Questões Resolvidas - Probabilidade 2022 2

1) A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8,7; 2,6). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 9,1 ppm? a) 0,4489 b) 0,664 c) 0,402 d) 0,3497 e) 0,6763 2) Um certo componente é fundamental para o funcionamento de um sistema elétrico e deve ser trocado assim que para de funcionar. Se o tempo médio de vida de cada componente é de 60 horas e o desvio padrão desse tempo é de 13 horas, quantos componentes devem ser estocados para garantir, com pelo menos 0,943 de probabilidade, que o sistema funcione pelas próximas 1082 horas? a) 18 b) 14 c) 19 d) 17 e) 20 5) A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(13,3; 1,2). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 14,4 ppm? a) 0,9311 b) 0,995 c) 0,2275 d) 0,1577 e) 0,9577 6) O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 20,03 pol. e desvio padrão 0,22 pol. Se as especificações para esse eixo são 19,74 ± 0,87 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações. a) 99,58% b) 75,5% c) 72,46% d) 75,16% e) 27,64% 7) Uma pessoa tem uma sala com uma lâmpada para iluminação e tem 95 lâmpadas de estoque (contando com a a atual sendo utilizada) para que quando uma queimar, ele imediatamente substituir por outra. Os tempos de vida das lâmpadas podem ser considerados variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com 4 horas de média. Se desprezarmos o tempo de troca das lâmpadas, qual a probabilidade (aproximada) de ainda existir uma lâmpada funcionando depois de 349 horas? a) 0,8818 b) 0,2776 c) 0,7867 d) 0,3604 e) 0,1487 8) Um certo componente é fundamental para o funcionamento de um sistema elétrico e deve ser trocado assim que para de funcionar. Se o tempo médio de vida de cada componente é de 97 horas e o desvio padrão desse tempo é de 12 horas, quantos componentes devem ser estocados para garantir, com pelo menos 0,94 de probabilidade, que o sistema funcione pelas próximas 2370 horas? a) 30 b) 24 c) 33 d) 32 e) 26 5) N(13,3;1,2) X > 14,4 ppm P(x > 14,4) = P(Z > \frac{14,4 - 13,3}{1,2}) = P(Z > 0,9167) = 1 - P(Z <= 0,9167) = 1 - 0,8423 = 0,1577 6) \overline{x} = 20,03 pol \sigma = 0,22 pol 19,74 \pm 0,87 pol P(18,87 < x < 20,61) = P(-5,27 < z < 2,64) = P(-5,27) - P(2,64) = 0 - 0,9958 = 99,58% 7) \lambda = \frac{1}{4}, 0,95 = \frac{95}{4} P = 1 - F(349) = 1 - e^{-349.\frac{95}{4}} = 0,8818 a) 0,8818 8) \bar{t} = 97 horas \sigma = 12 horas P\{\sum x_i > 2370\} = 0,94 \frac{2370 - 97m}{12\sqrt{m}} = -1,55 97m - 2370 - 18,6\sqrt{m} = 0 \Rightarrow m = 25,4 \approx 26 e) 26 1) N(8,7; 2,6) X > 9,1 ppm P(x > 9,1) = P(Z > \frac{9,1 - 8,7}{2,6}) = P(Z > 0,15) = 1 - P(Z \le 0,15) = 1 - 0,5511 = 0,4489 2) \bar{t} = 60 horas \sigma = 13 horas P = 0,943 Var(x) = \sigma^2 = 13^2 = 169 P\{\sum x_i \ge 1082\} = P\left(\frac{\sum x_i - 60m}{\sqrt{m.169}} \ge \frac{1082 - 60m}{\sqrt{169.m}}\right) P\{\sum x_i \ge 1082\} = 0,943 \frac{1082 - 60m}{\sqrt{169m}} = -1,58 \frac{60m - 1082}{13\sqrt{m}} = 1,58 60m - 1082 = 1,58.13\sqrt{m} 60m - 20,54\sqrt{m} - 1082 = 0 n = 19,547 \approx 20 e) 20 3) m = 116 \lambda = \frac{1}{4}.116 = 29 P = 1 - F(396) = 1 - e^{-396.29} = 0,9699 4) > 488 134 vezes 134.3,5 = 469 Variança = 134.2,92 = 391,28 N(469; 391,28) = 1 - \Phi\left(\frac{488,5-469}{\sqrt{391,28}}\right) = 1 - \Phi(0,9888) = 0,6855 b) 0,6855 9.) t = 3 meses Tipo A (13,2²) L = 1200 P = 1700 Tipo B (7,6²) L = 1100 P = 3000 30 A e 200 B PRA = P(XA < 3) = P(z < -5) = 0 PRB = P(XB < 3) = P(z < -0,667) = 0,2514 PNRA = 1 - 0 = 1 PNRB = 1 - 0,2514 = 0,7486 Lucro médio de A = 1200 . 1 - 0 . 1700 = 1200 30 . 1200 = R$ 36000,00 Lucro médio de B = 1100 . 0,7486 - 3000 . 0,2514 = 69,26 x 200 = R$ 12950 R$ 36000 + R$ 12950 = R$ 48.950,00 (A) 10) > 252 81 vezes 81 . 3,5 = 283,5 Variância = 81 . 2,92 = 236,52 N(283,5; 236,52) P = 1 - 𝚽(252,5 - 283,5/√236,52) = 1 - 𝚽(-2,02) = 1 - 0,9783 P = 0,0337 (C) 11) t = 3 meses Tipo A (10,2²) L = 1000 P = 2500 Tipo B (9,3²) L = 2400 P = 2800 70 A e 130 B PRA(P XA < 3) = P (z < -3,5) = 0 PRB(PXB < 3) = P(z < -2) = 0,0183 PNRA = 1 - 0 = 1 PNRB = 1 - 0,0183 = 0,9817 Lucro médio A = 1000 . 1 - 0 . 2500 = R$ 1000 R$ 1000 . 70 = R$ 70000,00 Lucro médio B = 2400 . 0,9817 - 0,0183 . 2800 = 2304,84 R$ 2304,84 . 130 = R$ 299629,20 R$ 299629,20 + R$ 70000,00 = 369538,20 12) x̄ = 24,29 pol s² = 0,46 pol 23,29 ± 1 pol P(22,18 < x < 24,40) = P(-4,59 < z < 0,24) = P(-4,59) - P(0,24) = 0,5 + 0,0945 = 0,5945 = 59,45% (A)