Exercícios Derivada da Função Inversa 2021-2

UERJ - Universidade do Estado do Rio de janeiro C´alculo I Professor: Hamilton Sim˜oes Derivadas Derivada da fun¸c˜ao inversa Sejam f : A → B uma fun¸c˜ao invers´ıvel e g : B → A a sua inversa. Se f leva q em r ent˜ao g leva o r no q e vice-versa. f(g(x)) = x, ∀x ∈ B. Primeiramente, consideraremos g deriv´avel em p e f deriv´avel em g(p). Da´ı, pela regra da cadeia, f ′(g(p)).g′(p) = 1, donde obtemos que g′(p) = 1 f ′(g(p)). Teorema: Sejam f : A → B uma fun¸c˜ao invers´ıvel e g : B → A a sua inversa. Se g ´e cont´ınua em p e f ´e deriv´avel em g(p), com f ′(g(p)) ̸= 0 ent˜ao g ´e deriv´avel em p. Neste caso, g′(p) = 1 f ′(g(p)). Exemplos: 1) Seja f : R → (0, +∞) definida por f(x) = ex. A fun¸c˜ao inversa de f ´e a fun¸c˜ao g : (0, +∞) → R, definida por g(x) = ln(x). g′(x) = 1 f ′(g(x)) = 1 eln x = 1 x 2) Seja f : R → (0, +∞) definida por f(x) = ax, a > 0, a ̸= 1. A fun¸c˜ao inversa de f ´e a fun¸c˜ao g : (0, +∞) → R, definida por g(x) = loga (x). g′(x) = 1 f ′(g(x)) = 1 aloga x.ln a = 1 x.ln a 3) Temos que f(x) = ln x f ′(x) = 1 x f(x) = ln(g(x)) f ′(x) = 1 g(x).g′(x) = g′(x) g(x) 4) f(x) = ln(5x3 − 2x2 + 4) f ′(x) = 1 5x3 − 2x2 + 4.(15x2 − 4x) = 15x2 − 4x 5x3 − 2x2 + 4 5) f(x) = 10x3sen(e2x + ln(4x − 1)) 4 f'(x) = 30x? sen(e”” + In(4x — 1)) + 102% cos(e?” + In(4ax — 1)).(2e?” + ten? Xx — . TT . 6) Seja ff: (-5, ) —R definida por f(x) =tgz. A fungao inversa de f €éafungéo g:R—- (-5, ) definida por g(x) = arctg a. O grafico de g(x) = arctgx é dado abaixo: anon nn nn nn nn nnn penne neo eee ee een eee eee 2 3 2 ae 0 1 2 3 Seema een nnnns een ype anos aes cere a senses 2 Observe, pelo grafico, que g é uma funcao impar. Assim, arctg(—x) = —arctg(x). Agora, complete: arctg(0) = 0 arctg(1) = “ arctg(—1) = 4 arctg(V/3) = . arctg(—V/3) = -* aretg(V3/3) = aretg(—V3/3) = —* Como f'(x) = sec? x, segue que f’(g(x)) = sec?(arctg 2). Sendo sec?(arctgx) = 1+ tg?(arctgx), obtemos que sec?(arctg x) = 1+ 2°. 1 1 1 Conclui (2) = ——— = ——— = >. onchuimos que — g'(z) f(g(x)) sect(arctgx) 142? 1 u(x) Pela regra da cadeia, (arctg(u(x)))’ = ———-.u (x) = ——- + 7) f(a) <aretg(3x44) —f"() = ——+—-.3 = > ~ anes ~ 14+ (3¢4+4)2” 922 4+ 24a +17 Exercicio: - dy Se y= axarctg(2x) entao y(—1) — Ta vale wo... zt xz=—-1 Derivada da fun¸c˜ao arcoseno Seja f : [−π 2 , π 2 ] → [−1, 1] definida por f(x) = sen x. f ´e bijetora, portanto, invers´ıvel. Seja g : [−1, 1] → [−π 2 , π 2 ] a fun¸c˜ao inversa de f. O gr´afico de g ´e dado abaixo: Observe, pelo gr´afico, que g(x) = arcsen x ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, assim, arcsen(−x) = −arcsen(x). Temos que: arcsen(0) = 0 arcsen(1) = π 2 arcsen(−1) = −π 2 arcsen(1/2) = π 6 arcsen(−1/2) = −π 6 arcsen( √ 3/2) = π 3 arcsen(− √ 3/2) = −π 3 Como f ′(x) = cos x, segue que f ′(g(x)) = cos(arcsen x). Para x ∈ [−1, 1], arcsen x ∈ [−π 2 , π 2 ], donde conclu´ımos que cos(arcsen x) ≥ 0. Sendo cos2(arcsen x) + sen2(arcsen x) = 1, obtemos que cos2(arcsen x) + x2 = 1. Do fato de cos(arcsen x) ≥ 0, segue que cos(arcsen x) = √ 1 − x2. Conclu´ımos que g′(x) = 1 f ′(g(x)) = 1 cos(arcsen x) = 1 √ 1 − x2. Derivada da fungao arcocosseno Seja f : [0,7] — [-1,1] definida por f(x) = cosx. f é bijetora, portanto, inversivel. Seja g:|—1,1] - [0,7] a funcao inversa de f. 1 De modo semelhante ao da fungao arcoseno chegamos a conclusao que g/(x) = -————=.. ¢ g que g'(%) =~ Regra da cadeia para as fungodes arcoseno e arcocosseno Se g(x) éderivavele f(x) = arcsen(g(x)), pela regra da cadeia temos que 1 g (x) f(@) = SSI (2) = SS V1— (g(2))? V1- (g(a)? Se g(x) éderivavele f(x) = arccos(g(zx)), pela regra da cadeia temos que 1 g(x) f'(2) = 4) = - 4. V1— (g(2))? V1—(g(a))? Exemplos: 1) f(x) = arcsen(3z) 1 ) f'(0) = 53 - 1 — 9x? 1 — 9x? 7 2) f(x) = pa arccos( 3x") f(x) = 7x~?.arccos(32") 21 17 I 5 2 14723 f'(x) = ~ a arecos(3x y+ a (-a) 212° = — {a arecos(3x )= Vino Exercicio: (Ver aula AO VIVO) 9 »,_In(2) Seja f(x) = V1 — e* arcsen(e*). Qual o valor de f (——)? Lembrete Sea>1l, lim a~=+oe lim a*=0. L—++00 wT —oCo Se 0<a<l, lim a”~=O0e lim a* =+o. L—++00 L—>—0O lim Inz=-+oo e lim Inz = —oo. @w—+>+00 20+ Regra de L’Hˆospital Sejam f e g deriv´aveis em (a, p) e em (p, b). Se lim x→p f(x) g(x) ´e do tipo 0 0 ou ∞ ∞ e lim x→p f ′(x) g′(x) = L ent˜ao lim x→p f(x) g(x) = L. Observa¸c˜ao: x → p pode ser substitu´ıdo por x → p+, x → p−, x → +∞, x → −∞. Exemplos: 1) lim x→1 5x3 − 8x2 + 14x − 11 3x2 + 10x − 13 lim x→1 5x3 − 8x2 + 14x − 11 3x2 + 10x − 13 = lim x→1 15x2 − 16x + 14 6x + 10 = 13 16 2) lim x→0 sen(3x) − x2 2x2 + 5x lim x→0 sen(3x) − x2 2x2 + 5x = lim x→0 3cos(3x) − 2x 4x + 5 = 3 5 3) lim x→0 cos(2x) − 1 tg(ex − 1) lim x→0 cos(2x) − 1 tg(ex − 1) = lim x→0 −2sen(2x) (sec(ex − 1))2.(ex) = 0 4) lim x→2 5x3 − 19x2 + 16x + 4 x4 − 4x3 + 7x2 − 12x + 12 lim x→2 5x3 − 19x2 + 16x + 4 x4 − 4x3 + 7x2 − 12x + 12 = lim x→2 15x2 − 38x + 16 4x3 − 12x2 + 14x − 12 = = lim x→2 30x − 38 12x2 − 24x + 14 = 22 14 = 11 7 5) lim x→+∞ 4x2 − 3 e6x lim x→+∞ 4x2 − 3 e6x = lim x→+∞ 8x 6e6x = lim x→+∞ 8 36e6x = 0 6) lim x→+∞ xe−3x lim x→+∞ xe−3x = lim x→+∞ x e3x = lim x→+∞ 1 3e3x = 0 7) lim x→−∞ 5x2e(5x+1) lim x→−∞ 5x2e(5x+1) = lim x→−∞ 5x2 e(−5x−1) = lim x→−∞ 10x −5e(−5x−1) = lim x→−∞ 10 25e(−5x−1) = 0 8) lim «.Inz 2—0t 1 ] > 1 lim ving = lim —~ = lim —~ = lim —.(—a?) = lim (—x) = 0 «0+ rot Lo esot lL esore 20+ x x? 9) lim 2” x—0t Seja y = (f(x))™™, com f(x) > 0. Iny=In(f(x))%™ = Iny=g(x).In(f()) > y= eT) lim «= lim e*™*™=e°9=1 x0+ x—0+ 10) lim (37 +1)*” xz—0- lim (3a + 1)‘ = lim e(= r+) x—0- x—0- 4 tL 3 A4ln(3 1 , , lim 4In(3a +1) _ lim —2@+1-— — 19 207 x r—0- 1 Dai lim (32 + 1)" =e? x07 4 3x 11) lim (<5) @~—+00 vr 6 a+4 oe 4 lim (5) = lim elen(#4)) x>+oo \r—6 @—-+00 3 i (ees) 3.In (44) "et4" (x—6)? lim 42-8" = yj 8 @w—+>+00 7 «w—+00 —7 (x—6) (-10) 9 302? = lim 3.>—~.—— (-27*)= 1 ———— = 30 m3 ya) woe?) = op 4 3x Dai lim (<5) = °°? wT—-+00 x 6 Exercicio: (Ver aula AO VIVO) Sejam ae b ntmeros reais positivos e diferentes de 1. Resolvendo-se lim, (a* +b" —1)"/ 2" obtém-se: x0 (A) a?b? ab B) — (B) 4 (C ) 2ab (D) vab 1 ( F ) e2ab