Lista de Exercicios Resolvidos - Operadores Lineares Autoadjuntos e Ortogonais

37 Exercícios 1 Classifique os operadores a Tx y 2x 2y 2x 5y I Tr ti z xcos0 ysin0 xsin0 ycos0 z c Tx y z 2x y x y z y 3z 2 Considere T1 e T2 operadores lineares Complete a tabela T1 e T2 T1 T2 KT1 T1 o T2 OAA OO ON 3 Ache valores para x e y tais que x y1 0 seja ortogonal 4 Dê exemplo de um operador autoadjunto não ortogonal e viceversa 5 Dê exemplo de um operador normal que não é nem autoadjunto nem ortogonal 6 Se 0 e são produtos internos sobre R2 e T um operador autoadjunto em relação ao primeiro produto interno então T também é autoadjunto em relação ao segundo 7 Seja 7 1 4 2 4 5 1 2 4 1 Verifique que é diagonalizável sem usar os critérios de diagonalização 8 Considere T e U operadores lineares que comutam entre si a Se A é um autovalor de T então VA é um subespaço Linvariante b T e U possuem os mesmos autovalores c Existe um autovetor comum a T e a U 9 Todo operador autoadjunto é um operador normal 10 Todo operador ortogonal é um operador normal 11 Valem as recíprocas do Teorema 322 12 O operador linear T é ortogonal se e somente se Ta 1 para toda base ortonormal a 13 Apresente operadores para cada uma das oito possibilidades 32