Cálculo de Exercícios de Derivadas

Todas as respostas devem ser justificadas e o cálculo é parte crucial da resolução Nome completo Turmas IME 0109297 e IME 0104827 Nota 10 Questão 1 1 ponto cada item Diga se os limites existem justificando Caso existam diga qual o seu valor 1 lim x 0 sen9x ex 1 2 lim x π2 arctanx1x Questão 2 1 pontos Ao meio dia o barco A está a 64km a oeste do barco B O barco A navega para o leste a 20kmh e o barco B navega para o norte a 25kmh Às 13h e 12min a distância entre os dois barcos estará aumentando ou diminuindo À que taxa Questão 3 1 ponto cada item Considere a função f dada por fx x 5 x² 2x 1 i Determine o domínio da função e as intersecção com os eixos x e y se houver ii Determine os Intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos iii Determine os intervalos em que a função é concava para cima e concava para baixo e possíveis pontos de inflexão iv Determine as assíntotas horizontais as assíntotas verticais e as assíntotas inclinadas caso existam v Esboce o gráfico Questão 4 2 pontos Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000cm³ O material da tampa e da base vai custar R 300 por centímetro quadrado e o material para os lados R 150 por centímetro quadrado Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mínimo Boa Avaliação Questão 1 1 lim x0 sen9x ex 1 Note que quando x tende a zero sen9x tende a sen90 sen0 0 e ex 1 tende a e0 1 0 Deste modo picamos com uma indeterminação do tipo 00 de modo que podemos usar a regra de lHôpital lim x0 sen9x ex 1 lim x0 sen9x ex 1 lim x0 9cos9x ex 9cos90 e0 91 1 9 Logo o limite existe e é igual a 9 2 lim x π2 arctanx1x Note que quando x tende a arctanx tende a π2 e 1x tende a 0 Ou seja temos uma indeterminação do tipo 00 Vamos usar a expansão assintótica de arctanx para x suficientemente grandes daí temos que arctanx π2 1x 13x³ Daí quando x π2 arctanx 1x 1 Agora supomos que lim x π2 arctanx1x exista e seja L Então L lim x π2 arctanx1x ln L lim x ln π2 arctanx1x ln L lim x 1x lnπ2 arctanx ln L lim x 1x ln1x ln L lim x 1x ln1 lnx ln L lim x lnx x Digitalizado com CamScanner Daí com ln x x é uma indeterminação do tipo quando x podemos usar a regra de lHôpital ln L 1 lim x ln x x ln L 1 lim x 1 x ln L 10 ln L 0 e0 L L 1 Logo o limite existe e é igual a 1 Questão 2 Vamos supor que o barca B está na origem de um plano cartesiano e navegará sobre o eixo y enquanto o barco A está sobre o eixo x Daí temos a seguinte situação Agora como o barco A navega a 20 Kmh para o leste sua posição sobre o eixo x é dada por xt 64 20 t Já o barco B navega a 25 Kmh para o norte de modo que sua posição sobre o eixo y é dada por yt 25 t A distância entre os barcos em função do tempo zt é dada por pitágoras zt2 xt2 yt2 1 Derivando 1 em relação a t ficamos com 2zt dzdt 2xt dxdt 2 yt dydt zt dzdt xt dxdt yt dydt 2 Para t 12 horas temos que z122 64 20122 25122 z122 1600 900 z122 2500 z12 2500 z12 50 Digitalizado com CamScanner Como dxdt 20 Kmh e dydt 25 Kmh a equação 2 para t32 horas fica 50dxdt 4020 3025 dxdt 5050 dxdt 1 Kmh No instante t0 a distância entre os dois barcos era de 64 km No instante t32 horas a distância entre eles era de 50 km Logo a distância entre eles está diminuindo a uma taxa de 3 Kmh 3 Note que x² 2x 1 x 1² Daí fx x 5x 1² A função f está definida para todo x real que não zer o denominador ou seja x 1² 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 e x 1 0 logo Df R1 Para encontrarmos a interseção com o eixo x fazemos o numerador ser igual a zero x 5 0 x 5 f intercepta o eixo x no ponto 50 Para encontrar a interseção com o eixo y calculamos f0 f0 0 50 1² f0 5 f intercepta o eixo y no ponto 05 11 Vamos derivar fx para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento Usando a regra do quociente temos que fx x 5x 1² x 5x 1² x 1³² fx x² 10x 9 x 1⁴ fx x 1² x 52x 1 x 1⁴ fx x² 2x 1 2x² 12x 10 x 1⁴ Note que fx 0 se x² 10x 9 0 Daí x² 10x 9 0 x² 10x 9 0 x 1x 9 0 x 1 ou x 9 Como 1 Df consideramos apenas x9 como possível ponto de mínimo ou máximo Além disso como x 1⁴ 0 para todo x 1 vamos estudar somente o sinal do numerador Note que x² 10x 9 é uma parábola com a concavidade voltada para baixo Assim temos o seguinte esboço Portanto fx é decrescente em 1 fx é crescente em 19 e fx é decrescente em 9 Além disso x9 é um ponto de máximo local 11 Vamos derivar fx Usando a regra do quociente temos fx x² 10x 9x 1⁴ x² 10x 9x 1⁴ x 1⁴ ² fx 2x 10x 1³ x² 10x 94x 1³ x 1⁸ fx x 1³ 2x 10x 1 4x² 10x 9 x 1⁸ fx 2x² 28x 26 x 1⁵ Note que fx 0 se 2x² 28x 26 0 Daí 2x² 28x 26 0 x² 14x 13 0 x 1x 13 0 x 1 ou x 13 Como 1 Df não consideramos ele como possível ponto de inflexão Agora vamos analisar o sinal de fx nos seguintes intervalos 1 113 e 13 1 Para x0 temos que f0 20² 280 26 0 1⁵ 261 26 0 f é côncava para baixo 113 Para x2 temos que f2 22² 282 26 2 1⁵ 8 56 26 22 0 f é côncava para baixo 13 Para x14 temos que f14 214² 2814 26 14 1⁵ 392 392 26 13⁵ 2613⁵ 0 f é côncava para cima Como fx muda de sinal em x13 e fx está definido em x13 x13 é ponto de inflexão IV As assíntotas verticais acontecem no ponto x que zera o denominador mas não zera o numerador Sabemos que o denominador de fx x 5x 1² zera em x1 Agora vamos calcular lim x1 fx e lim x1 fx lim x1 x 5x 1² 40 e lim x1 x 5x 1² 40 Logo existe uma assíntota vertical em x1 Agora vamos calcular lim x fx e lim x fx para verificarmos a existência de assíntotas horizontais lim x x 5x 1² LH lim x x 5x 1² lim x 12x 1 1 0 lim x x 5x 1² LH lim x x 5x 1² lim x 12x 1 1 0 Logo existe assíntota horizontal em y0 Como o grau do numerador é menor do que o grau do denominador não existe assíntota inclinada y0 x1 V 4 Deja x o lado da base da caixa e h a altura da caixa Então a área da base e da tampa será de 2x² e a área dos quatro faces laterais será de 4xh Vamos usar o volume para escrever a altura em função do lado da caixa V 2000 x²h 2000 h 2000x² Assim o custo total em função de x é dado pela função Cx 32x² 354x2000x ou seja Cx 6x² 12000x Agora vamos derivar Cx e igualar a zero para determinarmos o ponto mínimo Cx 6x² 12000x¹ Cx 12x 120001x² Cx 12x 12000x² Fazendo Cx 0 temos 12x 12000x² 0 12x 12000x² x 1000x² x³ 1000 ³x³ ³1000 x 10 Daí substituindo x 10 em 1 temos h 200010² h 2000100 h 20 Logo o custo da caixa será mínimo se o lado da base medir 10 cm e a altura for de 20 cm