Notas - Seções Cônicas No Plano

e 2A e Notas de aula sobre Geometria Analitica Secoes conicas no plano. Elipse, Hipérbole e Pardbola em coordenadas polares. Professor: Sergio Munoz. Relacoes entre as coordenadas retangulares e as coordenadas polares de um ponto no plano. Dado um ponto Q no plano, representado em coordenadas retangulares (também diz-se Carte- sianas) por Q = (x,y), temos as seguintes relagoes: x =r cos(@) y =r sen (0) r= /r?+y? 0<0<27 (r>0). — em que r é0comprimento do vetor OQ (com extremidades a origem O = (0,0) e 0 ponto —>, Q)e @ €0 Angulo formado entre OQ €e 0 eixo positivo das x’s (Veja Figura la). O eixo positivo das x’s é chamado eixo polar. Note-se que dado um ponto P (como na Figura la) entao — o vetor OP forma um angulo maior do que 270°. y Yn Q / //| ; r ji. W/ 2 i/ " Q 1 A 2 A \* eixo polar 5309 Ms Gi OO pp ex x 3 2 -1 vz 28 \ -1 5 ' Q=(x,y) =(r cos @, rsen@ 5 J Q=(\V/3, 1) | Q=(1, 8) | Q=(2 , 30°)=(2,¢) 3 Figura 1a Figura 1b Por exemplo, seguindo as nossas relacoes acima Q=(v3,1) — r= \/ (v3) +2 , V3=rcos(@) , 1=rsen(@) 1 = r=V34+1=V4=2 , V3=2cos(0) , 1=2sen(6) 3 1 —S r=2, V3 665(6) , = =sen (A) 2 2 — r=2 , 6=30° (on 9==) (Veja Figura 1b). Assim, as coordenadas polares do ponto Q = (V3, 1) estao dadas por Q = (2,30°) = (2 =): Reciprocamente, as coordenadas retangulares (Ou cartesianas) do ponto Q = (2,30°) estao dadas por Q = (V3, 1). FORMULAS BASICAS: Equacao de uma conica em coordenadas polares. Em todos os casos o foco F’ esta na origem, isto é F = (0,0), s denota a reta diretriz e d = Distancia (F's) (isto é, d é a distancia desde o foco F' até a reta diretriz s). Para cada tipo de conica temos quatro casos (Veja os desenhos nas Figuras 2, 3 e 4 abaixo no final deste material didatico), sendo que a excentricidade (denotada por e) determina o tipo de cOnica: e = 1 caso de parabolas, 0 < e < 1 caso de elipses e e > 1 caso de hipérboles. Caso 1: Reta diretriz s: x=d (vertical a direita do foco) em que d= Distancia (F, s) e-d r= —————_. 1+e-cos(6) Caso 2: Reta diretriz s: x =-—d (vertical a esquerda do foco) em que d= Distancia (F, s) e-d r= ————_. . 1 —e-cos (0) Caso 3: Reta diretriz s: y=d (horizontal acima do foco) em que d= Distancia (F, s) e-d SA _ 1+ e-sen (6) Caso 4: Reta diretriz s: y=-—d (horizontal embaixo do foco) em que d= Distancia (F, s) e-d => 1 —e-sen (6) 2 Observacgao: c 1. No caso da elipse representada em coordenadas retangulares, a excentricidade 6 e = — , a e ja que 0 < c < a entao O<e=< <1. a 2. No caso da hipérbole representada em coordenadas retangulares, a excentricidade é e = £ ; a e ja que 0 < a <c entao 0<e= 551, a Ideias nas demonstracoes das formulas acima Se fizermos um deslocamento de tamanho p (para a direita) da parabola y? = —4px (p > 0) entao o foco F' fica na origem e 0 novo Vértice é V = (p,0) (Veja Figura 5), assim obtemos a equacao em coordenadas retangulares yo =—4p(x—p) . Logo, a substituigao « = rcos(0) y=rsen(0) ,em que Q = (x,y) pertence a parabola (Veja Figura 5), da que: 2 y? =—4p(c—p) <=> (rsen(0)) = —4p(r cos (8) — p) <=> rr’ sen?(@) = —4pr cos(0) + 4p? <> r?(1—cos?(0)) = —4p r cos(0) + 4p? <=> r’?—r’ cos* (0) = —4p r cos(0) + 4p? <=> r*?=r’ cos*(6)—4pr cos(0) + 4p? <= 1’ =(r cos (9) )° — 4p rcos(0) + 4p? —S r=2r?-Apr + 4p’ | Pois r=T COS (0)| 4p\* (4p\* eS P= (« — 2) — (*) + Ap? |Completago de quadrados| => r= (4 —2p)? — 4p? + 4p’ 3 => Pr =(4—2p) = VrP= \/ (x — 2p)” — |r| =| — 2p = r=2p-24 [Pois r > 0 lr| =r er < 2p, veja Figura 5] <= r= Dist (Q,s) [Onde s:x = 2p éa reta diretriz, neste caso a direita do foco F = (0, 0) —S r=2p-—rcos(8) | Pois x =r cos (0)| <= r+rcos(@)=2p <= r(1+cos(@)) = 2p 2 = po 1 + cos (6) Yan s:x=d d=2p e eixo polar . F 5 2p x N @ 3 oO ® Figura 5 (Seguindo as formulas anunciadas acima, neste caso note-se que d= Distancia(F,s) = 2p e que a excentricidade e = 1) 4 Para uma Parabola temos mais trés casos: Um deslocamento de tamanho p para a esquerda da parabola y? = 4px (p> 0) (veja Figura 2b abaixo), ou um deslocamento de tamanho p para cima da parabola x? = —4py (p > 0) (veja Figura 2c abaixo), ou um deslocamento de tamanho p para baixo da parabola x? = 4py (p> 0) (veja Figura 2d abaixo). Similarmente, nesses trés casos, obtemos respectivamente as seguintes equagdes em coordenadeas polares (Fazé-lo!) 2p er= 1 — cos (6) Onde s:x2=-—2p é€a reta diretriz, neste caso vertical 4 esquerda do foco F’ = (0,0) 2p er= 1 + sen (6) Onde s:y=2p éareta diretriz, neste caso horizontal acima do foco F’ = (0,0). 2p er= 1 — sen (6) Onde s:y=-—2p éareta diretriz, neste caso horizontal embaixo do foco F = (0,0) Se fizermos um deslocamento de tamanho c (para direita) da elipse z + ve = 1 até o novo centro (c,0) (Veja Figura 6), obtemos a equacgaéo em coordenadas retangulares _ 7)? 22 (eae + ye = 1 . a b? Note-se que depois desse deslocamento, 0 foco que antes era Ff; = (—c,0) agora se torna F, = (0,0). Logo, a substituigao x = rcos(@) y=rsen(@),em que Q = (x,y) pertence a elipse (Veja Figura 6), da que: P(a-cPt+ey=eb = BP (r—c)? +a?(r sen(6) )° =a’7b? <> W(x —c)? +a?r? sen? (6) = ab? <> 0b (x—c)? +a?r?(1 — cos? (9) ) = a?b? => B(x —c) +a?r? — a?r?cos?(0) = a2b? 5 ==> bx? — 2b?er + BPC? + ar? — ax? = a7b? <= (b? — a?) 2? — 2b’cr + ar? = ab? — 7b? => ar? = —(b* —a*) 2? 4 2bcx + (a? — cc?) B? => ar? = (a? — db?) 2? + 2ber + (a — 7°) 0? SS Wr? =x? + 2b? cx + 07D? | Pois P+e= 0? 2b? SS @r=ac (« + ee) + 4 c 2.2 *( 2, 2b ) 4 —S awr=c (a+—ar}]+b C b?\? be eS rac (: + -) —+>| +0* |Completago de quadrados| C c b?\? = r= (2+) —b*+0! C b?\* eS rac (: + =) C b?\? SS Ver =4/C (: + =) C b2 —> |ar|= e(e+ =) C b2 <= |al|r| = |c | (: + =) | | Propriedades do valor absuluto | - ] C b2 —S— = ar=Cc (: + =) C b? b? b? | Pois a>0 c>0 r>0 e x>-— => |al=a |cl=c |rl=r ee Z| =2+—| C C C (Veja Figura 6) b2 eS r=* (0+) = © Dist (Q, s) a C a 6 onde s:2= —= é a reta diretriz (neste caso vertical 4 esquerda do foco F = F, = (0,0)). Ya s:x=—b7Y/c d=bi/c Q=(x,y) B2 (te 2 AQ aay N By 8 F, =F=(0,0) 3 C=(c,0) oO e Figura 6 C b? c (0 e.¥ Logo, r=—{x+—]=-—{|{—+r cos(@ => r=——i——~ 6 “( -) (2 ()) 1— £ - cos (0) (Neste caso note-se que d= Distancia(F,s) = ¥ e excentricidade e = © < 1). Ainda, no caso da Elipse, temos mais trés casos: Um deslocamento de tamanho c para a esquerda da elipse a + # =1 (Veja Figura 3a abaixo), ou um deslocamento de tamanho c para baixo da elipse a + ve =1 (Veja Figura 3c abaixo), ou um deslocamento de tamanho c para cima da elipse ze + ve =1 (Veja Figura 3d abaixo). Semelhantemente, nesses trés casos obtemos respectivamente as seguintes equacdes em coordenadeas polares (Fazé-lo!) ae cd e r=. ou r= ——_ 1+ £- cos (@) 1+e- cos (0) em que s:“2= é a reta diretriz (neste caso vertical a direita do foco F = (0,0)) 7 d = Distancia (F, s) = ue e excentricidade e = © < 1. e r= a n ou r= ed ~ 14 £-sen (8) ~ 1+e-sen(6) em que s:y= af é a reta diretriz (neste caso horizontal acima do foco F’ = (0,0)) d = Distancia (F, s) = v e excentricidade e = £ < 1. ae cd ee r=. ou r= ——————_ 1— £ -sen () 1 —e-sen (6) em que s:y= —# é a reta diretriz (neste caso horizontal embaixo do foco F' = (0,0)) d = Distancia (F, s) = ¥ e excentricidade e = £ < 1. vA N\ 4 AD diretri cK C reta diretriz ZN s: y=b’/c ZBRS | ~ ZO Le 5 F, . x 1 F, =F=(0,0) C=(0,c) Figura 7 8 Em fim, no caso da hipérbole, vamos achar a equagéo em coordenadas polares de um de seus ramos (Veja na figura 4 abaixo, o ramo correspondente desenhado continuamente). Se fizermos um deslocamento de tamanho c (para cima) da hipérbole ve — a =1 atéo novo centro (0,c) (Veja Figura 7), obtemos a equacaéo em coordenadas retangulares (yo a Note-se que depois desse deslocamento, 0 foco que antes era Ff; = (0,—c) agora se torna F, = (0,0). Logo, a substituigao x = rcos(@) y=rsen(@),em que Q = (x,y) pertence a hipérbole (Veja Figura 7), dé que: P(y—c)-aa? =7P => P(y—c)?—a?(r cos(6) )° = ab? => bP (y—c)? —a?r? cos? (0) = ab? <> 0b (y—c)* —a?r?(1 —sen? (0) ) = a?0? => BP (y—c)? — @r? + a?r?sen?(0) = a2b? — py? — Obey + B22 — ar? + ay? = a2b? = ( +a*)y? — 2bcy + 0c? — a?r? = ab? SS r= (4+0*)y? — 2?cy + Bc? — ab? SS r= (a2+0*)y? — 2b?cy + (Ce — a?) BP SS r= Cy? — Wey +b7b? | Pois a+h= | 2b? _ ar = 2 G _ 0) + bt c 2b? sp? = 2 G _ 7) + pt C b?\? ot eS rac (u — =) —>5/+0' |Completagao de quadrados| C c 9 b?\° a er =2(y-%) —b*+64 c b\? eS rac (u- =) c b?\? SS Ver =4/C (u _ =) c b2 = bi=[e(v =) c b2 <= |al|r| = |c | (u — =) | | Propriedades do valor absuluto | - ] c b? b? => or=-c(y~ 5) =0(=-y) c c b? b? b? [Pois a >0,¢>0,r>00ey<— = |al=a |cl|=c |r|=re b-2|--(-5)| c c c (Veja Figura 7) b2 eS ras (= 1) =* Dist (Q, s) ale a onde s:y= é a reta diretriz (neste caso horizontal acima do foco F' = F, = (0,0)). c (0b c (bP c.e togo, r— 2 (Hy) = (Hp cen) — p= 2 e6o 8 “(2 v) “(2 r-sen(0)) " 1+ £-sen (6) (Neste caso note-se que d= Distancia(F,s) = le e excentricidade e = £ > 1). Fazendo deslocamentos (das hipérboles x — ve =le ve — “ = 1) para que um dos focos esteja na origem (Veja Figura 4 abaixo no final deste material diddtico), semelhantemente sao deduzidos mais trés casos (Fazélo!): a e-d | e r= ou r= 1+ £- cos (6) 1+e- cos (0) em que s:2£= x é a reta diretriz (neste caso vertical 4 direita do foco F’ = (0,0)) (Veja Figura 4a) d= Distancia (Fs) = ae e excentricidade e = < > 1. 10 2 alc e-d e T= ou rT => 1— £ - cos(@) 1 —e-cos (0) 2 s . . . XX em que s:%= —= é a reta diretriz (neste caso vertical 4 esquerda do foco F’ = (0,0), : : eA : 2 . e (Veja Figura 4b) d= Distancia (F,s) = © e excentricidade e = £ > 1. 2 o poaale —— 1 — £-sen (6) 1 —e-sen (0) a 2, - ; ; em que s:y=—" éareta diretriz (neste caso horizontal embaixo do foco F' = (0,0)) : : oA : 2 . s (Veja Figura 4d) d= Distancia(F,s) = © e excentricidade e = £ > 1. PARABOLA Ya Yn NN s:x=d six=—d a N | by d d \ / Fy . vi F . } x \ x / \ ( N N \ a ~ 4 Figura 2a d = Dist€ncia (F,s) Figura 2b NN Vr vA vem \ / __ reta diretriz s:y=d \ / v \ / aa od oe \ A _ > x ) x ™ ae a _ — S d Vv / \ reta diretriz Zs gs y=-d / \ Figura 2c Figura 2d 11 . . . . reta diretriz x y Figura 3a x y reta diretriz F Figura 3b . x y F reta diretriz Figura 3c . F x y reta diretriz _ s : y= d Figura 3d > ^ > ^ > ^ > ^ F s : x=d . s : x= d _ d d . d = Distancia (F,s) ^ d s : y=d d Figura 3 ||| | | | | | | | | | | | | || | | | . . . A A B B F C .1 2 1 2 1 2 . . . . . . A C F A B B 1 2 2 1 1 2 F =F=(0,0) F =F=(0,0) F =F=(0,0) F =F=(0,0) 2 1 2 1 ELIPSE . . . . . B1 B2 F 2 1 C A1 A2 . . . . B . B A A F C 1 2 1 2 2 1 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 12 . reta diretriz x y Figura 4 : Figura 4a > ^ F s : x=d d . A A F C 1 2 1 2 F =F=(0,0) HIPÉRBOLE . . 1 . ____________________ ____ ____________________ ____ ___________ ___________ ___ ___ . reta diretriz x y Figura 4 : Figura 4b > ^ F s : x= d d . A A F C 1 2 1 2 F =F=(0,0) . . . ____________________ ____ ____________________ ____ _ 2 ___________ ___________ ___ ___ 13 reta diretriz x y Figura 4 : Figura 4c > ^ F s : y=d d A A C F =F=(0,0) . ____________________ ____ ____________________ ____ . . . . 2 1 2 1 F 1 ____________ ____ ____________ ____ reta diretriz x y Figura 4 : Figura 4d > F s : y= d d A A C F =F=(0,0) . ____________________ ____ ____________________ ____ . . . . 1 2 1 F ^ 2 2 _ ___________ ___ ___________ ___ 14