Slide - Funções Polinomiais 2021-2

Razões trigonométricas • Considere o triângulo retângulo ABC ilustrado a seguir. • Os lados AB e AC do triângulo retângulo ABC que formam o ângulo reto são chamados de catetos. • O lado BC oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. • Lembrando que α e β são ângulos complementares temos α + β = 90° e assim podemos escrever β = 90° − α. • Das relações anteriores podemos deduzir que: ▪ sen α = cos β = b/a ▪ sen β = cos α = c/a • Então temos: ▪ sen α = cos(90° − α) ▪ cos α = sen(90° − α) • A relação trigonométrica fundamental é: ▪ sen² α + cos² α = 1 para qualquer ângulo agudo α. ▪ De fato temos sen² α + cos² α = (b/a)² + (c/a)² = b²+c²/a² = a²/a² = 1. • Observe que tg α = sen α/cos α. • De fato, observando o triângulo retângulo ABC podemos deduzir que sen α/cos α = b/a ÷ c/a = b/a · a/c = b/c = tg α , o mesmo acontecendo para β. • Note que tg β = 1/tg α , ou seja, ▪ tg (90° − α) = 1/tg α . • A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente desse ângulo. ▪ cotg α = c/b e cotg β = b/c . ▪ Então tg (90° − α) = cotg α . f(x) = x^5 f(x) = x^6 Função Exponencial • As funções exponenciais elementares são da forma com , fixado. • O real é chamado de base da função exponencial. • O domínio da função exponencial é o conjunto dos números reais. • As restrições quanto à base se devem à impossibilidade de cálculo para determinados valores de , ou então devido ao fato de que a função é de outro tipo. • Por exemplo, se teríamos uma função constante . • Se , não seria possível calcular . • Se não seria possível calcular . • De acordo com as restrições aos valores da base a, temos dois casos a considerar: f(x) = a^x a > 1 f(x) = a^x 0 < a < 1 • Observe que \( \text{Im} \ f = \mathbb{R}_+^* \). • Podemos notar também que a função exponencial não possui raízes reais. • E o gráfico intersecta o eixo dos \( y \) no ponto \((0,1)\), pois \( a^0 = 1 \) para todo \( a \) considerado como base. • Os gráficos das funções \( f(x) = b \cdot a^x \) obedecem às propriedades das transformações gráficas vistas na aula anterior. • De modo geral podemos obter os gráficos dessas funções através da construção de tabelas atribuindo valores à variável livre \( x \) e calculando suas imagens. Exemplo 3: Esboce o gráfico da função . • Podemos construir uma tabela: 𝑥 𝑥 − 1 𝑓(𝑥) 𝑥, 𝑓 𝑥 −1 −2 3 4 −1; 3 4 0 −1 3 2 0; 3 2 1 0 3 1,3 2 1 6 2,6 3 2 12 3,12 Exemplo 4: A quantidade de indivíduos de uma população \( P \) em milhares é dada em função do tempo pela fórmula \( P = 148 \cdot 2^{t/9} \), sendo \( t \) medido em anos. Considere que \( t = 0 \) representa o ano 2.000. Determine: a) A quantidade de indivíduos presente no ano de 1.991. b) O ano em que a população atinge uma quantidade de 592 mil indivíduos. • Se \( t = 0 \) corresponde ao ano 2.000, então o ano de 1.991 corresponde a \( t = 1.991 - 2.000 = -9 \). • Logo teremos \( P = 148 \cdot 2^{-9/9} = 148 \cdot 2^{-1} = \frac{148}{2} = 74 \) • Portanto em 1.991 teremos \( 74 \ mil \ indivíduos \) presentes nessa população. • Para determinarmos o ano em que a população atinge mil indivíduos, basta resolvermos a equação . • Resolvendo temos: • • • • Então no ano de a população atingiu o número de mil indivíduos. Exemplo 5: Se \( f(x) = 5^{x^2+2x} \), determine os valores de \( x \) para os quais \( f(x) = 125 \). • Basta resolvermos a equação exponencial \( 5^{x^2+2x} = 125 \). • Resolvendo temos \( 5^{x^2+2x} = 5^3 \). • \( x^2 + 2x = 3 \) • \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) • \( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \) • \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} \) • \( x = -3 \) ou \( x = 1 \). Exemplo 6: Biólogos observaram que, em certas condições, o número de bactérias presentes em uma cultura cresce exponencialmente. Suponha que existam inicialmente bactérias em uma certa cultura e que, minutos depois, bactérias estejam presentes. Determine quantas bactérias estarão presentes nessa cultura após hora. • Considere a função na qual representa o tempo em minutos e representa o número de bactérias presentes no tempo . • Devemos ter e . • • . • Como uma hora tem minutos, queremos . • Então bactérias. • Uma função exponencial muito importante no Cálculo Diferencial e Integral é a função \( f(x) = e^x \), cuja base é o número de Euler, \( e \cong 2,71828 \). Função Logarítmica • Se e , o logaritmo de na base , representado pelo símbolo é o número que satisfaz . • Por exemplo: • , • , • , • , • . Exemplo 7: Calcule . • Faça . • Então . • • . • . • . • Logo . Propriedades dos Logaritmos 1. \( \log_a 1 = 0 \). 2. \( \log_a b = \log_a c \iff b = c \). 3. \( \log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \). 4. \( \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c \). 5. \( \log_a (b^c) = c \cdot \log_a b \). 6. \( a^{\log_a b} = b \). 7. \( \log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c} \). Demonstração da propriedade 4: • Faça \( \log_a b = x \), \( \log_a c = y \) e \( \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = z \). • Temos então \( a^x = b \), \( a^y = c \) e \( a^z = \frac{b}{c} \). • Tomando a terceira igualdade e substituindo os valores de \( b \) e \( c \) dados pelas duas primeiras, obtemos: • \( a^z = \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \). • Logo \( z = x-y \). • Quando a base do logaritmo é o número de Euler , temos o chamado logaritmo natural ou logaritmo neperiano, devido a John Napier, um matemático, astrônomo e físico escocês. Em latim, linguagem usada na época para escrever ciência, seu nome era transcrito como Neper. • Temos a representação simbólica . Exemplo 8: Sabendo que e , calcule e . • • • A função logarítmica elementar é da forma . • A base é um número real positivo diferente de . • Temos dois casos possíveis para o gráfico dessa função: 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 • No caso da função logarítmica natural temos o gráfico ilustrado a seguir. Propriedade: A função logarítmica f(x) = logₐ x é inversa da função exponencial g(x) = aˣ. • De fato (f ∘ g)(x) = logₐ g(x) = logₐ(aˣ) = x · logₐ a = x · 1 = x. • Do mesmo modo (g ∘ f)(x) = aᶠ⁽ˣ⁾ = aˡᵒᵍₐ ˣ = x. • Graficamente podemos observar a propriedade das inversas: a > 1 0 < a < 1 Exemplo 9: A concentração de um medicamento nos rins de um paciente no instante (em segundos) é gramas por centímetro cúbico ( ). Sabendo que , determine o tempo necessário para que a concentração do medicamento atinja o valor de . • Devemos resolver a equação . • . • . • • • Então segundos. Função Modular • O módulo ou valor absoluto de um número real a, que representaremos por |a|, é definido da seguinte forma: |a| = { a se a ≥ 0 -a se a < 0 . • Uma definição alternativa de módulo é |a| = √a² . • Observe: |-5| = √(-5)² = √25 = 5. • Algumas propriedades importantes do módulo são: ▪ |-a| = |a|. ▪ |a| ≥ 0. ▪ |a · b| = |a| · |b|. ▪ |a/b| = |a|/|b|. • Uma propriedade muito importante do módulo é a desigualdade triangular: • . • Geometricamente na reta numerada, o módulo de representa a distância entre o ponto e a origem da reta. Do mesmo modo, representa a distância entre os pontos e . • A função modular elementar tem a forma . • De acordo com a definição de módulo teremos: . • Para esboçarmos o gráfico de uma função modular podemos recorrer à definição de módulo ou observar que, graficamente, o módulo rebate todos os valores negativos para seus simétricos positivos. Exemplo 10: Esboce o gráfico da função . • Podemos fazer , ou seja, • . 𝑦 = 2𝑥 − 4 𝑓 𝑥 = |2𝑥 − 4| Exemplo 11: Esboce o gráfico da função . Exemplo 12: Esboce o gráfico da função . 𝑦 = |𝑥 − 2| 𝑦 = 𝑥 − 2 − 2 • No triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras: . • O seno de um ângulo é o valor dado pela razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e da hipotenusa. • O cosseno de um ângulo é o valor dado pela razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo e da hipotenusa. • A tangente de um ângulo é o valor dado pela razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente a esse ângulo. 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼 𝛽 sen 𝛼 = 𝑏 𝑎 sen 𝛽 = 𝑐 𝑎 cos 𝛼 = 𝑐 𝑎 cos 𝛽 = 𝑏 𝑎 tg 𝛼 = 𝑏 𝑐 tg 𝛽 = 𝑐 𝑏 • A secante de um ângulo é o inverso do cosseno desse ângulo. • \( \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} . \) • A cossecante de um ângulo é o inverso do seno desse ângulo. • \( \cosec \alpha = \frac{1}{\sen \alpha} . \) • Temos então seis razões trigonométricas principais: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. • Tomando a relação trigonométrica fundamental \( \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) e dividindo-a por \( \cos^2 \alpha \), obtemos \( \frac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} , \) isto é, • \( \tg^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha . \) • Se tomarmos a relação fundamental e dividirmos tudo por \( \sen^2 \alpha , \) obteremos \( 1 + \cotg^2 \alpha = \cosec^2 \alpha . \) • Temos então as seguintes definições e relações para ângulos agudos: \( \begin{itemize} \item \sen \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) \item \cos \alpha = \sen(90^\circ - \alpha) \item \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \item \tg (90^\circ - \alpha) = \frac{1}{\tg \alpha} \item \cotg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} \item \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} \item \cosec \alpha = \frac{1}{\sen \alpha} \item \tg^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \item 1 + \cotg^2 \alpha = \cosec^2 \alpha \end{itemize} \) • Como \( \tg \alpha = \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} , \) consequentemente, \( \cotg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} . \) • O radiano equivale à medida do comprimento do raio da circunferência considerada. Representamos a unidade de medida radiano por . • Sabemos que o comprimento de uma circunferência cujo raio mede é dado por . • Então um ângulo de corresponde a um arco de comprimento . • Logo . E isso independe da medida do raio considerado. • Através da correspondência podemos determinar equivalências para quaisquer ângulos considerados. • Basta resolvermos a regra de três simples . • Então . • Por exemplo, os ângulos notáveis de e correspondem, respectivamente, aos arcos de e radianos. • A representação no ciclo trigonométrico nos permite considerar arcos e ângulos orientados e ainda arcos e ângulos que ultrapassam uma volta completa . • Note que a origem de qualquer arco considerado no ciclo trigonométrico será sempre o ponto . • Então, a extremidade é que caracteriza o arco considerado. • Observe a figura a seguir. • O ponto pode ser a extremidade do arco correspondente ao ângulo , mas também pode ser a extremidade do arco correspon- dente ao ângulo ou ao ângulo ou ainda e assim sucessivamente. • De modo geral, todos os arcos e ângulos que possuem a mesma extremidade determinada por são chamados côngruos a e possuem a representação ou radianos, com . 𝐴 𝐵 𝛼 \text{Estendendo Seno e Cosseno a outros ângulos} • Observe o ciclo trigonométrico a seguir. • No triângulo retângulo \( POB \) temos as seguintes razões: \begin{itemize} \item \( \sen \alpha = \frac{PB}{OB} = PB, \text{ pois } OB=1. \) \item \( \cos \alpha = \frac{OP}{OB} = OP \text{ pelo mesmo motivo.} \) \end{itemize} • Note que \( PB = OQ \text{ pois } OPBQ \text{ é um retângulo.} \) • Desse modo vamos definir, para qualquer ângulo \( \alpha \) ou arco \( AB: \) \begin{itemize} \item \text{O } seno \text{ de } \alpha \text{ é a medida orientada da projeção de } B \text{ sobre o eixo das ordenadas, ou seja, } O\overline{Q}. \) \item \text{O } cosseno \text{ de } \alpha \text{ é a medida orientada da projeção de } B \text{ sobre o eixo das abcissas, ou seja, } O\overline{P}. \end{itemize} • Dessa forma é possível estender seno e cosseno para ângulos e arcos do segundo quadrante (90° < α < 180° ou \frac{\pi}{2} < α < \pi). ∎ sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} ∎ cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} • A seguir temos o gráfico da função . −𝜋 − 𝜋 2 𝜋 𝜋 2 −1 1 • O gráfico da função cosseno é semelhante. − 3𝜋 2 − 𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 2 −𝜋 𝜋 −1 1 • Observando os gráficos das funções seno e cosseno, podemos notar que:  A função seno é ímpar.  A função cosseno é par. • Uma função real é dita periódica se existe um número real positivo tal que para todo . O menor real positivo que satisfaz essa igualdade é chamado o período da função . • As funções seno e cosseno são periódicas de período , isto é,  , para todo .  , para todo . Funções Tangente, Secante, Cotangente e Cossecante • Utilizando as razões trigonométricas originais podemos definir as funções: ∎ tg x = \frac{\text{sen } x}{\text{cos } x} ∎ sec x = \frac{1}{\text{cos } x} ∎ cotg x = \frac{\text{cos } x}{\text{sen } x} ∎ cossec x = \frac{1}{\text{sen } x} 𝑦 = sec 𝑥 − 5𝜋 2 − 3𝜋 2 − 𝜋 2 5𝜋 2 3𝜋 2 𝜋 2 𝑦 = cotg 𝑥 −3𝜋 −2𝜋 −𝜋 3𝜋 2𝜋 𝜋 𝑦 = cossec 𝑥 −3𝜋 −2𝜋 −𝜋 3𝜋 2𝜋 𝜋 • Note que essas quatro funções não possuem domínio real como acontecia com seno e cosseno. • O domínio de e é o conjunto , ou seja, . • Do mesmo modo, o domínio de e é o conjunto , isto é, . • As imagens de e são . Essas funções são periódicas com período . • E as imagens de e são , ambas periódicas de período . Funções Trigonométricas Inversas • Existem seis funções trigonométricas inversas: arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco secante, arco cotangente e arco cossecante. • Abordaremos apenas as três primeiras, pois são suficientes para os nossos estudos. • Lembrando que para conseguirmos inverter uma função é necessário que a mesma seja bijetiva. • Como todas as funções trigonométricas são periódicas, e consequentemente não são bijetivas, é necessário restringir seus domínios para a obtenção de suas inversas. • Para definirmos a função arco seno, vamos restringir o domínio da função seno de modo a torná-la bijetiva. • Definimos • Desse modo o domínio de é igual à imagem da função seno, isto é, . • E a imagem dessa função é igual ao do- mínio restrito do seno, ou seja, • A seguir apresentamos o gráfico dessa função. − 𝜋 2 𝜋 2 • Por exemplo, para determinarmos arcsen \frac{\sqrt{3}}{2} basta fazermos a substituição arcen \frac{\sqrt{3}}{2} = y ∴ \text{sen } y = \frac{\sqrt{3}}{2} ∴ y = \frac{\pi}{3}. • Logo arcsen \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}. • Do mesmo modo temos: ∎ arcsen 0 = 0 ∎ arcsen 1 = \frac{\pi}{2} ∎ arcsen \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} ∎ arcsen \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} • Consideremos agora a função cosseno restrita ao domínio , como mostra a figura. • Definimos • Desse modo o domínio de é igual à imagem da função cosseno, isto é, . • E a imagem dessa função é igual ao do- mínio restrito do cosseno, ou seja, • A seguir apresentamos o gráfico dessa função. 𝑦 = cos 𝑥 𝜋 2 𝜋 • Para definirmos a função arco tangente, vamos restringir o domínio da função tangente de modo a torná-la bijetiva. • Definimos • Desse modo o domínio de é igual à imagem da função tangente, isto é, . • E a imagem dessa função é igual ao do- mínio restrito da tangente, ou seja, . • A seguir apresentamos o gráfico dessa função. 𝑦 = tg 𝑥 𝜋 2 − 𝜋 2 Fórmulas de Transformação • • • • • • • e • • e