Notas de Aula - Seções Cônicas No Plano

e 2A e Notas de aula sobre Geometria Analitica Secoes conicas no plano. Elipse, Hipérbole e Pardbola. Coordenadas retangulares. Professor: Sergio Munoz. Elipse: A Elipse (E) é 0 conjunto dos pontos Q = (x,y) (no plano R?) tais que a soma das distancias de Q a dois pontos fixados F, e F5 é constante, isto é E= {@ = (x,y) ER’ : Dist (Q,F,) + Dist (Q,F)) é constante } ; Os pontos F, e F sao chamados focos da elipse. y Ya [ O<c<a | _ Ad \e7b? =a? 7 4 B 72 fo — QE OY) / o£ x \ a \ B, / 2 a \ Ay a a \ A \ Cc \ 3 - ” \ \ 2 : | | _ B2 \L A \ \4 L~ | \ Cc ZL | x —}— _ b > Xx F, F, FrsCe,0) F,=(0-c) Jit Fo=(¢,0) By F=(0, ©) Ay=(-a,0) Ay=(0;-a) fe A2=(a, 0) Ao=(0, a) \ By=(0 ,-b) B,=(—b,0) OA Ba=(0, b ) B,=( b,0) Figura la Figura 1b A partir dessa definicao geométrica, vamos deduzir a equacao elementar da Elipse como segue (Veja Figura la): Vamos supor que 0 <c <a eque F, = (—c,0) e Fo = (c,0) (Isto é, os focos estao no eixo das x’s equidistantes do centro C = (0,0)). Considere-se 1 a seguinte Elipse E= {@ =(r,y) € R? : Dist (Q, F\) + Dist (Q, FR) = 2a} . Note-se que os pontos A; = (—a,0) , Ag = (a,0), By, = (0,—b) e By = (0,0) pertencem a Elipse E; onde os ntimeros a, b e c sao positivos tais que b? + c? = a? (Isto é, b e c sao os comprimentos dos catetos e a o comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo; veja Figura 1a). Com efeito, vamos probar que By € EF. Para isso note-se que o triangulo com vértices Bz, F, e Fy tem dois lados iguais (é isédsceles) com Dist (Bo, F) = Dist (Bg, Fy) = a (Veja Figura la). De modo que Dist (Bo, F,) + Dist (Bo, Fo) =a+ta=2a = BLE EB : Semelhantemente B, € E (Fazé-lo). Para mostrar que A; € E vamos usar a definicao de distancia entre pontos, a definigao de valor absoluto e propriedades gerais dos numeros reais (Pode dizer quais?) Dist (Ai, F,)+Dist (Ay, Fo) = \/ ((—a) — (-c))* + (0 — 0)2+1/ ((—a) — c)* + (0 — 0)? = /(-a+c)?+./(-a—c)? = V/(c— a)?+\/(a+c)? [(-a = 0)? = (= (a+e))* = ((-1)a+0))" = (-I*(a to? =1- (ate? = (ato | = |c—a|+|c+a| = —(c—a)+c+a = —c+a+ct+a = 2a. Assim A, € E. Semelhantemente Ag € E (Fazé-lo). Vamos voltar a nossa questao original de deduzir a equagaéo elementar da Elipse. Se Q = (x,y) 6 um ponto ar- bitrario pertencente a Elipse E’ entao Dist (Q, F) + Dist (Q, Fy) = 2a [Definigao de Elipse| 2 4/ (x _ (—c))? + (y _ 0)? + 4/ (x _ c)? + (y _ 0)? = 2a [Distancia entre pontos| J(a+co+y?+ V(x —¢)? +4? = 2a daqui em diante serao usadas propriedades de numeros reais (pode dizer quais?) V(ato)?t+y? =2a—/(x4—c)? + y? 2 2 (V@tPFP) =(a-Ve-P FP) 2 (x +c)? + y? = (2a)? —2- (eae —c)?+ P) + (v (a —c)? + P) r+2cr4+ ety? = 40 —4a/(x—c)? +y? 4+ 27 -2cr+C?+y? day/(x — c)2 + y? = 4a? — dcx day/(x —c)? + y? =4 (a — cx) a\/(a—c)? +y? =a? — cx 2 (ave —c)?+ ) = (a2 —cxr) 2 a? (Ve —c)?+ ) = (a2 —cxr) a? (x? — 2cr + 7 + y?) = at — 2a?cr + C72? a?x? — 2a2cx + a2c? + a?y? = at — 2a?cxr + Cx? ae? — 2n2 + ey? = at — ae (a2 — 2) 2? + ay? = a2 (a? — 2) bax? + a®y? = ab? (Pois b? + c? = a’) Ba? ay? a2? a2 + ab abe a2b?—a?b?_— ab? re 2 my + Pp = 1 [Propriedades de nuimeros reais, quais?| Em conclusao, a equacgao da elipse com focos F, = (—c,0) e Fh =(c,0) 6 dada por ey? ep em que 0<c<ae b?+c? =a’. Os pontos A; = (—a,0), Ay = (a,0), By = (0, —b) e By = (0,6) sao chamados de vértices, o ponto O = (0,0) o centro. O segmemto 3 A, Az eixo maior e o segmemto 8B, By eixo menor. Observagao: Se nos isolarmos a varidvel y na equacao da elipse z + ve = 1 obtemos ey? ye 2 2 aipra! => ye=b 1-3 = Vy=41/P 1-3 2 2 = lyl=4/P (1-5) SS y=ty/P (1-5) a a Na linguagem de fungoes temos 2 fungoes 2 x €[-a,t+a] — fi(x) = 4/0? (1 — =) a 2 x €[-a,t+a] — fo(x) = —-4/0? (1 — =) ; Logo, se desenharmos essas duas fungdes (usando as nogoes de cadlculo) obtemos a Figura la acima (tente fazélo!). (Fim da observacao) y Yn y=-x y=x X’*+y?=a? “| QE (XY) f o/ | | / | . Figura 2a | Figura 2b 4 Observacao: O circulo C de raio a > 0, centrado na origem O = (0,0), é 0 conjunto C={Q=(z,y) : Distancia(Q,O) =a} . Note-se que (Veja Figura 2a) QecC <> Distancia(Q,O)=a <> Distancia ( (2, y), (0, 0)) =a SS Jr+y=a = P+y=a. Se pensarmos no circulo C como uma elipse em que Fy = Fy = (0,0) (c= 0) entao Dist (Q, F,) + Dist (Q, Fb) = 2a ou Dist ((x, y), (0,0)) + Dist ((z, y), (0,0)) = 2a /art+y? + f/a2?+y2=2a ou 2/a?+y?=2a ou /a?+y?=a ou w+y=a?. Define-se a excentricidade (e) como sendo e = c/a. Diz-se que o circulo C é uma elipse de excentricidade e = 0. Por outro lado, 0 tinico ponto que satisfaz a equacao x’? +y* = 0 6 (0,0) e a equacdo x? — y? = 0 (ou equivalentemente x = ty) fornece duas retas (Veja Figura 2b). Essas duas ultimas equagoes séo chamadas de conicas degeneradas. (Fim da observacao) Se os focos Fi, e F estado no eixo das y’s equidistantes do centro C = (0,0) (veja Figura 1b acima), isto é F, = (0,—c) e Fh =(0,c) com c>0, entaéo semelhantemente demonstra-se (Fazé-lo) que a equacao da elipse é dada por 2 2 pra em que 0<c<a e b?+c? =a’. Nesse caso os vértices sto A, = (0,-a) , Ao = (0,a) , 5 B1 = (−b, 0) e B2 = (b, 0). Note-se que o eixo maior A1A2 ´e um segmento vertical. x y . . . . . a b c . F F B B A A 1 2 1 2 2 1 1 _ 2 1 _ 2 B =(h, b+k) 1 B =( h, b+k) 2 0<c<a c +b = a 2 2 2 . C x=h C=(h,k) y=k _ Figura 3 > ^ F =( c+h,k) F =( c+h ,k) A =( a+h,k) A =(a+h,k) Por outro lado, se fizermos um movimento rigido (Isto ´e, sem rota¸c˜oes dos eixos principais A1A2 e B1B2) da elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 at´e um novo centro C = (h, k) (Veja Figura 3), obtemos a equa¸c˜ao (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1 . Logo, temos as seguintes F´ormulas de Deslocamento:   C = (h, k) (Centro) F1 = (−c + h , k) F2 = (c + h , k) (Focos) A1 = (−a + h , k) A2 = (a + h , k) (V´ertices) B1 = (h , −b + k) B2 = (h , b + k) (V´ertices)   6 Semelhantemente, se fizermos um movimento rigido (Isto é, sem rotagdes dos eixos prin- cipais) da elipse x + vs =1 até um novo centro C= (h,k) , obtemos a equagao (eh)? (y-hP _, eT Logo, temos as seguintes Férmulas de Deslocamento: C = (h,k) (Centro) Fi =(h, -—c+k) F,=(h,c+k)_ (Focos) Ay=(h, -a+k) Ag=(h, a+k) (Véttices) B,=(-b+h,k) Bo=(b+h, k) (Vétices) Hipérbole: yo 3x y* y= 2 x Yan Fy=(-c, 0) F,=(0-c) F>=(c, 0) \ F>=(0, c) A1=(~a, 0) Ay=(0,-a) LB Ar(a.0) | Y=“ 5X Ay=(0, a) |" yp \ / Su Ad a \ Cc | Se / ee | Ag of | / JA oN a Cc a ao a — / J a | NX x - OO xX F C | \ F 1 Ay | \ 2 eo / \ —— \ oo / \ — \ a SS / ( O<a<c Fy J | 1 at+b2 = c2 Figura 4a Figura 4b A Hipérbole (H) é 0 conjunto dos pontos Q = (x,y) (no plano R?) tais que o valor absoluto da diferenca das distancias de @ a dois pontos fixados F, e F> é constante. Isto é H= {Q =(r,y) €R? : [Dist (Q, F,) — Dist (Q, Fb) | é constante } . Os pontos Fi, e F5 sao chamados focos da hipérbole. 7 Semelhantemente, como no caso da elipse, a equacao elementar da hipérbole H H-= {Q = (x,y) ER? : [Dist (Q, Fi) — Dist (Q, Fx) | — 2a} com focos F, =(—c,0) e Fh=(c,0) em que 0<a<c e a®?+b* =c’, é dada por: 2 2 “5-1. a b2 Os pontos A; = (—a,0) e A» = (a,0) sao chamados de vértices, o ponto O = (0,0) o centro, o segmemto A;A2 eixo principal e as retas y = +2y assintotas da hipérbole (Veja Figura 4a). Com efeito, vamos demonstrar isso. Se Q = (z,y) 6 um ponto arbitrdrio pertencente a hipérbole H entao Dist (Q, F;) — Dist (Q, F) | = 2a [Definigao de Hipérbole] => Dist ((, y), (—¢, 0)) — Dist ((2, y), (c, 0))| = 2a —= lv (a — (—c))? +(y- 0)? — (x - c)? +(y- 0? | = 2a [Distancia entre pontos| = Vere +y? — \/(x —c)? +y| = 2a SS VS(rt+ce?+y—-/(e@—c)?+y? = 42a daqui em diante seréo usadas propriedades de ntimeros reais (pode dizer quais?) J(a@te)+y? =+2a+/(x4-—c)? + y? 2 2 (Ve +c)? + v) = (+24 + /(a@— 0)? + v) 2 (a +c)? +y? = (42a)? +2: (+20 (x —c)? + v) ~ (Vv (x —c)? + ) a? t+22cr+e+y? = 4a? + 4a,/(x—c)? + y? +27 -2cr4+Ce4+y? 8 2ca = 4a? + 4ay/(x — c)? + y? — 2cxr 2Qcx + 2cx — 4a” = +4a,/(x — c)? + y? +4a,/(x — c)? + y? = 4cx — 4a? +4a,/(x — c)? + y? = 4 (cx — a?) tay/(a — c)? + y? = (cx — a”) 2 (+a —c)?+ v) = (cx — a®)? 2 (+a)? (Ve —c)*+ v) = (cx — a?)? a? (x? — 2cx +c? + y?) = (cx)? — 2a? cx + (a7)? ata? — 2a?cx + a2? + a?y? = cx? — 2a?cx + at aza? — 2x? + a2y? = a4 — a2? (a? _ 2) a? + a2y? = a? (a? — 2) —b?x? + a*y? = a? (—0?) (Pois a? + b? = c’) _ px? . azy2 a2 (—2?) a2 (—b?) a2 (—b?) @2 (—b?) 2 2 “Fai. a b? Observacao: Se nos isolarmos a varidvel y na equacao da hipérbole « — ye = 1 obtemos 2 2 2 2 x yo 9 (x _ 9 _ x 2 pa! => +d (5-1) =y = Ve = |e (1) / 2 | 2 => |lyl= # (5-1) SS y= (5-1) a a Na linguagem de fungoes temos 4 fungoes 2 x €[a,too) — fi(x) = ,/b (5 — 1) 2 x €[a,too) — fo(x) = —4/b? (= — i) 2 xe (—o0,-a) — f3(x) = 4/0? (5 — 1) a 9 2 x x € (—oo,-a) —> fi4(x) = —4/0? (5 — 1) . a Logo, se desenharmos essas quatro fungdes (usando as nocoées de cadlculo) obtemos a Figura 4a acima (tente fazélo!). Como exemplo, apenas vamos calcular as assimptotas da hipérbole 2 2 2 x x a . __ : 2 ee _ : QS _ _ elim (0) = im ft (Se 1) = tim, 0 (1-5) b / 2 b / 2 = lim |-| |a| a lm —-2z pen a4 L>+00 14 x2 rT>+coo a x2 por outro lado, b x 4/1 a a’ VO x b 2 tim FA) yyy @ VO? @ hin (2y: - °) t>+oo 2X @t—++00 x L—++00 a x b 2 b 2 =( lim ).( lim yi-S) or t>+oo Qa t—too xv a lim 2 @L>+00 b b b =-vV1-0= -V1 =, [Foram usadas propriedades de limites, quais?] a a a assim, areta y = be é uma assintota (obliqua) para a fungdo f; (Veja Figura 4a). Simi- larmente, b b b lim fae) =--, lim fala) =-- e lim fal) =-. wT—-+00 x a L—>— CO xv a L—>—OO x a Em conclusao, dai que as retas y = bg ey= —2y sao assimptotas do grafico da hipérbole x — ve =1. (Fim da observacao) Semelhantemente (Fazé-lo!) a equagao da hipérbole com focos F, = (0,—c) e F2 = (0,c) (Isto é, os focos estaéo no eixo das y’s equidistantes do centro C = (0,0)) é dada por 2 2 fea a b2 em que 0<a<c e a*+b? = +c”. Nesse caso os vértices sao A, = (0,—a) e Az = (0,a) , 10 e as retas ass´ıntotas y = ± a b x (Veja Figura 4b). x y Figura 5 a b c F F A A 1 2 1 2 0<a<c a +b = c 2 2 2 F =( c+h,k) 1 F =(c+h,k) 2 A =( a+h,k) 1 _ A =(a+h,k) 2 . . . . y= b a _ (x h)+k y= _ _b a (x h)+k . . C y=k x=h _ _ C=(h,k) _ > ^ Se fizermos um movimento rigido da hip´erbole x2 a2 − y2 b2 = 1 at´e um novo centro (h, k) (Veja Figura 5), obtemos a equa¸c˜ao (x − h)2 a2 − (y − k)2 b2 = 1 . Logo, temos as seguintes F´ormulas de Deslocamento: 11 C = (h,k) (Centro) FL =(-c+h, k) Fh=(c+h, k) (Focos) | Aj =(-a+h,k) Ag=(a+h, k) (Vértices) | b b | y=—(x—-h)+k y=-—-(x—h)+k (Retas Assintotas) | a a Analogamente, se fizermos um movimento rigido (Isto é sem rotagdes do eixo principal) da hipérbole vs — =1 ao novo centro (h,k) , obtemos a equacgéo (y—k)y (w@—h) _ or Logo, nesse caso temos as seguintes Férmulas de Deslocamento: C = (h,k) (Centro) | FL =(h, —c+k) Fh=(h, c+k) (Focos) | Ay=(h, -a+k) Ag=(h, atk) (Vértices) y= 5 (2 —h)+k y= F(a —h)+k (Retas Assintotas) Pardbola: A Pardbola (P) é 0 conjunto dos pontos Q = (x,y) (no plano R?) tais que a distancia de Q aum ponto fixado F' é igual a distancia de Q a uma reta fixada r , isto é P= {@ = (x,y) €R? : Dist (Q, F) = Dist (Q,r) \ O ponto F échamado foco eareta r reta diretriz da parabola. A partir dessa definigao geométrica, vamos deduzir a equacgao elementar da Parabola como segue (Veja Figura 6a): Seja F = (0,p) (p>O0)e r : y=-—p. Se Q = (x,y) um ponto arbittrario pertencente a Pardbola P entao Dist (Q, F) = Dist (Q, r) [Definigao de Pardbola| / (x — 0)? +(y- p)? = \/(x4 — x)? + [y- (—p)|? [Distancia entre pontos| 12 daqui em diante serdo usadas propriedades de ntimeros reais (pode dizer quais?) x2+(y—p)= — vt ey = ly +l 2 2 | “ “?) = (y +p) x+y? — Qpy + p2 = y? + 2py + p? Em conclusao, a equagao da parabola com foco F' = (0,p) (p> 0) ereta diretriz r : y= —p é dada por x? = 4py . Ya | v=(0,0) , ri x=—p | - \ F=(0,p) | \ p>0 | : J V=(0,0) eee - - : / L ~ NN - SV _ _ | | | a a a fo r:y=-p . | reta diretriz \ \ L A Q=(x,y) \ Figura 6a Dist@ncia (Q,F) = Dist@ncia (Q,r) aw . | - ya N N\ Q=(%y) a | S reta diretriz \ \ z #1 r:y=p | | Vv \ \, a an | ot a x / - | ) / : | jv (0,0) | 00 . F=(0,-p) , Q=(x,y) =, J . \ 4 [| Figura 6c 4 Figura 6d 13 Similarmente (Veja Figura 6b): A equa¸c˜ao da par´abola com foco F = (p, 0) (p > 0) e reta diretriz r : x = −p (Fazˆe-lo!) ´e dada por y2 = 4px . A equa¸c˜ao da par´abola com foco F = (0, −p) (p > 0) e reta diretriz r : y = p (Fazˆe-lo!) ´e dada por x2 = −4py (Veja Figura 6c). A equa¸c˜ao da par´abola com foco F = (−p, 0) (p > 0) e reta diretriz r : x = p (Fazˆe-lo!) ´e dada por y2 = −4px (Veja Figura 6d). . . r : y= p+k _ reta diretriz V F F=(h,p+k) V=(h,k) p>0 x y Figura 7 F= . x=h y=k > ^ Se fizermos um movimento rigido (Isto ´e sem rota¸c˜oes da reta diretriz) da par´abola x2 = 4py ao novo centro (h, k) , obtemos a equa¸c˜ao (x − h)2 = 4p (y − k) (Veja Figura 7) logo, nesse caso temos as seguintes F´ormulas de Deslocamento: 14   V = (h, k) (Centro ou v´ertice) F = (h , p + k) (Foco) y = −p + k (Reta diretriz)   Evidentemente temos f´ormulas de deslocamento semelhantes se fizermos movimentos r´ıgidos das par´abolas y2 = 4px , x2 = −4py e y2 = −4px . Essas f´ormulas s˜ao respectivamente (Fa¸ca os gr´aficos).   (y − k)2 = 4p(x − h) (Equa¸c˜ao) V = (h, k) (Centro ou v´ertice) F = (p + h , k) (Foco) x = −p + h (Reta diretriz)     (x − h)2 = −4p(y − k) (Equa¸c˜ao) V = (h, k) (Centro ou v´ertice) F = (h , − p + k) (Foco) y = p + k (Reta diretriz)     (y − k)2 = −4p(x − h) (Equa¸c˜ao) V = (h, k) (Centro ou v´ertice) F = (−p + h , k) (Foco) x = p + k (Reta diretriz)   15