Slide - Função Propriedades Aritméticas de Limites 2021-2

Limites • Propriedades • Teorema do Sanduíche • Limites Trigonométricos Propriedades Aritméticas de Limites Teorema 1: Sejam e funções reais tais que e . Então: desde que . Exemplo 2: Calcule \(\lim_{x \to 1} (2x + 3)\). \(\lim_{x \to 1} 2 = 2\) \(\lim_{x \to 1} x = 1\) \(\lim_{x \to 1} 3 = 3\) Então \(\lim_{x \to 1} (2x + 3) = \lim_{x \to 1} 2 \cdot \lim_{x \to 1} x + \lim_{x \to 1} 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 5\). \underline{Teorema 3}: \(\lim_{x \to x_0} (ax + b) = ax_0 + b\). \underline{Consequência 4}: \(\lim_{x \to x_0} x = x_0\). \underline{Teorema 5}: As funções polinomiais são contínuas em qualquer ponto de \( \mathbb{R} \). \(\rhd \) Seja \( f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \) com \( a_i \in \mathbb{R} \) para todo \( 1 \leq i \leq n \). \(\rhd \) \( \lim_{x \to x_0} f(x) = a_0 + a_1 (\lim_{x \to x_0} x) + a_2 (\lim_{x \to x_0} x)^2 + \cdots + a_n (\lim_{x \to x_0} x)^n \) \(\rhd \) \( \lim_{x \to x_0} f(x) = a_0 + a_1 (x_0) + a_2 (x_0)^2 + \cdots + a_n (x_0)^n \) \(\rhd \) \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \) \(\rhd \) Logo \( f \) é contínua em \( x_0 \). \(\bullet \) Quando uma função é contínua em qualquer ponto de \( \mathbb{R} \), dizemos que essa função é \textit{contínua em} \( \mathbb{R} \). \underline{Teorema 6}: As funções algébricas racionais são contínuas em qualquer ponto do seu domínio. \(\rhd \) Considere \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), sendo \( g \) e \( h \) polinômios com coeficientes reais. \(\rhd \) O domínio de \( f \) é o conjunto dos \( x \) reais tais que \( h(x) \neq 0 \). \(\rhd \) Então se \( x_0 \in D_f \) tem-se \( h(x_0) \neq 0 \). \(\rhd \) Desse modo \( \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} g(x)}{\lim_{x \to x_0} h(x)} = \frac{g(x_0)}{h(x_0)} = f(x_0) \). \(\rhd \) Logo \( f \) é contínua em \( x_0 \). Teorema 7: Se n ∈ N* e lim x→a f(x) = L , então: 1. lim x→a ⁿ√f(x) = ⁿ√L se n for ímpar; 2. lim x→a ⁿ√f(x) = ⁿ√L se n for par e L > 0. Caso n seja par e L < 0, o limite anterior não existe. Exemplo 8: Calcule lim x→2 √(x³+1)/(2x²+x−1). • lim x→2 √(x³+1)/(2x²+x−1) = √(lim x→2 (x³+1))/lim x→2 (2x²+x−1) = = √((lim x→2 x)³ + 1)/ (2(lim x→2 x)² + (lim x→2 x) − 1) = = √((2)³+1)/(2(2)²+(2)−1) = √8+1/8+2−1 = √9/9 = 1. Observação 9: Os Teoremas 1 e 7 continuam valendo se trocarmos os limites por limites laterais. • Por exemplo, se lim x→a⁺ f(x) = L e lim x→a⁺ g(x) = M, então: 1. lim x→a⁺ [f(x) + g(x)] = L + M 2. lim x→a⁺ [f(x) − g(x)] = L − M 3. lim x→a⁺ [f(x) · g(x)] = L · M 4. lim x→a⁺ f(x)/g(x) = L/M desde que M ≠ 0. Exemplo 10: Calcule \( \lim_{x\to 2^-} \frac{2x+\sqrt{4-x^2}}{3x-1} \). \[ \lim_{x\to 2^-} \frac{2x+\sqrt{4-x^2}}{3x-1} = \frac{2\left(\lim_{x\to 2^-} x\right)+\sqrt{4-\left(\lim_{x\to 2^-} x\right)^2}}{3\left(\lim_{x\to 2^-} x\right)-1} = \frac{2\cdot 2+\sqrt{4-2^2}}{3\cdot 2-1} = \frac{4+\sqrt{4-4}}{6-1} = \frac{4}{5}. \] Observação 11: Uma consequência imediata do Teorema 1 são as seguintes propriedades aritméticas sobre funções contínuas em um ponto. Teorema 12: Se e são contínuas em , então: é contínua em ; é contínua em ; é contínua em ; é contínua em , desde que . Demonstração de 1: • e (hipótese do Teorema) • Pelo Teorema 1 temos . Continuidade da Função Composta • Antes de entrarmos propriamente nesse assunto, vamos lembrar algumas particularidades sobre a composição de funções. • Em primeiro lugar, sabemos que \((f \circ g)(x) = f(g(x))\). • Desse modo, para que essa composição seja possível, é necessário que se tenha \( \text{Im } g \subseteq D_f \). • Caso contrário não poderíamos determinar \((f \circ g)(x)\). Exemplo 13: Determine , sendo e . • Precisamos ter . • Note que . • Mas . • Então . • Definimos , com a fórmula dada e teremos . • Agora podemos calcular • Gráfico de \( f \circ g \): (0, 3) (-3, 0) (3, 0) Observação 14: Embora o resultado da composição possa ser uma função aparentemente de domínio real, não podemos esquecer que essa função surgiu pelo processo de composição e, consequentemente, tem-se . Exemplo 15: Determine bem como seu domínio, sendo e . • Lembrando que , temos . • . Gráfico de f \circ g: Teorema 16: Se \lim_{x\to a} g(x) = b e a função f for contínua em b, então: \lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = f(b). De outro modo podemos escrever \lim_{x\to a} f(g(x)) = f(\lim_{x\to a} g(x)). Exemplo 17: Calcule \lim_{x\to 1/2} \operatorname{arctg}\left(\frac{4x^2-1}{4x-2}\right). • A função f(x) = \operatorname{arctg} x é contínua para todo x \in \mathbb{R}. • \lim_{x\to 1/2} \operatorname{arctg}\left(\frac{4x^2-1}{4x-2}\right) = \operatorname{arctg}\left[\lim_{x\to 1/2} \frac{4x^2-1}{4x-2}\right] = \operatorname{arctg}\left[\lim_{x\to 1/2} \frac{(2x+1)(2x-1)}{2(2x-1)}\right] = \operatorname{arctg}\left[\lim_{x\to 1/2} \frac{2x+1}{2}\right] = \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}. Teorema 18 (Continuidade da função composta): Se for contínua em e for contínua em , então será contínua em . Demonstração: • Como é contínua em , temos . • Se é contínua em , podemos usar o Teorema 16: • . Exemplo 19: Calcule . • Podemos interpretar como uma composta das funções e . • Observe que é contínua em todo número real. • Em particular, é contínua em . • E temos . • Como sabemos é contínua em todo número real positivo. • Em particular, é contínua em . • Portanto é contínua em e temos: • . Teorema 20 (Teorema do Sanduíche): Considere definidas em um intervalo aberto contendo (exceto possivelmente no próprio ) tais que para todo . Se e então . ℎ 𝑔 𝑓 𝑦 𝑥 𝐿 0 𝑎 Exemplo 21: Use o Teorema do Sanduíche para mostrar que . • Sabemos que para todo . • Em particular, para todo , vale . • Então para todo . • Multiplicando essa dupla desigualdade por , obtemos: • para todo . • E como , podemos concluir pelo Teorema do Sanduíche, que . Limite Trigonométrico Fundamental Teorema 22: . • Mostraremos que os limites laterais são iguais a 1. • Considere . • Ao lado temos o ciclo trigonométrico. • O arco medindo radianos é limitado pela reta laranja e pelo eixo dos . • Em verde temos o segmento que mede . • Em vermelho temos o eixo das tangentes. O segmento desse eixo delimitado entre o eixo dos e a reta laranja mede . • Note que \sen t \le t \le \tg t para todo t \in \left[0, \frac{\pi}{2}[. • Como no primeiro quadrante, para t \neq 0, temos \sen t > 0, podemos dividir toda a dupla desigualdade acima por \sen t, sem alterar o sentido, obtendo: 1 \le \frac{t}{\sen t} \le \frac{\tg t}{\sen t}. (\ast) • Mas \frac{\tg t}{\sen t} = \frac{\sen t}{\cos t} \cdot \frac{1}{\sen t} = \frac{1}{\cos t}. Logo 1 \le \frac{t}{\sen t} \le \frac{1}{\cos t}. • Invertendo as frações encontramos: 1 \ge \frac{\sen t}{t} \ge \cos t. • Lembrando que co-seno é uma função contínua temos \lim_{t\to 0^+} \cos t = 1. • Portanto, pelo Teorema do Sanduíche vale que \lim_{t\to 0^+} \frac{\sen t}{t} = 1. • Considere agora t ∈ \left] -\frac{\pi}{2}, 0 \right]. No quarto quadrante, tanto o seno como a tangente são negativos. Então temos tg\ t \leq t \leq sen\ t\ para todo\ t\ aí. • Dividindo tudo por sen\ t < 0\ para\ todo\ t \neq 0 no segundo quadrante, vem: \frac{tg\ t}{sen\ t} \geq \frac{t}{sen\ t} \geq 1\ que\ é\ exatamente\ a\ desigualdade\ (*). • A partir daí a demonstração segue idêntica, tomando apenas \lim_{t \to 0^{-}} cos\ t = 1. • Novamente aplicando o Teorema do Sanduíche obtemos: \lim_{t \to 0^{-}} \frac{sen\ t}{t} = 1. • Como os limites laterais existem e são iguais, podemos concluir que \lim_{t \to 0} \frac{sen\ t}{t} = 1. Exemplo 23: Calcule \lim_{x\to 0} \frac{sen\ 4x}{6x}. • Lembre-se que a função seno não é linear! Então sen\ 4x \neq 4\cdot sen\ x! (não pode colocar 4 em evidência!) 💣 💀 • Faça a mudança de variável t = 4x. Então x = \frac{t}{4}. • E quando x \to 0 temos t \to 0. • Logo \lim_{x \to 0} \frac{sen\ 4x}{6x} = \lim_{t \to 0} \frac{sen\ t}{6 \cdot \frac{t}{4}} = \lim_{t \to 0} \left[(sen\ t) \cdot \frac{4}{6t}\right] = \lim_{t \to 0} \frac{4}{6} \cdot \frac{sen\ t}{t} = \frac{4}{6} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{sen\ t}{t} = \frac{4}{6} \cdot 1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. Exemplo 24: Calcule \lim_{x\to 0} \frac{1-cos\ x}{x^2}. • Usaremos a identidade trigonométrica fundamental sen^2 x + cos^2 x = 1. • Daí retiramos 1 - cos^2 x = sen^2 x. • Lembrando que (a-b)(a+b) = a^2 - b^2, vamos fazer a = 1 e b = cos\ x. • Então (1 - cos\ x)(1 + cos\ x) = 1 - cos^2 x = sen^2 x. • Portanto vamos multiplicar o numerador e o denominador da expressão por 1 + cos\ x. • \lim_{x \to 0} \frac{1-cos\ x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-cos\ x)(1+cos)}{x^2(1+cos)} = \lim_{x \to 0} \frac{sen^2 x}{x^2 (1+cos)} = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{sen^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1+cos\ x} \right] = \lim_{x \to 0} \left[ \left( \frac{sen\ x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1+cos\ x} \right] = \left( \lim_{x \to 0} \frac{sen\ x}{x} \right)^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+cos\ x} = 1^2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}. Exemplo 25: Calcule \lim_{x\to 0} \frac{\tg x}{x}. \ Lembrando \ que \ \tg x = \frac{\sen x}{\cos x} \ temos:\ \lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sen x}{\cos x} \cdot \frac{1}{x} \right] = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sen x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1. Exemplo 26: Calcule \lim_{x\to\pi} \frac{1+\cos x}{x-\pi}. \ Faça \ t = x - \pi .\ Então \ x = t + \pi. \ E \ quando \ x \to \pi \ temos \ t \to 0.\ Logo \lim_{x\to\pi} \frac{1+\cos x}{x-\pi} = \lim_{t\to 0} \frac{1+\cos (t+\pi)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{1+\cos t \cdot \cos \pi - \sen t \cdot \sen \pi}{t} = \ \lim_{t\to 0} \frac{1+\cos t \cdot (-1) -(\sen t) \cdot 0}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{1-\cos t}{t} = \lim_{t\to 0} \left[ t \cdot \frac{1-\cos t}{t^2} \right] = \lim_{t\to 0} t \cdot \lim_{t\to 0} \frac{1-\cos t}{t^2} = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0. Exemplo 27: Calcule \lim_{x\to 0} \frac{\sen x}{3x^2+2x}. \ Dividimos \ o \ numerador \ e \ o \ denominador \ por \ x \ obtendo: \ \lim_{x\to 0} \frac{\sen x}{3x^2+2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sen x}{x}}{3x^2+2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sen x}{x} \cdot \frac{1}{3x+2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sen x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{3x+2} = \frac{1}{2}. Exemplo 28: Calcule \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x}. \ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos 4x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos 4x)(1+\cos 4x)}{x(1+\cos 4x)} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 4x}{x(1+\cos 4x)} = \ \lim_{x\to 0} \frac{\sen^2 4x}{x(1+\cos 4x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sen 4x \cdot \sen 4x}{x(1+\cos 4x)} = \lim_{x\to 0} \left[ \frac{\sen 4x}{x} \cdot \frac{\sen 4x}{1+\cos 4x} \right] = \ \lim_{x\to 0} \frac{\sen 4x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sen 4x}{1+\cos 4x} = 4 \cdot \frac{0}{1+1} = 0. Exemplo 29: Calcule \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ax}{x^2}, \ sendo \ a \neq 0. \ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ax}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos ax)(1+\cos ax)}{x^2(1+\cos ax)} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 ax}{x^2(1+\cos ax)} = \ \lim_{x\to 0} \frac{\sen^2 ax}{x^2(1+\cos ax)} = \lim_{x\to 0} \left[ \frac{\sin^2 ax}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos ax} \right] = \ \lim_{x\to 0} \left[ \left( \frac{\sin ax}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos ax} \right] = \left( \lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{x} \right)^2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+\cos ax} = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}. Exemplo 30: Calcule \lim_{x\to 0} \frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}, \ sendo \ a \ e \ b \ não \ nulos. \ \lim_{x\to 0} \frac{\cos ax-\cos bx}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos ax - 1 + 1 - \cos bx}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(\cos ax - 1)+(1-\cos bx)}{x^2} = \ \lim_{x\to 0} \left[ \frac{1-\cos bx}{x^2} - \frac{1-\cos ax}{x^2} \right] = \ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos bx}{x^2} - \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos ax}{x^2} = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{b^2-a^2}{2}. Exemplo 31: Calcule lim x→0 (1−2cos x+cos 2x)/x^2. • lim x→0 (1−2cos x+cos 2x)/x^2 = lim x→0 (1−cos x−cos x+cos 2x)/x^2 = lim x→0 ((1−cos x)+(cos 2x−cos x))/x^2 = • = lim x→0 [(1−cos x)/x^2 + (cos 2x−cos x)/x^2] = lim x→0 (1−cos x)/x^2 + lim x→0 (cos 2x−cos x)/x^2 = 1/2 + (12−22)/2 = Exemplo 24 Exemplo 30 • = 1/2 − 3/2 = −2/2 = −1.