Aula 12 - Gráfico de Função X Ferramentas 2021-2

Aplicações de Derivada As diversas relações entre o gráfico de uma função e as ferramentas do Cálculo I Gráficos e mais gráficos... Gráficos e mais gráficos... Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 𝑟(𝑥) = 4𝑥 + 20 Exemplo 1: Encontre a reta tangente a em . 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 10𝑥 + 12 𝑥 = − 1 passa no ponto Reta Tangente ( ) ➔ , onde e passa por ➔ ➔ ➔ 𝑓(−1) = 2(−1)3 − 4(−1)2 − 10(−1) + 12 = − 2 − 4 + 10 + 12 = 16 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (−1,16) 𝑓’(𝑥) = 6𝑥2 − 8𝑥 − 10 𝑓’(−1) = 6( − 1)2 − 8(−1) − 10 = 6 + 8 − 10 = 4 𝑟(𝑥) r: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑚 = 𝑓’(−1) = 4 𝑟 (−1,16) 16 = 4(−1) + 𝑛 𝑛 = 20 𝑟(𝑥) = 4𝑥 + 20 f'(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \newline a \quad \quad f'(a) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \newline f(x) - f(a) = f'(a)(x - a) \newline x-a \quad \quad f(x) \quad \quad f(a) \quad \quad f(x)-f(a) \quad \quad reta \, tangente Definições Importantes • Seja uma função contínua no domínio. Dizemos que é ponto crítico de se ou se não é derivável em . • Exemplo 2: Determine todos os pontos críticos de . 𝑓:𝐷 ⊂ ℝ → ℝ 𝑎 𝑓 𝑓’(𝑎) = 0 𝑓 𝑎 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) Exemplo 2: Determine todos os pontos críticos de 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) Observe que e, portanto, para inúmeros valores de . Desse modo, tem infinitos pontos críticos. 𝑓’(𝑥) = − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓’(𝑎) = 0 𝑎 ∈ ℝ ⟹ 𝑓’(𝑎) = 0, 𝑠𝑒 𝑎 = 𝑘 ⋅ 𝜋, ∀𝑘 ∈ ℤ . 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) Definições Importantes • Seja uma função. Dizemos que tem máximo (mínimo) global se tal que ( ). • Seja uma função. Dizemos que tem máximo (mínimo) local se tal que ( ). 𝑓:𝐷 ⊂ ℝ → ℝ 𝑓 ∃𝑎 ∈ 𝐷 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎), ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑎), ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑓:𝐷 ⊂ ℝ → ℝ 𝑓 ∃𝑎 ∈ 𝑆 ⊂ 𝐷 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎), ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑎), ∀𝑥 ∈ 𝑆 Cuidado! • Exemplo 3: Identifique os pontos de máximo e mínimo locais e globais da função 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 5𝑥 + 6|. Exemplo 3: Identifique os pontos de máximo e mínimo locais e globais da função 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 5𝑥 + 6|. Mais situações complexas... • Exemplo 4: Verifique se tem pontos de máximo ou mínimo globais, ou pontos de máximo e mínimo locais. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1 Exemplo 4: Verifique se tem ponto de máximo ou mínimo global. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1 • • • • Teorema do Valor Intermediário! 𝑓’(𝑥) = 4𝑥3 − 6𝑥 + 1 ⟹ 𝑓’(𝑥) = 0 ⟺ 4𝑥3 − 6𝑥 + 1 = 0 𝑓’(0) = 1; 𝑓’(1) = − 1; 𝑓’(2) = 21; 𝑓’(3) = 91; ⋯ 𝑓’(−1) = 3; 𝑓’(−2) = − 19; 𝑓’(−3) = − 89; ⋯ Observação Importante Teorema do Valor Intermediário Se , é contínua então , ou existe tal que . 𝑓:[𝑎, 𝑏] → ℝ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏, ∀𝑑 ∈ ℝ 𝑓(𝑎) ≤ 𝑑 ≤ 𝑓(𝑏) 𝑓(𝑏) ≤ 𝑑 ≤ 𝑓(𝑎) 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑓(𝑐) = 𝑑 Exemplo 4: Verifique se tem ponto de máximo ou mínimo global. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1 • • • 𝑓’(𝑥) = 4𝑥3 − 6𝑥 + 1 ⟹ 𝑓’(𝑥) = 0 ⟺ 4𝑥3 − 6𝑥 + 1 = 0 𝑓’(0) = 1; 𝑓’(1) = − 1; 𝑓’(2) = 21; 𝑓’(3) = 91; ⋯ 𝑓’(−1) = 3; 𝑓’(−2) = − 19; 𝑓’(−3) = − 89; ⋯ Exemplo 4 • Exemplo 4: Verifique se tem ponto de máximo ou mínimo global. • Logo, tais que . Portanto, são pontos críticos de . • Mas, como determinar se são pontos de máximo ou de mínimo? • Através de análise de sinal da , a derivada de . Como assim? 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1 ∃ 𝑎 ∈ (−2, − 1), 𝑏 ∈ (0,1) 𝑒 𝑐 ∈ (1,2) 𝑓’(𝑎) = 𝑓’(𝑏) = 𝑓’(𝑐) = 0 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 𝑓 𝑓’ 𝑓 Definições Importantes • Seja uma função. • Dizemos que é estritamente crescente (estritamente decrescente) em se tal que tem-se ( ). • Dizemos que é crescente (decrescente) em se tal que tem-se ( ). 𝑓:𝐷 ⊂ ℝ → ℝ 𝑓 𝐷 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 𝑎 < 𝑏 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏) 𝒇(𝒂) > 𝒇(𝒃) 𝑓 𝐷 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 𝑎 < 𝑏 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏) 𝒇(𝒂) ≥ 𝒇(𝒃) Observação Importante • Seja uma função derivável em . • Sejam , tais que: • então é estritamente crescente em . • então é estritamente decrescente em . 𝑓:𝐷 ⊂ ℝ → ℝ 𝐷 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏 𝑓’(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓 (𝑎, 𝑏) 𝑓’(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓 (𝑎, 𝑏) Exemplo 4: Verifique se tem ponto de máximo ou mínimo global. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1 Que é estritamente decrescente de e estritamente crescente de . 𝑓 (−∞, 𝑎) 𝑒 (𝑏, 𝑐) (𝑎, 𝑏)𝑒 (𝑐, + ∞) Exemplo 4: Verifique se tem ponto de máximo ou mínimo global. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1 Que é estritamente decrescente de e estritamente crescente de . Desse modo, e são pontos de mínimos, global e local, e é ponto de máximo local. 𝑓 (−∞, 𝑎) 𝑒 (𝑏, 𝑐) (𝑎, 𝑏)𝑒 (𝑐, + ∞) 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 Obrigado e até a próxima aula!