considerados componham os elementos estruturais desejados Como os deslocamentos e as rotações são definidos por trechos devese garantir que as expressões que os descrevem sejam contínuas exatamente nos pontos onde as ações concentradas atuam 2131 Exemplo 6 Determine a equação da linha elástica para a viga mostrada na Fig 2115 Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 2115 Viga a ser analisada Considerando que as duas reações de apoio estejam orientadas no sentido de y positivo podese aplicar as equações de equilíbrio de corpo rígido para sua determinação Assim 1 1 1 2 1 2 0 0 B B PL M A PL R L L R L L 1 2 1 2 1 2 0 0 y A A PL PL F P R R L L L L Devido à presença de uma força concentrada de intensidade P localizada em 1 x L constatase a expressão que define a linha elástica deverá ser escrita em trechos sendo seus intervalos iguais a 1 1 1 2 0 x L e L x L L Considerando o primeiro SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 477 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica desses intervalos verificase que a expressão que define o momento fletor ao longo do intervalo é dada por 2 2 1 2 1 2 0 0 PL PL M x M x M x x L L L L Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 obtémse 2 2 2 2 2 1 2 1 PL d v M d v x dx EI dx EI L L 2148 Integrando a Eq2148 em relação à x obtémse 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 PL PL d v dv dx x dx x C dx EI L L dx EI L L 2149 Integrando a Eq2149 também em relação à x obtémse o resultado apresentado na Eq2150 2 3 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 6 PL PL dv dx x C dx v x C x C dx EI L L EI L L 2150 Já para o trecho definido pelo intervalo 1 1 2 L x L L temse que o momento fletor é dado pela seguinte expressão 2 2 1 1 1 2 1 2 0 0 PL PL M x P x L M x M x x Px PL L L L L Com base na primeira das equações mostradas na Eq2119 podese escrever que 2 2 2 1 2 2 1 2 1 PL d v M d v x Px PL dx EI dx EI L L 2151 Integrando a Eq2151 em relação ao comprimento da viga temse 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 2 2 PL d v dx x Px PL dx dx EI L L PL dv P x x PL x C dx EI L L 2152 Integrando a Eq2152 em relação à variável x resulta em 2 2 2 1 3 1 2 3 3 2 2 1 3 4 1 2 1 2 2 1 6 6 2 PL dv P dx x x PL x C dx dx EI L L PL PL P v x x x C x C EI L L 2153 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 478 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Segundo ilustrado na Fig 2115 observase que o problema apresenta as seguintes condições de contorno 1 2 0 0 0 v v L L 2154 Além dessas duas condições de contorno devese impor as condições de continuidade no ponto onde a ação concentrada atua Portanto 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 L x L L x L x L L x L L dv L dv L v L v L dx dx 2155 Dessa forma têmse quatro condições de contorno a serem atendidas as quais serão utilizadas para a determinação das quatro constantes que surgiram durante o processo de integrações sucessivas das relações diferenciais que resultaram nas expressões do deslocamento de cada trecho Sabendo que os deslocamentos dos dois trechos considerados são dados pelas Eq2150 e Eq2153 podese utilizar a primeira condição de contorno mostrada na Eq2154 para a determinação de 2 C Assim 3 2 1 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 6 PL v C C C EI L L Com base na segunda condição de contorno mostrada na Eq2155 temse 1 1 2 1 1 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 2 2 L x L L x L dv L dv L dx dx PL PL P L C L L PL L C EI L L EI L L P C L C 2156 Utilizando a primeira condição de contorno mostrada na Eq2155 obtémse 1 1 1 2 0 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 1 2 1 2 3 1 1 1 3 1 4 1 1 6 6 6 2 3 x L L x L L v L v L PL PL PL P L C L L L L C L C EI L L EI L L P L C L C L C 2157 Substituindo o valor de 1 C determinado na Eq2156 na expressão Eq2157 obtémse 3 3 2 1 1 1 3 1 3 1 4 4 2 3 6 P L P L P L C L C L C C 2158 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 479 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica A partir do resultado obtido na Eq2158 podese determinar o valor de 3 C utilizando a segunda condição de contorno mostrada na Eq2154 Assim 1 2 3 3 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 0 1 0 6 6 2 6 0 6 6 2 6 6 6 6 2 v L L P L PL PL P L L L L L L C L L EI L L P L PL PL P L L L L L L C L L P L L L P C L L P L L L L Com base no valor de 3 C determinado acima podese escrever 1 C como 2 1 1 3 3 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 6 6 6 2 P C L C P L L L P P C L L L P L L L L Com base nas condições de contorno do problema foram determinadas as constantes 1 2 3 4 C C C eC Assim as expressões dos deslocamentos para os dois trechos considerados podem ser reescritas como 1 3 2 2 1 3 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 6 2 6 6 6 2 Para x L P L PL L L P P v x L L L P L L x EI L L L L 1 1 2 3 1 3 3 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 6 6 2 6 1 6 6 6 2 Para L x L L P L PL PL P v x x x EI L L P L L L P L L P L L x EI L L 2132 Aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos Conforme discutido no item anterior condições de compatibilidade de deslocamento e rotação devem ser aplicadas aos pontos onde ações concentradas atuam para que as equações que exprimem estas grandezas ao longo do comprimento da viga sejam contínuas Devese destacar que para cada ponto de aplicação de uma ação SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 480 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica concentrada são inseridas na análise duas condições de compatibilidade Portanto em vigas submetidas a um grande número de ações concentradas a determinação da equação da linha elástica para cada um dos trechos entre as ações concentradas torna se uma tarefa onerosa e pouco produtiva Para tornar a análise de problemas envolvendo ações concentradas mais rápida e eficiente pode ser aplicado o princípio da superposição dos efeitos Nos problemas envolvendo a determinação da linha elástica esse princípio pode ser utilizado uma vez que assumese que a viga seja composta por material de comportamento mecânico elástico linear e que esta seja governada pelo regime de pequenos deslocamentos Além disso verificase que os deslocamentos são diretamente proporcionais aos esforços solicitantes atuantes Quando o princípio da superposição dos efeitos é aplicado à obtenção da linha elástica determinamse os deslocamentos ao longo da viga para cada carregamento atuante seja ele concentrado ou distribuído de forma isolada O deslocamento da estrutura considerando a atuação conjunta de todas as ações externas é obtido sobrepondose os deslocamentos obtidos considerando cada ação externa atuando de forma isolada Para ilustrar a aplicação do princípio da superposição dos efeitos podese considerar a viga biapoiada ilustrada na Fig 2116 a qual é submetida a três forças concentradas de intensidades 1 2 3 P P e P Nesta viga o deslocamento ao longo de seu comprimento pode ser obtido sobrepondose os deslocamentos causados pela ação de cada uma das forças concentradas de forma isolada Assim nesse caso podem ser empregadas as expressões de deslocamento obtidas na análise do exemplo 6 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 481 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2116 Aplicação do princípio da superposição dos efeitos 2133 Exemplo 7 Determine o deslocamento no centro do vão da viga mostrada na Fig 2117 Considere que o produto EI seja igual a 2 32000 kNm e que as forças concentradas possuam intensidades iguais a 1 2 10 15 P kN e P kN Figura 2117 Viga a ser analisada Dimensões em metro Para a solução deste exemplo será empregado o princípio da superposição dos efeitos Assim o deslocamento no centro do vão será determinado assumindose inicialmente apenas a presença de 1P Em seguida o deslocamento no centro do vão será novamente calculado considerando apenas a atuação de 2P Aplicando o princípio da superposição dos efeitos obtémse o deslocamento no ponto desejado sobrepondose SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 482 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica os deslocamentos gerados por cada uma das ações concentradas de forma isolada como mostrado na Fig 2118 Figura 2118 Sobreposição dos efeitos A determinação do deslocamento no centro do vão para as duas condições mostradas na Fig 2118 pode ser efetuada utilizando as equações de deslocamento obtidas no exemplo 6 Naquela análise foram obtidas as expressões mostradas na Eq2159 1 3 2 2 1 3 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 3 3 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 0 1 6 2 6 6 6 2 1 6 6 2 6 1 6 6 6 2 Para x L P L PL L L P P v x L L L P L L x EI L L L L Para L x L L P L PL PL P v x x x EI L L P L L L P L L P L L x EI L L 2159 Considerando o caso onde atua apenas a força 1P o deslocamento no centro do vão é dado pela segunda expressão da Eq2159 Assim 1 1 3 3 3 2 3 2 4 1 10 3 10 10 1 10 1 2 2 2 32000 6 1 3 6 2 6 1 10 10 1 3 1 1 3 10 1 3 2 286458 10 32000 6 6 1 3 6 2 P P v v m Para a determinação do deslocamento no centro do vão para o caso onde apenas 2P atua devese utilizar a primeira das expressões mostradas na Eq2159 Dessa forma SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 483 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 2 3 2 3 2 4 1 15 1 15 15 15 3 1 3 2 3 3 1 15 3 1 2 32000 6 3 1 2 6 6 3 1 6 2 42969 10 P P v v m Assim aplicando o princípio da superposição dos efeitos obtémse que o deslocamento no centro do vão para o caso onde as duas forças concentradas 1 2 P e P atuam conjuntamente é igual a 1 2 4 4 4 286458 10 42969 10 716148 10 P P v v v m v m 214 Vigas Estaticamente Indeterminadas Problemas envolvendo estruturas estaticamente indeterminadas foram discutidos durante os capítulos 14 e 15 Naquela oportunidade elementos de barra geral estaticamente indeterminados submetidos a esforços solicitantes normal e de torção foram analisados sendo suas reações de apoio e o campo de deslocamentos ao longo de seu domínio determinados Neste item serão discutidos problemas estaticamente indeterminados envolvendo elementos de barra geral submetidos a esforços de flexão Um problema pode ser classificado como estaticamente indeterminado quando são restringidos mais graus de liberdade do que aqueles necessários para impedir o deslocamento de corpo rígido da estrutura Nesses problemas a utilização apenas das equações de equilíbrio de corpo livre não é suficiente para a determinação de todas as reações de apoio da estrutura sendo necessária a aplicação de condições de compatibilidade escritas em termos de deslocamento As reações de apoio que decorrem dos graus de liberdade restringidos que excedem aqueles necessários para o impedimento do deslocamento de corpo rígido da estrutura são conhecidas como reações redundantes O número das reações redundantes conduz ao grau de indeterminação da estrutura Para ilustrar a obtenção do grau de indeterminação de uma viga estaticamente indeterminada podese considerar a viga mostrada na Fig 2119 Devido à presença de um engaste e de um apoio móvel verificase são restringidos na estrutura quatro graus de liberdade os quais dão origem a quatro reações SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 484 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica de apoio incógnitas Sabendo que no caso em análise a estrutura não apresentará deslocamento de corpo rígido se três graus de liberdade forem convenientemente restringidos concluise que para a viga mostrada na Fig 2119 temse grau de indeterminação igual a um Dessa forma a estrutura tornase isostática se uma das restrições aos graus de liberdade atuantes nos apoios for removida Figura 2119 Elemento de barra geral estaticamente indeterminado No decorrer dessas notas serão apresentados dois métodos para a análise de vigas estaticamente indeterminadas Ambos os métodos aplicam os conceitos da linha elástica para a determinação das reações de apoio na estrutura O primeiro deles é denominado método da integração direta e exprime as reações de apoio redundantes nas equações que definem os esforços solicitantes ao longo do comprimento da viga O segundo é denominado método das forças e utiliza o princípio da superposição dos efeitos para a solução do problema 2141 Método da Integração Direta No método da integração direta utilizamse diretamente as expressões apresentadas na Eq2119 as quais deverão ser integradas sucessivamente para a obtenção do valor das reações de apoio redundantes do problema Como as vigas analisadas serão estaticamente indeterminadas as equações que exprimem a variação do momento fletor e do esforço cortante ao longo do comprimento da viga serão escritas em função das reações de apoio redundantes Dessa forma por meio dessa abordagem além das constantes de integração que surgem do processo de integrações sucessivas de uma das Eq2119 deverão ser determinadas também as reações incógnitas envolvidas nas equações do momento fletor e do esforço cortante Apesar da expressão da linha elástica envolver variáveis relacionadas às reações de apoio redundantes às quais a princípio são desconhecidas devese destacar que sempre haverão condições de contorno suficientes para a sua determinação Isso se deve ao fato das reações de apoio redundantes sempre atuarem em pontos onde os SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 485 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica deslocamentos são conhecidos Assim para cada uma das reações de apoio redundantes haverá uma condição de contorno em deslocamento ou rotação que deverá ser empregadas para a sua determinação Essa abordagem é direta e permite a resolução eficiente de diversos problemas de vigas estaticamente indeterminadas comumente encontradas na engenharia de estruturas 2142 Exemplo 8 Determine a expressão da linha elástica para a viga estaticamente indeterminada mostrada na Fig 2120 utilizando o método da integração direta Obtenha também as expressões para suas reações de apoio Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 2120 Viga a ser analisada Com base na Fig 2120 percebese que a viga a ser analisada apresenta grau de indeterminação igual a 1 portanto temse uma reação de apoio redundante Assim a equação que descreverá a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga deverá ser escrita em função da reação de apoio redundante O diagrama de corpo livre da viga mostrada na Fig 2120 é ilustrado na Fig 2121 Figura 2121 Diagrama de corpo livre SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 486 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Considerando o diagrama de corpo livre apresentado na Fig2121 podese escrever a equação do momento fletor como 3 0 0 1 1 0 0 2 3 6 q q x x M R x x M x M x R x x L L Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 podese escrever que 2 2 3 0 1 2 2 1 6 q d v M d v R x x dx EI dx EI L 2160 Integrando a Eq2160 em relação à variável x temse 2 3 2 4 0 0 1 1 1 2 1 1 6 2 24 q q R d v dv dx R x x dx x x C dx EI L dx EI L 2161 Integrando a Eq2161 em relação ao comprimento da viga temse 2 4 3 5 0 0 1 1 1 1 2 1 1 2 24 6 120 q q R R dv dx x x C dx v x x C x C dx EI L EI L 2162 As duas constantes de integração que surgiram do processo de integrações sucessivas 1 C e 2 C e também a reação vertical do apoio móvel 1 R devem ser determinadas com base nas condições de contorno do problema Com base na ilustração mostrada na Fig 2120 observase que a estrutura apresenta as condições de contorno 0 0 0 0 dv v v L dx L 2163 Utilizando a primeira condição de contorno apresentada na Eq2163 obtémse 3 5 0 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 6 120 q R v C C C EI L Aplicando a terceira condição de contorno mostrada na Eq2163 temse 2 4 3 2 0 0 1 1 1 1 1 0 2 24 24 2 dv L q q R R L L C C L L dx EI L 2164 Finalmente utilizando a segunda condição de contorno mostrada na Eq2163 obtémse 3 5 3 2 0 0 1 1 1 1 1 0 6 120 120 6 q q R R v L L L C L C L L EI L 2165 Igualando os resultados obtidos nas Eq2164 e Eq2165 determinase o valor de 1 R Assim SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 487 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 3 2 3 2 2 3 0 0 0 0 1 1 1 1 24 2 120 6 3 30 10 q q q q R R R L L L L L L R L Com base no valor de 1 R calculado acima determinase 1 C Portanto 3 2 3 0 0 0 1 1 1 24 10 2 120 q q q C L L L C L Assim a equação da linha elástica é igual a 3 5 3 3 5 3 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 6 120 120 60 120 120 q q q q q q v L x x L x v Lx x L x EI L EI L Para encerrar o exemplo devese também calcular as expressões para as reações de apoio da estrutura Como a reação redundante da viga foi determinada utilizando a integração direta das Eq2119 as reações de apoio restantes podem ser facilmente obtidas efetuandose o equilíbrio de corpo rígido Utilizando as reações indicadas na Fig 2121 temse 0 0 2 2 0 2 0 0 10 2 5 y q q F L L R R q L 2 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 10 2 3 6 10 15 q q q q q M LL L L M M L L M L 2143 Exemplo 9 Determine a expressão da linha elástica para a viga biengastada mostrada na Fig 2122 utilizando o método da integração direta Obtenha também as expressões para suas reações de apoio Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 2122 Viga a ser analisada A viga ilustrada na Fig2122 apresenta grau de indeterminação igual a 2 Assim com a retirada conveniente de duas restrições ao deslocamento a viga SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 488 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica considerada tornase isostática Pelo fato de possuir grau de indeterminação igual a 2 existem duas reações de apoio redundantes as quais serão determinadas por meio do método da integração direta Assim a equação que descreverá a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga será escrita em função das duas reações de apoio redundantes Para o problema em questão o diagrama de corpo livre é o apresentado na Fig 2123 Figura 2123 Diagrama de corpo livre A equação que descreve a variação do momento fletor atuante ao longo do comprimento da viga pode ser escrita com base no diagrama de corpo livre mostrado na Fig 2123 Dessa forma 2 1 1 1 1 0 0 2 2 x q M R x M qx M x M x R x M x Com base na primeira das equações mostradas na Eq2119 podese escrever que 2 2 2 1 1 2 2 1 2 d v M d v q R x M x dx EI dx EI 2166 Integrando a Eq2166 em relação ao comprimento da viga temse 2 2 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 6 R d v q dv q dx R x M x dx x M x x C dx EI dx EI 2167 Integrando a Eq2167 em relação à x obtémse 2 3 1 1 1 3 2 4 1 1 1 2 1 2 6 1 6 2 24 R dv q dx x M x x C dx dx EI R M q v x x x C x C EI 2168 As duas constantes de integração 1 C e 2 C que surgiram do processo de integrações sucessivas e também as duas reações do apoio A 1 R e 1 M devem ser determinadas com base nas condições de contorno do problema A partir da ilustração SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 489 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica mostrada na Fig 2122 verificase que a viga analisada possui as seguintes condições de contorno 0 0 0 0 0 0 dv dv v v L L dx dx 2169 Por meio da primeira condição de contorno mostrada na Eq2169 obtémse 3 2 4 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 6 2 24 R M q v C C C EI Utilizando a terceira condição de contorno apresentada na Eq2169 temse 2 3 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 2 6 dv R q M C C dx EI Com a segunda condição de contorno mostrada na Eq2169 obtémse 3 2 4 2 1 1 1 1 1 0 6 2 24 3 12 R M R q q v L L L L M L L EI 2170 Finalmente aplicando a última das condições de contorno expressas na Eq2169 obtémse 2 3 2 1 1 1 1 1 0 2 6 2 6 dv L R R q q L M L L M L L dx EI 2171 Igualando os resultados obtidos nas Eq2170 e Eq2171 obtémse 2 2 2 1 1 1 1 3 12 2 6 6 12 2 R R R q q q q L L L L L L R L Com base no valor de 1 R calculado acima determinase a expressão de 1 M Assim 2 2 1 1 1 2 2 6 12 q q q M L L L M L Portanto a equação da linha neutra fica assim definida 3 2 2 4 3 2 2 4 1 1 1 1 2 6 12 2 24 12 24 24 q q q q q q v L x L x x v Lx L x x EI EI Como as duas reações de apoio redundantes foram determinadas anteriormente neste exemplo as demais reações de apoio podem ser facilmente obtidas efetuandose o equilíbrio de corpo rígido da estrutura Assim 2 2 0 0 2 2 y q q F L qL R R L 2 2 2 2 0 0 2 12 2 12 B q q L q M LL L qL M M L SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 490 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2144 Superposição dos Efeitos Método das Forças O método das forças foi utilizado durante os capítulos 14 e 15 para a análise de estruturas compostas por elementos de barra geral estaticamente indeterminados solicitados por esforços axiais e torcionais Este método baseiase no princípio da superposição dos efeitos e na aplicação de condições de compatibilidade de deslocamentos para a determinação das reações de apoio redundantes Por meio desse método a estrutura estaticamente indeterminada é transformada em uma estrutura isostática equivalente Esta transformação é efetuada removendose da estrutura um número de restrições ao deslocamento igual ao seu grau de indeterminação Com base na estrutura isostática equivalente calculamse os deslocamentos provocados pelo carregamento externo atuante nos graus de liberdade redundantes que foram removidos A análise estrutural envolvendo a estrutura isostática equivalente e os carregamentos externos atuantes para a obtenção desses deslocamentos é denominada Problema 0 Em seguida os deslocamentos nos graus de liberdade cujas restrições foram removidas para a obtenção da estrutura isostática equivalente são calculados considerando como carregamentos atuantes cada uma das reações de apoio redundantes retiradas como consequência da transformação da estrutura estaticamente indeterminada em estrutura isostática equivalente Cada reação redundante deve ser aplicada isoladamente à estrutura isostática equivalente e os deslocamentos mencionados devem ser calculados para cada uma delas As análises estruturais envolvendo a estrutura isostática equivalente e cada uma das reações redundantes são denominadas de Problema 1 até Problema n sendo n o número total de reações redundantes removidas Finalmente o problema é resolvido escrevendose condições de compatibilidade de deslocamento para os graus de liberdade removidos no início da análise Para isso utilizase o princípio da superposição dos efeitos Dessa forma os deslocamentos calculados nos Problemas 0 à n para os graus de liberdade removidos na transformação da estrutura estaticamente indeterminada em estrutura isostática equivalente são adicionados Em seguida igualase o resultado dessa adição à zero ou ao valor do deslocamento inicial atuante recalque caso este exista Como as reações de apoio redundantes são determinadas diretamente a partir deste procedimento este método é muitas vezes denominado método das forças SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 491 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Para ilustrar o procedimento descrito anteriormente devese considerar a viga engastada e apoiada mostrada na Fig 2124 Esta viga possui grau de indeterminação igual a 1 ou seja removendose convenientemente uma das restrições ao deslocamento atuantes a estrutura tornase isostática Assim o primeiro passo para a resolução do problema via método das forças é a transformação da estrutura estaticamente indeterminada em uma estrutura isostática equivalente Esta transformação pode ser efetuada removendose a restrição ao deslocamento vertical existente no apoio B Portanto o problema 0 o qual envolve a estrutura isostática equivalente e o carregamento externo atuante é o apresentado na Fig 2125 O objetivo do problema 0 é a determinação do deslocamento devido ao carregamento externo atuante no grau de liberdade cuja restrição foi removida para a obtenção da estrutura isostática equivalente Assim como indicado na Fig 2125 o objetivo do problema 0 e a determinação de 0 B Figura 2124 Viga engastada apoiada Figura 2125 Problema 0 O problema 1 envolverá a estrutura isostática equivalente e a reação de apoio redundante correspondente ao grau de liberdade cuja restrição foi removida para a obtenção da estrutura isostática equivalente Como a restrição ao deslocamento vertical do ponto B foi retirada devese considerar neste ponto a atuação de uma força vertical Assim o problema 1 para o caso em discussão é o apresentado na Fig 2126 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 492 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2126 Problema 1 No problema 1 o objetivo é o cálculo do deslocamento decorrente da ação redundante aplicada atuante no grau de liberdade cuja restrição foi removida para a obtenção da estrutura isostática equivalente Assim como ilustrado na Fig 2126 o objetivo do problema 1 e a determinação de 1 B Com base nas condições de contorno do problema a ser resolvido hiperestático verificase que o deslocamento vertical resultante no ponto B deve ser nulo Isso se deve à existência de um apoio móvel no problema analisado como indicado na Fig 2124 Portanto usando o princípio da superposição dos efeitos a condição de compatibilidade do problema deve ser assim escrita 0 1 0 B B 2172 O termo 0 B depende do carregamento externo atuante e o termo 1 B depende da reação de apoio redundante Assim a resolução da condição de compatibilidade Eq2172 possibilita a determinação da reação de apoio redundante do problema Com essa reação determinada as demais reações de apoio da estrutura poderão ser calculadas a partir das equações de equilíbrio de corpo rígido 2145 Exemplo10 Determine as reações de apoio da viga mostrada na Fig 2127 utilizando o método das forças Assuma que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Com base no ilustrado na Fig 2127 constatase que o grau de indeterminação da estrutura é igual a 1 Dessa forma a estrutura tornase isostática se uma das restrições aos graus de liberdade aplicados for removida No presente exemplo a SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 493 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica estrutura isostática equivalente será formada retirandose a restrição à rotação do apoio A Assim a estrutura isostática equivalente será uma viga biapoiada e a ação redundante a ser considerada no problema 1 é o momento reativo no apoio A Com base nestas informações podese iniciar a resolução dos dois problemas envolvidos na análise Figura 2127 Estrutura a ser analisada Problema 0 O problema 0 envolve a estrutura isostática equivalente e o carregamento externo atuante como ilustrado na Fig 2128 O objetivo deste problema é a determinação da rotação causada pelo carregamento atuante no apoio A Figura 2128 Estrutura isostática equivalente e carregamento externo atuante Problema 0 Efetuando o equilíbrio de corpo rígido da viga mostrada na Fig 2128 obtêm se as reações de apoio Assim 0 0 2 2 B B L qL M A R L qL R 0 0 2 2 y A A qL qL F R qL R A equação da linha elástica será determinada utilizando a primeira das expressões apresentadas na Eq2119 Portanto devese obter uma equação que expresse a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga Com base nas reações de apoio obtidas anteriormente podese escrever que SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 494 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 0 0 2 2 2 2 qL x qL q M x qx M x M x x x Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 temse 2 2 2 2 2 1 2 2 d v M d v qL q x x dx EI dx EI 2173 Integrando a Eq2173 em relação à variável x obtémse 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 4 6 d v qL q dv qL q dx x x dx x x C dx EI dx EI 2174 Integrando a Eq2174 em relação ao comprimento da viga temse 2 3 3 4 1 1 2 1 1 4 6 12 24 dv qL q qL q dx x x C dx v x x C x C dx EI EI 2175 As duas constantes de integração que surgiram do processo de integrações sucessivas 1 C e 2 C devem ser determinadas com base nas condições de contorno do problema Com base na ilustração mostrada na Fig 2128 observase que a estrutura apresenta as seguintes condições de contorno 0 0 0 v v L 2176 Com base na primeira condição de contorno apresentada na Eq2176 obtém se 3 4 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 12 24 qL q v C C C EI Aplicando a segunda condição de contorno mostrada na Eq2176 temse 3 3 4 1 1 1 0 12 24 24 qL q qL v L L L C L C EI Dessa forma com as constantes de integração determinadas as equações que descrevem o deslocamento e a rotação dos pontos que compõem a viga mostrada na Fig 2128 são as seguintes 3 3 4 3 2 3 1 12 24 24 1 4 6 24 qL q qL v x x x EI dv qL q qL x x dx EI 2177 A partir das expressões mostradas na Eq2177 podese determinar a rotação no apoio A ou seja em x 0 Assim SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 495 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 3 3 2 3 10 10 0 1 0 0 4 6 24 24 dv qL q qL qL dx EI EI Problema 1 O problema 1 é formado pela estrutura isostática equivalente e pela aplicação da reação de apoio redundante correspondente à restrição ao deslocamento removida Portanto para o caso em estudo este problema é o ilustrado na Fig 2129 Figura 2129 Estrutura isostática equivalente e momento reativo no apoio A Problema 1 Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido à viga mostrada na Fig 2129 obtémse 0 0 B B M M A R L M R L 0 0 y A A M M F R R L L Por meio da primeira das expressões apresentadas na Eq2119 obtémse a equação da linha elástica da viga Com base nesta expressão devese obter uma equação que descreva a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga Com base nas reações de apoio determinadas anteriormente podese escrever que 0 0 M M M x M M x M x x M L L Com base na primeira das equações mostradas na Eq2119 temse 2 2 2 2 1 d v M d v M x M dx EI dx EI L 2178 Integrando a Eq2178 em relação ao comprimento da viga temse 2 2 1 2 1 1 2 d v M dv M dx x M dx x Mx C dx EI L dx EI L 2179 Integrando a Eq2179 em relação à variável x obtémse 2 3 2 1 1 2 1 1 2 6 2 dv M M M dx x Mx C dx v x x C x C dx EI L EI L 2180 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 496 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Com base nas condições de contorno do problema determinamse as constantes de integração 1 C e 2 C Para o problema em estudo como mostrado na Fig 2129 as condições de contorno são as seguintes 0 0 0 v v L 2181 Utilizando a primeira condição de contorno apresentada na Eq2181 obtémse 3 2 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 6 2 M M v C C C EI L Aplicando a segunda condição de contorno mostrada na Eq2181 temse 3 2 1 1 1 0 6 2 3 M M ML v L L L C L C EI L Assim com base nas constantes de integração determinadas anteriormente podese escrever as equações do deslocamento e da rotação dos pontos que compõem a viga mostrada na Fig 2129 da seguinte maneira 3 2 2 1 6 2 3 1 2 3 M M ML v x x x EI L dv M ML x Mx dx EI L 2182 Com base nas expressões mostradas na Eq2182 podese determinar a rotação no apoio A Nesse ponto temse x 0 Portanto 2 11 11 0 1 0 0 2 3 3 dv M ML ML M dx EI L EI Com os valores das rotações dos problemas 0 e 1 determinadas podese escrever a condição de compatibilidade do problema Sabendo que o apoio A não sofre recalque de nenhuma natureza temse 3 2 10 11 0 0 24 3 8 qL ML qL M EI EI 2183 Assim com a reação de apoio redundante determinada as demais reações de apoio podem ser calculadas aplicandose as equações de equilíbrio de corpo rígido Com base no resultado apresentado na Eq2183 temse que o diagrama de corpo livre da viga mostrada na Fig 2127 assume a forma apresentada na Fig 2130 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 497 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2130 Diagrama de corpo livre Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido obtémse 2 2 5 0 0 8 2 8 A A qL qL qL M B R L R 5 3 0 0 8 8 y B A qL qL F R qL R 2146 Exemplo 11 Determine as reações de apoio para a viga biengastada apresentada na Fig 2131 por meio do método das forças Assuma que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 2131 Viga a ser analisada A viga a ser analisada possui grau de indeterminação igual a 2 conforme ilustrado na Fig 2131 Assim a estrutura tornase isostática com a remoção conveniente de duas das restrições aos graus de liberdade da viga inicialmente aplicados Neste exemplo a estrutura isostática equivalente será formada removendose as restrições ao deslocamento e à rotação do apoio B Portanto a estrutura isostática equivalente será uma viga engastada em balanço e as ações redundantes a serem consideradas nos problemas 1 e 2 são a reação vertical e o momento reativo no apoio B SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 498 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica A partir dessas informações podese iniciar a resolução dos três problemas que compõem esta análise Problema 0 O problema 0 envolve a estrutura isostática equivalente e o carregamento externo atuante como ilustrado na Fig 2132 O objetivo deste problema é a determinação do deslocamento e da rotação causados pelo carregamento atuante no apoio B onde as restrições aos graus de liberdade foram removidas Figura 2132 Problema 0 Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido à viga mostrada na Fig 2132 obtêmse as expressões para suas reações de apoio Assim 2 0 0 2 2 L qL M A M qL M 0 0 y A A F R qL R qL Com base nas reações de apoio determinadas podese escrever uma equação que expresse a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga Dessa forma 2 2 2 0 0 2 2 2 2 qL x qL q M qLx qx M x M x qLx x Utilizando a primeira das expressões apresentadas na Eq2119 a qual permite a determinação da linha elástica da viga podese escrever que 2 2 2 2 2 2 1 2 2 d v M d v qL q qLx x dx EI dx EI 2184 Integrando a Eq2184 em relação ao comprimento da viga obtémse 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 2 2 6 d v qL q dv qL qL q dx qLx x dx x x x C dx EI dx EI 2185 Integrando a Eq2185 em relação à variável x temse SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 499 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 2 3 1 2 3 2 4 1 2 1 2 2 6 1 6 4 24 dv qL qL q dx x x x C dx dx EI qL qL q v x x x C x C EI 2186 As constantes de integração apresentadas na Eq2186 1 C e 2 C são determinadas utilizandose as condições de contorno do problema Com base no apresentado na Fig 2132 verificase que o problema em estudo apresenta as seguintes condições de contorno 0 0 0 0 dv v dx 2187 Com base na primeira condição de contorno apresentada na Eq2187 obtém se 2 3 2 4 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 6 4 24 qL qL q v C C C EI Aplicando a segunda condição de contorno mostrada na Eq2187 temse 2 2 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 2 2 6 dv qL qL q C C dx EI Portanto com os valores das constantes de integração determinadas as equações que descrevem os deslocamentos e as rotações dos pontos que compõem a viga mostrada na Fig 2132 podem ser escritas como 2 3 2 4 2 2 3 1 6 4 24 1 2 2 6 qL qL q v x x x EI dv qL qL q x x x dx EI 2188 Com base nas expressões mostradas na Eq2188 podese determinar o deslocamento e a rotação no apoio B Nesse ponto temse x L Portanto 2 4 3 2 4 10 10 1 6 4 24 8 qL qL q qL v L L L L EI EI 2 3 2 3 20 20 1 2 2 6 6 dv L qL qL q qL L L L dx EI EI Problema 1 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 500 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica O problema 1 é formado pela estrutura isostática equivalente e pela aplicação de uma das reações de apoio redundantes correspondentes às restrições ao deslocamento removidas Neste problema a reação de apoio redundante a ser aplicada é a reação vertical do ponto B Dessa forma no problema 1 a estrutura a ser analisada é a apresentada na Fig 2133 Figura 2133 Problema 1 Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido à viga mostrada na Fig 2133 determinamse suas reações de apoio as quais são iguais a 0 0 B B M A R L M M R L 0 0 y A B A B F R R R R A equação da linha elástica será determinada utilizandose a primeira das expressões apresentadas na Eq2119 Assim para a utilização dessa expressão deve se obter uma equação que represente a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga Com base nas reações de apoio obtidas anteriormente podese escrever que 0 0 B B B B M R x R L M x M x R L R x Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 temse 2 2 2 2 1 B B d v M d v R L R x dx EI dx EI 2189 Integrando a Eq2189 em relação à variável x obtémse 2 2 1 2 1 1 2 B B B B R d v dv dx R L R x dx R Lx x C dx EI dx EI 2190 Integrando a Eq2190 em relação ao comprimento da viga temse 2 2 3 1 1 2 1 1 2 2 6 B B B B R R L R dv dx R Lx x C dx v x x C x C dx EI EI 2191 As duas constantes de integração 1 C e 2 C que surgiram do processo de integrações sucessivas devem ser determinadas a partir das condições de contorno do problema Com base na viga apresentada na Fig 2133 constatase que a estrutura apresenta as seguintes condições de contorno SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 501 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 0 0 0 0 dv v dx 2192 Utilizando a primeira condição de contorno apresentada na Eq2192 temse 2 3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2 6 B B R L R v C C C EI Por meio da segunda condição de contorno mostrada na Eq2192 obtémse 2 1 1 0 1 0 0 0 0 2 B B dv R R L C C dx EI Portanto com as constantes de integração determinadas anteriormente as equações que descrevem o deslocamento e a rotação dos pontos que compõem a viga mostrada na Fig 2133 podem ser escritas como 2 3 2 1 2 6 1 2 B B B B R L R v x x EI R dv R Lx x dx EI 2193 Utilizando as expressões mostradas na Eq2193 determinamse o deslocamento e a rotação no ponto B Sabendo que nesse ponto x L temse 3 2 3 11 11 1 2 6 3 B B B R L R R L v L L L EI EI 2 2 21 21 1 2 2 B B B dv L R R L R LL L dx EI EI Problema 2 No problema 2 a viga a ser analisada é a formada pela estrutura isostática equivalente e pela aplicação de uma das reações de apoio redundantes correspondentes às restrições ao deslocamento removidas Como a reação vertical do ponto B foi considerada no problema 1 no problema 2 a ação redundante a ser aplicada é o momento reativo do ponto B Dessa forma neste problema a estrutura a ser analisada é a apresentada na Fig 2134 Figura 2134 Problema 2 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 502 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Com base na aplicação das equações de equilíbrio de corpo rígido à viga mostrada na Fig 2134 verificase que suas reações de apoio são iguais a 0 0 B B M A M M M M 0 0 0 0 y A A F R R Com as reações de apoio determinadas podese escrever uma equação que represente a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga Esta equação será utilizada juntamente com a primeira das expressões apresentadas na Eq2119 para a determinação da equação da linha elástica da viga mostrada na Fig 2134 Assim 0 0 B B M M M x M x M Com base na primeira das equações mostradas na Eq2119 temse 2 2 2 2 1 B d v M d v M dx EI dx EI 2194 Integrando a Eq2194 em relação à variável x obtémse 2 1 2 1 1 B B d v dv dx M dx M x C dx EI dx EI 2195 Integrando a Eq2195 em relação ao comprimento da viga temse 2 1 1 2 1 1 2 B B M dv dx M x C dx v x C x C dx EI EI 2196 As duas constantes de integração 1 C e 2 C apresentadas na Eq2196 são determinadas a partir das condições de contorno do problema Com base na viga ilustrada na Fig 2134 verificase que esta possui as seguintes condições de contorno 0 0 0 0 dv v dx 2197 Com base na primeira condição de contorno apresentada na Eq2197 temse 2 1 2 2 1 0 0 0 0 0 2 M B v C C C EI Utilizando a segunda condição de contorno mostrada na Eq2197 obtémse 1 1 0 1 0 0 0 B dv M C C dx EI SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 503 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Dessa forma com os valores das constantes de integração determinados anteriormente as equações que descrevem o deslocamento e a rotação dos pontos que compõem a viga mostrada na Fig 2134 ficam definidas como 2 1 2 1 B B M v x EI dv M x dx EI 2198 O deslocamento e a rotação no ponto B da viga mostrada na Fig 2134 podem ser determinados utilizando as expressões mostradas na Eq2198 Sabendo que no ponto B a coordenada x é igual a L temse 2 2 12 12 1 2 2 B B M M L v L L EI EI 22 22 1 B B dv L M L M L dx EI EI Com os valores dos deslocamentos e rotações determinados nos problemas 0 1 e 2 as condições de compatibilidade do problema podem ser escritas Sabendo que o apoio B não sofre recalque de nenhuma natureza podese escrever que 3 2 4 2 01 11 12 2 2 3 10 21 22 2 0 0 0 8 3 2 4 3 0 0 0 6 2 6 2 B B B B B B B B R L M L R L qL qL M EI EI EI R L R L M L qL qL M EI EI EI 2199 As duas equações mostradas na Eq2199 podem ser organizadas e resolvidas de forma matricial Assim 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 12 6 B B B B qL L qL R R M M L qL qL 21100 Assim com as reações de apoio redundantes determinadas as demais reações de apoio podem ser calculadas aplicandose as equações de equilíbrio de corpo rígido Com base no resultado apresentado na Eq21100 temse que o diagrama de corpo livre da viga mostrada na Fig 2131 assume a forma apresentada na Fig 2135 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 504 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2135 Diagrama de corpo livre Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido à viga mostrada na Fig 2135 determinamse as reações de apoio restantes Dessa forma 2 2 0 0 12 2 2 12 A A qL qL L qL M A L qL M M 0 0 2 2 y A A qL qL F qL R R 2147 Exemplo 12 Determine o esforço normal atuante na barra BC a qual pertence ao sistema estrutural mostrado na Fig 2136 via método das forças Assuma que o módulo de elasticidade longitudinal da viga e da treliça sejam iguais a E1 e E2 respectivamente Além disso considere que o produto E1I seja constante para toda a extensão da viga e o produto E2A seja constante para toda a extensão do elemento de treliça O sistema estrutural apresentado na Fig 2136 envolve dois tipos de elementos A barra AB é constituída por um elemento de barra geral viga enquanto a barra BC é formada por um elemento de barra simples treliça Dessa forma por envolver elementos estruturais distintos o sistema mostrado na Fig 2136 é normalmente denominado de sistema estrutural misto No problema em questão a condição de compatibilidade deve ser escrita para o ponto B onde o deslocamento da viga e da treliça deve ser igual para que exista a continuidade do sistema estrutural Como a compatibilidade de deslocamento deve ser escrita para apenas um grau de liberdade verificase que o grau de redundância da estrutura é igual a 1 Portanto a estrutura isostática equivalente será obtida removendo se a restrição a um dos graus de liberdade da estrutura SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 505 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2136 Estrutura a ser analisada No problema em questão a restrição ao deslocamento do nó B será removida para a obtenção da estrutura isostática equivalente Dessa forma a estrutura isostática equivalente será composta por uma viga engastada Problema 0 O problema 0 envolve a estrutura isostática equivalente e o carregamento externo atuante como ilustrado na Fig 2137 O objetivo deste problema é a determinação do deslocamento do ponto B onde a condição de compatibilidade deverá ser escrita Figura 2137 Problema 0 Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido à viga mostrada na Fig 2137 obtêmse as expressões para suas reações de apoio Dessa forma 2 0 0 2 2 B B L qL M A qL M M 0 0 y A A F R qL R qL Com base nas reações de apoio da estrutura podese escrever uma equação que represente a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga Para a viga mostrada na Fig 2137 esta expressão é dada por SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 506 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 2 2 0 0 2 2 2 2 qL x qL q M qLx qx M x M x qLx x Utilizando a primeira das expressões apresentadas na Eq2119 a qual permite a determinação da linha elástica da viga podese escrever que 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 d v M d v qL q qLx x dx E I dx E I 21101 Integrando a Eq21101 em relação ao comprimento da viga obtémse 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 6 d v qL q dv qL qL q dx qLx x dx x x x C dx E I dx E I 21102 Integrando a Eq21102 em relação à variável x temse 2 2 3 1 1 2 3 2 4 1 2 1 1 2 2 6 1 6 4 24 dv qL qL q dx x x x C dx dx E I qL qL q v x x x C x C E I 21103 As constantes de integração apresentadas na Eq21103 1 C e 2 C são determinadas com base nas condições de contorno do problema Conforme apresentado na Fig 2137 verificase que o problema em estudo apresenta as seguintes condições de contorno 0 0 0 0 dv v dx 21104 Com base na primeira condição de contorno apresentada na Eq21104 temse 2 3 2 4 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 6 4 24 qL qL q v C C C E I Aplicando a segunda condição de contorno mostrada na Eq21104 obtémse 2 2 3 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 2 2 6 dv qL qL q C C dx E I Portanto com os valores das constantes de integração determinadas as equações que descrevem os deslocamentos e as rotações dos pontos que compõem a viga mostrada na Fig 2137 podem ser escritas como 2 3 2 4 1 2 2 3 1 1 6 4 24 1 2 2 6 qL qL q v x x x E I dv qL qL q x x x dx E I 21105 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 507 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Com base nas expressões mostradas na Eq21105 podese determinar o deslocamento no ponto B Sabendo que nesse ponto x L temse 2 4 3 2 4 10 10 1 1 1 6 4 24 8 qL qL q qL v L L L L E I E I Problema 1 O problema 1 é formado pela estrutura isostática equivalente e pela aplicação da força redundante correspondente à restrição ao deslocamento removida Neste problema a reação redundante a ser aplicada é uma força vertical no ponto B referente à restrição que a barra BC efetua sobre o deslocamento no ponto B Dessa forma no problema 1 a estrutura a ser analisada é a apresentada na Fig 2138 Figura 2138 Problema 1 Aplicando as equações de equilíbrio de corpo rígido à viga mostrada na Fig 2138 determinamse suas reações de apoio as quais são iguais a 0 0 M A FL M M FL 0 0 y A A F R F R F A equação da linha elástica será determinada utilizandose a primeira das expressões apresentadas na Eq2119 Assim para a utilização dessa expressão deve se obter uma equação que represente a variação do momento fletor ao longo do comprimento da viga Com base nas reações de apoio obtidas anteriormente podese escrever que 0 0 M Fx FL M x M x Fx FL Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 temse 2 2 2 2 1 1 1 d v M d v Fx FL dx E I dx E I 21106 Integrando a Eq21106 em relação à variável x obtémse 2 2 1 2 1 1 1 1 2 d v dv F dx Fx FL dx x FLx C dx E I dx E I 21107 Integrando a Eq21107 em relação ao comprimento da viga temse SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 508 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 2 3 2 1 1 2 1 1 1 1 2 6 2 dv F F FL dx x FLx C dx v x x C x C dx E I E I 21108 As duas constantes de integração 1 C e 2 C que surgiram do processo de integrações sucessivas devem ser determinadas considerando as condições de contorno do problema Com base na viga apresentada na Fig 2138 constatase que a estrutura apresenta as seguintes condições de contorno 0 0 0 0 dv v dx 21109 Utilizando a primeira condição de contorno apresentada na Eq21109 temse 3 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 6 2 F FL v C C C E I Por meio da segunda condição de contorno mostrada na Eq21109 obtémse 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 dv F FL C C dx E I Portanto com as constantes de integração determinadas anteriormente as equações que descrevem o deslocamento e a rotação dos pontos que compõem a viga mostrada na Fig 2138 podem ser escritas como 3 2 1 2 1 1 6 2 1 2 F FL v x x E I dv F x FLx dx E I 21110 Utilizando as expressões mostradas na Eq21110 determinase o deslocamento no ponto B Sabendo que nesse ponto x L temse 3 3 2 11 11 1 1 1 6 2 3 F FL FL v L L L E I E I Para que a condição de compatibilidade de deslocamento possa ser escrita deve se também determinar o deslocamento da barra BC no ponto B ocasionado pela força F Verificase que o sentido da força F a ser considerado para que esta esteja em coerência com o aplicado no problema 1 é o mostrado na Fig 2139 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 509 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Figura 2139 Deslocamento barra treliça A determinação do deslocamento de barras axialmente carregadas foi estudada no capítulo 14 Conforme apresentado naquela oportunidade o deslocamento em questão pode ser calculado como 1 2 T T B B FL NL EA E A O deslocamento T B calculado acima indica um encurtamento na barra de treliça Dessa forma concluise que o deslocamento do ponto B considerando a atuação da força F na barra de treliça ocorre no sentido positivo do eixo y Portanto para a aplicação da condição de compatibilidade de deslocamento devese considerar que os deslocamentos do ponto B atuantes no sentido negativo do eixo y são negativos e os deslocamentos atuantes no sentido positivo do eixo y são positivos Dessa forma com base nos deslocamentos calculados no problema 0 problema 1 e no deslocamento da barra de treliça podese escrever que 10 11 T B 21111 Considerando o sentido de atuação de cada um dos deslocamentos mostrados na Eq21111 temse 4 4 3 3 4 1 1 1 3 1 1 2 1 2 1 1 1 2 8 8 3 3 8 3 qL FL L E I qL FL L qL F F E I E I E A E I E A E I L L E I E A 21112 O sinal negativo da Eq21112 indica que o sentido inicialmente arbitrado para a força F é errôneo Esta força foi assumida como sendo de compressão nessa análise como mostrado na Fig 2139 Porém para o sentido do carregamento q atuante constatase que o sentido correto da força F será de tração SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 510 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica 215 Efeitos de Temperatura Durante o capítulo 14 foram estudados os efeitos mecânicos causados em elementos de barra simples por uma variação uniforme de temperatura Nessa situação a barra tem seu comprimento aumentado dilatação com uma variação positiva de temperatura e diminuído contração com uma variação negativa de temperatura Deve se mencionar que se o deslocamento longitudinal mobilizado pela variação de temperatura não for impedido nenhuma tensão extra é gerada na barra Quando um elemento de barra geral está submetido a uma variação diferencial não uniforme de temperatura estando a parte superior da barra sujeita a uma temperatura 1T e a face inferior a uma temperatura 2 T será observada uma curvatura na barra e consequentemente uma flexão Fig 2140 Para compreender as deflexões devidas à variação diferencial de temperatura devese considerar um elemento de comprimento dx isolado de uma barra sujeita a uma variação diferencial de temperatura Fig 2140 As mudanças no comprimento do elemento em sua base e topo são respectivamente iguais a 2 0 1 0 T T dx T T dx 21113 sendo 0 T a temperatura de referência onde a barra foi construída e o coeficiente linear de expansão térmica Figura 2140 Deslocamentos devido à variação diferencial de temperatura SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 511 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Assumindo que 2 1 T T os lados do elemento vão rotacionar um em relação ao outro por meio de um ângulo d O ângulo d relacionase às mudanças na dimensão do elemento pela seguinte equação 2 1 2 0 1 0 T T d hd T T dx T T dx dx h 21114 sendo h a altura da seção transversal da barra Como mostrado na Eq218 d dx é igual à curvatura da barra Uma vez que a curvatura é também igual a 2 2 d v dx podese escrever a seguinte equação da linha elástica para o caso de efeitos diferenciais de temperatura 2 2 1 2 T T d v dx h 21115 Se 2 1 T T a barra possuirá uma curvatura positiva ou seja será côncava para cima A parcela 2 1 T T h é a parte complementar de M EI a qual foi extensivamente estudada neste capítulo A Eq21115 é resolvida por meio de um processo de integrações sucessivas onde utilizamse as condições de contorno do problema para a determinação das constantes de integração 2151 Exemplo 13 Determine a expressão da linha elástica para a viga mostrada na Fig 2141 Sabese que nessa viga cuja altura da seção transversal é h além do carregamento uniformemente distribuído atua também uma variação diferencial de temperatura Na face inferior da barra uma variação de temperatura igual a 20 é observada enquanto na face superior uma variação de 20 é verificada Considere que o produto EI seja constante para toda a extensão da viga Figura 2141 Viga a ser analisada SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 512 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Para a solução deste exemplo devese determinar a expressão que relaciona o momento fletor atuante ao sistema de coordenadas posicionado no apoio A Para isso devese inicialmente calcular as reações de apoio Devido à simetria da estrutura e assumindo que as reações estão orientadas no sentido de y positivo verificase facilmente que estas reações são iguais a 2 A B qL R R Assim para uma seção genérica distante de x do apoio A como ilustrado na Fig 2142 podese expressar o momento fletor efetuandose o equilíbrio de corpo rígido Portanto Figura 2142 Determinação da equação do momento fletor 2 0 0 2 2 2 2 qL x qL q M x qx M x M x x x Utilizando a primeira das equações mostradas na Eq2119 acoplada aos efeitos térmicos Eq21115 temse 2 2 2 1 2 2 2 1 40 2 2 T T d v M d v qL q x x dx EI h dx EI h 21116 Integrando a Eq21116 em relação ao comprimento da viga obtémse 2 2 2 3 1 2 1 40 1 40 2 2 4 6 d v qL q dv qL q dx x x dx x x x C dx EI h dx EI h 21117 Integrando a Eq2123 em relação ao comprimento da viga temse 2 3 1 3 4 2 1 2 1 40 4 6 1 40 12 24 2 dv qL q dx x x x C dx dx EI h qL q v x x x C x C EI h 21118 SET 0183 Mecânica dos Sólidos I 513 Capítulo 21 Deslocamentos em Vigas Linha Elástica Para que as constantes de integração 1 C e 2 C sejam determinadas devese aplicar as condições de contorno do problema As duas constantes de integração são determinadas utilizandose duas condições de contorno do problema Assim sabese que 0 0 0 v A v v B v L Com a primeira das condições de contorno obtémse 3 4 2 1 2 2 1 40 0 0 0 0 0 0 0 0 12 24 2 qL q v A v C C C EI h Já a aplicação da segunda delas resulta em 3 4 2 1 3 1 1 40 0 0 12 24 2 1 20 24 qL q v B v L L L L C L EI h qL L C EI h Dessa forma a expressão do deslocamento da viga fica assim escrita 3 3 4 2 1 40 1 20 12 24 2 24 qL q qL L v x x x x EI h EI h 21119 As rotações são calculadas com base na primeira derivada da Eq21119 Assim a expressão que relaciona as rotações de todos os pontos da viga é a seguinte 3 2 3 1 40 1 20 4 6 24 dv qL q qL L x x x dx EI h EI h 21120 Como verificação final ao leitor o autor sugere que sejam comparadas as respostas obtidas nas Eq21119 e Eq21120 com os resultados apresentados nas Eq2125 e Eq2126